三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

——正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)

【教學(xué)目標(biāo)】

1.理解正、余弦函數(shù)的定義域、值域、最值、周期性、奇偶性的意義；

2.會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域、值域、最小正周期和單調(diào)區(qū)間；

3.掌握正弦函數(shù)y=Asin(s+e)的周期及求法。

【教學(xué)重點(diǎn)】

正、余弦函數(shù)的性質(zhì)。

【教學(xué)難點(diǎn)】

正、余弦函數(shù)性質(zhì)的理解與應(yīng)用。

【教學(xué)過程】

一、講解新課：

(1)定義域：

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域都是實(shí)數(shù)集R［或(-8，+8)］,

分別記作：

y=sinx,xeR

y=COSX,XGR

(2)值域

~l<sinx<l,-1<COSX<1

也就是說，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值域都是［-1,1］。

其中正弦函數(shù)y=sinx,xeR

(1)當(dāng)且僅當(dāng)x=1+2k〃，左eZ時(shí)，取得最大值1。

(2)當(dāng)且僅當(dāng)x=1+2k%,獲Z時(shí)，取得最小值-1。

而余弦函數(shù)y=cosx,xeR

當(dāng)且僅當(dāng)x=2V,左eZ時(shí)，取得最大值1x=(2左+1)乃，々eZ時(shí)，取得最小值-1。

（3）周期性

由sin（x+2左乃）=sinx,cos（%+2上萬）=cosx（左￡Z）知：

正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值是按照一定規(guī)律不斷重復(fù)地取得的。

一般地，對(duì)于函數(shù)“X）,如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得當(dāng)X取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí),

者B有〃x+T）=〃x）,那么函數(shù)f（x）就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期。

由此可知，2兀，4%，…，-2萬，-4%，…2?（左eZ且左片0）都是這兩個(gè)函數(shù)的周期。

對(duì)于一個(gè)周期函數(shù)/（x）,如果在它所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)

就叫做“X）的最小正周期。

注意：

1.周期函數(shù)xe定義域加，則必有x+TeM,且若1>0則定義域無上界；TV0則定義域無

下界；

2.“每一個(gè)值”只要有一個(gè)反例，則就不為周期函數(shù)（如/■卜°+少/卜°））

3.T往往是多值的（如y=sinx,2兀,4萬，…，-2兀,-4%，…都是周期）周期T中最小

的正數(shù)叫做“X）的最小正周期（有些周期函數(shù)沒有最小正周期）

根據(jù)上述定義，可知：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)都是周期函數(shù)，2左萬（左eZ且左/0）都是它的周

期，最小正周期是2萬

（4）奇偶性

由sin（-x）=-sinx

cos（-璜=cosx可知：y=sinx為奇函數(shù)

y=cosx為偶函數(shù)

???正弦曲線關(guān)于原點(diǎn)0對(duì)稱，余弦曲線關(guān)于y軸對(duì)稱

（5）單調(diào)性

從二吟xe的圖象上可看出:

當(dāng)xe-j,|時(shí)，曲線逐漸上升，sinx的值由-1增大到1。

TT%7T

當(dāng)xe5，耳時(shí)，曲線逐漸下降，sinx的值由1減小到-1。

結(jié)合上述周期性可知:

TTrr

正弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間-萬+2%萬，5+2%萬(左eZ)上都是增函數(shù)，其值從-1增大到1；在

TT劣乃

每一個(gè)閉區(qū)間-+2k7r,—+2k7r(keZ)上都是減函數(shù)，其值從1減小到-1。

余弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間K2k-1)肛2k汨(keZ)上都是增函數(shù)，其值從-1增加到1；在每一

個(gè)閉區(qū)間［2左匹(2左+1)萬］(左?Z)上都是減函數(shù)，其值從1減小到—1。

二、講解范例:

