第六節(jié)簡(jiǎn)單三角恒等變換第1頁(yè)第2頁(yè)第3頁(yè)第4頁(yè)第5頁(yè)第6頁(yè)第7頁(yè)第8頁(yè)asinx+bcosx是怎樣化簡(jiǎn)？提醒:asinx+bcosx令則故asinx+bcosx=(sinxcos+cosxsin)=sin(x+).第9頁(yè)1.已知α∈(π,2π),則等于（）(A)(B)(C)(D)【解析】選B.∵cosα=α∈(π,2π),∴∈(π),第10頁(yè)2.已知α是第三象限角，且則等于（）（A）（B）（C）（D）【解析】選C.方法一:由得即第11頁(yè)或又α是第三象限角,第12頁(yè)方法二:∵α是第三象限角且第13頁(yè)3.已知θ是第三象限角，且那么sin2θ值為（）(A)(B)(C)(D)【解析】選A.∵sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=∴4sin2θcos2θ=即sin22θ=∵π+2kπ<θ<+2kπ(k∈Z),∴2π+4kπ<2θ<3π+4kπ(k∈Z),第14頁(yè)4.若則=______.【解析】答案:2012第15頁(yè)5.計(jì)算:【解析】原式答案:第16頁(yè)三角恒等變換常見(jiàn)形式三角恒等變換中常見(jiàn)三種形式：一是化簡(jiǎn)，二是求值，三是三角恒等式證實(shí).(1)三角函數(shù)化簡(jiǎn)常見(jiàn)方法有切化弦、利用誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式及和、差、倍角公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解.第17頁(yè)(2)三角函數(shù)求值分為條件求值與非條件求值，對(duì)條件求值問(wèn)題要充分利用條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解.(3)三角恒等式證實(shí)，要看左右兩側(cè)函數(shù)名、角之間關(guān)系，不一樣名則化同名，不一樣角則化同角，利用公式求解變形即可.

第18頁(yè)第19頁(yè)三角函數(shù)式求值【例1】已知求值.【審題指導(dǎo)】本例屬于條件求值，條件中是正切單角式子，而要求函數(shù)式中有單角也有半角，故應(yīng)先將所求式子化半角為單角，將弦化切后再求解.第20頁(yè)【自主解答】第21頁(yè)第22頁(yè)【規(guī)律方法】已知三角函數(shù)式值，求其它三角函數(shù)式值，普通思緒為：（1）先化簡(jiǎn)所求式子或所給條件；（2）觀察已知條件與所求式子之間聯(lián)絡(luò)（從三角函數(shù)名及角入手）；（3）將已知條件代入所求式子，化簡(jiǎn)求值.第23頁(yè)【變式訓(xùn)練】已知cos(α+β)+cos(α-β)=sin(α+β)+sin(α-β)=求(1)tanα;第24頁(yè)【解析】（1）由已知得2cosαcosβ=①2sinαcosβ=②②÷①得,(2)原式=由（1）得代入上式得第25頁(yè)三角函數(shù)式化簡(jiǎn)【例2】化簡(jiǎn)：【審題指導(dǎo)】切化弦、通分整理是化簡(jiǎn)含有正切式子慣用方法.第26頁(yè)【自主解答】第27頁(yè)第28頁(yè)【規(guī)律方法】1.三角函數(shù)式化簡(jiǎn)標(biāo)準(zhǔn):一是統(tǒng)一角，二是統(tǒng)一函數(shù)名.能求值求值，必要時(shí)切化弦，更易通分、約分.2.第29頁(yè)3.三角函數(shù)化簡(jiǎn)方法主要是弦切互化，異名化同名，異角化同角，降冪或升冪.第30頁(yè)【互動(dòng)探究】若將本例中式子改為進(jìn)行化簡(jiǎn).【解析】原式=第31頁(yè)【變式訓(xùn)練】化簡(jiǎn)：【解析】第32頁(yè)第33頁(yè)三角恒等式證實(shí)【例】證實(shí)：【審題指導(dǎo)】（1）因?yàn)樽筮呡^繁，由繁化簡(jiǎn)從左邊入手.(2)左邊是分式結(jié)構(gòu)，分式加減普通要通分，不妨通分，左邊=(3)分別看分子、分母結(jié)構(gòu)，分母與二倍角公式靠近，故考慮二倍角公式.分子從多項(xiàng)式觀點(diǎn)看，可利用平方差；從次數(shù)上看可降冪.第34頁(yè)【規(guī)范解答】第35頁(yè)【規(guī)律方法】1.