8.3列聯(lián)表與獨立性檢驗1.分類變量在現(xiàn)實生活中，人們經(jīng)常需要回答一定范圍內(nèi)的兩種現(xiàn)象或性質(zhì)之間

是否存在關(guān)聯(lián)性或互相影響的問題.例如：就讀不同學(xué)校是否對學(xué)生的成績有影響，不同班級學(xué)生用于體育鍛煉的時間是否存在區(qū)別,吸煙是否會增加患肺癌的風(fēng)險等。在討論上述問題時,為了表述方便,

我們經(jīng)常會使用一種特殊的隨機(jī)變量,

以區(qū)別

不同的現(xiàn)象或性質(zhì)

，

這類隨機(jī)變量稱為分類變量.分類變量:用實數(shù)表示不同的現(xiàn)象或性質(zhì).如：班級:1、2、3，

男生、女生：0、1.本節(jié)主要討論取值于{0,1}的分類變量的關(guān)聯(lián)性問題1:為了有針對性地提高學(xué)生體育鍛煉的積極性,某中學(xué)需要了解性別因素是否對本校學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，為此對學(xué)生是否經(jīng)常鍛煉的情況進(jìn)行了普查.全校生

的普查數(shù)據(jù)如下:523名女生中有331名經(jīng)常鍛煉，601名男生中有473名經(jīng)常鍛煉.你能利

用這些數(shù)據(jù),說明該校女生和男生在體育鍛煉的經(jīng)常性方面是否存在差異嗎?解1：比較經(jīng)常鍛煉的學(xué)生在女生和男中的比率.f0

=

經(jīng)常

生數(shù)，f1

=

經(jīng)常

生數(shù).

≈

0.633，f1

=

≈

0.787.

f1

0

=

0.787-0.633=0.

154.男生經(jīng)常鍛煉的比率比女生高出15.4個百分點,所以該校的女生和男生在體育鍛

煉的經(jīng)常性方面有差異,而且男生更經(jīng)常鍛煉.男生總數(shù)鍛煉的男女生總數(shù)鍛煉的女若性別對體育鍛煉的經(jīng)常性沒有影響，可描述為

P

(Y

=

1

X

=

0)

=

P(Y

=

1

X

=

1)若性別對體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，可描述為

P

(Y=1X=0)

≠P(Y=1X=1)性別鍛煉合計不經(jīng)常（Y

=0）經(jīng)常（Y

=1）女生（X

=0）192331523男生（X

=1）128473601合計3208041124P(Y

=

1X

=

1)>P(Y

=

1X

=

0)[0,該生不經(jīng)常鍛煉，Y

=

{0,該生為女生，1，該生為男生，，解2：

對于Ω中的每一名學(xué)生，分別令∴性別對體育鍛煉的經(jīng)常性有影響l1

，該生經(jīng)常鍛煉，[X

=

{lXY合計Y

=0Y=1X

=0aba+bX=1cdc+d合計a+cb

+dn

=a+b

+c+d2.2×2列聯(lián)表的概念分類變量X和Y的抽樣數(shù)據(jù)的2×2列聯(lián)表2×2列聯(lián)表給出成對分類變量數(shù)據(jù)的交叉分類頻數(shù)例1.為比較甲、乙兩所學(xué)校學(xué)生的數(shù)學(xué)水平，采用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取88名學(xué)生.通過測驗得到了如下數(shù)據(jù):甲校43名學(xué)生中有10名數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀；乙校45名學(xué)生中有7名

數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀.試分析兩校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率之間是否存在差異.解：用Ω表示兩所學(xué)校的全體學(xué)生構(gòu)成的集合.考慮以Ω為樣本空間的古典概型.對

于Ω中每一名學(xué)生，定義分類變量X和Y如下：因此,甲校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績不優(yōu)秀和數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的頻率分別為

≈

0.7674，

≈

0.2326.乙校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績不優(yōu)秀和數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的頻率分別為

≈

0.8444，

≈

0.

