大數(shù)據(jù)應用之概率統(tǒng)計第一章概率基礎(chǔ)自2004年概率統(tǒng)計部份章節(jié)下放到高中數(shù)學教程以來，高考的文理科應用類題型已連續(xù)14年出現(xiàn)概率統(tǒng)計題，2004年，2005年，2012年，三年考題為古典概型題。涉及到的知識點為和事件、差事件、積事件、對立事件及事件的獨立性等，求設(shè)備在某時段內(nèi)出故障的概率及該時段內(nèi)至少有一臺設(shè)備出故障的概率，比賽中甲勝或乙勝的概率，考生基本能掌握，全省文理科平均分在2分到4分之間。2006年，2007年，2009年為產(chǎn)品的抽樣檢驗題型，涉及到的知識點為分層抽樣的方法，概率的計算，成品接收和拒收的概率，隨機變量分布列，離散型數(shù)學期望和方差，二項分布～。考生對該類題型掌握較好，全省平均分在2.5分到6分之間。2008年及2011年為保險公司新險種的最低保費及參加甲、乙兩種保險的概率問題，由于題目新穎和已知條件多，考生理解不了題意，全省平均分不到2分。2010年題目為電路分析的可靠性問題，題型較新穎，涉及到難度較大的對立事件和部份物理知識，全省文科平均分為1.3分，理科平均分為2.6分。2013年考題涉及到商品的需求量和供給量建立利潤的函數(shù)關(guān)系分段表達式，并求出隨機變量函數(shù)的分布列及數(shù)學期望，難度不大但題目較新全省文科平均分為1.38分，理科平均分為2.82分，2014年、2016年考題為統(tǒng)計題，涉及到回歸方程、中位數(shù)和結(jié)合實際問題評價優(yōu)良性等的分析，2015年考題涉及到大數(shù)據(jù)處理的用戶對公司產(chǎn)品質(zhì)量、使用效果、服務水平滿意度評分的頻率直方圖、莖葉圖、平均值及離散程度作定性或定量分析，并評價用戶對地區(qū)、公司之間的滿意度等級，難度不大且符合大眾化需求，2017年考題為概率統(tǒng)計題，考察學生用大數(shù)據(jù)處理對商品需求量、供給量、期望利潤的理解及教育部國家考試中心提出的重統(tǒng)計、弱概率、較新穎且與時俱進的目標。由于大學教學的內(nèi)容與高中教學的內(nèi)容有交叉重復部份，如何對這部份的內(nèi)容進行講授和要求值得討論及研究。針對高中教學的應試性及高考試題的綜合性，應用性，創(chuàng)新性和廣泛性，建議大學教學及研究生教學過程中，對部份精典題如2006年的產(chǎn)品抽驗、接收及拒收的題目；2008年保險公司的最低保費問題；2010年的電路分析可靠性問題；2013年的利潤分段函數(shù)關(guān)系及期望利潤問題；2016年的最優(yōu)管理決策題，2017年的概率統(tǒng)計題等等，以補充和完善高中數(shù)學學生掌握知識點的不足及充分體現(xiàn)大學及研究生教學的全面性及綜合性。例1、設(shè)甲、乙、丙三臺機器是否需要照顧相互之間沒有影響.已知在某一小時內(nèi)，甲、乙都需要照顧的概率為0.05，甲、丙都需要照顧的概率為0.1，乙、丙都需要照顧的概率為0.125.求（1）甲、乙、丙每臺機器在這個小時內(nèi)需要照顧的概率分別為多少？(2)計算這個小時內(nèi)至少有一臺機器需要照顧的概率.解：該題所涉及到的知識點是獨立事件、對立事件及和事件，有一定的應用背景；（1）設(shè)、、分別表示機器甲、乙、丙在這個小時內(nèi)需要照顧的事件，依題意，事件、、相互獨立，且：，，解上述方程組得，，，(2)或：，該題看似簡單，但卻有一定的綜合性，涉及的知識點較多，有一定的實用價值。*例2、某批產(chǎn)品成箱包裝，每箱5件.一用戶在購進這批產(chǎn)品前先提取3箱，再從每箱中任取2件產(chǎn)品進行檢驗.設(shè)取出的第一、二、三箱分別有0件、1件、2件二等品，其余為一等品.（1）用表示抽檢6件產(chǎn)品中二等品的件數(shù)，求的分布列及的數(shù)學期望；（2）若抽檢的6件產(chǎn)品中有2件或2件以上二等品，用戶就拒絕購買這批產(chǎn)品，求這批產(chǎn)品被用戶拒絕的概率.