第04講數(shù)列求和

目錄

題型一：倒序相加法.............................................................2

題型二：分組求和法.............................................................5

題型三：裂項相消法.............................................................9

角度1：等差型..............................................................9

角度2：無理型.............................................................11

角度3：指數(shù)型.............................................................13

角度4：通項裂項為“+”型.................................................15

題型四：錯位相減法............................................................24

角度1：乘型...............................................................24

角度2：除型...............................................................26

角度3：混合求和...........................................................28

題型五：奇偶項討論求和........................................................34

Q〃為奇數(shù)

角度1：通項公式為分段式％〃為偶數(shù)....................................34

角度2：通項公式為g=(-1)"%型.............................................38

題型六：插入新數(shù)列............................................................46

角度1：插入新數(shù)列構(gòu)成等差.................................................46

角度2：插入新數(shù)列構(gòu)成等比.................................................49

角度3：插入新數(shù)混合.......................................................50

題型七：其他類型求和..........................................................55

角度1：通項含絕對值.......................................................55

角度2：通項含取整函數(shù).....................................................56

題型一：倒序相加法

典型例題

例題1.(2023?全國?高三對口高考)已知函數(shù)貝!]/(x)+/(l-x)=__________；數(shù)列｛%｝

4+2

滿足%=d三」，則這個數(shù)列的前2015項的和等于.

…20151

【答案】1-^-/1007.5

4X

【詳解】由/(x)=—

八4、+2

41-x7

得了(I—%)=^^=二，所以〃')+"17)=1，

4"+24"+2

設(shè)數(shù)列｛0"｝前"項之和為，，

…/11/21/31/2014、(2015

人2015-，12016》/[2016卜，[2016卜…一，12016卜/r12016

52015=/f—+\/f—^??.+/f—^+/f—1

05(2016)U016JU016J(2016)12016)

兩式相加得2sM5=2015,所以其。15=羋，

即這個數(shù)列的前2。15項的和等于等

遼"心生2015

故答案為：1;一--

例題2.(2023春?遼寧沈陽?高二沈陽二中?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)/卜+；

為奇函數(shù)，且g(x)=〃x)+l,

n

若.”=g，則數(shù)列｛%｝的前2022項和為

2023

【答案】2022

【詳解】由于函數(shù)/卜+:

=0,所以/(x)+/(l-/=0,

所以g(x)+g(l-X)=[/(%)+1]+[/(1)+1]=2,

22022

所以2(4+出+…+。2022)=2g+g+…+g

202320232023

「「1'(2022、］「(2'(2021Y2022A

=2x2022,

1/12023JK2023+2023尸刈2023j+…"2023J

ha

因此數(shù)列｛%,｝的前2022項和為％+電---2022=2022,

故答案為：2022

例題3.（2023?全國?高二專題練習(xí)）德國大數(shù)學(xué)家高斯年少成名，被譽(yù)為數(shù)學(xué)屆的王子，19歲的高斯

得到了一個數(shù)學(xué)史上非常重要的結(jié)論，就是《正十七邊形尺規(guī)作圖之理論與方法》.在其年幼時，對

1+2+3+……+100的求和運(yùn)算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對應(yīng)項的和呈現(xiàn)一

定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法，現(xiàn)有函數(shù)〃》）=3號，設(shè)數(shù)列｛%｝滿足

%,=/（0）+/用…+/[喘+/⑴*eN*）,若b"=2"",,則也｝的前〃項和/=.

【答案】n-2"+,

X

【詳解】由=一2得，

2X+V2

T21r2、22、也

/(x)+/(1-%)=---------------------產(chǎn)=----產(chǎn)+——j=—=------產(chǎn)+-^―

2、+收21-x+V22X+V22+￡-2、2、+/6+2

由%=…+〃EN),

得Kl)+/(汩+…+/g+d+/(。)，

,,.,〃+1

故2an=〃+1,?！?-^―,

故6“=2%=(力+1).2",

所以5“=22+3"+42+...+(〃+1).2",

則25“=2.22+3.23+4.24+~+小2"+(〃+1).2"”,

31

兩式相減得：~Sn=2x2+2?+2+...+2-(〃+1)/

,,2(1-2"),，…用巾

=2-1—j-----(n+1)-2=—n-2

故S.=〃-2用，

故答案為：w-2"+i

精練核心考點(diǎn)

]]12n

1.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為E,,J3.—+—+-1-+—=,設(shè)函數(shù)

f(X)=COS7ix+—,貝U4〃=+

，〔矗]+/〔急+《建>-4^>-----?

