第02講數(shù)列的證明和通項公式的四種求法

考法呈現(xiàn)

考法四：累乘法求數(shù)列的通項公式

考法五:已知Sn求數(shù)列的通項公式

考法六:構造法求數(shù)列的通項公式

弘考法一：等差、等比數(shù)列基本量的運算

例題分析

【例1】已知｛冊｝為正項等差數(shù)列，｛%｝為正項等比數(shù)列，其中。2=3,/=的，且。2，。3+1，。5+3成等

比數(shù)列,bi+b2+b3=13.

求｛冊｝，｛4｝的通項公式;

滿分秘籍

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在等差數(shù)列五個基本量藥，d,n,an,￡中，已知其中三個量，可以根據(jù)已知

條件結(jié)合等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式列出關于基本量的方程（組）來求余下

的兩個量，計算時須注意等差數(shù)列性質(zhì)、整體代換及方程思想的應用.

等比數(shù)列中有五個量為，n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”，通過列方程

求關鍵量藥和q,問題可迎刃而解.

_""--

窗變式訓練

【變式1-1］已知數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列，其前n和為Sn,a3+a9=12,S9=45,數(shù)列｛%｝滿足的瓦+a2b2+???+

a也=*271-1廿+1+*

(1)求數(shù)列｛冊｝,｛以｝的通項公式;

【變式1-2］已知數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列，｛%｝是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，數(shù)列｛%｝的前〃項和為Sn，且的=

瓦=1,奧=62+1，。4=

⑴求數(shù)列｛%｝,｛bn｝的通項公式;

【變式1-3］已知正項等比數(shù)列5｝的前n項和為Sn，且S3=孑畫-=￡等差數(shù)列也｝滿足匕7+瓦2=12+

68,a2bl=1.

(1)求數(shù)列｛冊｝,仍九｝的通項公式；

【變式1-4］已知等差數(shù)列｛冊｝滿足=4,2a4—。5=7,等比數(shù)列｛%｝滿足壇=4,%+h=8血+b2~).

(1)求｛%｝與｛刈｝的通項公式；

【變式1-5】已知等差數(shù)列｛%｝滿足O+l)an=?—8/i+K數(shù)列｛bj是以1為首項，公比為3的等比數(shù)歹！J.

(1)求0n和%;

【變式1-6］已知｛&J是等差數(shù)列，的=1，d40,且內(nèi)，a2,。4成等比數(shù)列?

求數(shù)列｛冊｝的通項公式；

我考法二：等差、等比數(shù)列的證明

&例題分析

【例2】已知等比數(shù)列｛冊｝的公比q<l,。4=1,且由，。3的等差中項等于羨

(1)求｛冊｝的通項公式；

(2)設“=log20ns證明：數(shù)列｛6n｝為等差數(shù)列.

滿分秘籍

證明等差數(shù)列的常用方法：(1)定義法：證明對任意正整數(shù)A都有

a〃+i—a0等于同一個常數(shù)；(2)等差中項法：證明對任意正整數(shù)A都有

22+1=2+為+2；(3)通項公式法：得出a〃=w+g(p,g是常數(shù))；(4)

前〃項和公式法：得出￡=2"+劭(46是常數(shù)).

等比數(shù)列的四種常用判定方法

(1)定義法：若盟1=q(g為非零常數(shù)，AWN*)或反=(?(。為非零常數(shù)

anan-l

且A22,AGN*),則｛aj是等比數(shù)列；(2)中項公式法：若數(shù)列｛當｝中，

且用+i=a〃?a〃+2(/7eN*),貝！H%｝是等比數(shù)列；(3)通項公式法：

若數(shù)列｛當｝的通項公式可寫成名=c?/.Ye,4均是不為0的常數(shù)，n

GN*),貝！Haj是等比數(shù)列；(4)前n項和公式法：若數(shù)列｛aj的前A項

和￡=A?HA為常數(shù)且20,。=0,1),貝|｛aj是等比數(shù)列。

1變式訓練

【變式2-1］已知正項等比數(shù)列｛an｝和數(shù)列｛%｝,滿足logz^是名和6n的等差中項，(neN*).