解：該題涉及到產(chǎn)品抽樣檢驗的超幾何分布及離散型隨機變量的分布列和隨機變量的數(shù)學期望與方差；（1）可能的取值為0，1，2，3.由于第一箱中沒有二等品，故計算時可不考慮第一箱，則，，，.0123所以的分布列，，。（2）這批產(chǎn)品被用戶拒絕的概率為：。該題是產(chǎn)品抽樣的一個綜合應用，求分布列有一定的困難，尤其是第一箱可排除沒有及時分析出，有一定適用性。*例3、購買某種保險，每個投保人每年度向保險公司交納保費元，若投保人在購買保險的一年度內(nèi)出險，則可以獲得10000元的賠償金．假定在一年度內(nèi)有10000人購買了這種保險，且各投保人是否出險相互獨立．已知保險公司在一年度內(nèi)至少支付賠償金10000元的概率為．（Ⅰ）求一投保人在一年度內(nèi)出險的概率；（Ⅱ）設(shè)保險公司開辦該項險種業(yè)務除賠償金外的成本為50000元，為保證盈利的期望不小于0，求每位投保人應交納的最低保費（單位：元）．解：本題用二項分布給出保險公司保險險種出險的概率和平均出險的人數(shù)及險種的盈利的期望值，有一定應用背景，為精算師必備知識；設(shè)投保的10000人中出險的人數(shù)為，則服從二項分布。（1）由題意至少有一人出險的概率為，其對立事件，（2）的數(shù)學期望（平均出險的人數(shù)），即，設(shè)表該保險險種的盈利，則，由題意，則有，即每個投保人應繳納最低保險費15元。*例4、如圖，由到的電路中有4個元件，分別標為,,,,電流能通過,,的概率都是，電流能通過的概率為0.9，電流能否通過各元件相互獨立，已知,,中至少有一個能通過電流的概率為0.999。（1）求；（2）求電流能在與之間通過的概率；（3）表示,,,中能通過電流的元件個數(shù)，求的期望.解：該題利用獨立事件、對立事件及和事件，討論電路的可靠性問題及元件正常工作的期望數(shù)；設(shè)表示電流通過元件的事件，（可用代替）表示中至少有一個能通過電流的事件表示電流能在與之間通過的事件（1）解：相互獨立故（2）解法一：解法二、，，，解法三、，，（3）解：依題意，所以。*例5，某花店每天以每枝5元的價格從農(nóng)場購進若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價格出售，如果當天賣不完，剩下作垃圾。(1)若花店一天購進17枝玫瑰花，求當天的利潤(元)關(guān)于當天需求量（枝）的函數(shù)解析式。(2)花店記錄了100天的玫瑰花需求量，整理如下表。日需求量n14151617181920頻數(shù)10201616151310（1）設(shè)花店在100天內(nèi)每天購進17枝玫瑰花，求100天的日利潤的平均數(shù)。（2）若花店一天購進17枝玫瑰花，以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量的發(fā)生概率，求當天利潤不少于75元的概率。解：該題用數(shù)據(jù)分析的方法評估自主創(chuàng)業(yè)的成效；（1）當日需求量時，利潤；當時，則有：（2）1)時，天數(shù)為16+15+13+10=54，利潤為85×54。時，利潤為16×75。時，利潤為20×65。時，利潤為10×55。100天平均利潤為：2）利潤不少于75元要求日需求量注：利潤的分布列為利潤55657585858585概率0.100.200.160.160.150.130.10 。*例6(1)：該題用數(shù)據(jù)分析的方法建立數(shù)學模型作需求量、供給量及銷售收入、利潤的分析，有應用背景；解：當 當 所以 （2)解：由，即有，解得， 故利潤不少于57000元， 由直方圖知需求量的頻率為0.7，所以下一個季度內(nèi)的利潤不少于57000元的概率的估計值為0.7，（3)解：依題意可得利潤（需求量函數(shù)）的分布列為：（，及），450005300061000650000.10.20.30.4所以 。 *例7、某公司計劃購買1臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰，機器有一易損零件，在購買機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元，在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元?，F(xiàn)需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)分別為16、17、18、19、20、21，其機器的頻數(shù)分別為6、16、24、24、20、10，（可得其柱狀圖）記表示1臺機器在使用三年期內(nèi)需更換的易損零件數(shù)，表示1臺機器在購買易損零件上所需的費用（單位：元），表示購機的同時購買易損零件數(shù)。（）若，求與的函數(shù)解析式；（）若要求“需更換的易損零件數(shù)不大于”的頻率不小于0.5，求的最小值；（）假設(shè)這100臺機器在購機的同時每臺都購買19個易損零件，或每臺都購買20個易損零件，分別計算這100臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數(shù)，以此作為決策依據(jù)，購買1臺機器的同時應購買19個易損零件還是購買20個易損零件？解：該題用數(shù)據(jù)分析的方法建立數(shù)學模型作管理決策；（），（）當時，需更換的易損零件數(shù)的頻率，當時，其需更換的易損零件數(shù)頻率，的最小值為19，（）若，，若，，故時，，時，，比較兩個平均數(shù)，購1臺機器的同時應購19個易損零件，購買易損零件上所需的費用節(jié)省。*例8、設(shè)、是兩個隨機事件，且P（）=1/4，P（∣）=1/3,P（∣）=1/2,令若發(fā)生若不發(fā)生若發(fā)生若不發(fā)生求：（1）的聯(lián)合分布侓；（2）的邊緣分布侓、邊緣分布函數(shù)及相關(guān)系數(shù)；（1）解或：的聯(lián)合分布律為：YXYX1010

（2）X的邊緣分布侓為X的分布函數(shù)為110 10YY的邊緣分布侓為Y10Y的協(xié)方差，01XY01XY，的相關(guān)系數(shù)。*例9、設(shè)，求常數(shù)，解：由規(guī)范性，先對后對積分，則，求邊緣密度函數(shù)，解：當時，故，又當時，故，（3）求邊緣分布函數(shù)，解：（4）判定是否相互獨立，解：由，則不相互獨立，（5）求的協(xié)方差，解：，，，，（5）求的相關(guān)系數(shù)，解：，，，，，（7）求解：。 *例10、某地區(qū)2007年至2013年農(nóng)村居民家庭人均純收入（單位：千元）的數(shù)據(jù)如下表：年份2007200820092010201120122013代號1234567收入y2.93.33.64.44.85.25.9（1）求關(guān)于的線性回歸方程；（2）利用（1）中的回歸方程，分析2007年至2013年該地區(qū)居民家庭人均純收入的變化情況，并預測該地區(qū)2015年居民家庭人均純收入.（1）解：由平均值公式， ，，， ， ， 回歸方程， （2）由（1）回歸方程知，，故2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入逐年增加，平均每年增加0.5千元。 將2015年的年份代號代入（1）中的回歸方程，得：，故預測該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入為6.8千元.*例11、某市為了考核甲、乙兩部門的工作情況，隨機訪問了50位市民，根據(jù)這50位市民對這兩部門的評分（評分越高表明市民的評價越高），繪制出莖葉圖：甲部門：44，57，59，60，61，61，62，63，63，65，66，66，67，69，70，70，71，72，73，73，73，74，74，74，75，75，75，75，75，76，76，77，77，77，78，78，79，80，80，82，85，85，86，86，90，92，92，92，93，96.