視圖與投影

一、投影

1.投影

在光線的照射下，空間中的物體落在平面內(nèi)的影子能夠反映出該物體的形狀和大小，這種現(xiàn)

象叫做投影現(xiàn)象.影子所在的平面稱為投影面.

2.平行投影、中心投影、正投影

（1）中心投影：在點(diǎn)光源下形成的物體的投影叫做中心投影，點(diǎn)光源叫做投影中心.

【注意】燈光下的影子為中心投影，影子在物體背對(duì)光的一側(cè).等高的物體垂直于地面放

置時(shí)，在燈光下，離點(diǎn)光源近的物體的影子短，離點(diǎn)光源遠(yuǎn)的物體的影子長(zhǎng).

（2）平行投影：投射線相互平行的投影稱為平行投影.

【注意】陽(yáng)光下的影子為平行投影，在平行投影下，同一時(shí)刻兩物體的影子在同一方向上

,并且物高與影長(zhǎng)成正比.

（3）正投影：投射線與投影面垂直時(shí)的平行投影，叫做正投影.

二、視圖

1.視圖

由于可以用視線代替投影線，所以物體的正投影通常也稱為物體的視圖.

2.三視圖

（1）主視圖：從正面看得到的視圖叫做主視圖.

（2）左視圖：從左面看得到的視圖叫做左視圖.

（3）俯視圖：從上面看得到的視圖叫做俯視圖.

【注意】在三種視圖中，主視圖反映物體的長(zhǎng)和高，左視圖反映了物體的寬和高，俯視圖

反映了物體的長(zhǎng)和寬.

3.三視圖的畫法

（1）畫三視圖要注意三要素：

主視圖與俯視圖長(zhǎng)度相等；主視圖與左視圖高度相等；左視圖與俯視圖寬度相等.

簡(jiǎn)記為“主俯長(zhǎng)對(duì)正，主左高平齊，左俯寬相等”.

（2）注意實(shí)線與虛線的區(qū)別：能看到的線用實(shí)線，看不到的線用虛線.

三、幾何體的展開與折疊

1.常見幾何體的展開圖

圖1圖2圖3圖4圖5圖6

圖10圖11

第四類，兩排各有三個(gè)，也只有1種，如圖11.

考向一三視圖

在判斷幾何體的三視圖時(shí)，注意以下兩個(gè)方面：

(1)分清主視圖、左視圖與俯視圖的區(qū)別；

(2)看得見的線畫實(shí)線，看不見的線畫虛線.

典例1【廣西壯族自治區(qū)南寧市2019-2020學(xué)年七年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題】如圖是從不同方向

看某一幾何體得到的平面圖形，則這個(gè)幾何體是

從正面從左面從上面

A.圓錐B.長(zhǎng)方體C.球D.圓柱

【答案】D

【解析】???主視圖和左視圖都是長(zhǎng)方形，，此幾何體為柱體，???俯視圖是一個(gè)圓，

，此幾何體為圓柱.故選D.

【名師點(diǎn)睛】此題考查利用三視圖判斷幾何體，三視圖里有兩個(gè)相同可確定該幾何體是柱體，錐體

還是球體，由另一個(gè)視圖確定其具體形狀.

1.【江西省吉安市吉州區(qū)2019-2020學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題】如圖所示的幾何體的俯視圖

考向二幾何體的還原與計(jì)算

解答此類問題時(shí)，首先要根據(jù)三視圖還原幾何體，再根據(jù)圖中給出的數(shù)據(jù)確定還原后的幾何體中的

數(shù)據(jù)，最后根據(jù)體積或面積公式進(jìn)行計(jì)算.

典例2如圖所示的是由幾個(gè)相同小立方體組成的幾何體從上面所看到的圖形，正方形中的數(shù)字表

示在該位置的小立方體的個(gè)數(shù)，則從左面看這個(gè)幾何體所得到的圖形是

【答案】D

【解析】如圖，左視圖如下:

2.某一幾何體的三視圖均如圖所示，則搭成該幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)為

3.如圖是一零件的三視圖，則該零件的表面積為

■f

A.15兀cm2B.24兀cm2

C.5171cm2D.6671cm2

考向三投影

1.根據(jù)兩種物體的影子判斷其是在燈光下還是在陽(yáng)光下的投影，關(guān)鍵是看這兩種物體的頂端和其影

子的頂端的連線是平行還是相交，若平行則是在陽(yáng)光下的投影，若相交則是在燈光下的投影.