例1：

求使下列函數(shù)取得最大值的自變量x的集合，并說出最大值是什么。

(1)y=cosx+l,xeR；

(2)y=sin2x,xeR。

解：(1)使函數(shù)y=cosx+l,xeR取得最大值的x的集合，就是使函數(shù)y=cosx,xeR取

得最大值的x的集合｛xIx=2kn,kE｝。

函數(shù)y=cosx+l,xeR的最大值是1+1=2。

(2)令z=2x,那么xeR必須并且只需zwR,且使函數(shù)丫=$拘2,zwR取得最大值的z的

集合是［z［z=1+2左肛左eZ,

由2x=z=W+2k兀,

得x=工+kn

即使函數(shù)ksin2尤，xeR取得最大值的x的集合是=?+丘，左eZ

函數(shù)ksin2尤，xeR的最大值是1。

例2求下列函數(shù)的定義域：

1------

(1)y=l+———(2)y=y/cosx

解：(1)由1+sinxw。，得sinxw-1

37r

艮［J%w—+2kjt(kGZ)

???原函數(shù)的定義域?yàn)閤\x^----F2k兀、左￡Z

JTJr

(2)由cosxNO得-b2Z通/——I-2k;r(kGZ)

22

TTTT

，原函數(shù)的定義域?yàn)?方+2左肛萬+2%萬(左eZ)

例3求函數(shù)y=-cosx的單調(diào)區(qū)間

解：由y=-COSX的圖象可知：

單調(diào)增區(qū)間為12k兀,(2k+1)萬](左eZ)

單調(diào)減區(qū)間為K2左-1)兀,2k用(keZ)

例4求下列三角函數(shù)的周期：1.y=sin[x+q

2.y=cos2x3.y=3sin

解：1.令z=x+g而sin(2萬+z)=sinz即：/(2^+z)=/(z)

f(犬+2])+(=/(x+y71

3

周期T=2萬

2.令z=2%

/.f(x)=cos2x=cosz=cos(z+2?)=cos(2x+2萬)=cos[2(x+乃)]

即：/(x+%)=/(%)

???周期丁二%

3.令z=2+2則

25

%+4萬萬)....

f(x)=3sinz=3sin(z+2%)=3sin(+y+2^j=3sin-^—+-\=f{x+^

I.周期7=4萬

三、課堂練習(xí):

1.求下列函數(shù)的周期：

(1)y=sin[2x+?)+2cos0了一((2)y=|sinx\(3)y=2百sinxcosx+2cos2%-1

解：(1)%=sin]2x+(J最小正周期7；=%

/=2cos(3x-V最小正周期

3

???T為兀72的最小公倍數(shù)2????T="

(2)T=7r

(3)y=^sin2x+cos2x：.T=冗

2.直接寫出下列函數(shù)的定義域、值域：

(1)y=---------(2)y=V-2cosx

1+sinx

Jr「1

解：(1)當(dāng)xw2k%-工keZ時(shí)函數(shù)有意義，值域：”,+8

2|_2

（2）xe2k萬+半2/+手（丘Z）時(shí)有意義，值域［0,后

3.求下列函數(shù)的最值：

(1)j=sin|3x+—|-1(2)y=sin2x-4sinx+5(3)y=3~C0SA

I4)3+cosx

解：(1)當(dāng)3x+g=2丘+楙即x=普+3(丘Z)時(shí)ymax=0

當(dāng)3x+^=2左左一]即》=等一?(左eZ)時(shí)ymin=—2

(2)y=(sinx-2)2+1

jr

???當(dāng)x=2左乃——左￡工時(shí)max=10

2

jr

當(dāng)x=2k7v--左￡Z時(shí)ymin=2

2

(3)y=-l-\------當(dāng)%=2左萬+萬左￡2時(shí),111@*=2

3+cosx

當(dāng)尤=2上"左￡2時(shí),加11=」'

4.函數(shù)y=ksin%+b的最大值為2,最小值為T,求左,名的值。

k+b=2\k=3

解：當(dāng)左〉0時(shí)-k+b=-^\b=-\

-k+b=2k=3

當(dāng)左V0時(shí)(矛盾舍去)?**k=3b=-l

k+b=-4^b=-\

5.求下列函數(shù)的定義域：

(1)y=,3cosx-l-2cos2[(2)y=lg(2sinx+l)+J2cosx-l(3)y=Jcos(sinx)

解：（1）?:3cosx—1—2cos2x>0/.—<cosx<l