乙部門：35，39，40，44，44，48，51，52，52，54，55，56，56，57，57，57，58，59，60，61，61，62，63，64，66，68，68，70，70，71，71，73，74，74，79，81，82，83，83，84，85，90，91，91，94，95，96，100，100，100（1）分別估計該市的市民對甲、乙兩部門評分的中位數(shù)；（2）分別估計市民對甲、乙兩部門評分高于90的概率；（3）根據(jù)莖葉圖分析該市的市民對甲、乙兩部門評價。解：（1）由所給莖葉圖知，50位市民對甲部門的評分由小到大排序，排在第25，26位的是75，75，故樣本中位數(shù)為75，所以該市的市民對甲部門評分的中位數(shù)的估計值是75。50位市民對乙部門的評分由小到大排序，排在第25，26位的是66，68，故樣本中位數(shù)為，所以該市的市民對乙部門評分的中位數(shù)的估計值是67。 （2）由所給莖葉圖知，50位市民對甲部門的評分高于90的次數(shù)為5次，所以評分高于90的比率為。 由所給莖葉圖知，50位市民對乙部門的評分高于90的次數(shù)為8次，所以評分高于90的比率為。（3）解：由所給莖葉圖知，50位市民對甲部門的評分的中位數(shù)高于對乙部門的評分的中位數(shù)，說明該市市民對甲部門的評價較高，（對乙部門的評價較低）。 由莖葉圖可以大致看出對甲部門的評分的標準差要小于對乙部門的標準差，說明該市市民對甲部門的評價較為一致，（對乙部門的評價差異較大）。注：設(shè)對甲部門的評分為，對乙部門的評分為，經(jīng)計算后也得到以上結(jié)論：，*例12、某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度，從兩地區(qū)分別隨機調(diào)查了20個用戶，得到用戶對產(chǎn)品的滿意度評分為地區(qū)：6273819295857464537678869566977888827689地區(qū)：7383625191465373648293486581745654766579（1）根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩地區(qū)用戶對產(chǎn)品的滿意度評分的莖葉圖，并通過莖葉圖比較兩地區(qū)用戶對產(chǎn)品的滿意度評分的平均值及分散程度，（2）根據(jù)兩地區(qū)用戶對產(chǎn)品的滿意度評分，將用戶對產(chǎn)品的滿意度從低到高分為三個等級：低于70分，不滿意；70分到89分，滿意；不低于90分，非常滿意，記事件：“地區(qū)用戶對產(chǎn)品的滿意度等級高于地區(qū)用戶對產(chǎn)品的滿意度等級”，假設(shè)兩地區(qū)用戶的評價結(jié)果相互獨立，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應事件發(fā)生的概率，求事件的概率。(1)解：兩地區(qū)用戶滿意度評分的莖葉圖如下A地區(qū)B地區(qū)4683513466426245588664373346998652181237552913由莖葉圖可知：A地區(qū)用戶滿意度的平均值高于B地區(qū)； A地區(qū)用戶滿意度評分較集中。（ ，） (2)解法1：設(shè)表示A地區(qū)用戶非常滿意，表示A地區(qū)用戶滿意；表示B地區(qū)用戶滿意,表示B地區(qū)用戶不滿意 則相互獨立,所求概率為 解法2：設(shè)表示A地區(qū)用戶非常滿意，表示A地區(qū)用戶滿意；表示B地區(qū)用戶滿意或不滿意,表示B地區(qū)用戶不滿意，則相互獨立,所求概率為 *例13、某省高三20萬考生英語聽力考試成績服從正態(tài)分布，現(xiàn)從某校高三年級隨機抽取50名考生的成績，發(fā)現(xiàn)全部介于之間，將成績按如下方式分成6個組，其成績區(qū)間與頻數(shù)分別是：第1組、4人，第2組、10人，第3組、16人，第4組、10人，第5組、6人，第6組、4人。