【答案】?亍/1010.5

【詳解】解：由于J+J+…+J=Wf，①,

AjrTII

當(dāng)〃=i時!=1,所以〃i=i,

111_2(〃-1)

當(dāng)〃22時,--------1----------r...H-------------------------------②，

E邑S“Tn

1_2n2(1)2

①-②得:

s〃〃+1nn(n+1)

所以邑=若義(〃之2),顯然〃=1時邑=3羅也成立,

當(dāng)心2時，％=5”/「丁一丁=〃，

當(dāng)〃=1時〃〃=〃也成立，所以%=〃;

根據(jù)函數(shù)/(x)=cosxr+；,

所以f(I-X)=COS乃(1一X)+；=COS(%-7TX)+g=-COS7rx~^~(H7111

uj222

所以/(x)+/(I-X)=COS71X-COS+1=1；

所以/(▲)+/(▲)+/(二)+...+/(詠)+/(詠)

20222022202220222022

1、“2、”3、~2020、~2021、

=f(------)+f(-------)+f(------)+...+f(-------)+f(------)

20222022202220222022

1、//2021、］「乙2、//2020、］「“1010、^J012J“1011、

:"——)+"——)+"——)+…+"——)+/(—

2021

1010+-=

22

2021

故答案為：

2

2

2.(2023?高三課時練習(xí))設(shè)函數(shù)/(幻=鼻，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前〃項和的方法，求得

2"+1

/(—5)+/(—4)+…+/(0)+…+/(4)+/(5)的值為.

【答案】11

22

【詳解】因/㈤+/(_%)=------1-------=2，

2"+12-”+12、+212

設(shè)S=/(-5)+〃-4)+…+/(0)+-+/(4)+/(5),則

2S=/(-5)+/(5)+/(-4)+/(4)+.■■+2/(0)+.■.+/(4)+/(-4)+/(5)+/(-5)=22,故5=11.

故答案為：11

1—丫

3.(2023?全國?高三專題練習(xí))設(shè)函數(shù)/口)=1+111丁1設(shè)q=l,

+++/1V](〃eN*,〃").求數(shù)列｛%｝的通項公式.

1,72=1

【答案】a=

nn-l,n>2

【詳角星】/(%)+/(I—%)=1+In------F1+In-----=2；

x1-x

包+/

2

+f271-2,

、幾

1,77=1

所以對一切正整數(shù)〃，有%=

n-l,n>2'

題型二：分組求和法

典型例題

例題1.(2023?安徽安慶?安慶一中校考三模)設(shè)數(shù)列｛4｝的前〃項和S“滿足S“=2%,-%,且外,%-1,

%-3成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)設(shè)是首項為1,公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列｛2｝的通項公式與前〃項和

［答案］⑴a*=2"T

(2也=2(2〃-1)一2",7；,=2?2-2"+1+2

【詳解】(1)由已知S“=2a0-4，有a“=S"一九=2a“-2A“T”2),

即an=2an_x(?>2),從而a2=2%,a3=2a2=4%,

又因為％,a2-l,%-3成等比數(shù)列，即(為-1)2=%(%-3),

所以(2%—1)=%(4%—3),解得%=1,

所以，數(shù)列｛6｝是首項為1,公比為2的等比數(shù)列，

故。"=27

（2）因為《6"+。，是首項為1,公差為2的等差數(shù)列，所以口〃+%=1+2（”-1）,

所以數(shù)列出｝的通項公式為a=2（2〃-1）-2",

7；,=2[l+3+---+（2n-l）]-（21+22+---+2"）

〃[1+⑵-1）[2（1-2"）

=L----------------------------------

21-2

=2/—2"1+2.

例題2.（2023春?四川廣安?高二四川省廣安友誼中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等比數(shù)列｛??｝的各項均為正

數(shù)，且。2+。3+。4=39,。5=2。4+3。3.

⑴求同｝的通項公式；

⑵數(shù)列也｝滿足a=〃+?！埃笠玻那?項和人

【答案】（1）%=3"T

...3,!+n2+H-]

（2）7；,=——-——

｛a.+a.+a.=39

【詳解】（1）V2；",

1%=2a4+3a3

...產(chǎn)（：+，+f）=3：,q>°,解得”二=3?

axq=2axq+3axq區(qū)一3

（2）由題可知”=〃+3〃T,???7；=l+2+-+〃+l+3i+-+3"T,

.T（l+〃）13〃_3〃+/+及一1

n21-32

例題3.（2023春?河南?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）數(shù)列｛%｝的前〃項和E,滿足S“=.用-1,"eN*,且％=1.

