專題2.3兩直線的位置關(guān)系（分層練習(xí)）（提升練）單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2023上·河北邯鄲·七年級(jí)?？计谀┮阎?，則的余角為（

）A． B． C． D．2．（2020下·遼寧撫順·七年級(jí)統(tǒng)考期末）為直線上一點(diǎn)，，若，則（

）A．30° B．40° C．50° D．60°3．（2023上·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，將三個(gè)大小不同的正方形的一個(gè)頂點(diǎn)重合放置，則三個(gè)角的數(shù)量關(guān)系為（）A． B．C． D．4．（2018下·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們?cè)诰毩?xí)過(guò)點(diǎn)B作線段AC所在直線的垂線段，正確的是（

）A．A B．B C．C D．D5．（2023下·安徽池州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在同一個(gè)平面內(nèi)，是直線外一點(diǎn)，分別是上三點(diǎn)，已知，，若點(diǎn)到的距離是，則（

）A． B． C． D．6．（2023下·遼寧朝陽(yáng)·七年級(jí)?？计谥校┤襞c相等且互補(bǔ)，與是對(duì)頂角，則的一半是（

）A． B． C． D．7．（2020下·山東濰坊·七年級(jí)統(tǒng)考期中）把一張長(zhǎng)方形紙片沿翻折后，點(diǎn)，分別落在、的位置上，交于點(diǎn)，則圖中與互補(bǔ)的角有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)8．（2020上·福建福州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）圖，C是直線AB上一點(diǎn)，CD⊥AB，EC⊥CF，則圖中互余的角的對(duì)數(shù)與互補(bǔ)的角的對(duì)數(shù)分別是（

）A．3，4 B．4，7 C．4，4 D．4，59．（2021上·河北承德·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，正方形網(wǎng)格中，ABC的頂點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，對(duì)于點(diǎn)P，Q，M，N分別與點(diǎn)B，C為頂點(diǎn)構(gòu)成三角形，面積與ABC不相等的是（

）A．P B．Q C．M D．N10．（2023下·山東聊城·七年級(jí)統(tǒng)考期末）下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是（

）A．互余且相等的兩個(gè)角各是B．一個(gè)角的余角一定小于這個(gè)角的補(bǔ)角C．如果，那么的余角與的余角的和等于的余角D．如果，那么的余角與的余角的和等于的補(bǔ)角填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（2023下·上海長(zhǎng)寧·六年級(jí)校聯(lián)考期末）已知與互補(bǔ)，，則的大小是．12．（2020上·江蘇鹽城·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，∠COE＝90°，∠BOD∶∠BOC＝1∶5，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥AB，則∠EOF的度數(shù)為．

13．（2021下·湖北武漢·七年級(jí)校考階段練習(xí)）已知和的兩邊分別互相垂直，且比的2倍少，求的度數(shù)．14．（2023下·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，中，，P為直線上一動(dòng)點(diǎn)，連，則線段的最小值是．15．（2023上·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)吉林省第二實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谀┤鐖D，直線、相交于點(diǎn)，．若與的度數(shù)之比為，則的度數(shù)是．