（1）給出按上述分組方法得到的頻率分布直方圖，估算該校50名考生成績的眾數(shù)和中位數(shù)，求這50名考生成績在內(nèi)的人數(shù)，（3）從這50名考生成績在內(nèi)的人中任意抽取2人，該2人成績排名（從高到低）在全省前260名的人數(shù)記為，求的數(shù)學期望。若，則，。解：頻率分布直方圖的橫坐標為成績，分別是6、10、14、18、22、26、30，縱坐標為頻率除以組距，分別是0.02、0.05、0.08、0.05、0.03、0.02，直方圖知，該校50名考生聽力成績的眾數(shù)為：，中位數(shù)為：，（2）由頻率分布直方圖知，后兩組頻率為（0.03+0.02）4=0.2，人數(shù)為0.250=10，即該校50名考生成績在內(nèi)的人數(shù)為10人，（3）因為，則，，所以，該省前260名的英語聽力考試成績在26分以上，該校50名成績中在26分以上的有0.02450=4人，隨機變量可取0，1，2，于是，，，的數(shù)學期望。*例14、為檢驗某種零件的一條生產(chǎn)線生產(chǎn)過程的異常情況，每天從該生產(chǎn)線隨機抽取16個零件并測量其尺寸，根據(jù)長期的生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)尺寸服從正態(tài)分布，（1）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記表一天從該生產(chǎn)線隨機抽取16個零件的尺寸在之外的零件數(shù)，求及數(shù)學期望；（2）在一天內(nèi)抽驗的零件中，如果出現(xiàn)零件尺寸在之外，就認為這條生產(chǎn)線這一天的生產(chǎn)過程出現(xiàn)異常情況，需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查，1、試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的合理性；2、設(shè)檢驗員一天從該生產(chǎn)線隨機抽取16個零件尺寸為9.95，10.12，9.96，9.96，10.01，9.92，9.98，10.01，10.26，9.91，10.13，10.02，9.22，10.04，10.05，9.95，經(jīng)計算樣本均值，樣本標準差，表抽取的第個零件的尺寸，用樣本均值作為總體均值的估計值，樣本標準差作為總體標準差的估計值，利用估計值判斷對當天的生產(chǎn)過程是否應除掉在之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計及估計，（精確到0.01），若，則，。解：（1）、抽取一個零件的尺寸在之內(nèi)的概率為0.9974，之外的概率為0.0026，故，即服從的二項分布，，數(shù)學期望；（2）1、若生產(chǎn)狀態(tài)正常，一個零件的尺寸在之外的概率為0.0026，一天抽16個零件，一個零件的尺寸在之外的概率為，這個概率很小，一旦發(fā)生這種情況，則認為這條生產(chǎn)線這一天的生產(chǎn)過程出現(xiàn)異常情況，需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查，監(jiān)控生產(chǎn)過程是合理的；2、由樣本均值，總體均值的估計值，樣本標準差，總體標準差的估計值，樣本值中有一個值在之外，應該刪除，剩下數(shù)據(jù)的均值為，，剩下數(shù)據(jù)的方差為，總體標準差的估計值。