(1)證明：數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，

【變式2-2］設數(shù)列｛冊｝的前兀項和為Sn，且即與一4n的等差中項為Sn—冊.

(1)證明:數(shù)列｛斯+2｝是等比數(shù)列；

【變式2-3］已知數(shù)列｛冊｝的前n項和為Sn,且滿足的=1,^S.+i是3與4an的等差中項.

(1)設“=an+1-2an,證明數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列；

【變式2-4】已知正項數(shù)列｛時｝滿足的=1，a2=2,且對任意的正整數(shù)止1+屋+i是成和a"2的等差中項.

⑴證明：｛成+1-碎｝是等差數(shù)列，并求｛%J的通項公式；

【變式2-51已知數(shù)歹我冊｝的前n項和為Sn，|sn=an-2^.

⑴證明：｛禽｝是等差數(shù)列;

n+2

【變式2-6］已知｛%｝數(shù)列滿足的=3,3an+1-90n=3.

(1)證明：數(shù)列｛$｝為等差數(shù)列；

弘考法三：累加法求數(shù)列的通項公式

百函例題分析

【例3】數(shù)列｛“｝滿足即+2-4%+i+3an=0,且的=8,a?=2,求通項an.

滿分秘籍

當出現(xiàn)a〃=aLi+f(A)時，一般用累加法求通項.

變式訓練

【變式3-1］已知數(shù)列｛冊｝滿足冊+i=3冊+2?3九+1,%=3,求數(shù)列｛冊｝的通項公式.

【變式3-2］已知數(shù)列｛an｝各項均為正數(shù)，的=式an+1>an,且冊+2+冊=。2,冊+i(九CN*).

(1)若數(shù)列｛冊+1-斯｝為等差數(shù)列，求數(shù)列｛冊｝的前n項和％;

(2)若數(shù)列｛冊+1-2即｝為等比數(shù)列，且數(shù)列｛冊｝不為等比數(shù)列，求數(shù)列｛斯｝的通項公式.

【變式3-3］數(shù)列｛斯｝中，0n+i=2"】+?'。1=2,求｛an｝的通項.

然考法四：累乘法求數(shù)列的通項公式

&例題分析

【例4】已知數(shù)列｛an｝的前幾項和為Sn,且臼=1,震｝是公差為2的等差數(shù)列.

(1)求｛冊｝的通項公式;

⑵求S?

滿分秘籍

當出現(xiàn)三=〃力時，一般用累乘法求通項.

an-\

變式訓練

【變式4-1］已知數(shù)列｛an｝,Sn為數(shù)列｛an｝的前n項和,且滿足臼=1,3Sn=(n+2)an.

(1)求｛an｝的通項公式；

【變式4-2］在數(shù)列｛冊｝中，a1=l,-^=f^7（n>2）,求0n.

Z7T十_L

【變式4-3］已知數(shù)列｛冊｝中，ai=l,an+1=^(neN*).

(1)求數(shù)列｛冊｝的通項公式;

弘考法五：已知Sn求數(shù)列的通項公式

例題分析

【例5】已知數(shù)列｛%｝的前"項和為%，且%=2與-2.

(1)求｛%｝的通項公式；

滿分秘籍

通過Sn求an.已知數(shù)列｛an｝前n項和Sn.

貝！I當n=l時a尸Si

n22時an=Sn-S(n-1)

變式訓練

【變式5-1］設數(shù)列｛冊｝的前n項和為S”，且滿足=2an-l(neN*).

(1)求數(shù)列5｝的通項公式；

【變式5-2］設正項數(shù)列｛%｝的前ri項和為Sn,成+2an=4Sn-l(neN*).

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

【變式5-3］已知數(shù)列｛禺｝的前n項和Sn=個,neN*.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式;

(2)證明：對任意幾＞1,都有m€N*,使得。?。山口也成等比數(shù)歹!J.

【變式5-4］已知外是數(shù)列｛冊｝的前幾項和，=2,5九—。九+i+1.