16．（2023上·遼寧沈陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在直線l上順次取三點(diǎn)A，O，B，過(guò)點(diǎn)O作射線，，若，，則的度數(shù)為．17．（2019上·浙江杭州·七年級(jí)期末）平面內(nèi)不過(guò)同一點(diǎn)的條直線兩兩相交，它們交點(diǎn)個(gè)數(shù)記作，并且規(guī)定，則，．18．（2023上·遼寧沈陽(yáng)·七年級(jí)沈陽(yáng)市雨田實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┮桓比前灏磮D1方式拼接在一起，其中邊，與直線重合，，，保持三角板不動(dòng)，將三角板繞著點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，（如圖2），在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中兩塊三角板都在直線的上方，當(dāng)平分由，，其中任意兩邊組成的角時(shí)，的值為．三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（2024上·寧夏吳忠·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如果兩個(gè)角的和等于，就說(shuō)這兩個(gè)角互為余角．如果兩個(gè)角的和等于就說(shuō)這兩個(gè)角互為補(bǔ)角．（1）若的余角是，的補(bǔ)角是，則和之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？（2）若一個(gè)角的補(bǔ)角是這個(gè)角的余角的4倍，求這個(gè)角的度數(shù)．20．（8分）（2023下·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，．（1）若，判斷ON與CD的位置關(guān)系．請(qǐng)將下面的解題過(guò)程補(bǔ)充完整，在括號(hào)內(nèi)填寫理由．解：ON______CD．理由如下：因?yàn)椋訽_____°．所以______．又因?yàn)?，所以______（等量代換），即．所以__________（__________）．若，求的度數(shù)．21．（10分）（2021下·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，直線，與的面積相等嗎？為什么？你還能畫出一些與面積相等的三角形嗎？22．（10分）（2024上·河北保定·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖點(diǎn)A，O，B在同一條直線上，過(guò)點(diǎn)O作射線，，，，且和互余，與互余，平分．（1）判斷和之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（2）判斷是否平分，并說(shuō)明理由．23．（10分）（2023上·重慶忠縣·七年級(jí)統(tǒng)考期末）過(guò)直線上的點(diǎn)引如圖所示的射線、、、，滿足，，平分，平分．（1）求的大??；（2）判斷點(diǎn)是否在同一直線上；（3）在圖②中，過(guò)點(diǎn)作，延長(zhǎng)至點(diǎn)，說(shuō)明．24．（12分）（2024上·山西大同·七年級(jí)校聯(lián)考期末）綜合與探究如圖①，直角三角尺ABC和直角三角尺ADE的頂點(diǎn)A重合，且頂點(diǎn)E，A，C在一條直線上，，，，保持三角尺ABC不動(dòng)，將三角尺ADE繞頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)E落在射線AC上時(shí)停止）．（1）當(dāng)三角尺ADE旋轉(zhuǎn)至如圖②所示的位置時(shí)，若，求的度數(shù)．（2）當(dāng)三角尺ADE旋轉(zhuǎn)至AD在內(nèi)時(shí)（如圖③），與之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)與互余時(shí)，直接寫出的度數(shù)．參考答案：1．C【分析】本題主要考查了余角的概念及角度的計(jì)算．兩個(gè)角的和等于，則這兩個(gè)角互為余角.掌握余角的概念是解題的關(guān)鍵．解：的余角為.故選：C2．C【分析】首先根據(jù)垂線的定義可知：∠COD=90°，從而可得到∠1+∠2=90°，由∠1=40°，即可得出結(jié)果．解：∵OC⊥OD，∴∠COD=90°，∵∠1=40°，∴∠2=180°-∠COD-∠1=180°-90°-40°=50°．故選：C．【點(diǎn)撥】本題主要考查的是垂線的定義、角的互余關(guān)系；熟練掌握垂線的定義是解決問題的關(guān)鍵．3．C【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，余角的計(jì)算，正確理解這一關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．解：根據(jù)，即可求得，，代入，從而求解．解：如圖：∵三個(gè)大小相同的正方形，∴，∴，，∴，即，故選：C．4．A解：A.根據(jù)垂線段的定義，故A正確；B.BD不垂直AC，所以錯(cuò)誤；C.