1556.學(xué)校數(shù)學(xué)成績合計不優(yōu)秀

Y=優(yōu)

=甲校

(乙校（X

1）387合計7117[0,

該生數(shù)學(xué)成績不優(yōu)秀，Y

=

{0,

該生來

自

甲校，1，該生來

自

乙校，，l

1

，該生數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀，[X

={l兩個分類變量之間關(guān)聯(lián)關(guān)系的定性分析的方法：(1)頻率分析法：通過對樣本的每個分類變量的不同類別事件發(fā)生的頻

率大小進(jìn)行比較來分析分類變量之間是否有關(guān)聯(lián)關(guān)系.(2)圖形分析法：與表格相比，圖形更能直觀地反映出兩個分類變量間是

否互相影響，常用等高堆積條形圖展示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征.你認(rèn)為“兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率存在差異”這一結(jié)論是否有可能是錯誤的？有可能“兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率存在差異

”這個結(jié)論是根據(jù)兩個頻率間存在差異推斷出

來的.有可能出現(xiàn)這種情況：在隨機(jī)抽取的這個樣本中，兩個頻率間確實存在差異，但

兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率實際上是沒有差別的.對于隨機(jī)樣本而言，因為頻率具有隨

機(jī)性，頻率與概率之間存在誤差，所以我們的推斷可能犯錯誤，而且在樣本容量較小時，

犯錯誤的可能性會較大.因此，需要找到一種更為合理的推斷方法，

同時也希望能對出

現(xiàn)錯誤推斷的概率有一定的控制或估算.獨立性檢驗方法假定我們通過簡單隨機(jī)抽樣得到了X和Y的抽樣數(shù)據(jù)列聯(lián)表，如果零假設(shè)H0成立，則應(yīng)滿足

≈

,

即ad-bc≈0.因此在列聯(lián)表中|ad-bc|越小,說明兩個分類變量之間關(guān)系越弱

;

|ad-bc|越大，說明兩個分類變量之間關(guān)系越強.為了使不同樣本容量的數(shù)據(jù)有統(tǒng)一的評判標(biāo)準(zhǔn)

基于上述分析我們構(gòu)造一個隨機(jī)變量

用χ2取值的大小作為判斷零假設(shè)H0是否成立的依據(jù)，當(dāng)它比較大時推斷H0不成

立，否則認(rèn)為H0成立。這種利用χ2

的取值推斷分類變量X和Y是否獨立的方法稱為χ2

獨立性檢驗，讀作“卡方獨立性檢驗

”，簡稱獨立性檢驗（test

of

independence）.3.獨立性檢驗公式及定義提出零假設(shè)(原假設(shè))H0

：分類變量X和Y獨立4.臨界值的定義對于任何小概率值α

,

可以找到相應(yīng)的正實數(shù)xα

,

使得P(x≥xα)=α成立，我們稱xα

為

α

的臨界值，這個臨界值可作為判斷χ2大小的標(biāo)準(zhǔn)，概率值α越小，臨界值xα越大.χ2獨立性檢驗中幾個常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值.基于小概率值

α

的檢驗規(guī)則：當(dāng)

χ2

≥x

α

時，我們就推斷H0不成立，即認(rèn)為X和Y不獨立，該推斷犯錯誤的概率不超過α

,

即大約有（1-α)

的可能性認(rèn)為X和Y有關(guān)系；當(dāng)

χ2

<x

α

時，我們沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，可以認(rèn)為X和Y獨立.0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828例2

某兒童醫(yī)院用甲、乙兩種療法治療小兒消化不良.采用有放回簡單隨機(jī)抽樣的方法對治療情況進(jìn)行檢查，得到了如下數(shù)據(jù)：抽到接受甲種療法的患兒67名，其中未治愈

15名，治愈52名；抽到接受乙種療法的患兒69名,其中未治愈6名,治愈63名.試根據(jù)小概

率值α=0.005的獨立性檢驗,分析乙種療法的效果是否比甲種療法好.解:零假設(shè)為H0：療法與療效獨立，即兩種療法效果沒有差異.將所給數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，得到兩種療法治療數(shù)據(jù)的列聯(lián)表，療法療效合計未治愈治愈甲155267乙66369合計21115136沒有充分證據(jù)推斷H0不成立,

