2025屆高三上學(xué)期開學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試卷（考試時(shí)間120分鐘，滿分150分）注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的學(xué)校、姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上，并認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的學(xué)校、準(zhǔn)考證號(hào)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)，在規(guī)定的位置貼好條形碼及填涂準(zhǔn)考證號(hào).2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得集合,再求交集即得.【詳解】由可得，因在R上為增函數(shù)，故，則，故.故選：D.2.若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可.【詳解】由，得，所以，所以.故選：A.3.已知向量，，則（）A.2 B.3 C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示求得，再求其模.【詳解】根據(jù)題意，，所以.故選：A4.已知數(shù)列是等比數(shù)列，若，則的值為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)運(yùn)算即可.【詳解】因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以，所以.故選：.5.已知，則（）A. B. C. D.1【答案】C【解析】【分析】運(yùn)用兩角和差的正弦公式，結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系式中商關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】由，由，可得，所以.故選：C6.已知一個(gè)圓柱的軸截面是正方形，一個(gè)圓錐與該圓柱的底面半徑及側(cè)面積均相等，則圓柱與圓錐的體積之比為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為，圓錐的母線長(zhǎng)為，依題意得到求得，繼而求出圓錐的高，最后求即得.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，因?yàn)閳A柱軸截面是正方形，所以圓柱的高為，依題意圓錐的底面半徑為，設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，因?yàn)閳A錐與該圓柱的側(cè)面積相等，所以，解得，則圓錐的高為，圓柱的體積，圓錐的體積，所以.故選：B.7.已知函數(shù)區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)在上單調(diào)遞增，有恒成立，參變分離求在區(qū)間上最大值，進(jìn)而求出的范圍.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)為，并且在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即，則，即恒成立，，因?yàn)樵谏献畲笾禐?，所?故選：.8.設(shè)函數(shù)若，且，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)條件得到，將變形為，再利用基本不等式即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，即，又，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故選：B二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】由正態(tài)曲線的對(duì)稱性和題設(shè)條件易得，可知A，B正確，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，只需判斷，結(jié)合正態(tài)曲線的特征即可排除D.【詳解】對(duì)于A，由知是1和3的中間值，故，故A正確；對(duì)于B，C，在正態(tài)分布中，，故B正確，錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，由正態(tài)曲線的特征可得，，所以錯(cuò)誤.故選：AB.10.下列說法正確的是（）A.已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則B.設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則C.已知一組數(shù)據(jù)為1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，則它的第70百分位數(shù)為7D.若事件滿足，則事件相互獨(dú)立【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)根據(jù)二項(xiàng)分布知識(shí)可判斷A，根據(jù)正態(tài)分布知識(shí)可判斷B，根據(jù)百分位數(shù)可判斷C，根據(jù)條件概率知識(shí)可判斷D【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則，故A正確；因?yàn)殡S機(jī)變量服從正態(tài)分布，則對(duì)稱軸為，，故B錯(cuò)誤；這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，所以事件相互?dú)立.故選：AD.11.已知數(shù)列，下列結(jié)論正確的有（）A.若，，則B.若，，則C.若，則數(shù)列等比數(shù)列D.若為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，則數(shù)列為等差數(shù)列【答案】ABD【解析】【分析】A.利用累加法求和，即可判斷；B.利用構(gòu)造法，構(gòu)造為等比數(shù)列，求通項(xiàng)公式，即可判斷;C.利用公式，即可求解通項(xiàng)公式，判斷選項(xiàng)；D.根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，結(jié)合等差數(shù)列的定義，即可判斷選項(xiàng).【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，由，得，則，故A項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)B，由得，所以為等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為2，所以，所以，故B項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，將代入，得，所以，所以數(shù)列不是等比數(shù)列，故C項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)D，設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式可得，所以與n無關(guān)，所以數(shù)列為等差數(shù)列，故D項(xiàng)正確.