2.光源和物體所處的位置及方向影響物體的中心投影，光源或物體的方向改變，則該物體的影子的

方向也發(fā)生變化，但光源、物體的影子始終在物體的兩側(cè).

3.物體的投影分為中心投影和平行投影.

典例3【山東省青島市平度市2019-2020學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題】如圖是小明一天看到

【答案】C

【解析】根據(jù)平行投影的規(guī)律以及電線桿從早到晚影子的指向規(guī)律,可知：俯視圖的順序?yàn)?④③①②,

故選C.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查平行投影的規(guī)律，掌握“就北半球而言，從早到晚物體影子的指向是：西

-西北-北-東北-東”，是解題的關(guān)鍵.

4.【陜西省渭南市富平縣2019-2020學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題】小明在太陽(yáng)光下觀察矩形

木板的影子，不可能是

A.平行四邊形B.矩形C.線段D.梯形

考向四立體圖形的展開與折疊

正方體展開圖口訣：正方體展有規(guī)律，十一種類看仔細(xì)；中間四個(gè)成一行，兩邊各一無規(guī)矩；二三

緊連錯(cuò)一個(gè)，三一相連一隨意；兩兩相連各錯(cuò)一，三個(gè)兩排一對(duì)齊；一條線上不過四，田七和凹要

放棄；相間之端是對(duì)面，間二拐角面相鄰.

典例4如圖是一個(gè)正方體的表面展開圖，把展開圖折疊成正方體后，與標(biāo)號(hào)為1的頂點(diǎn)重合的是

A.標(biāo)號(hào)為2的頂點(diǎn)B.標(biāo)號(hào)為3的頂點(diǎn)

C.標(biāo)號(hào)為4的頂點(diǎn)D.標(biāo)號(hào)為5的頂點(diǎn)

【答案】D

【解析】根據(jù)正方體展開圖的特點(diǎn)得出與標(biāo)號(hào)為1的頂點(diǎn)重合的是標(biāo)號(hào)為5的頂點(diǎn).故選D.

5.如圖所示正方體的平面展開圖是

1.【江西省鷹潭市貴溪市第二中學(xué)2019-2020學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題】如圖所示幾何體的

主視圖是

2.［山西省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2019-2020學(xué)年七年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題】如圖的幾何體是由五個(gè)相同的小

正方體組合面成的，從左面看,這個(gè)幾何體的形狀圖是

3.【遼寧省丹東市2019-2020學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題】如圖是一棵小樹一天內(nèi)在太陽(yáng)下不

同時(shí)刻的照片，將它們按時(shí)間先后順序進(jìn)行排列正確的是

北

T

A.③一④一①一②B.②一①一④一@

C.④一①一②厚D.④一?—③一②

4.【陜西省西安市碑林區(qū)鐵一中學(xué)2019-2020學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題】如圖，某一時(shí)刻太

陽(yáng)光下，小明測(cè)得一棵樹落在地面上的影子長(zhǎng)為2.8米，落在墻上的影子高為1.2米，同一時(shí)刻

同一地點(diǎn)，身高1.6米他在陽(yáng)光下的影子長(zhǎng)0.4米，則這棵樹的高為

A.6.2米B.10米D.12.4米

5.如圖，（1）是幾何體（2）的.視圖.

(1)(2)

6.如圖，某長(zhǎng)方體的底面是長(zhǎng)為4cm,寬為2cm的長(zhǎng)方形，如果從左面看這個(gè)長(zhǎng)方體時(shí)看到的圖形

面積為6cm2,那么這個(gè)長(zhǎng)方體的體積等于.