⑴求小

⑵設(shè)”=（-1）",求數(shù)列也｝的前2〃項和52?.

【答案】（1）%=2"T

【詳解】（1）因為5〃=4+1-1,當(dāng)〃=1時H=〃2-1，又q=1可得%=2,

當(dāng)“22時作差得W-Siu.-1一（?！耙?）,即2%=%+1,

乂詈=2,所以數(shù)列｛%｝是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，

所以a,=2"T.

(2)由(1)知，=(-l)"2"T-(-l)",

所以偽“=221-1,Vi=-22"-2+l)

所以勾T+&=4"L

所以耳=(4+%)+(4+")+…+(41+%)=1+4+…+4"一

1-4"4"-1

-1-4-3

精練核心考點(diǎn)

1.(2023?湖北咸寧??？寄M預(yù)測)設(shè)S,為公差不為0的等差數(shù)列｛%｝的前"項和，若為,%，心成等比數(shù)歹人

$6-邑=33.

⑴求數(shù)列｛%,｝的通項公式；

(2)設(shè)。=20+In-，求數(shù)列也｝的前n項和Tn.

°n

【答案】(l)a?=2M+l(neN*)

841

(2)?;=(lZ)+ln2^3^eN.)

【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為

由%,為，%成等比數(shù)列可得，

所以(q+3d)2=%(%+12d),

所以2a/-3/=0,

因為dwO,所以2%-3d=0.①

又§6—03=33,

所以。4+。5+。6=33,②

所以％+4d=11,

聯(lián)立①②得q=3"=2,

所以數(shù)列｛。,｝的通項公式%=2〃+1(〃eN*).

(2)由(1)知++

61n2〃+1

所以北=4+%+4+??,+”

=23+ln5-ln3+25+ln7-ln5+---+22n+1+ln(2?+3)-ln(2w+l)

=23+25+---+22"+1+ln(2/j+3)-ln3

2〃+3

+ln

3

…+1小

neN*)-

33

2.(2023?四川南充?統(tǒng)考三模)已知數(shù)歹!]｛。"｝的前〃項和為3,%=3,25.=3%-3.

⑴求｛g｝的通項公式;

(2)設(shè)數(shù)列低｝滿足：4=?！?小3%,記也｝的前"項和為北,求卻

【答案】⑴。"=3"(〃eN*)

，…r+1+n2+n-3

【詳解】(1)???25“=3%-3①

二當(dāng)〃22時，2S“_]=3?！耙?-3②

①一②得：2%=3a“一3%即%=3%(〃22)

,?,%=3,.?.數(shù)列｛%｝是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列.

:.an=3"(〃eN*)

(2)bn=an+log3a?=3"+n.

7；=^+^++Z>?=(31+l)+(32+2)+---+(3"-1+n-l)+(3"+?)

=(31+32+---+3n_1+3,')+(l+2+---+n-l+n)

_3(1-3")+_3"+i+”2+〃_3

-1-3+-2--2

所以也｝的前〃項和(=,"fl

3.(2023春?福建莆田?高二莆田一中?？计谥?設(shè)等比數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，且%-%=7,其=7

⑴求數(shù)列｛%｝的通項公式；

、//甲雙r

丁”'小:制數(shù)列｛4｝的前2〃項和為七，求％“?

(唾2%，〃為奇數(shù),

【答案】⑴%=2"T

(2)7；?=j-22-+1+n2-n-1

【詳解】(1)由題知%-%=7,$3=7,設(shè)等比數(shù)列｛與｝的公比為分顯然

3

飛①

=

7

9「

o

有也3」

②

=

7

、1

.

=2〃T

以4

,所

％=1

①得

代入

2,

以9=

1,所

q—1=

+②得

由①

偶數(shù)

〃為

2〃T,

二

得”

）可

由（1

（2）

為奇數(shù)

〃-1,“

+&)

"+…

(仇+

)+

+仇〃_1

4+…

伯+

&=

+…+

+仇

&=4

所以

2n1

3

-)

--+2

2+-

)+(2+

n-2

---+2

4+

+2+

=(0

")

2(l-4

^n

(2n-2

1-4

2

2

M

+1.2

1O2n

---.

—n-

+n

2

=—?

3

3

法

相消

：裂項

題型三

等差型

1：

角度

例題

典型

%

_i+

〃+]

iq

〃

1

1

中,

｛風(fēng)｝

數(shù)列

中）在

考期

校校

才學(xué)

北育

二東

陽?高

寧沈

春?遼

023

1.（2

例題

=36

+——

,且一

a