專題2.1認識無理數(shù)（知識梳理與考點分類講解）【知識點1】不是有理數(shù)的數(shù)（無理數(shù)的產(chǎn)生）如圖，用剪拼的方法將兩個邊長為1的小正方形拼成如圖①②③的某個大正方形，若大正方形邊長為a，由拼法可知a2我們利用夾逼法進行探索：拼成的面積為2的大正方形的面積夾在面積為1和面積為4的兩個正方形的面各之間，它的邊形必然在1和2之間，顯然a不為整數(shù)。又因為最簡分數(shù)的平方仍為分數(shù)，若a為最簡分數(shù)，則仍然是一個分數(shù)，也不等于2，所以a也不為分數(shù)。從上面分析與推理，若【知識點2】無理數(shù)的概念無理數(shù)的概念無限不循環(huán)小數(shù)稱為無理數(shù)，如圓周率≈3.14159265...,1.010010001(相鄰兩個1之間0的個數(shù)依次增加1)等常見的無理的的幾種類型一般的無限不循環(huán)小數(shù)，如1.4142345...；有規(guī)律的不循環(huán)小數(shù)，如1.010010001(相鄰兩個1之間0的個數(shù)依次增加1)；含的一些數(shù)，如5；開方開不盡的數(shù)，無理數(shù)與有理數(shù)的和，如+4；無理數(shù)乘以或除以一個不為0的有理數(shù)，結(jié)果是無理數(shù)，如.【考點一】無理數(shù)??無理數(shù)的產(chǎn)生與證明【例1】證明：x2=【分析】假設(shè)x是有理數(shù)，則x可以表示為（均為整數(shù)且互質(zhì)），從而可得，由此判斷出是偶數(shù)，再設(shè)（為整數(shù)），從而可得，由此判斷出是偶數(shù)，據(jù)此得出假設(shè)不成立，即可得證．證明：假設(shè)x是有理數(shù)，故x可以表示為（均為整數(shù)且互質(zhì)），則，因為是偶數(shù)，所以是偶數(shù)，所以是偶數(shù)，設(shè)（為整數(shù)），則，即，所以也是偶數(shù)，這和互質(zhì)矛盾．所以假設(shè)不成立，x是無理數(shù)．【點撥】本題考查了無理數(shù)，熟練掌握無理數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．【舉一反三】【變式】設(shè)a是有理數(shù)，x是無理數(shù)，證明：是無理數(shù)，且當時，是無理數(shù)．【分析】根據(jù)有理數(shù)的和差積商仍為有理數(shù)證明即可．解：假設(shè)是有理數(shù)，則也是有理數(shù)，這與題中“是無理數(shù)”矛盾，所以是無理數(shù)．同理假設(shè)是有理數(shù)，也是有理數(shù)，這與題中“是無理數(shù)”矛盾，所以是無理數(shù)．【點撥】本題考查了用反證法證明數(shù)學命題，推出矛盾，是解題的關(guān)鍵和難點．【考點二】無理數(shù)??無理數(shù)的概念【例2】把下列各數(shù)的序號填入相應(yīng)的橫線內(nèi)：①，②＋8，③20%，④0，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨（每兩個“1”之間依次多一個“3”）．整數(shù)：{