7.如圖是一個(gè)正方體的展開圖，折疊成正方體后與“創(chuàng)”字相對(duì)的一面上的字是

8.一個(gè)幾何體由12個(gè)大小相同的小正方體搭成，從上面看到的這個(gè)幾何體的形狀圖如圖所示，若

小正方形中的數(shù)字表示在該位置小正方體的個(gè)數(shù)，則從正面看，一共能看到個(gè)小正方體

（被遮擋的不計(jì)）.

9.畫出如圖所示物體的主視圖、左視圖、俯視圖.

10.【山東省威海市乳山市2019-2020學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題】數(shù)學(xué)實(shí)踐小組的同學(xué)利用

太陽(yáng)光下形成的影子測(cè)量大樹的高度.在同一時(shí)刻下，他們測(cè)得身高為L(zhǎng)5米的同學(xué)立正站立

時(shí)的影長(zhǎng)為2米，大樹的影子分別落在水平地面和臺(tái)階上.已知大樹在地面的影長(zhǎng)為2.4米，

臺(tái)階的高度均為0.3米，寬度均為0.5米.求大樹的高度N5.

1.（江西）如圖是手提水果籃抽象的幾何體，以箭頭所指的方向?yàn)橹饕晥D方向，則它的俯視圖為

￡

2.（貴港）某幾何體的俯視圖如圖所示,圖中數(shù)字表示該位置上的小正方體的個(gè)數(shù)，則這個(gè)幾何體

的主視圖是

r

AT

D.m

3.（赤峰）如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，則這個(gè)幾何體是

3

主視圖左視圖俯視圖

A.三棱錐B.圓錐

C.三棱柱D.圓柱

4.（吉林）如圖，由6個(gè)相同的小正方體組合成一個(gè)立體圖形,它的俯視圖為

///

G______2=7

正面

A-EB.

C.IIID.III□

5.（黃岡）如圖，是由棱長(zhǎng)都相等的四個(gè)小正方體組成的幾何體.該幾何體的左視圖是

6.（河南）如圖①是由大小相同的小正方體搭成的幾何體，將上層的小正方體平移后得到圖②.關(guān)

于平移前后幾何體的三視圖,

/正面

圖①圖②

A.主視圖相同B.左視圖相同

C.俯視圖相同D.三種視圖都不相同

2

7.（河北）圖2是圖1中長(zhǎng)方體的三視圖,若用S表示面積，S主=/+2x,S￡=X+X,貝!1sls=

主視圖左視圖

二x

俯視圖

圖1圖2

A.x2+3x+2B.N+2C.x2+2x+lD.2x2+3x

8.（福建）如圖是由一個(gè)長(zhǎng)方體和一個(gè)球組成的幾何體，它的主視圖是

主視方向

A.1_______1B.JC.JD.

9.（新疆）下列四個(gè)幾何體中，主視圖為圓的是

二勺L一

10.（安徽）一個(gè)由圓柱和長(zhǎng)方體組成的幾何V、體--如圖、-水平放置，它的俯視圖是

/s1___Z

A.日,TIC

11.（濰坊）如圖是由10個(gè)同樣大小的小正方體擺成的幾何體.將小正方體①移走后，則關(guān)于新幾

何體的三視圖描述正確的是

A.俯視圖不變，左視圖不變B.主視圖改變，左視圖改變

C.俯視圖不變，主視圖不變D.主視圖改變，俯視圖改變

12.（長(zhǎng)沙）某個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體是

13.（深圳）下列哪個(gè)圖形是正方體的展開圖

14.（濟(jì)寧）如圖，一個(gè)幾何體上半部為正四棱錐，下半部為立方體，且有一個(gè)面涂有顏色，該幾

何體的表面展開圖是

①長(zhǎng)方體②園柱③園推

16.（攀枝花）如圖是一個(gè)多面體的表面展開圖，如果面尸在前面，從左面看是面瓦那么從上面

看是面.（填字母）

17.(甘肅)已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為等邊三角形，則該幾何體的左視圖的

面積為__________

左視圖

俯視圖

I.【答案】D

【解析】根據(jù)題意得：幾何體的俯視圖為，故選C.

