PAGEPAGE1§9.2直線、圓的位置關(guān)系基礎(chǔ)篇固本夯基【基礎(chǔ)集訓(xùn)】考點(diǎn)一兩直線的位置關(guān)系1.若直線l1:(m-2)x-y-1=0與直線l2:3x-my=0相互平行,則m的值等于()A.0或-1或3B.0或3C.0或-1D.-1或3答案D2.已知曲線y=2xx-A.2x+y+2=0B.2x+y+2=0或2x+y-18=0C.2x-y-18=0D.2x-y+2=0或2x-y-18=0答案B3.已知?jiǎng)又本€l0:ax+by+c-2=0(a>0,c>0)恒過定點(diǎn)P(1,m),且Q(4,0)到動(dòng)直線l0的最大距離為3,則12a+A.92B.9答案B4.若直線l1:x+a2y+6=0與直線l2:ax+3y+2a=0相互垂直,則實(shí)數(shù)a的值為.

答案0或-1考點(diǎn)二直線與圓的位置關(guān)系5.直線l:mx-y+1-m=0與圓C:x2+(y-1)2=5的位置關(guān)系是()A.相交B.相切C.相離D.不確定答案A6.直線l:x-y+m=0與圓C:x2+y2-4x-2y+1=0恒有公共點(diǎn),則m的取值范圍是()A.[-2,2]B.[-22,22]C.[-2-1,2-1]D.[-22-1,22-1]答案D7.已知點(diǎn)P(a,b)(ab≠0)是圓x2+y2=r2內(nèi)的一點(diǎn),直線m是以P為中點(diǎn)的弦所在的直線,直線l的方程為ax+by=r2,那么()A.m∥l,且l與圓相交B.m⊥l,且l與圓相切C.m∥l,且l與圓相離D.m⊥l,且l與圓相離答案C8.一條光線從點(diǎn)(-2,-3)射出,經(jīng)y軸反射后與圓(x+3)2+(y-2)2=1相切,則反射光線所在直線的斜率為()A.-53或-35B.-32C.-54或-45D.-4答案D考點(diǎn)三圓與圓的位置關(guān)系9.圓C1:(x-m)2+(y+2)2=9與圓C2:(x+1)2+(y-m)2=4外切,則m的值為()A.2B.-5C.2或-5D.不確定答案C10.已知圓M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直線x+y=0所得線段的長(zhǎng)度是22,則圓M與圓N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置關(guān)系是()A.內(nèi)切B.相交C.外切D.外離答案B11.已知圓C1:(x-a)2+(y+2)2=4與圓C2:(x+b)2+(y+2)2=1外切,則ab的最大值為.

答案912.兩圓C1:x2+y2+4x+y+1=0,C2:x2+y2+2x+2y+1=0相交于A,B兩點(diǎn),則|AB|=.

答案4綜合篇知能轉(zhuǎn)換【綜合集訓(xùn)】考法一兩直線的位置關(guān)系1.(2024廣東江門4月模擬,3)已知三條直線l1:4x+y=1,l2:x-y=0,l3:2x-my=3,若l1關(guān)于l2對(duì)稱的直線與l3垂直,則實(shí)數(shù)m的值是()A.-8B.-12C.8D.答案D2.(2024河北五個(gè)一聯(lián)盟聯(lián)考,3)已知直線l1:mx-2y+1=0,l2:x-(m-1)y-1=0,則“m=2”是l1平行于l2的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件答案C3.(2024河南頂級(jí)名校其次次聯(lián)考,6)已知m,n,a,b∈R,且滿意3m+4n=6,3a+4b=1,則(mA.3B.2C.1D.1答案C考法二直線和圓的位置關(guān)系4.(2024河北衡水中學(xué)五調(diào),13)設(shè)直線ax-y+3=0與圓(x-1)2+(y-2)2=4相交于A,B兩點(diǎn),且弦長(zhǎng)為23,則a的值是.

答案05.(2024山西晉中二模,14)由直線y=x+1上的一點(diǎn)向圓(x-3)2+y2=1引切線,則切線長(zhǎng)的最小值為.

