人教A版(新教材)高中數(shù)學選擇性必修第三冊PAGEPAGE17.3.2離散型隨機變量的方差教學目標1.理解取有限個值的離散型隨機變量的方差及標準差的概念.2.能計算簡單離散型隨機變量的方差，并能解決一些實際問題.3.掌握方差的性質以及兩點分布的方差的求法，會利用公式求它們的方差．教學知識梳理知識點一離散型隨機變量的方差、標準差設離散型隨機變量X的分布列如表所示．Xx1x2…xnPp1p2…pn我們用X所有可能取值xi與E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2，…，(xn－E(X))2，關于取值概率的加權平均，來度量隨機變量X取值與其均值E(X)的偏離程度．我們稱D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝eq\i\su(i＝1,n,)(xi－E(X))2pi為隨機變量X的方差(variance)，有時也記為Var(X)，并稱eq\r(D(X))為隨機變量X的標準差(standarddeviation)，記為σ(X)．知識點二離散型隨機變量方差的性質1．設a，b為常數(shù)，則D(aX＋b)＝a2D(X)．2．D(c)＝0(其中c為常數(shù))．題型探究探究一求離散型隨機變量的方差例1.已知離散型隨機變量ξ的分布列如下：ξ135P0.5m0.2則其方差D(ξ)＝______.〖答案〗2.44〖解析〗∵0.5＋m＋0.2＝1，∴m＝0.3.∴E(ξ)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4.D(ξ)＝(1－2.4)2×0.5＋(3－2.4)2×0.3＋(5－2.4)2×0.2＝2.44.反思感悟(1)求離散型隨機變量方差的步驟①理解隨機變量X的意義，寫出X的所有取值；②求出X取每個值的概率；③寫出X的分布列；④計算E(X)；⑤計算D(X)．(2)線性關系的方差計算：若η＝aξ＋b，則D(η)＝a2D(ξ)．跟蹤訓練1.擲一枚質地均勻的骰子12次，則出現(xiàn)向上一面是3的次數(shù)的均值和方差分別是()．A．2和5B．2和eq\f(5,3) C．4和eq\f(8,3) D.eq\f(21,6)和1〖答案〗B〖解析〗由題意知變量符合二項分布，擲一次骰子相當于做一次獨立重復試驗，且發(fā)生的概率是eq\f(1,6)，∴E(ξ)＝12×eq\f(1,6)＝2，D(ξ)＝12×eq\f(1,6)×eq\f(5,6)＝eq\f(5,3)，故選B.探究二方差的應用例2.海關大樓頂端鑲有A、B兩面大鐘，它們的日走時誤差分別為X1、X2（單位：s），其分布列如下：X1-2-1012P0.050.050.80.050.05X2-2-1012P0.10.20.40.20.1根據這兩面大鐘日走時誤差的均值與方差比較這兩面大鐘的質量.解：∵EX1=0，EX2=0，∴EX1=EX2，∵DX1=(-2-0)2×0.05+(-1-0)2×0.05+(0-0)2×0.8+(1-0)2×0.05+(2-0)2×0.05=0.5，DX2=(-2-0)2×0.1+(-1-0)2×0.2+(0-0)2×0.4+(1-0)2×0.2+(2-1)2×0.1=1.2，∴DX1＜DX2，由上可知，A面大鐘的質量較好.反思感悟均值、方差在決策中的作用(1)均值：均值反映了離散型隨機變量取值的平均水平，均值越大，平均水平越高．(2)方差：方差反映了離散型隨機變量取值的離散波動程度，方差越大越不穩(wěn)定．(3)在決策中常結合實際情形依據均值、方差做出決斷．跟蹤訓練2.甲、乙兩個野生動物保護區(qū)有相同的自然環(huán)境，且野生動物的種類和數(shù)量也大致相等，而兩個保護區(qū)內每個季度發(fā)現(xiàn)違反保護條例的事件次數(shù)的分布列分別為：甲保護區(qū)：X0123P0．30．30．20．2乙保護區(qū)：Y012P0．10．50．4試評定這兩個保護區(qū)的管理水平．解：甲保護區(qū)違規(guī)次數(shù)X的數(shù)學期望和方差為E(X)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3，D(X)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0．3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21．乙保護區(qū)的違規(guī)次數(shù)Y的數(shù)學期望和方差為：E(Y)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3，D(Y)＝(0－1.3)2×0．1＋(1－1.3)2×0．5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41．因為E(X)＝E(Y)，D(X)＞D(Y)，所以兩個保護區(qū)內每個季度發(fā)生的違規(guī)事件的平均次數(shù)相同，但甲保護區(qū)的違規(guī)事件次數(shù)相對分散和波動，乙保護區(qū)內的違規(guī)事件次數(shù)更加集中和穩(wěn)定．探究三分布列、均值、方差的綜合應用例3.有三張形狀、大小、質地完全相同的卡片，在各卡片上分別寫上0,1,2，現(xiàn)從中任意抽取一張，將其上數(shù)字記作x，然后放回，再抽取一張，其上數(shù)字記作y，令X＝xy，求：(1)X所取各值的分布列；(2)隨機變量X的均值與方差．解：(1)由題意知，隨機變量X的可能取值為0,1,2,4.“X＝0”是指兩次取的卡片上至少有一次為0，其概率為P(X＝0)＝1－eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(5,9)，“X＝1”是指兩次取的卡片上都標著1，其概率為P(X＝1)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,9)，“X＝2”是指兩次取的卡片上一個標著1，另一個標著2，其概率為P(X＝2)＝2×eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(2,9)，“X＝4”是指兩次取的卡片上都標著2，其概率為P(X＝4)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,9).則X的分布列為X0124Peq\f(5,9)eq\f(1,9)eq\f(2,9)eq\f(1,9)(2)E(X)＝0×eq\f(5,9)＋1×eq\f(1,9)＋2×eq\f(2,9)＋4×eq\f(1,9)＝1，D(X)＝(0－1)2×eq\f(5,9)＋(1－1)2×eq\f(1,9)＋(2－1)2×eq\f(2,9)＋(4－1)2×eq\f(1,9)＝eq\f(16,9).反思感悟處理綜合問題的方法第一步：確定事件間的關系，是互斥、對立還是相互獨立．