是過(guò)點(diǎn)D作的AC的垂線，所以錯(cuò)誤；D.過(guò)點(diǎn)C作的BD的垂線，也錯(cuò)誤.故選：A.5．A【分析】根據(jù)“直線外一點(diǎn)到直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短”進(jìn)行解答即可．解：∵直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短，∴點(diǎn)P到直線l的距離，即．故選：A．【點(diǎn)撥】本題主要考查了點(diǎn)到直線的距離，熟知直線外一點(diǎn)到直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短是解答本題的關(guān)鍵．6．B【分析】根據(jù)互補(bǔ)的兩個(gè)角的和等于，以及與互補(bǔ)且相等可求，再根據(jù)對(duì)頂角相等求出，進(jìn)一步即可得解解：∵與互補(bǔ)且相等，與是對(duì)頂角，的一半是，故選B【點(diǎn)撥】本題考查了對(duì)頂角相等的性質(zhì)，補(bǔ)角的定義，是基礎(chǔ)題，熟記性質(zhì)與概念是解題的關(guān)鍵7．C【分析】根據(jù)對(duì)折的性質(zhì)可知，∠FEG=∠FEC，找出與∠FEC互補(bǔ)的角即可．解：∵將長(zhǎng)方形紙片沿翻折得到如上圖形∴∠FEG=∠FEC，∠EFD=∠EF由圖形知，∠FEC與∠FCB互補(bǔ)∵AD∥BC，∴∠FEC與∠EFD互補(bǔ)∴∠EF與∠EFD也互補(bǔ)故選：C【點(diǎn)撥】本題考查對(duì)折的性質(zhì)和互補(bǔ)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是將∠FEG轉(zhuǎn)化為∠FEC．8．B【分析】根據(jù)垂直的定義、角互余與互補(bǔ)的定義即可得．解：，，，，，，，，，，則圖中互余的角的對(duì)數(shù)為4對(duì)；，，點(diǎn)C是直線AB上一點(diǎn)，，，，又，，，，則圖中互補(bǔ)的角的對(duì)數(shù)為7對(duì)，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了垂直的定義、角互余與互補(bǔ)的定義，熟練掌握各定義是解題關(guān)鍵．9．B【分析】利用平行線的性質(zhì)，以及三角形同底等高面積相等的性質(zhì)進(jìn)行判定即可解答．解：因?yàn)檎叫尉W(wǎng)格中，P，Q，M，N都在網(wǎng)格格點(diǎn)上，如圖，過(guò)A點(diǎn)作BC的平行線，則這條平行線經(jīng)過(guò)N，根據(jù)兩平行線之間距離相等的特點(diǎn)，可得，N與點(diǎn)B，C為頂點(diǎn)構(gòu)成三角形，面積與ABC相等，故D選項(xiàng)不符合題意；過(guò)M點(diǎn)作BC的平行線，恰好經(jīng)過(guò)M點(diǎn)、P點(diǎn)，根據(jù)三邊對(duì)應(yīng)相等可得,M、P分別與點(diǎn)B，C為頂點(diǎn)構(gòu)成三角形，面積與ABC相等，故A、C選項(xiàng)不符合題意；與中，底邊BC相等，但是高不相等，所以與面積不相等，Q分別與點(diǎn)B，C為頂點(diǎn)構(gòu)成三角形，面積與ABC不相等，故B選項(xiàng)符合題意；故正確選項(xiàng)為:B．【點(diǎn)撥】題目主要考查了兩平行線間距離相等，兩個(gè)三角形同底等高則面積相等的性質(zhì)．10．C【分析】根據(jù)如果兩個(gè)角的和為，稱這兩個(gè)角互為余角；如果兩個(gè)角的和為，稱這兩個(gè)角互為補(bǔ)角，以此計(jì)算即可．解：A.互余且相等的兩個(gè)角各是，正確，不符合題意；B.設(shè)這個(gè)為，則它的余角為，它的補(bǔ)角為，故，正確，不符合題意；C.的余角為，的余角為，的余角為，的余角與的余角的和等于，錯(cuò)誤，符合題意；D.的余角為，的余角為，的余角為，的余角與的余角的和等于，正確，不符合題意；故選Ｃ．【點(diǎn)撥】本題考查了余角，補(bǔ)角的計(jì)算，正確理解定義是解題的關(guān)鍵．11．【分析】根據(jù)與互補(bǔ)，得到，代入計(jì)算即可．解：∵與互補(bǔ)，∴；∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了兩個(gè)角的互補(bǔ)即兩個(gè)角的和為，正確理解定義，熟練掌握計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．12．30°或150°【分析】作出圖形，分OF、OE在直線AB的同側(cè)或異側(cè)兩種情況討論.根據(jù)平角的定義可求∠BOD，根據(jù)余角的定義可求∠BOE，根據(jù)余角的性質(zhì)和角的和差關(guān)系可求∠EOF或∠EOF'的度數(shù)即可.解：∵∠BOD：∠BOC=1：5，∠BOD+∠BOC=180°，∴∠BOD=30°.∵∠COE=90°，∴∠DOE=90°，∴∠BOE=90°-30°=60°.①若OF、OE在直線AB的同側(cè).∵FO⊥AB，∴∠FOB=90°，∴∠EOF=∠BOD=30°.②若OF'、OE在直線AB的同側(cè).∵F'O⊥AB，∴∠F'OB=90°，∴∠EOF'=∠EOB+∠F'OB=60°+90°=150°.綜上所述：∠EOF的度數(shù)為30°或150°.

