PAGE20-湖北省荊州市公安縣2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題（含解析）留意事項：1.本試卷分為試題卷[含選擇題和非選擇題]和答題卡[含填涂卡和答題框]兩大部分.2.考試在答題前，請先將自己的學(xué)校、班級、姓名、考號填在答題卡密封線內(nèi)指定的地方.3.選擇題的答案選出后，用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)涂黑.非選擇題請在答題卡指定的地方作答，本試卷上作答無效.4.考試結(jié)束后，請將答題卡上交.一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.已知復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是A.的虛部為 B.C.為純虛數(shù) D.【答案】C【解析】試題分析：由已知，，則的虛部為，，為純虛數(shù)，，選C．考點：復(fù)數(shù)及其運算.2.已知等差數(shù)列的首項為1，且，則（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】利用等差數(shù)列的通項公式求出公差，從而可解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，則，即，所以.故選：B【點睛】本題考查了等差數(shù)列的通項公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.3.若直線經(jīng)過，兩點，則直線傾斜角的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用兩點求出直線的斜率，由，依據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】直線經(jīng)過，兩點，，，，.故選：B【點睛】本題考查了兩點求直線斜率、直線的傾斜角與斜率之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.4.已知數(shù)列為等比數(shù)列，則“為遞減數(shù)列”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用充分條件、必要條件的定義，由數(shù)列的單調(diào)性即可求解.【詳解】充分性：若“為遞減數(shù)列”，則，從而可得“”，充分性滿意；必要性：若“”，不妨取，，可得，但不單調(diào)性，故必要性不滿意，所以“為遞減數(shù)列”是“”的充分不必要條件.故選：A【點睛】本題考查了充分條件、必要條件的定義、數(shù)列的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.5.已知點，滿意1，，，7依次成等差數(shù)列，1，，，8依次成等比數(shù)列，若，兩點關(guān)于直線對稱，則直線的方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)所給兩個數(shù)列，寫出數(shù)列中出現(xiàn)的字母，即得到兩個點的坐標(biāo)，依據(jù)要求得直線與這兩個點的連線垂直，求出直線的斜率，再依據(jù)直線過兩點連線的中點，依據(jù)點斜式寫出方程即可.【詳解】1，，，7依次成等差數(shù)列，，，1，，，8依次成等比數(shù)列，，，，，，兩點關(guān)于直線對稱，兩點連線的斜率是，直線的斜率是，直線過點，直線的方程為，即直線的方程為.故選：C【點睛】本題考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式、直線與直線垂直斜率之間的關(guān)系、直線的點斜式方程，屬于基礎(chǔ)題.6.已知直線恒過定點，且點在直線上，則的最大值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】首先求出定點，將點代入，可得，再利用基本不等式即可求解.【詳解】由直線，可得，即定點，又因為點在直線上，所以，因為，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故選：A【點睛】本題考查直線過定點問題、基本不等式求最值，留意驗證等號成立的條件，屬于基礎(chǔ)題.7.若雙曲線的實軸長、虛軸長、焦距成等差數(shù)列，則雙曲線的漸近線方程是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)雙曲線的焦距為，由題意得出關(guān)于、、的關(guān)系式，求出、的等量關(guān)系，即可求出雙曲線的漸近線方程.【詳解】設(shè)雙曲線焦距為，依據(jù)實軸長、虛軸長、焦距成等差數(shù)列，得，則，即，即，，則，.因此，雙曲線的漸近線方程為.故選D.【點睛】本題考查雙曲線漸近線方程的求解，解題的關(guān)鍵就是依據(jù)題中條件得出、的等量關(guān)系，考查運算求解實力，屬于中等題.8.設(shè)等差數(shù)列的前項和分別為，若，則使的的個數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由題意，依據(jù)等差數(shù)列前項和的性質(zhì)，得到，再由，得到，從而即可求出結(jié)果.【詳解】因為等差數(shù)列的前項和分別為，所以，又，所以，為使，只需，又，所以可能取的值為：，因此可能取的值為：.故選C【點睛】本題主要考查等差數(shù)列前項和的應(yīng)用，熟記等差數(shù)列前項和的公式與性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.9.