(1)求數(shù)列｛a“｝的通項公式；

弘考法六：構造法求數(shù)列的通項公式

息.例題分析

【例6】已知：的=L?1之2時，an=1an_1+2n—1,求｛an｝的通項公式.

滿分秘籍

構造法的常見類型一般有：①當+l=。a；2+。(pWO,LqWO,其中ai=a),

②%+i=p%+效+c(pW0,1,qWO)；③2+i=p多+/(pW0,1,qWO,1).

構造法的構造方法：①形如當+i=aa〃+￡(aWO,1,￡#0)的遞推式可用

構造法求通項，構造法的基本原理是在遞推關系的兩邊加上相同的數(shù)或相同性

質(zhì)的量，構造數(shù)列的每一項都加上相同的數(shù)或相同性質(zhì)的量，使之成為等差數(shù)

列或等比數(shù)列.

②遞推公式當+i=aa〃+￡的推廣式當+i=aa〃+￡義7"(aWO,1,￡#0,

/NO,1),兩邊同時除以廣+1后得到一匕=,a+￡,轉(zhuǎn)化為小+I=44+￡(3"

YyynyY,、

l#o,D的::通過構造公比是4的等比數(shù)列I"二求解.

變式訓練

【變式訓練6.1】已知數(shù)列｛an｝中，的=1,即+i=c-工.設c=\,垢求數(shù)列初九｝的通項公式.

CLnLdn-Z

【變式訓練6-2］已知數(shù)列｛斯｝的前幾項和為%,的=1,On+1=Aan+4(2為常數(shù)).

(1)若2=3,求｛a九｝的通項公式；

【變式訓練6-3］已知數(shù)列｛冊｝滿足的=3,a2=6,an+2=2an+1+3an,求0n

真題專練

1記分為數(shù)列｛冊｝的前律項和，已知S”2n的等差中項為“.

(1)求證｛演+2｝為等比數(shù)列;

2.記5n為數(shù)列｛aj的前n項和，已知S“=(an-n)(n+1).

⑴求數(shù)列也"的通項公式;

3.已知各項均為正數(shù)的數(shù)列&｝滿足2瘋=即+1,其中又是數(shù)列｛an｝的前〃項和.

(1)求數(shù)列｛冊｝的通項公式；

4.已知數(shù)列｛an｝和｛九｝,%=2,金--=1,0n+i=2b?

bn即

⑴求證數(shù)歹哈-1｝是等比數(shù)列；

5.設數(shù)列｛冊｝的前n項和為端,已知的=1,且數(shù)列｛3-駕是公比為?的等比數(shù)歹U.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項公式;

6.已知數(shù)列｛冊｝的前〃項和為Sn,且2s九=3斯一1.

(1)求｛。九｝的通項公式；

7.已知正項數(shù)列｛斯｝的前ri項和為又，滿足冊=2店-1.

⑴求數(shù)列｛冊｝的通項公式；

8.在等比數(shù)列｛冊｝中，a7=8a4,且;4，。3-4,%-12成等差數(shù)歹！J.

(1)求｛冊｝的通項公式;

9.已知數(shù)列｛時｝的前n項和為%,Sn=q(n+2)an,且的=1.

(1)求證：數(shù)列｛第［是等差數(shù)列;

10.已知數(shù)列｛冊｝的前n項和為S”，且滿足Sn=2an-2,數(shù)列｛f｝是首項為1,公差為2的等差數(shù)列.

(1)分別求出數(shù)列｛an｝,｛九｝的通項公式；

11.在等差數(shù)列｛冊｝中，a2=4,其前n項和Sn滿足Sn=/+eR).

(1)求實數(shù)入的值，并求數(shù)列｛&J的通項公式；

12.已知公差為正數(shù)的等差數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn，a2=3,且。1，a3,2&6+3成等比數(shù)列.

(1)求0n和%.

13.已知數(shù)列｛冊｝的前n項和為Sn,滿足5?=|即—1.

⑴求數(shù)列5｝的通項公式;

14.已知各項為正數(shù)的數(shù)列｛%｝的前n項和為Sn，