第五講二次函數(shù)-線段最大值問(wèn)題

目錄

必備知識(shí)點(diǎn).............................................................................1

考點(diǎn)一單個(gè)線段的最大值................................................................1

考點(diǎn)二線段之和的最大值................................................................3

考點(diǎn)三線段之差的最大值................................................................8

考點(diǎn)四線段之比的最大值................................................................9

》知識(shí)導(dǎo)航

必備知識(shí)點(diǎn)

基本原理;

豎直線段一個(gè)數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化思想

兩個(gè)基本線段：豎直線段和水平線段

四個(gè)轉(zhuǎn)化：水平線段一技化）豎直線段

斜線段.轉(zhuǎn)化）豎直線段

AB=|x「Xz|=x2-Xj轉(zhuǎn)化、

AB=|y「yzl=Vj-y2三角形周長(zhǎng).豎直線段

（縱坐標(biāo)相減）（橫坐標(biāo)相減）

三角形面積-轉(zhuǎn)化）豎直線段

上減下右減左

考點(diǎn)一單個(gè)線段的最大值

1.如圖1,拋物線y=-/X2+6x+c過(guò)點(diǎn)N（3,2）,且與直線尸-x+日交于8、C兩點(diǎn)，點(diǎn)C在

y軸上，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為-A.

2

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)。為拋物線上位于直線BC上方的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作DELx軸交直線BC于點(diǎn)E,點(diǎn)尸為

對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)線段DE的長(zhǎng)度最大時(shí)，求PD+PA的最小值；

y

圖i

2.如圖，拋物線y=a/+6x+c與x軸交于/(-4,0),2(2,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,2).

(I)求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)的表達(dá)式；

(2)若點(diǎn)。為該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在直線NC上方，求點(diǎn)。到直線4C的距離的最大值

3.如圖1,在直角坐標(biāo)系中，拋物線G：>=0?+隊(duì)+3(aWO)與x軸交于4,2兩點(diǎn)(/在3的左

側(cè))，與7軸交于點(diǎn)C,已知tan4。4。=2,B(4,0).

(1)求拋物線Ci的表達(dá)式；

(2)若點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PE//x軸交BC于點(diǎn)￡,求PE的最大值及此

時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

考點(diǎn)二線段之和的最大值

4.如圖1,二次函數(shù)y=a/+6x+c(aWO)與x軸交于點(diǎn)A(-2,0)、點(diǎn)B(點(diǎn)/在點(diǎn)B左側(cè))，」與

y軸交于點(diǎn)C(0,3),tanZC5O=l.

2

(1)求二次函數(shù)解析式;

(2)如圖2,點(diǎn)尸是直線2c上方拋物線上一點(diǎn)，〃了軸交3c于。，PE〃2C交x軸于點(diǎn)E,

求PD+BE的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);

5.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-冬2_*號(hào)+加與x軸交于/、2兩點(diǎn)(點(diǎn)/在

點(diǎn)B的左側(cè))，與了軸交于點(diǎn)C

圖1

(1)求/、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)連接/C,點(diǎn)尸為直線/C上方拋物線上(不與/、C重合)的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作尸。L/C

交NC于點(diǎn)。，軸交NC于點(diǎn)及求尸D+DE的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

6.如圖1,拋物線y=af+foc+c(a#0)與x軸交于/(-4,0),8(1,0)兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C

(0,3).

(I)求拋物線的解析式；

(2)如圖2,點(diǎn)尸為直線AC上方且拋物線對(duì)稱軸左側(cè)的拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作x軸的平行線

交拋物線于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)尸作y軸的平行線交NC于點(diǎn)外求電)+PH的最大值及此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

圖1

7.已知，拋物線(aXO)與x軸交于點(diǎn)/(-8.0)、8(2,0)(點(diǎn)/在點(diǎn)8的左側(cè))，

與y軸交于點(diǎn)C

(I)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,點(diǎn)￡、G是直線/C上方拋物線上的點(diǎn)，點(diǎn)E位于拋物線對(duì)稱軸的左側(cè)，設(shè)點(diǎn)G的