證實(shí)恒等式方法：①?gòu)淖蟮接?；②從右到左；③從兩邊化到同一式?標(biāo)準(zhǔn)上是化繁為簡(jiǎn)，必要時(shí)也可用分析法.2.三角恒等式證實(shí)主要從兩方面入手：(1)看角：分析角差異,消除差異,向結(jié)果中角轉(zhuǎn)化;(2)看函數(shù):統(tǒng)一函數(shù),向結(jié)果中函數(shù)轉(zhuǎn)化.第36頁(yè)【變式備選】若tan2α=2tan2β+1.求證：sin2β=2sin2α-1.第37頁(yè)【證實(shí)】由已知得即即即sin2α-sin2αsin2β=sin2β+1-sin2α-sin2αsin2β.∴sin2β=2sin2α-1,即等式成立.第38頁(yè)應(yīng)用【例3】已知f(x)=cosx(cosx-3)+sinx(sinx-3),(1)若x∈［2π,3π］,求f(x)單調(diào)遞增區(qū)間;(2)若x∈()且f(x)=-1,求tan2x值.【審題指導(dǎo)】將函數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn),而后利用asinx+bcosx=sin(x+)形式變形，再利用正弦函數(shù)單調(diào)區(qū)間求解，再利用f(x)=-1得sin2x,cos2x，而后求tan2x.第39頁(yè)【自主解答】（1）由已知得，f(x)=cos2x-3cosx+sin2x-3sinx=1-3(cosx+sinx)由2kπ+≤x+≤2kπ+(k∈Z),得又∵x∈［2π,3π］,∴函數(shù)f(x)單調(diào)遞增區(qū)間是第40頁(yè)(2)由(1)知第41頁(yè)【規(guī)律方法】利用把形如y=asinx+bcosx+k函數(shù)化為一個(gè)角某種函數(shù)一次式，能夠求三角函數(shù)周期、單調(diào)區(qū)間、值域和最值、對(duì)稱軸等.提醒：該公式是逆用兩角和正弦公式得到.當(dāng)為特殊角即值為1或時(shí)要熟練掌握.對(duì)是非特殊角時(shí)，只要求會(huì)求最值即可.第42頁(yè)【變式訓(xùn)練】已知函數(shù)(ω>0)最小正周期為π.(1)求f(x);(2)當(dāng)x∈［］時(shí)，求f(x)值域.第43頁(yè)【解析】∵f(x)最小正周期為π且ω>0,第44頁(yè)第45頁(yè)第46頁(yè)三角函數(shù)、三角恒等變換綜合問(wèn)題【典例】（·湖南高考）已知函數(shù)(1)求函數(shù)f(x)最大值；(2）求函數(shù)f(x)零點(diǎn)集合.【審題指導(dǎo)】由已知利用降冪公式及將函數(shù)化為同一個(gè)角三角函數(shù)，而后求解即可得結(jié)果.第(2)問(wèn)可解方程求解.第47頁(yè)【規(guī)范解答】（1）因?yàn)樗?，?dāng)即時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值1.(2)方法一：由（1）及f(x)=0得所以或即x=kπ或故函數(shù)f(x)零點(diǎn)集合為{x|x=kπ或}.第48頁(yè)方法二：由f(x)=0得于是sinx=0或cosx=sinx即tanx=.由sinx=0可知x=kπ;由tanx=可知故函數(shù)f(x)零點(diǎn)集合為第49頁(yè)【創(chuàng)新點(diǎn)撥】本例將三角恒等變換及三角函數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)知識(shí)相結(jié)合，較為新奇地構(gòu)建了函數(shù)與三角聯(lián)絡(luò)，實(shí)現(xiàn)章節(jié)結(jié)合，知識(shí)拓展，適合當(dāng)前高考形式即穩(wěn)定之中有創(chuàng)新意圖，解答這類問(wèn)題時(shí)要結(jié)合題目特點(diǎn)進(jìn)行有機(jī)地轉(zhuǎn)化，如本例（2）中函數(shù)零點(diǎn)可轉(zhuǎn)化為求解三角方程從而獲解.第50頁(yè)【變式訓(xùn)練】若則實(shí)數(shù)a值所在范圍是（）(A)(0,)(B)(,1)(C)(-1,-)(D)(-,0)第51頁(yè)【解析】選A.=2sin35.4°,∵sin30°<sin35.4°<sin45°,即第52頁(yè)第53頁(yè)1.