直線過拋物線：的焦點，且與拋物線交于，兩點，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題意求出點的坐標(biāo)，再求出直線，聯(lián)立解方程組，得到的橫坐標(biāo)，再求出.【詳解】若斜率不存在，則，不成立，所以斜率存在，設(shè)為，則直線：，設(shè)，，依據(jù)拋物線的性質(zhì)，，則，，代入拋物線方程得，所以，所以，與：聯(lián)立，可得，所以，所以，所以.故選：C【點睛】本題考查了拋物線的幾何性質(zhì)，考查了運算求解實力，屬于中檔題.10.已知向量，，若與的夾角為，則直線與圓的位置關(guān)系是（）A.相離 B.相切 C.相交但不過圓心 D.相交且過圓心【答案】D【解析】【分析】利用點到直線的距離公式求圓心到直線的距離與半徑之間的關(guān)系即可求解.【詳解】依題意，圓的圓心是，半徑，圓心到直線的距離，因為，，與的夾角為，，，，即，即，故直線與圓相交且過圓心.故選：D【點睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系、向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算、向量模的求法、點到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題.11.已知橢圓的長軸端點為、，若橢圓上存在一點使，則橢圓離心率的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意可得當(dāng)點在短軸上時，最大角大于等于，設(shè)最大角為，可得，再利用之間的關(guān)系即可求解.【詳解】不妨設(shè)，則，，，所以，，則，又，所以，因為，所以,所以當(dāng)時，取得最大值，所以當(dāng)在短軸上時，取得最大值，因為橢圓上存在一點使，所以（為短軸頂點），設(shè)，則，又因為，所以離心率，又因為，所以的取值范圍為.故選：B【點睛】本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)，駕馭離心率的求法是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.12.已知曲線的方程為，過平面上一點作的兩條切線，切點分別為，且滿意，記的軌跡為，過一點作的兩條切線，切點分別為，且滿意，記的軌跡為，按上述規(guī)律始終進(jìn)行下去……，設(shè)點與之間距離的最小值為，且為數(shù)列的前項和，則滿意的最小的為（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】D【解析】【分析】設(shè)，則，可得方程：，同理可得的方程為，設(shè)，，可得，同理可得，可得，可得數(shù)列的前項和，代入，由此能求出.【詳解】設(shè)，則，可得方程：，同理可得的方程為，設(shè)，，，同理可得，可得，數(shù)列的前項和，所以若成立，則，解得，故滿意最小的為8.故選：D【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的前項和公式、數(shù)列不等式、三角函數(shù)的性質(zhì)以及兩點間的距離公式，屬于中檔題.二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.把正確答案填寫在答題卡中對應(yīng)的橫線上.）13.在空間直角坐標(biāo)系中，已知兩點與關(guān)于坐標(biāo)平面對稱，則______.【答案】-3【解析】【分析】依據(jù)空間直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于坐標(biāo)平面對稱點的特征是橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)不變，豎坐標(biāo)互為相反，從而可求出.【詳解】空間直角坐標(biāo)系中，兩點與關(guān)于坐標(biāo)平面對稱，則，，所以.故答案為：-3【點睛】本題考查了空間直角坐標(biāo)系中點關(guān)于坐標(biāo)平面對稱點的特征，屬于基礎(chǔ)題.14.已知等比數(shù)列的前項和為，若，，則______.【答案】91【解析】【分析】利用等比數(shù)列前項和的性質(zhì)：、、成等比數(shù)列即可求解.【詳解】由等比數(shù)列的前項和為，則、、成等比數(shù)列，即，，成等比數(shù)列，所以，解得.故答案為：91【點睛】本題考查了等比數(shù)列前項和的性質(zhì)，需熟記等比數(shù)列的前項和為，則、、成等比數(shù)列，屬于基礎(chǔ)題.15.若圓上恰有3個點到直線：的距離為1，則實數(shù)______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意只需圓心到直線的距離為，即可求解.【詳解】易知圓的半徑為，要保證圓上恰有3個點到直線：的距離為1，只需圓心到直線：的距離為，所以由點到直線的距離公式可得，解得.故答案為：【點睛】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系、點到直線的距離公式等學(xué)問，考查了學(xué)生的數(shù)形結(jié)合實力以及運算求解實力，屬于中檔題.16.已知橢圓的離心率為，右焦點為，三角形的三個頂點都在橢圓上，設(shè)它的三條邊、、的中點分別為、、，且三條邊所在直線的斜率分別為.