橫坐標(biāo)為g,則點(diǎn)￡的橫坐標(biāo)比點(diǎn)G的橫坐標(biāo)g小2.過(guò)￡作跖〃x軸，交拋物線于點(diǎn)凡過(guò)G

作G8〃x軸，交直線NC于點(diǎn)X,當(dāng)EF+2Gx的值最大時(shí)，求EF+2Gx的最大值及此時(shí)點(diǎn)E的

坐標(biāo)；

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=/+6x+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)/(-1,0),3(2,0),直線y=x+工

22

與拋物線交于C,。兩點(diǎn)，點(diǎn)尸是拋物線在第四象限內(nèi)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).過(guò)點(diǎn)尸作尸G,CO,

垂足為G,尸?！▂軸，交x軸于點(diǎn)0

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)當(dāng)近PG+PQ取得最大值時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo)和&PG+P。的最大值；

9.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c(°、6、c為常數(shù),a^O)的圖象與x軸交于

點(diǎn)/(1,0)、3兩點(diǎn)”與丁軸交于點(diǎn)C(0,4),且拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-1.

2

(1)求拋物線的解析式；

(2)在直線3C上方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)M作MVLx軸，垂足為點(diǎn)N,交直線于

點(diǎn)。；是否存在點(diǎn)M，使得返QC取得最大值，若存在請(qǐng)求出它的最大值及點(diǎn)M的坐標(biāo)；

2

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由;

圖1

10.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線尸?2+bx+c(a、b、c為常數(shù),a^O)的圖象與x軸交

于點(diǎn)N(l,0)、3兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0,-3),且拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-1.

(1)求拋物線的解析式；

(2)在直線2c下方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)P作尸軸，垂足為點(diǎn)交直線3c于

點(diǎn)N,求尸N+&CN的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線尸ax2+6x+c(aWO)與y軸交于點(diǎn)C,與x軸交于/,B

兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，且/點(diǎn)坐標(biāo)為(f歷，0),直線的解析式為y=-V2x+4.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)P為線段3c上方拋物線上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作尸軸，交BC于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)。作

DE//AC5Cx軸于點(diǎn)E.求PD+V2DE的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+fcc+4與x軸交于點(diǎn)N(-6,0),B(4,0與y

軸交于點(diǎn)C.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)如圖1,點(diǎn)。與點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，連接5D交y軸于點(diǎn)G,作直線0D,點(diǎn)尸

為線段AD上方的拋物線上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作PE〃了軸交2。于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)尸作小，直線。。

于點(diǎn)F.當(dāng)尸￡+近■尸尸為最大時(shí)，求這個(gè)最大值及此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

13.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線ynad+fcrM(。片0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)/(-2,0),B(4,0),與

y軸交于點(diǎn)C,連接/C

(I)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)如圖1,連接3C,點(diǎn)P為第一象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作PM//X軸交直線BC于點(diǎn)M,

過(guò)點(diǎn)P作PN//AC交x軸于點(diǎn)N,求2厘尸N+尸河的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

5

14.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線夕=公2+/+3(。*0)與x軸交于/(-1,0),B(3,0),與y

軸交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,點(diǎn)尸是直線上方拋物線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作如〃/C交5c于￡,交x軸于點(diǎn)，

求芭叵PE+&BE的最大值以及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

5

圖1

考點(diǎn)三線段之差的最大值

15.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c(aXO)與x軸交于/,3兩點(diǎn)(/在2的左側(cè))，與

y軸交于點(diǎn)C(0,6),其中N8=8,tan乙C48=3.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)尸是直線8c上方拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PD〃4c交x軸于點(diǎn)。，交BC于點(diǎn)E,求

V10PE-aBE的最大值及點(diǎn)P的坐標(biāo).

16.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線>=辦2+H+。與X軸交于4,5兩點(diǎn)，與V軸交于點(diǎn)C,

已知/(-1,0),直線3C的解析式為y=x-3.

圖1

(1)求拋物線的解析式;

(2)在線段8c上有一動(dòng)點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)。作交拋物線于點(diǎn)￡,過(guò)點(diǎn)E作y軸的平行線交

3c于點(diǎn)E求跖-返QE的最大值，以及此時(shí)點(diǎn)￡的坐標(biāo)；

2

考點(diǎn)四線段之比的最大