因此可以認(rèn)為

H0成立，即認(rèn)為

兩種療法效果沒有差異.α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828

0.00152,60則當(dāng)m取下面何值時，X與Y的關(guān)系最弱A.8

B.9

√C.14

D.19解析由10×26≈18m

，解得m

≈14.4

，所以當(dāng)m

＝14時，X與Y的關(guān)系最弱.y1y2x11018x2m26在列聯(lián)表中|ad-bc|越小,說明兩個分類變量之間關(guān)系越弱

;

|ad-bc|越大，

說明兩個分類變量之間關(guān)系越強.3.假設(shè)有兩個分類變量X與Y，它們的可能取值分別為{x1

，x2}和{y1，y2}，其2×2列聯(lián)表為XY合計Y

=0Y=1X

=0aba+bX=1cdc+d合計a+cb

+dn

=a+b

+c+d因為|ad－bc|的值越大，兩個分類變量有關(guān)系的可能性就越大，故選A.5.在2×2列聯(lián)表中，兩個比值相差越大

，

兩個分類變量有關(guān)系的可能性就越大

，那么這兩個比值為

√6.(1)為了判定兩個分類變量X和Y是否有關(guān)系，應(yīng)用獨立性檢驗法算的χ2為5.003

，又已知P(χ2

≥3.841)

＝0.05

，P(χ2

≥6.635)

＝0.01

，則下列說法正確的是

(

)√A.在犯錯誤的概率不超過5%的前提下，認(rèn)為“X和Y有關(guān)系

”B.在犯錯誤的概率不超過5%的前提下，認(rèn)為“X和Y沒有關(guān)系

”C.依據(jù)小概率值α

=0.01的獨立性檢驗，認(rèn)為“X和Y有關(guān)系

”D.依據(jù)小概率值α

=0.01的獨立性檢驗，認(rèn)為“X和Y沒有關(guān)系

”解：

∵

3.841

＝x0.05<χ2

＝5.003<6.635

＝x0.01

，又P(χ2

≥3.841)

＝0.05，:依據(jù)小概率值α

=0.05的獨立性檢驗，在犯錯誤的概率不超過5%的前提

下，即大約95%的可能性認(rèn)為“X和Y有關(guān)系

”.xαα0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828(2)有關(guān)獨立性檢驗的四個命題，其中不正確的是

(

)A.兩個變量的2×2列聯(lián)表中，對角線上數(shù)據(jù)的乘積之差的絕對值越大，說明兩個變量有關(guān)系成立的可能性就越大B.對分類變量X與Y的隨機(jī)變量χ2來說，χ2越小，認(rèn)為“X與Y有關(guān)系

”的犯錯誤的概率越大√C.由獨立性檢驗可知：在犯錯誤的概率不超過5%的前提下，認(rèn)為禿頂與患心臟病有關(guān)，我們說某人禿頂，那么他有95%的可能患有心臟病D.依據(jù)小概率值α

=0.01的獨立性檢驗，認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)，是指在犯錯誤的概

率不超過1%的前提下，即大約有99%的可能性認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)√

√xαα0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解析由題意可知

a>5

，且15－a>5

，a∈Z，8.(多選)針對時下的“抖音熱

”，某校團(tuán)委對“學(xué)生性別和喜歡抖音是否有關(guān)

”作了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的男女生人數(shù)相同，男生喜歡抖音的人數(shù)占男生人數(shù)的

，女生喜歡抖音

的人數(shù)占女生人數(shù)的

，若在犯錯誤的概率不超過5%的前提下，認(rèn)為是否喜歡抖音和性別

有關(guān)，則調(diào)查人數(shù)中男生可能有（

）人A.25

√B.45

√C.60

D.75解析設(shè)男生的人數(shù)為5n(n

∈N*)