答案76.(2024皖南八校聯(lián)考,14)設(shè)直線y=kx+1與圓x2+y2+2x-my=0相交于A,B兩點(diǎn),若點(diǎn)A,B關(guān)于直線l:x+y=0對(duì)稱,則|AB|=.

答案67.(2024河北衡水金卷,14)過M(-3,1),N(0,a)兩點(diǎn)的光線經(jīng)y軸反射后所在直線與圓x2+y2=1存在公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

答案-考法三圓和圓的位置關(guān)系8.(2024河南鄭州外國(guó)語(yǔ)中學(xué)3月調(diào)研,9)已知圓C1:(x+2a)2+y2=4和圓C2:x2+(y-b)2=1只有一條公切線,若a,b∈R且ab≠0,則1a2+A.2B.4C.8D.9答案D9.(2024江蘇鎮(zhèn)江期末)已知圓C與圓x2+y2+10x+10y=0相切于原點(diǎn),且過點(diǎn)A(0,-6),則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

答案(x+3)2+(y+3)2=1810.(2024河北冀州中學(xué)第五次模擬,14)過原點(diǎn)O作圓x2+y2-6x-8y+20=0的兩條切線,設(shè)切點(diǎn)分別為P,Q,則線段PQ的長(zhǎng)為.

答案4【五年高考】1.(2024課標(biāo)全國(guó)Ⅲ,8,5分)直線x+y+2=0分別與x軸,y軸交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P在圓(x-2)2+y2=2上,則△ABP面積的取值范圍是()A.[2,6]B.[4,8]C.[2,32]D.[22,32]答案A2.(2024北京,5,5分)圓(x+1)2+y2=2的圓心到直線y=x+3的距離為()A.1B.2C.2D.22答案C3.(2024北京,7,5分)在平面直角坐標(biāo)系中,記d為點(diǎn)P(cosθ,sinθ)到直線x-my-2=0的距離.當(dāng)θ,m改變時(shí),d的最大值為()A.1B.2C.3D.4答案C4.(2024課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,15,5分)直線y=x+1與圓x2+y2+2y-3=0交于A,B兩點(diǎn),則|AB|=.

答案225.(2024課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,15,5分)設(shè)直線y=x+2a與圓C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B兩點(diǎn),若|AB|=23,則圓C的面積為.

答案4π6.(2024課標(biāo)全國(guó)Ⅲ,15,5分)已知直線l:x-3y+6=0與圓x2+y2=12交于A,B兩點(diǎn),過A,B分別作l的垂線與x軸交于C,D兩點(diǎn).則|CD|=.

答案47.(2024江蘇,12,5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A為直線l:y=2x上在第一象限內(nèi)的點(diǎn),B(5,0),以AB為直徑的圓C與直線l交于另一點(diǎn)D.若AB·CD=0,則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為.

答案38.(2024課標(biāo)全國(guó)Ⅲ,20,12分)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線y=x2+mx-2與x軸交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,1).當(dāng)m改變時(shí),解答下列問題:(1)能否出現(xiàn)AC⊥BC的狀況?說明理由;(2)證明過A,B,C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為定值.解析(1)不能出現(xiàn)AC⊥BC的狀況,理由如下:設(shè)A(x1,0),B(x2,0),則x1,x2滿意x2+mx-2=0,所以x1x2=-2.又C的坐標(biāo)為(0,1),故AC的斜率與BC的斜率之積為-1x1·-1x(2)證明:BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為x22,12,可得BC的中垂線方程為y-由(1)可得x1+x2=-m,所以AB的中垂線方程為x=-m2聯(lián)立得x=-m2,y所以過A,B,C三點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)為-m半徑r=m2+92老師專用題組1.(2024課標(biāo)Ⅱ,12,5分)設(shè)點(diǎn)M(x0,1),若在圓O:x2+y2=1上存在點(diǎn)N,使得∠OMN=45°,則x0的取值范圍是()A.[-1,1]B.-12,12C.[-答案A2.(2024北京,7,5分)已知圓C:(x-3)2+(y-4)2=1和兩點(diǎn)A(-m,0),B(m,0)(m>0).若圓C上存在點(diǎn)P,使得∠APB=90°,則m的最大值為()A.7B.6C.5D.4答案B3.(2024安徽,6,5分)過點(diǎn)P(-3,-1)的直線l與圓x2+y2=1有公共點(diǎn),則直線l的傾斜角的取值范圍是()A.0,π6B.0,答案D4.(2024浙江,5,5分)已知圓x2+y2+2x-2y+a=0截直線x+y+2=0所得弦的長(zhǎng)度為4,則實(shí)數(shù)a的值是()A.-2B.-4C.-6D.-8答案B5.(2024重慶,14,5分)已知直線x-y+a=0與圓心為C的圓x2+y2+2x-4y-4=0相交于A,B兩點(diǎn),且AC⊥BC,則實(shí)數(shù)a的值為.