【名師點(diǎn)睛】此題考查了簡(jiǎn)單組合體的三視圖，熟練掌握幾何體三視圖的畫法是解本題的關(guān)鍵.

2.【答案】C

【解析】從主視圖看第一列有兩個(gè)正方體，說明俯視圖中的左邊一列有兩個(gè)正方體，主視圖右邊

的一列有一個(gè)，說明俯視圖中的右邊一列有一個(gè)正方體，所以此幾何體共有4個(gè)正方體.故選C.

3.【答案】B

【解析】由三視圖知，該幾何體是底面半徑為3cm、高為4cm的圓錐體，則該圓錐的母線長(zhǎng)為

732+42=5(cm),

該零件的表面積為兀?32+，?(271*3)?5=9兀+15兀=24兀(cm2),故選B.

2

4.【答案】D

【解析】A.將木框傾斜放置形成的影子為平行四邊形，故該選項(xiàng)不符合題意，

B.將矩形木框與地面平行放置時(shí)，形成的影子為矩形，故該選項(xiàng)不符合題意，

C.將矩形木框立起與地面垂直放置時(shí)，形成的影子為線段，

D.?.?由物體同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)成比例，且矩形對(duì)邊相等，梯形兩底不相等，

，得到投影不可能是梯形，故該選項(xiàng)符合題意，

故選D.

【名師點(diǎn)睛】本題考查了平行投影特點(diǎn)：在同一時(shí)刻，不同物體的物高和影長(zhǎng)成比例，平行物體

的影子仍舊平行或重合.靈活運(yùn)用平行投影的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.【答案】B

【解析】根據(jù)圖示進(jìn)行折疊可直接得到B答案符合題目要求.故選B.

1.【答案】C

【解析】從正面看，共有兩列，第一列有兩個(gè)小正方形，第二列有一個(gè)小正方形，在下方，只有

選項(xiàng)C符合，故答案選擇C.

【名師點(diǎn)睛】本題考查的是三視圖，比較簡(jiǎn)單，需要熟練掌握三視圖的畫法.

2.【答案】D

【解析】從左邊看第一層是兩個(gè)小正方形，第二層左邊一個(gè)小正方形，故選D

【名師點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單幾何體的三視圖，從左邊看得到的圖是左視圖.

3.【答案】B

【解析】眾所周知，影子方向的變化是上午時(shí)朝向西邊，中午時(shí)朝向北邊，下午時(shí)朝向東邊；影

子長(zhǎng)短的變化是由長(zhǎng)變短再變長(zhǎng)，結(jié)合方向和長(zhǎng)短的變化即可得出答案，故選B

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查影子的方向和長(zhǎng)短變化，掌握影子的方向和長(zhǎng)短的變化規(guī)律是解題的

關(guān)鍵.

4.【答案】D

【解析】設(shè)從墻上的影子的頂端到樹的頂端的垂直高度是x米，

]6x

則---=---,解得：x=11.2,所以樹IWJ=11.2+1.2=12.4（米），故選D.

0.42.8

【名師點(diǎn)睛】本題考查的是投影的知識(shí)，解本題的關(guān)鍵是正確理解題意、根據(jù)同一時(shí)刻物體的高

度與其影長(zhǎng)成比例求出從墻上的影子的頂端到樹的頂端的垂直高度.

5.【答案】俯

【解析】在圖中（1）是幾何體（2）的俯視圖.

6.【答案】24cm3

【解析】根據(jù)題意，得：6X4=24（cnP）,因此，長(zhǎng)方體的體積是24cm3.故答案為：24cm3.

7.【答案】園

【解析】正方體的表面展開圖，相對(duì)的面之間一定相隔一個(gè)正方形，“創(chuàng)”與“園”是相對(duì)面.

8.【答案】8

【解析】一共看到的圖形是3歹!],左邊一列看到3個(gè)，中間一列看到2個(gè)，右邊一列看到3個(gè).則

一共能看到的小正方體的個(gè)數(shù)是：3+2+3=8.故答案為：8.

