空間向量與立體幾何解答題精選（選修2--1）1．已知四棱錐的底面為直角梯形，，底面，且，，是的中點(diǎn)。（Ⅰ）證明：面面；（Ⅱ）求與所成的角；（Ⅲ）求面與面所成二面角的大小。證明：以為坐標(biāo)原點(diǎn)長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為.（Ⅰ）證明：因由題設(shè)知，且與是平面內(nèi)的兩條相交直線，由此得面.又在面上，故面⊥面.（Ⅱ）解：因（Ⅲ）解：在上取一點(diǎn)，則存在使要使為所求二面角的平面角.2．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)面是正三角形,平面底面．（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）求面與面所成的二面角的大?。C明：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)圖系.（Ⅰ）證明：不防設(shè)作，則，，由得，又，因而與平面內(nèi)兩條相交直線，都垂直.∴平面.（Ⅱ）解：設(shè)為中點(diǎn)，則，由因此，是所求二面角的平面角，解得所求二面角的大小為3．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，側(cè)棱底面，，，，為的中點(diǎn).（Ⅰ）求直線與所成角的余弦值；（Ⅱ）在側(cè)面內(nèi)找一點(diǎn)，使面，并求出點(diǎn)到和的距離.解：（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則的坐標(biāo)為、、、、、，解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則（1）（2）因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，從而，，設(shè)平面的法向量為，則也即，得，從而，所以點(diǎn)到平面的距離為（3）設(shè)平面的法向量，∴由令，∴依題意∴（不合，舍去），.∴時(shí)，二面角的大小為.6．如圖，在三棱柱中，側(cè)面，為棱上異于的一點(diǎn)，，已知，求：（Ⅰ）異面直線與的距離；（Ⅱ）二面角的平面角的正切值.解：（I）以為原點(diǎn)，、分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系. 由于， 在三棱柱中有 , 設(shè) 又側(cè)面，故.因此是異面直線的公垂線，則，故異面直線的距離為.（II）由已知有故二面角的平面角的大小為向量的夾角.7．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，底面，是上一點(diǎn)，.已知求（Ⅰ）異面直線與的距離；（Ⅱ）二面角的大小.解：（Ⅰ）以為原點(diǎn)，、、分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.由已知可得設(shè)由，即由，又，故是異面直線與的公垂線，易得，故異面直線,的距離為.（Ⅱ）作，