答案0或66.(2024江蘇,18,16分)如圖,一個(gè)湖的邊界是圓心為O的圓,湖的一側(cè)有一條直線型馬路l,湖上有橋AB(AB是圓O的直徑).規(guī)劃在馬路l上選兩個(gè)點(diǎn)P,Q,并修建兩段直線型道路PB,QA,規(guī)劃要求:線段PB,QA上的全部點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于···(1)若道路PB與橋AB垂直,求道路PB的長(zhǎng);(2)在規(guī)劃要求下,P和Q中能否有一個(gè)點(diǎn)選在D處?并說明理由;(3)在規(guī)劃要求下,若道路PB和QA的長(zhǎng)度均為d(單位:百米),求當(dāng)d最小時(shí),P,Q兩點(diǎn)間的距離.解析本小題主要考查三角函數(shù)的應(yīng)用、解方程、直線與圓等基礎(chǔ)學(xué)問,考查直觀想象和數(shù)學(xué)建模及運(yùn)用數(shù)學(xué)學(xué)問分析和解決實(shí)際問題的實(shí)力.解法一:(1)過A作AE⊥BD,垂足為E.由已知條件得,四邊形ACDE為矩形,DE=BE=AC=6,AE=CD=8.因?yàn)镻B⊥AB,所以cos∠PBD=sin∠ABE=810=4所以PB=BDcos∠PBD因此道路PB的長(zhǎng)為15(百米).(2)不能,理由如下:①若P在D處,由(1)可得E在圓上,則線段BE上的點(diǎn)(除B,E)到點(diǎn)O的距離均小于圓O的半徑,所以P選在D處不滿意規(guī)劃要求.②若Q在D處,連接AD,由(1)知AD=AE從而cos∠BAD=AD2+A所以線段AD上存在點(diǎn)到點(diǎn)O的距離小于圓O的半徑.因此Q選在D處也不滿意規(guī)劃要求.綜上,P和Q均不能選在D處.(3)先探討點(diǎn)P的位置.當(dāng)∠OBP<90°時(shí),線段PB上存在點(diǎn)到點(diǎn)O的距離小于圓O的半徑,點(diǎn)P不符合規(guī)劃要求;當(dāng)∠OBP≥90°時(shí),對(duì)線段PB上隨意一點(diǎn)F,OF≥OB,即線段PB上全部點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑,點(diǎn)P符合規(guī)劃要求.設(shè)P1為l上一點(diǎn),且P1B⊥AB,由(1)知,P1B=15,此時(shí)P1D=P1Bsin∠P1BD=P1Bcos∠EBA=15×35當(dāng)∠OBP>90°時(shí),在△PP1B中,PB>P1B=15.由上可知,d≥15.再探討點(diǎn)Q的位置.由(2)知,要使得QA≥15,點(diǎn)Q只有位于點(diǎn)C的右側(cè),才能符合規(guī)劃要求.當(dāng)QA=15時(shí),CQ=QA2-AC2=綜上,當(dāng)PB⊥AB,點(diǎn)Q位于點(diǎn)C右側(cè),且CQ=321時(shí),d最小,此時(shí)P,Q兩點(diǎn)間的距離PQ=PD+CD+CQ=17+321.因此,d最小時(shí),P,Q兩點(diǎn)間的距離為(17+321)百米.解法二:(1)如圖,過O作OH⊥l,垂足為H.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),直線OH為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系.因?yàn)锽D=12,AC=6,所以O(shè)H=9,直線l的方程為y=9,點(diǎn)A,B的縱坐標(biāo)分別為3,-3.因?yàn)锳B為圓O的直徑,AB=10,所以圓O的方程為x2+y2=25.從而A(4,3),B(-4,-3),直線AB的斜率為34.因?yàn)镻B⊥AB,所以直線PB的斜率為-43,直線PB的方程為y=-43x-25因此道路PB的長(zhǎng)為15(百米).(2)①若P在D處,取線段BD上一點(diǎn)E(-4,0),則EO=4<5,所以P選在D處不滿意規(guī)劃要求.②若Q在D處,連接AD,由(1)知D(-4,9),又A(4,3),所以線段AD:y=-34在線段AD上取點(diǎn)M3,因?yàn)镺M=32+15所以線段AD上存在點(diǎn)到點(diǎn)O的距離小于圓O的半徑.