9.【解析】主視圖是從正面看到的圖形，左視圖是從左面看到的圖形，俯視圖是從上面看到的圖形,

據(jù)此畫出看到的圖形如圖所示.

10.【答案】3.45米

【解析】延長(zhǎng)。〃交5c于點(diǎn)延長(zhǎng)交5C于N.

可求5M=3.4,DM=0.9.

由—=----，可得MN=1.2.

2MN

AW=3.4+1.2=4.6.

由--=--，可得AB=3.45.

24.6

所以，大樹的高度為3.45米.

【名師點(diǎn)睛】考核知識(shí)點(diǎn)：平行投影.弄清平行投影的特點(diǎn)是關(guān)鍵.

1.【答案】A

【解析】它的俯視圖為，故選A.

【名師點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單幾何體的三視圖，熟記常見幾何體的三視圖是解題關(guān)鍵.

2.【答案】B

【解析】從正面看去，一共兩列，左邊有2豎列，右邊是1豎列.故選B.

【名師點(diǎn)睛】本題考查了由三視圖判斷幾何體，解題的關(guān)鍵是具有幾何體的三視圖及空間想象能

力.

3.【答案】B

【解析】由于主視圖和左視圖為三角形可得此幾何體為錐體，由俯視圖為圓形可得為圓錐.故選

B.

【名師點(diǎn)睛】此題主要考查了學(xué)生對(duì)三視圖掌握程度和靈活運(yùn)用能力，同時(shí)也體現(xiàn)了對(duì)空間想象

能力方面的考查.

4.【答案】D

【解析】從上面看可得四個(gè)并排的正方形，如圖所示：||||1,故選D.

【名師點(diǎn)睛】本題考查了三視圖的知識(shí)，俯視圖是從物體的上面看得到的視圖.

5.【答案】B

【解析】該幾何體的左視圖只有一列，含有兩個(gè)正方形.故選B.

【名師點(diǎn)睛】此題主要考查了簡(jiǎn)單組合體的三視圖，關(guān)鍵是掌握左視圖所看的位置.

6.【答案】C

【名師點(diǎn)睛】本題考查了由三視圖判斷幾何體，解題的關(guān)鍵是學(xué)生的觀察能力和對(duì)幾何體三種視

圖的空間想象能力.

7.【答案】A

22

【解析】S￡=x+2x=x(X+2),S&=x+x=x(x+1),...俯視圖的長(zhǎng)為x+2,寬為x+1,

則俯視圖的面積5.=(x+2)(x+1)=N+3X+2,故選A.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查由三視圖判斷幾何體，解題的關(guān)鍵是根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想

象幾何體的前面、上面和左側(cè)面的形狀，以及幾何體的長(zhǎng)、寬、高.

8.【答案】C

【解析】幾何體的主視圖為：(^J),故選C.

【名師點(diǎn)睛】此題考查了簡(jiǎn)單組合體的三視圖，主視圖即為從正面看幾何體得到的視圖.

9.【答案】D

【解析】A.主視圖為正方形，不合題意；B.主視圖為長(zhǎng)方形，不合題意；

C.主視圖為三角形，不合題意；D.主視圖為圓，符合題意，故選D.

【名師點(diǎn)睛】此題考查了簡(jiǎn)單幾何體的三視圖，解決此類圖的關(guān)鍵是由三視圖得到立體圖形.

10.【答案】C

【解析】幾何體的俯視圖是：故選C.

【名師點(diǎn)睛】本題考查了三視圖的知識(shí)，俯視圖是從物體的正面看得到的視圖.

11.【答案】A

【解析】將正方體①移走后，新幾何體的三視圖與原幾何體的三視圖相比，俯視圖和左視圖沒

有發(fā)生改變，故選A.

【名師點(diǎn)睛】此題主要考查了簡(jiǎn)單組合體的三視圖，根據(jù)題意正確掌握三視圖的觀察角度是解

題關(guān)鍵.

12.【答案】D

【解析】由三視圖可知：該幾何體為圓錐.故選D.

【名師點(diǎn)睛】考查了由三視圖判斷幾何體的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是具有較強(qiáng)的空間想象能力，難

度不大.

13.【