若直線、、的斜率之和為-1（為坐標(biāo)原點），則______.【答案】2【解析】【分析】求出橢圓的方程，利用“點差法”求得直線的斜率，同理即可求得【詳解】由題意可得，，所以，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，設(shè)，，，，由，兩式作差可得，則，而，故，即，同理可得，，所以.故答案為：2【點睛】本題考查三條直線的斜率的倒數(shù)和的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算實力，屬于中檔題.三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.）17.若直線的方程為.（1）若直線與直線垂直，求的值；（2）若直線在兩軸上的截距相等，求該直線的方程.【答案】（1）1；（2），．【解析】【分析】（1）直線與直線垂直，可得，解得．（2）當(dāng)時，直線化為：．不滿意題意．當(dāng)時，可得直線與坐標(biāo)軸的交點，．依據(jù)直線在兩軸上的截距相等，即可得出．【詳解】解：（1）直線與直線垂直，，解得．（2）當(dāng)時，直線化為：．不滿意題意．當(dāng)時，可得直線與坐標(biāo)軸的交點，．直線在兩軸上的截距相等，，解得：．該直線的方程為：，．【點睛】本題考查了直線的方程、相互垂直的直線斜率之間關(guān)系、方程的解法，考查了推理實力與計算實力，屬于基礎(chǔ)題．18.已知為數(shù)列的前項和，點列在直線上.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列前項和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)題意可得，再利用與的關(guān)系即可求解.（2）利用裂項求和法即可求解.【詳解】（1）依題意有，即，當(dāng)時，，當(dāng)時，，又時上式也成立，∴.（2），∴.【點睛】本題考查了與的關(guān)系、裂項求和法，屬于基礎(chǔ)題.19.已知圓：，直線過原點.（1）若直線與圓相切，求直線的方程；（2）若直線與圓交于，兩點，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，求直線的方程.【答案】（1）或；（2）或【解析】【分析】（1）分類探討：當(dāng)直線的斜率不存在時，；當(dāng)直線的斜率存在時，利用點斜式求出直線方程，再利用點到直線的距離公式使圓心到直線的距離等于半徑求出斜率即可.（2）依據(jù)題意設(shè)直線方程為，圓心到直線的距離為，利用三角形的面積公式可得時的面積最大，從而可得圓心到直線的距離，利用點到直線的距離公式即可求解.【詳解】（1）當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時直線與圓相切，∴符合題意：當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)的斜率為，則直線方程為，即.則，解得，即直線的方程為或；（2）∵直線與圓交于，兩點，∴直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，圓心到直線的距離為，由于，∴當(dāng)取最大值1，即時的面積最大.此時為等腰直角三角形，，∴，解得或.故直線的方程為：或.【點睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，考查了分類探討的思想，屬于基礎(chǔ)題.20.已知橢圓：的上頂點與橢圓左、右頂點連線的斜率之積為.（1）求橢圓的離心率；（2）若直線與橢圓相交于、兩點，若的面積為（為坐標(biāo)原點），求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程寫出上頂點，左、右頂點，再利用斜率之間的關(guān)系可得，再由即可求解.（2）將直線與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長公式求出，再利用點到直線的距離公式求出原點到直線的距離，由即可求解.【詳解】（1）由題，橢圓上頂點的坐標(biāo)為，左右頂點的坐標(biāo)分別為、，∴，即，則，又，∴，所以橢圓的離心率；（2）設(shè)，，由得：，，，∴，又原點到直線的距離，∴，解得，∴，滿意，∴橢圓的方程為.【點睛】本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系、弦長公式，考查了運算求解實力，屬于中檔題.21.已知拋物線：的焦點為，準(zhǔn)線與軸的交點為，動點在拋物線上，當(dāng)與軸垂直時，.（1）求拋物線的方程；（2）若直線與拋物線交于另一點，證明：.【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】【分析】（1）首先求出拋物線的焦點，依據(jù)題意可得，進(jìn)而由即可求解.（2）由題意可得，，設(shè)點，，設(shè)直線：，代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理求證即證.【詳解】（1）拋物線：的焦點，當(dāng)與軸垂直時，易得，即，則拋物線方程為；（2）由題意可得，，設(shè)點，，設(shè)直線：，代入拋物線方程，可得，∴，，，因此可得.【點睛】本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與拋物線的位置關(guān)系中的定值問題，屬于中檔題.22.已知等比數(shù)列滿意，且是，的等差中項；數(shù)列滿意，數(shù)列的前項和