*例15、某創(chuàng)業(yè)公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費（單位：萬元）對年銷售量（單位：）和年利潤（單位：萬元）的影響，對近8年的年宣傳費和年銷售量（）數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值。（）令，，，，，，，，，，，，，，根據(jù)散點圖判斷，與哪一個適宜作為關(guān)于的回歸方程？建立關(guān)于的回歸方程及求相關(guān)系數(shù)；（2）對關(guān)于的回歸方程作整體檢驗；（3）已知這種產(chǎn)品的年利潤與、的關(guān)系為，求當年宣傳費萬元時，求年銷售量的預報值和預報區(qū)間及年利潤的預報值；并求年宣傳費為何值時，年利潤的預報值最大？解：（1）、根據(jù)散點圖為拋物線更適合，適宜作為年銷售量關(guān)于年宣傳費的回歸方程類型，，，所以關(guān)于年宣傳費的回歸方程為；當，，，，，，有一定誤差，但在可控范圍內(nèi)；由，則樣本相關(guān)系數(shù)；（2）、回歸平方和，，誤差平方和，，回歸方程高度顯著；（3）、當年宣傳費萬元時，由，年銷售量噸，由年利潤的預報值是百萬元，，，由實際問題最大值存在且駐點唯一，宣傳費萬元時，年利潤的預報值最大，百萬元。2017年考研概率統(tǒng)計題參考解答1、設(shè)為任意兩個隨機事件，且，，則的充分必要條件是解:本題主要考查條件概率及事件的相互關(guān)系。,選。2、設(shè)為來自該總體的簡單隨機樣本，為樣本均值，則下列結(jié)論中不正確的是服從分布服從分布服從分布服從分布解：本題主要考查個相互獨立的標準正態(tài)分布平方和服從分布，正態(tài)分布的標準化過程及抽樣分布定理。對，，正確，對，，不正確，選。，正確，正確。3、設(shè)為三個隨機事件，且與相互獨立，與相互獨立，則與相互獨立的充分必要條件是與相互獨立與互不相容與相互獨立與互不相容解:本題主要考查事件的運算及獨立事件的相互關(guān)系。由已知又上兩式相等的充分必要條件是即與相互獨立，選。4、設(shè)隨機變量的分布函數(shù)為：，其中為標準正態(tài)分布，則。解：本題主要考查分布函數(shù)的導數(shù)為密度函數(shù)，復合函數(shù)的導數(shù)及一般正態(tài)分布和標準正態(tài)分布的數(shù)學期望。，5、設(shè)隨機變量的概率分布為，，，若，則。解:本題主要考查隨機變量的概率分布及數(shù)學期望與方差，又，故。6、設(shè)隨機變量相互獨立，且的概率分布為，，的概率密度為，(1)求(2)求的概率密度。解:本題主要考查隨機變量取值的概率和函數(shù)的分布。(1)，，(2)。7、某工程師為了了解一臺天平的精度，用該天平對一物體的質(zhì)量做次測量，該物體的質(zhì)量是已知的，設(shè)次測量結(jié)果相互獨立且均服從正態(tài)分布，該工程師記錄的是次測量的絕對誤差，利用估計，(1)求的概率密度，(2)利用一階矩求的矩估計量，(3)求的最大似然估計量。解：本題主要考查函數(shù)的分布及矩估計量和最大似然估計量；(1)，當時，，當時，，故，(2)（令)令，得的矩估計量，其中，，(3)，，，得的最大似然估計量為：。2016年考研概率統(tǒng)計題參考解答1、設(shè)隨機變量，記則隨著的增加而增加隨著的增加而增加隨著的增加而減少隨著的增加而減少解：由，，其圖形關(guān)于為對稱，故排出，最大值為，增加，最大值減少，圖形越平坦，越大，選。注：用特值法，取，當時，，當時，，選。2、隨機試驗有三種兩兩不相容的結(jié)果，且三種結(jié)果發(fā)生的概率均為，將試驗獨立重復做2次，表示2次試驗中結(jié)果發(fā)生的次數(shù)，表示2次試驗中結(jié)果發(fā)生的次數(shù)，則與的相關(guān)系數(shù)為解：由題意有，，，，，，，，則與的相關(guān)系數(shù)為，選。*3、設(shè)總體，為來自該總體的簡單隨機樣本，樣本均值，參數(shù)的置信度為0.95的雙側(cè)置信區(qū)間的置信上限為10.8，則的置信度為0.95的雙側(cè)置信區(qū)間為。