}；負分數(shù)：{

}；無理數(shù)：{

}．【答案】整數(shù)：②④⑧；負分數(shù)：①⑤；無理數(shù)：⑥⑨【分析】先化簡多重符號及絕對值，然后根據(jù)有理數(shù)及無理數(shù)的定義求解即可．解：，，整數(shù)：＋8，0，；負分數(shù)：，；無理數(shù)：，（每兩個“1”之間依次多一個“3”）．故答案為：整數(shù)：②④⑧；負分數(shù)：①⑤；無理數(shù)：⑥⑨．【點撥】題目主要考查數(shù)的分類及化簡，熟練掌握數(shù)的分類是解題關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的大括號內(nèi)：，，，，，，，，，．整數(shù)集合{___________…}；正分數(shù)集合{___________…}；非正數(shù)集合{___________…}；無理數(shù)集合{___________…}．【分析】根據(jù)各自的定義：整數(shù)（正整數(shù)、零和負整數(shù)）；無理數(shù)（無限不循環(huán)的小數(shù)），即可求解．解：負整數(shù)；是小數(shù)也是分數(shù)；是負數(shù)，也是小數(shù)；是無理數(shù)；是整數(shù)；是分數(shù)；是小數(shù)也是分數(shù)；是帶分數(shù)，也是負數(shù)；是正整數(shù)，是循環(huán)小數(shù)，也是有理數(shù)；即有：整數(shù)集合：{，，，}；正分數(shù)集合：{，，，，}；非正數(shù)集合：{，，，，}；無理數(shù)集合：{，}．【點撥】本題考查了有理數(shù)，認真掌握正數(shù)、負數(shù)、整數(shù)、分數(shù)、無理數(shù)、非正數(shù)的定義與特點，注意整數(shù)和正數(shù)的區(qū)別，注意0是整數(shù)，但不是正數(shù)．正分數(shù)是首先是分數(shù)，即是有理數(shù)，再是正數(shù)．【變式2】把下列各數(shù)的序號填入相應(yīng)的集合里.，，，，，，，正數(shù)集合：{___________…}；整數(shù)集合：{___________…}；負分數(shù)集合：{___________…}；無理數(shù)集合：{___________…}.【答案】；；；【分析】根據(jù)有理數(shù)及無理數(shù)的分類解答即可．解：，，，正數(shù)集合：{…}；整數(shù)集合：{…}；負分數(shù)集合：{…}；無理數(shù)集合：{…}.故答案為：；；；【點撥】本題考查了有理數(shù)及無理數(shù)的分類，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)及無理數(shù)的分類方法．【考點三】無理數(shù)??勾股定理與無理數(shù)【例3】500多年前，數(shù)學各學派的學者都認為世界上的數(shù)只有整數(shù)和分數(shù)，直到有一天，大數(shù)學家畢達哥拉斯的一個名叫希帕索斯的學生，在研究1和2的比例中項時（若1：x=x：2，那么x叫1和2的比例中項），他怎么也想不出這個比例中項值．后來，他畫了一個邊長為1的正方形，設(shè)對角線為x，于是由畢達哥拉斯定理x2=12+12=2，他想x代表對角線的長，而x2=2，那么x必定是確定的數(shù)，這時他又為自己提出了幾個問題：（1）x是整數(shù)嗎？為什么不是？（2）x可能是分數(shù)嗎？是，能找出來嗎？不是，能說出理由嗎？親愛的同學，你能幫他解答這些問題嗎？【答案】（1）在1和2之間不存在另外的整數(shù)．（2）不是.【分析】（1）根據(jù)比例中項的定義，可知x2=2，結(jié)合無理數(shù)的概念，就能得出x是不是整數(shù)的結(jié)論．（2）根據(jù)分數(shù)的定義，任何分數(shù)的平方還是分數(shù)，即能得出結(jié)論．解：（1）不是，∵1<2<4，而x2=2∴1<x2<4，若x>0，1<x<2，∴在1和2之間不存在另外的整數(shù).（2）不是，因為任何分數(shù)的平方不可能是整數(shù).【點撥】本題主要考查無理數(shù)和勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握無理數(shù)的三種形式：①開方開不盡的數(shù)，②無限不循環(huán)小數(shù)，③含有π的數(shù)．【舉一反三】【變式1】已知長方體的體積是1620，它的長、寬、高的比是5：4：3，問長方體的長、寬、高是無理數(shù)嗎？為什么？【答案】長、寬、高分別為15，12，9，不是無理數(shù)．分析：首先根據(jù)題中條件求出長方體的長、空、高的值，然后再根據(jù)無理數(shù)的定義判斷這些值是否是無理數(shù)即可.解答：該長方體的長、寬、高不是無理數(shù)，理由如下：設(shè)該長方體的長、寬、高分別為5x，4x，3x．由題意可得：60x3=1620，解得x=3，∴該長方體的長、寬、高分別為15，12，9，∵15，12，9都是整數(shù)，屬于有理數(shù)，不屬于無理數(shù)，∴該長方體的長、寬、高不是無理數(shù).【變式2】請你在方格紙上按照如下要求設(shè)計直角三角形：（1）使它的三邊中有一邊邊長不是有理數(shù)；（2）使它的三邊中有兩邊邊長不是有理數(shù)；（3）使它的三邊邊長都不是有理數(shù)．【分析】（1）可使直角邊長分別為2和3，斜邊長即不是有理數(shù)；（2）可使一條直角邊長為邊長1與2的長方形的對角線，另一條直角邊長為邊長為