因此Q選在D處也不滿意規(guī)劃要求.綜上,P和Q均不能選在D處.(3)先探討點(diǎn)P的位置.當(dāng)∠OBP<90°時(shí),線段PB上存在點(diǎn)到點(diǎn)O的距離小于圓O的半徑,點(diǎn)P不符合規(guī)劃要求;當(dāng)∠OBP≥90°時(shí),對(duì)線段PB上隨意一點(diǎn)F,OF≥OB,即線段PB上全部點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑,點(diǎn)P符合規(guī)劃要求.設(shè)P1為l上一點(diǎn),且P1B⊥AB,由(1)知,P1B=15,此時(shí)P1(-13,9);當(dāng)∠OBP>90°時(shí),在△PP1B中,PB>P1B=15.由上可知,d≥15.再探討點(diǎn)Q的位置.由(2)知,要使得QA≥15,點(diǎn)Q只有位于點(diǎn)C的右側(cè),才能符合規(guī)劃要求.當(dāng)QA=15時(shí),設(shè)Q(a,9),由AQ=(a-4所以Q(4+321,9).此時(shí),線段QA上全部點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑.綜上,當(dāng)P(-13,9),Q(4+321,9)時(shí),d最小,此時(shí)P,Q兩點(diǎn)間的距離PQ=4+321-(-13)=17+321.因此,d最小時(shí),P,Q兩點(diǎn)間的距離為(17+321)百米.7.(2024課標(biāo)Ⅰ,20,12分)已知點(diǎn)P(2,2),圓C:x2+y2-8y=0,過點(diǎn)P的動(dòng)直線l與圓C交于A,B兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)為M,O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求M的軌跡方程;(2)當(dāng)|OP|=|OM|時(shí),求l的方程及△POM的面積.解析(1)圓C的方程可化為x2+(y-4)2=16,所以圓心為C(0,4),半徑為4.設(shè)M(x,y),則CM=(x,y-4),MP=(2-x,2-y).由題設(shè)知CM·MP=0,故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,即(x-1)2+(y-3)2=2.由于點(diǎn)P在圓C的內(nèi)部,所以M的軌跡方程是(x-1)2+(y-3)2=2.(2)由(1)可知M的軌跡是以點(diǎn)N(1,3)為圓心,2為半徑的圓.由于|OP|=|OM|,故O在線段PM的垂直平分線上,又P在圓N上,從而ON⊥PM.因?yàn)镺N的斜率為3,所以l的斜率為-13,故l的方程為y=-13x+83.又|OM|=|OP|=22,O到l的距離為4105評(píng)析本題考查軌跡方程的求法,直線與圓的位置關(guān)系,在解決直線與圓的相關(guān)問題時(shí),利用圖形的幾何性質(zhì)可簡(jiǎn)化運(yùn)算.8.(2013四川,20,13分)已知圓C的方程為x2+(y-4)2=4,點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn).直線l:y=kx與圓C交于M,N兩點(diǎn).(1)求k的取值范圍;(2)設(shè)Q(m,n)是線段MN上的點(diǎn),且2|OQ|2=解析(1)將y=kx代入x2+(y-4)2=4中,得(1+k2)x2-8kx+12=0.(*)由Δ=(-8k)2-4(1+k2)×12>0,得k2>3,所以,k的取值范圍是(-∞,-3)∪(3,+∞).(2)因?yàn)镸,N在直線l上,可設(shè)點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為(x1,kx1),(x2,kx2),則|OM|2=(1+k2)x12,|ON|2=(1+k2)又|OQ|2=m2+n2=(1+k2)m2,由2|OQ|2=2(1+k2)即2m2=1x12由(*)式可知,x1+x2=8k1+k2,x1x2=121+因?yàn)辄c(diǎn)Q在直線y=kx上,所以k=nm,代入m2=365k2-3中并化簡(jiǎn),得5n2-3m2=36.