高三數(shù)學試卷一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解不等式化簡集合，再利用交集的定義求解即得.【詳解】依題意，，而，所以.故選：D2.若復數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)代數(shù)形式的除法運算化簡即可.【詳解】因為，所以.故選：A3.已知向量，，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先求出的坐標，依題意可得，根據(jù)數(shù)量積的坐標表示得到方程，解得即可.【詳解】因為，，所以，又，所以，解得.故選：A4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)兩角和公式結合切化弦得出，再應用兩角差余弦計算.【詳解】因為,又因為,所以,所以.故選：A5.已知函數(shù)，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式分兩段討論，分別求出不等式的解集.【詳解】因，則不等式，等價于或，解得或或，所以不等式的解集為.故選：B6.當時，曲線與的交點個數(shù)為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，轉化為方程根的個數(shù)列式計算即得.【詳解】依題意，曲線與的交點個數(shù)即為方程根的個數(shù)，由，得，，則或或，解得或或，因此方程在上有3個解.所以當時，曲線與的交點個數(shù)為3.故選：A7.已知函數(shù)的定義域為R，當時，，且當時，，則下列結論中一定正確的是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】先求出函數(shù)局部周期性，再求值即可.【詳解】當時，由于得到，則，A錯；，B對；，C對；，D錯；故選：BC.二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，全部選對得6分，部分選對得部分分，錯選不得分，共18分）8.設函數(shù)，若存在，且，使得，則（）A. B.C.可能有且僅有兩個零點 D.至多有四個零點【答案】CD【解析】【分析】分析導數(shù)研究函數(shù)的單調性與極值，取特殊函數(shù)由零點存在性定理確定零點個數(shù)即可判斷選擇支.【詳解】，，由題意，函數(shù)至少有個零點.，設，令，則.當，即時，當，則，在單調遞減；當，則，在單調遞增；所以有最小值，最小值為，此時函數(shù)無零點，不滿足題意；當，即時，由，，當時，，當，則，在單調遞減；當，則，在單調遞增；所以有最小值，最小值為，又，，由零點存在性定理可得，在各有一個零點，故當時，函數(shù)有且僅有個零點，滿足題意，故A錯誤，C正確；當時，；當，則，在單調遞減；當，則，在單調遞增；當，則，在單調遞減；當，則，在單調遞增；所以在處取極小值，在處取極大值，在處取極小值，又，由零點存性定理可得，在各有一個零點，即有個零點，所以當時，滿足題意，故B錯誤；又為四次函數(shù)，至多有個零點，故D項正確.故選：CD.9.雙紐線的圖形輪廓像阿拉伯數(shù)字中的“8”，如圖曲線是雙紐線，下列說法正確的是（）A.曲線C的圖象關于原點對稱B.曲線C經過7個整點（橫、縱坐標均為整數(shù)的點）C.曲線C上任意一點到坐標原點的距離都不超過3D.若直線與曲線只有一個交點，則實數(shù)的取值范圍為【答案】ACD【解析】【分析】由曲線上任一點關于原點的對稱點適合曲線方程可判斷A；利用換元法轉化為二次方程，通過判別式得出范圍，再賦值求解整點的坐標即可判斷B；利用已知方程變形，根據(jù)有界性結合兩點間距離公式可判斷C；聯(lián)立直線與曲線研究方程根的情況即可判斷D．【詳解】對于A：設曲線上任意一點，則坐標滿足曲線方程，即方程成立，可得成立，即點關于原點的對稱點也適合曲線方程，所以曲線的圖象關于原點對稱，故A正確；對于B：方程可化為，令，則方程，由判別式，可得，若是整數(shù)，則.令，，解得或或，有三個整點，，；令，，解得或，此時無整點；所以曲線共經過個整點，故B錯誤；對于C：設曲線上任一點，當為原點時，到原點的距離為，滿足題意；當不為原點時，，則由可得，，所以點到原點的距離，且；綜上，曲線上任一點到原點的距離都不超過，故C正確；對于D：直線恒過原點，且曲線經過，則直線與曲線至少一個公共點，又與曲線只有一個公共點，故除原點外無其他公共點.聯(lián)立，消得，當時，方程僅一解，滿足題意；當時，當時，方程恒成立，即恒有一解，當時，方程化簡得，即當時，方程無解，滿足題意；綜上可得，解得或，即實數(shù)的取值范圍為，D正確.故選：ACD.【點睛】方法點睛：已知直線與曲線交點個數(shù)求參數(shù)值(取值范圍)問題，通常將直線方程代入曲線方程轉化為一元方程根的情況研究，再結合方程類型變形建立不等式，通過解不等式確定參數(shù)范圍，但也要注意變形過程中的等價處理.如復合方程通過整體換元轉化為簡單方程來研究時，不能忽視求解新元的范圍；高次方程因式分解轉化為低次方程來研究時，要注意幾個低次方程之間的重根討論；分式方程化為整式方程研究時，分母是否為0的分類討論；無理方程轉化為有理方程時，被開方數(shù)的限制條件等.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）10.設拋物線的焦點為，過點作直線交拋物線于，兩點，若，，則___________．【答案】##【解析】【分析】設Ax1,y1，Bx2,y【詳解】設Ax1,y1，Bx2,y因為，，根據(jù)拋物線的定義可得，，過點作軸于點，過點作軸于點，則，所以，所以，即，解得．