解：由，置信上限為，則：，置信下限為：，故的置信度為0.95的雙側(cè)置信區(qū)間為。4、設(shè)為任意兩個隨機事件，且，，如果，則解：由題意，有，則：，，有，可推出，，選。*5、設(shè)隨機變量相互獨立，且，，則解：，，選。6、設(shè)袋中有紅、白、黑球各1個，從中有放回地取球，每次取1個，直到三種顏色的球都取到時停止，則取球次數(shù)恰好為4的概率為。解：。7、設(shè)二維隨機變量在區(qū)域上服從均勻分布，令，（1）求的概率密度；（2）問與是否相互獨立？并說明理由；（3）求的分布函數(shù)。解：區(qū)域的面積為，故的概率密度為；（2）對于，，，，由于，故與不相互獨立。（3）當時，；當時，；當時，；當時，。*8、設(shè)總體的概率密度為，其中為未知參數(shù)，為來自該總體的簡單隨機樣本，令，（1）求的概率密度；（2）確定，使得為的無偏估計解：（1）總體的分布函數(shù)為，則的分布函數(shù)為：，的概率密度為；（2），從而，令，得，故當時，為的無偏估計。2015年考研概率統(tǒng)計題參考解答1、若為任意兩個隨機事件，則解：，則，選。2、設(shè)隨機變量不相關(guān)，且，則。解：，，故，選。3、設(shè)二維隨機變量服從正態(tài)分布，則。解：由，則，又，則相互獨立，。4、設(shè)總體，為來自該總體的簡單隨機樣本，為樣本均值，則。解：樣本方差，又，，故有：。5、設(shè)隨機變量的概率密度為，對進行獨立重復的觀測，直到第2個大于3的觀測值出現(xiàn)時停止，記為觀測次數(shù)，（1）求的概率分布，（2）求。解：（1）每次觀測中，觀測值大于3的概率為，故的概率分布為：，，（2）。*6、設(shè)總體的概率密度為，其中為未知參數(shù)，為來自該總體的簡單隨機樣本.（1）求的矩估計量；（2）求的最大似然估計量.解：（1）由于總體服從區(qū)間上的均勻分布，所以，或由，令，其中為樣本均值，得的矩估計量為，（2）記為樣本的觀測值，則似然函數(shù)為由此可知，當時，達到最大，故的最大似然估計量為。2014年考研概率統(tǒng)計題參考解答*1、設(shè)總體的概率密度為，其中是未知參數(shù)且大于零，為來自總體的簡單隨機樣本，若是的無偏估計，則。解：，。2、設(shè)隨機變量的概率分布為，在給定的條件下，隨機變量服從均勻分布，求的分布函數(shù)（2）求。解：（1）由~，則，均勻分布的分布函數(shù)，當時，，當時，，當時，，當時，，所以的分布函數(shù)為（2）隨機變量的概率密度為。*3、設(shè)總體的分布函數(shù)為，其中是未知參數(shù)且大于零，為來自總體的簡單隨機樣本，（1）求，（2）求的最大似然估計量，（3）是否存在實數(shù)，使得對任何，都有解：（1）總體的概率函數(shù)為，設(shè)為樣本觀測值，則似然函數(shù)為，為的最大似然估計量，取，由，及辛欽大數(shù)定理，對任何，即存在實數(shù)，使得對任何，都有。4、設(shè)隨機變量的概率分布相同，的概率分布為：，且的相關(guān)系數(shù)，求的聯(lián)合概率分布，（2）求。解：（1）由的概率分布為：，則，的概率分布為：X,Y0101（2）。2013年考研概率統(tǒng)計題參考解答1、（本題滿分11分）設(shè)是二維隨機變量，的邊緣概率密度為，在給定的條件下，的條件概率密度為求的概率密度；的邊緣概率密度；求。解：(I)。（II）當時，所以的邊緣概率密度為（III）。數(shù)學一:(22).（本題滿分11分）設(shè)隨機變量的概率密度為令隨機變量求的分布函數(shù)；求概率.解：（1）由已知條件有的取值范圍是,則P()=1,設(shè)的分布函數(shù)為，有：當時，=0，當時，=1當時，==+==，(2)或=+0==2012年碩士研究生入學考試數(shù)學試題（1）設(shè)二維離散型隨機變量的概率分布為（1）求；（2）求.解（1）.(2)由（Ｘ,