第二步：要依據事件間的關系，選擇相應的概率公式，計算相應事件的概率．第三步：列分布列，并計算均值及方差．跟蹤訓練3.甲、乙兩人進行定點投籃游戲，投籃者若投中，則繼續(xù)投籃，否則由對方投籃；第一次由甲投籃，已知每次投籃甲、乙命中的概率分別為eq\f(1,3)，eq\f(3,4).(1)求第三次由乙投籃的概率；(2)在前3次投籃中，乙投籃的次數(shù)為X，求X的分布列、均值及標準差．解：(1)P＝eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＋eq\f(2,3)×eq\f(3,4)＝eq\f(13,18).(2)由題意，得X的所有可能取值為0,1,2，P(X＝0)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,9).P(X＝1)＝eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＋eq\f(2,3)×eq\f(1,4)＝eq\f(7,18)，P(X＝2)＝eq\f(2,3)×eq\f(3,4)＝eq\f(1,2).故X的分布列為X012Peq\f(1,9)eq\f(7,18)eq\f(1,2)E(X)＝0×eq\f(1,9)＋1×eq\f(7,18)＋2×eq\f(1,2)＝eq\f(25,18)，D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(25,18)))2×eq\f(1,9)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(25,18)))2×eq\f(7,18)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(25,18)))2×eq\f(1,2)＝eq\f(149,324).∴σ(X)＝eq\r(D(X))＝eq\f(\r(149),18).課堂小結1．知識清單：(1)離散型隨機變量的方差、標準差．(2)離散型隨機變量的方差的性質．2．方法歸納：轉化化歸．3．常見誤區(qū)：方差公式套用錯誤．當堂檢測1.已知隨機變量ξ的分布列為ξmnPeq\f(1,3)a若E(ξ)＝2，則D(ξ)的最小值等于()A．0B．2C．4D．無法計算〖答案〗D〖解析〗由題意得a＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)，所以E(ξ)＝eq\f(1,3)m＋eq\f(2,3)n＝2，即m＋2n＝6.又D(ξ)＝eq\f(1,3)×(m－2)2＋eq\f(2,3)×(n－2)2＝2(n－2)2，當n＝2時，D(ξ)取得最小值，此時m＝2，不符合題意，故D(ξ)無法取得最小值．2.若X是離散型隨機變量，P(X＝x1)＝eq\f(2,3)，P(X＝x2)＝eq\f(1,3)，且x1<x2，又已知E(X)＝eq\f(4,3)，D(X)＝eq\f(2,9)，則x1＋x2的值為________．〖答案〗3〖解析〗由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1·\f(2,3)＋x2·\f(1,3)＝\f(4,3)，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1－\f(4,3)))2·\f(2,3)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(4,3)))2·\f(1,3)＝\f(2,9)，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x1＋x2＝4，,2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1－\f(4,3)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(4,3)))2＝\f(2,3)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝\f(5,3)，,x2＝\f(2,3)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝1，,x2＝2，))又x1<x2，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝1，,x2＝2，))所以x1＋x2＝3.3.編號為1,2,3的三位學生隨意入座編號為1,2,3的三個座位，每位學生坐一個座位，設與座位編號相同的學生的人數(shù)是ξ，則E(ξ)＝________，D(ξ)＝________.〖答案〗11〖解析〗ξ的所有可能取值為0,1,3，ξ＝0表示三位同學全坐錯了，有2種情況，即編號為1,2,3的座位上分別坐了編號為2,3,1或3,1,2的學生，則P(ξ＝0)＝eq\f(2,A\o\al(3,3))＝eq\f(1,3)；ξ＝1表示三位同學只有1位同學坐對了，則P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3),A\o\al(3,3))＝eq\f(1,2)；ξ＝3表示三位同學全坐對了，即對號入座，則P(ξ＝3)＝eq\f(1,A\o\al(3,3))＝eq\f(1,6).所以ξ的分布列為ξ013Peq\f(1,3)eq\f(1,2)eq\f(1,6)E(ξ)＝0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(1,2)＋3×eq\f(1,6)＝1.D(ξ)＝eq\f(1,3)×(0－1)2＋eq\f(1,2)×(1－1)2＋eq\f(1,6)×(3－1)2＝1.4.A，B兩個投資項目的利潤率分別為隨機變量X1和X2，根據市場分析，X1和X2的分布列分別如下表：X15%10%P0.80.2X22%8%12%P0.20.50.3(1)在A，B兩個投資項目上各投資100萬元，Y1和Y2分別表示投資項目A和B所獲得的利潤，求方差D(Y1)，D(Y2)；(2)將x(0≤x≤100)萬元投資項目A，(100－x)萬元投資項目B，f(x)表示投資項目A所得利潤的方差與投資項目B所得利潤的方差的和．求f(x)的最小值，并指出x為何值時，f(x)取得最小值．解：(1)根據題意，知Y1和Y2的分布列分別如下表：Y1510P0.80.2Y22812P0.20.50.3從而E(Y1)＝5×0.8＋10×0.2＝6，D(Y1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4，E(Y2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8，D(Y2)＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12.(2)f(x)＝Deq\b\lc\(\rc\)(\a\v