故答案為：．11.若曲線在點處的切線與曲線相切，則________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出切線方程，再聯(lián)立切線方程與，消元，根據(jù)計算可得.【詳解】由，所以，則，所以曲線在點處的切線為，即；又與曲線相切，由，可得，則，解得或（舍去），故答案為：12.某射擊比賽中，甲、乙兩名選手進行多輪射擊對決．每輪射擊中，甲命中目標概率為，乙命中目標的概率為．若每輪射擊中，命中目標的選手得1分，未命中目標的選手得0分，且各輪射擊結果相互獨立．則進行五輪射擊后，甲的總得分不小于3的概率為__________．【答案】【解析】【分析】利用相互獨立事件、互斥事件的概率公式計算可得答案.【詳解】則進行五輪射擊后，甲的總得分不小于3的概率為.故答案為：.四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）13.記的內角，，的對邊分別為，，，已知，，．（1）求角的大小；（2）求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用兩角和的正弦公式及誘導公式得到，即可得解；（2）利用余弦定理得到，再將兩邊平方，即可求出，最后由面積公式計算可得.【小問1詳解】因為，所以，即，即，顯然，所以，又，所以；【小問2詳解】由余弦定理，即，又，所以，解得，所以.14.已知橢圓的離心率為，且過點．（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓交于，兩點，且以線段為直徑的圓過橢圓的右頂點，求證：直線恒過定點，并求出該定點的坐標．【答案】（1）（2）證明見解析，定點坐標為【解析】【分析】（1）根據(jù)題意列出的方程組，結合求解出的值，則橢圓方程可知；（2）設Ax1,y1，Bx2,【小問1詳解】依題意可得，解得，所以橢圓的方程為.【小問2詳解】設Ax1,聯(lián)立可得，且，即，所以，，因為以為直徑的圓經過點，所以，所以，所以，所以，所以，化簡可得，解得或，當時，，過定點，符合題意；當時，，過點，不滿足題意，綜上所述，直線過定點.15.已知三棱錐中，平面，，，為上一點且滿足，，分別為，的中點．（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的大小；【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）以為原點，所在直線分別為軸?軸?軸，建立空間直角坐標系，計算，進而可得答案；（2）求出平面的法向量n=x,y,【小問1詳解】因為平面，，如圖以為原點，所在直線分別為軸?軸?軸，建立空間直角坐標系，則，所以，因為，所以．【小問2詳解】設平面的法向量n=x,y則，即，取，得，設直線與平面所成角為，則，又，所以，所以直線與平面所成角的大小為．16.已知函數(shù)在處取得極值2，且．（1）求實數(shù)a，b，c的值；（2）若函數(shù)在區(qū)間上有三個零點，求實數(shù)m的取值范圍；（3）證明：若函數(shù)在區(qū)間上不單調，則．【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，由已知建立方程組，求解方程組并驗證即得.（2）由（1）求出函數(shù)在上的性質，結合三次函數(shù)性質求解即得.（3）利用二次函數(shù)性質推理即得.【小問1詳解】由函數(shù)，求導得，依題意，，解得，此時，當或時，，當時，，則函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，即是極值點，所以.【小問2詳解】由（1）知，，，，函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值，而當時，，當時，，由函數(shù)在區(qū)間上有三個零點，得，解得，所以實數(shù)m的取值范圍是.【小問3詳解】由（1）知，，函數(shù)的圖象對稱軸為，由函數(shù)在區(qū)間上不單調，得，解得，所以原命題正確.17.設數(shù)列滿足，且對于任意的，都有，若從該數(shù)列中任意選取兩個不同的數(shù)和（），能滿足，則稱和是幸運數(shù)對.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若從數(shù)列中隨機選取兩個數(shù)，求這兩個數(shù)構成“幸運數(shù)對”的概率；（3）證明：對于任意的正整數(shù)N，在數(shù)列中總存在兩個數(shù)和（），使得.【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）由累加法求通項即可；（2）由通項公式與不等式性質可得恒成立；（3）由數(shù)列通項證明數(shù)列遞增規(guī)律，利用放縮法將所證不等式消元轉化為一元不等式，求解滿足不等式的正整數(shù)解即可.【小問1詳解】由題意，任意的，都有，所以，則當時，當時，也滿足上式，所以數(shù)列的通項公式；【小問2詳解】設從該數(shù)列中任意選取兩個不同的數(shù)和（，且），則，由，且，可得，，則，即恒成立.所以從數(shù)列中隨機選取兩個數(shù)，這兩個數(shù)構成“幸運數(shù)對”的概率為；【小問3詳解】由任意，可知，數(shù)列是遞增數(shù)列，所以，故，且，即數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，也是遞增數(shù)列.且當，對于任意的正整數(shù)N，存在，使.故任意，，都有，令，得，此時恒成立，若為奇數(shù)，則為