由m2=365k2-3及k2>3,可知0<m2<3,即m∈(-3,0)∪(0,3),依據(jù)評(píng)析本題主要考查直線、圓、函數(shù)、不等式等基礎(chǔ)學(xué)問,考查推理論證實(shí)力、運(yùn)算求解實(shí)力,考查函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想,并考查思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.【三年模擬】一、單項(xiàng)選擇題(每題5分,共35分)1.(2024廣東廣州調(diào)研,4)a=3是直線ax+2y+3a=0和3x+(a-1)y=a-7平行的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案C2.(2024安徽合肥調(diào)研,8)已知直線l:x+y-5=0與圓C:(x-2)2+(y-1)2=r2(r>0)相交所得的弦長(zhǎng)為22,則圓C的半徑r=()A.2B.2C.22D.4答案B3.(2024湖南五市十校聯(lián)考,6)兩圓x2+y2+4x-4y=0和x2+y2+2x-8=0相交于兩點(diǎn)M,N,則線段MN的長(zhǎng)為()A.355B.4C.6答案D4.(2024河南信陽(yáng)二模,9)若直線y=kx+1(k≠0)與圓x2+(y-1)2=1相交于A,B兩點(diǎn),C點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),若點(diǎn)M(a,b)滿意MA+MB+MC=0,則a+b等于()A.1B.52C.53答案C5.(2024豫西南五校3月聯(lián)考,7)已知圓C:(x-2)2+y2=4,直線l1:y=3x,l2:y=kx-1,若l1,l2被圓C所截得的弦的長(zhǎng)度之比為1∶2,則k的值為()A.3B.1C.12D.答案C6.(2024贛中南五校4月聯(lián)考,8)已知直線y=x+m和圓x2+y2=1交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),若AO·AB=32A.±1B.±32C.±22答案C7.(2025屆廣東珠海9月摸底測(cè)試,11)已知點(diǎn)M(-1,0),N(1,0),若直線l:x+y=m上存在點(diǎn)P使得PM⊥PN,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.[-1,1]B.(-1,1)C.[-2,2]D.(-2,2)答案C二、多項(xiàng)選擇題(每題5分,共10分)8.(改編題)若三條直線l1:ax+y+1=0,l2:x+ay+1=0,l3:x+y+a=0不能圍成三角形,則a的可能取值為()A.a=1B.a=-1C.a=-2D.a=2答案ABC9.(改編題)已知兩圓x2+y2=1和(x+4)2+(y-a)2=25相切,則實(shí)數(shù)a=()A.±213B.±25C.0D.以上均有可能答案BC三、填空題(每題5分,共30分)10.(2025屆山東滕州一中10月月考)過點(diǎn)M12,1的直線l與圓C:(x-1)2+y2答案2x-4y+3=011.(2025屆重慶其次外國(guó)語(yǔ)學(xué)校第三次質(zhì)量檢測(cè),15)若直線ax+by=1(a,b都是正實(shí)數(shù))與圓x2+y2=4相交于A,B兩點(diǎn),當(dāng)OA⊥OB(O是坐標(biāo)原點(diǎn))時(shí),ab的最大值為.

答案112.(2025屆江蘇南京六校聯(lián)合體10月聯(lián)考,13)已知圓O:x2+y2=1,圓M:(x+a+3)2+(y-2a)2=1(a為實(shí)數(shù)).若圓O與圓M上分別存在點(diǎn)P,Q,使得∠OQP=30°,則a的取值范圍為.

答案-13.(2025屆廣東惠州綜合高級(jí)中學(xué)月考,15)曲線y=1+4-x2答案k14.(2025屆江蘇南京期中,13)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓O:x2+y2=1,圓C:(x-4)2+y2=4,動(dòng)點(diǎn)P在直線x+3y-2=0上