故選：ABD三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.設(shè)是等差數(shù)列，且，，則數(shù)列的前項(xiàng)和_____________.【答案】【解析】【分析】依題意可得，即可求出公差，再根據(jù)等差數(shù)列求和公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，所以，所以的公差，又，所?故答案為：13.曲線在處的切線方程為______.【答案】【解析】【分析】首先求出切點(diǎn)坐標(biāo)，再利用導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率，最后利用點(diǎn)斜式求出切線方程；【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，即切點(diǎn)坐標(biāo)為則曲線在處的切線方程為，即故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.14.雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別是，，過且垂直于軸的直線與雙曲線交于?兩點(diǎn)，若為正三角形，則雙曲線的離心率為___________.【答案】【解析】【分析】由條件確定a，b，c的關(guān)系，化簡(jiǎn)求離心率.【詳解】∵為正三角形，∴，又，∴∴，∴∴,（舍去）故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前10項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）由題意列出方程組求出首項(xiàng)、公差即可；（2）化簡(jiǎn)表達(dá)式，由裂項(xiàng)相消法即可求解.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為．因?yàn)?，且，所以，解得，所以．【小?詳解】由（1）得，所以，所以，所以．16.隨著AI技術(shù)的不斷發(fā)展，人工智能科技在越來越多的領(lǐng)域發(fā)揮著重要的作用．某校在寒假里給學(xué)生推薦了一套智能輔導(dǎo)系統(tǒng)，學(xué)生可自愿選擇是否使用該系統(tǒng)完成假期的作業(yè)．開學(xué)時(shí)進(jìn)行了入學(xué)測(cè)試，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生統(tǒng)計(jì)得到如下列聯(lián)表：使用智能輔導(dǎo)系統(tǒng)未使用智能輔導(dǎo)系統(tǒng)合計(jì)入學(xué)測(cè)試成績(jī)優(yōu)秀202040入學(xué)測(cè)試成績(jī)不優(yōu)秀402060合計(jì)6040100（1）判斷是否有95%的把握認(rèn)為入學(xué)測(cè)試成績(jī)優(yōu)秀與使用智能輔導(dǎo)系統(tǒng)相關(guān)；（2）若把這100名學(xué)生按照入學(xué)測(cè)試成績(jī)是否優(yōu)秀進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣，從中抽取5人，再?gòu)倪@5人中隨機(jī)抽取2人，記抽取的2人中入學(xué)測(cè)試成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．附：，其中．0.100.050.0250.0102.7063.8415.0246.635【答案】（1）沒有（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）計(jì)算卡方后與3.841比較大小即可得；（2）借分層抽樣的性質(zhì)可得5人中成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)，再得出的取值可能后計(jì)算相應(yīng)的概率即可得其分布列，即可得其期望.【小問1詳解】，沒有的把握認(rèn)為入學(xué)測(cè)試成績(jī)優(yōu)秀與使用智能輔導(dǎo)系統(tǒng)相關(guān)；【小問2詳解】，，人中2人成績(jī)優(yōu)秀，3人成績(jī)不優(yōu)秀，的取值可能為、、，，，，分布列為：012．17.如圖所示，在直四棱柱中，底面是平行四邊形，點(diǎn)，分別在棱，上，且，．（1）求證：平面；（2）若，，，求二面角大?。敬鸢浮浚?）見解析（2）【解析】【分析】（1）連接，交于，取的中點(diǎn)，連接，，由題意可得、，由線面平行的判定即可得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，表示出各點(diǎn)坐標(biāo)后，求出平面的一個(gè)法向量為、平面的一個(gè)法向量為，利用即可得解.【詳解】（1）證明：如圖所示，連接，交于，取的中點(diǎn)，連接，，由，，故，且，故四邊形為平行四邊形，所以，由底面是平行四邊形可得為中點(diǎn)，所以，所以由平面，平面，所以平面；（2）因?yàn)椋?，所以，由，得，以為原點(diǎn)，以，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，令，得，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由得，由，所以二面角的大小為．【點(diǎn)睛】本題考查了線面平行的判定及利用空間向量求二面角，考查了空間思維能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.18.已知雙曲線的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，且其兩條漸近線相互垂直.（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過點(diǎn)的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，的面積為，求直線的方程.【答案】（1）（2）或．【解析】【分析】（1）設(shè)所求雙曲線方程為，，把點(diǎn)代入，即可得出答案．（2）根據(jù)題意設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與雙曲線的方程，分別用點(diǎn)到直線的距離公式，弦長(zhǎng)公式，三角形面積公式，建立方程，即可得出答案．【小問1詳解】因?yàn)殡p曲線的兩條漸近線互相垂直，所以雙曲線為等軸雙曲線，所以設(shè)所求雙曲線方程為，，又雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，所以，即，所以雙曲線的方程為，即．【小問2詳解】根據(jù)題意可知直線的斜率存在，又直線過點(diǎn)，所以直線的方程為，所以原點(diǎn)到直線的距離，聯(lián)立，得，所以