（·新課標(biāo)全國(guó)卷）若是第三象限角，則（）(A)(B)(C)2(D)-2第54頁(yè)【解析】第55頁(yè)2.（·全國(guó)Ⅱ）已知?jiǎng)tcos(π-2α)=（）(A)(B)(C)(D)【解析】選B.由cos(π-2α)=-cos2α=2sin2α-1第56頁(yè)3.(·淮南模擬)設(shè)M={平面內(nèi)點(diǎn)（a,b）},N={f(x)|f(x)=acos2x+bsin2x},給出M到N映射f:(a,b)→f(x)=acos2x+bsin2x,則點(diǎn)(1,)對(duì)應(yīng)元素f(x)最小正周期為（）(A)(B)(C)π(D)2π【解析】選C.由題意得第57頁(yè)4.(·浙江高考)函數(shù)最小正周期是_________.【解題提醒】先降冪化簡(jiǎn),再求周期.【解析】由答案:第58頁(yè)5.（·長(zhǎng)沙模擬）已知α為第二象限角，則tan2α=_____.【解析】由α為第二象限角，答案:第59頁(yè)第60頁(yè)一、選擇題（每小題4分，共20分）1.若則cosα+sinα值為（）【解析】選C.由第61頁(yè)2.函數(shù)最小正周期等于()(A)π(B)2π(C)(D)【解題提醒】把原式化為形式再求解.【解析】選A.∴最小正周期第62頁(yè)3.函數(shù),x∈最大值為（）(A)-1(B)2(C)(D)【解析】選B.∴當(dāng)即時(shí),y取得最大值2.第63頁(yè)4.(·中山模擬)已知角A為△ABC內(nèi)角，且sin2A=,則sinA-cosA=()(A)(B)(C)(D)【解析】選A.∵A為△ABC內(nèi)角且sin2A=2sinAcosA=<0,∴sinA>0,cosA<0,∴sinA-cosA>0.又(sinA-cosA)2=1-2sinAcosA=,∴sinA-cosA=.第64頁(yè)5.(·青島模擬）已知tan110°=a,求tan50°時(shí),同學(xué)甲利用兩角差正切公式求得:tan50°=同學(xué)乙利用二倍角公式及誘導(dǎo)公式得tan50°=依據(jù)上述信息可估算a范圍是()（A）(-∞,-2-)（B）(-2-,-3)（C）(-3,-2)（D）(-2,)第65頁(yè)【解析】選C.由題可知甲計(jì)算tan50°=乙計(jì)算tan50°=所以整理可得令f(a)=依據(jù)零點(diǎn)存在定理,f(-3)f(-2)＜0,所以能夠估算a值屬于(-3,-2),故選C.第66頁(yè)二、填空題(每小題4分，共12分)6.函數(shù)(x∈R)最大值等于_______.【解題提醒】利用二次函數(shù)求最值.【解析】∵∴當(dāng)時(shí)，答案：第67頁(yè)7.設(shè)函數(shù)f(x)=sinx+cosx,f′(x)是f(x)導(dǎo)數(shù)，若f(x)=2f′(x)，則=______.【解析】f′(x)=cosx-sinx,由f(x)=2f′(x)，得sinx+cosx=2cosx-2sinx,∴cosx=3sinx,于是答案:第68頁(yè)8.已知?jiǎng)tf(1)+f(2)+…+f(2010)+f(2011)=______.【解析】∵∴f(x)周期又f(1)+f(2)+…+f(8)=0,∴f(1)+f(2)+…+f(2010)+f(2011)=251×0+f(1)+f(2)+f(3)答案:第69頁(yè)【方法技巧】周期妙用三角函數(shù)有別于其它基本初等函數(shù)最大特點(diǎn)是有周期性，處理這類問(wèn)題普通是經(jīng)過(guò)恒等變形化為形式，應(yīng)用公式分別求出周期，再?gòu)拇蠼Y(jié)論分析，利用函數(shù)f(x)周期性解答.第70頁(yè)三、解答題(每小題9分，共18分)9.(·江西師大附中模擬)已知函數(shù)x∈.(1)求f(x)最大值與最小值;(2)若不等式|f(x)-m|<2在x∈上恒成立，求實(shí)數(shù)m取值范圍.第71頁(yè)【解析】(1)由又∴f(x)∈［2,3］,即f(x)max=3,f(x)min=2.(2)由|f(x)-m|<2f(x)-2<m<f(x)+2,又∴m>f(x)max-2且m<f(x)min+2,∴1<m<4,即m取值范圍是(1，4).第72頁(yè)10.(·天津高考)已知函數(shù)(x∈R).(1)求函數(shù)f(x)最小正周期及在區(qū)間上最大值和最小值;(2)若求cos2x0值.第73頁(yè)【解析】(1)由，得所以函數(shù)f(x)