故答案為：30°或150°.【點(diǎn)撥】本題考查了余角、鄰補(bǔ)角.熟練掌握平角等于180度，直角等于90度，余角的定義和性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.13．或【分析】有兩種情況：①如圖1，根據(jù)，列方程可得結(jié)論；②如圖2，根據(jù)，列方程可得結(jié)論．解：設(shè)，則，分兩種情況：①如圖1，和的兩邊分別互相垂直，

，即，，；②如圖2，，，

，，，，綜上所述，的度數(shù)為或，故答案為：或．【點(diǎn)撥】此題主要考查了角的計(jì)算，以及垂直的定義，關(guān)鍵是根據(jù)圖形理清角之間的和差關(guān)系．14．【分析】根據(jù)垂線段最短，得到當(dāng)時(shí)，的值最小，利用等積法進(jìn)行計(jì)算即可。解：∵點(diǎn)到直線的距離，垂線段最短，∴當(dāng)時(shí)，的值最小，在中，∵，∴，即：，∴，故答案為．【點(diǎn)撥】本題考查垂線段最短，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用面積法求高，屬于中考?？碱}型．15．120【分析】根據(jù)題意求得，進(jìn)而根據(jù)對(duì)頂角相等得出，根據(jù)即可求解．解：，與的度數(shù)之比為，，直線、相交于點(diǎn)，，，，故答案為：120．【點(diǎn)撥】本題考查了對(duì)頂角相等，幾何圖形中角度的計(jì)算，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．16．或【分析】先求解，分兩種情況討論：當(dāng)在的內(nèi)部時(shí)，當(dāng)在的外部時(shí)，再根據(jù)角的和差關(guān)系可得答案．解：∵，，∴，如圖，當(dāng)在的內(nèi)部時(shí)，

此時(shí)，∴，當(dāng)在的外部時(shí)，此時(shí)，∴，故答案為：或．【點(diǎn)撥】本題考查了角的和差運(yùn)算，鄰補(bǔ)角的含義，根據(jù)角的和差關(guān)系求出的度數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．17．1..【分析】條直線相交只有一個(gè)交點(diǎn)，條直線相交，交點(diǎn)數(shù)是，條直線相交，交點(diǎn)數(shù)是，即，可寫出，的解.解：求平面內(nèi)不過(guò)同一點(diǎn)的條直線兩兩相交的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，可由簡(jiǎn)入繁，當(dāng)2條直線相交時(shí)，交點(diǎn)數(shù)只有一個(gè)；當(dāng)3條直線相交時(shí)，交點(diǎn)數(shù)為兩條時(shí)的數(shù)量第3條直線與前兩條的交點(diǎn)2個(gè)，即交點(diǎn)數(shù)是；同理，可以推導(dǎo)當(dāng)n條直線相交時(shí)，交點(diǎn)數(shù)是，即，，，本題的答案為：1，.【點(diǎn)撥】本題考查了平面內(nèi)直線兩兩相交交點(diǎn)數(shù)的計(jì)算，涉及到一種很重要的數(shù)學(xué)方法數(shù)學(xué)歸納法的初步應(yīng)用接觸，此方法在推導(dǎo)證明中比較常用.18．或或【分析】分①當(dāng)在左邊且平分時(shí)，②當(dāng)在右邊且平分時(shí)，③當(dāng)在右邊且平分時(shí)，三類討論位置，根據(jù)平角定義列式即可得到答案．解：①當(dāng)在左邊且平分時(shí)，∵，，∴；②當(dāng)在右邊且平分時(shí)，∵，∴，∵，∴，∴；③當(dāng)在右邊且平分時(shí)，∵，∴，∴，綜上所述的值為或或．【點(diǎn)撥】本題考查角平分線及角度加減，解題的關(guān)鍵是分類討論位置．19．（1）；（2）60度．【分析】本題考查了余角和補(bǔ)角的定義，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意列代數(shù)式，求解即可．（2）根據(jù)題意列一元一次方程，求解即可．（1）解：，．（2）解：設(shè)這個(gè)角為x度，則它的余角為度，它的補(bǔ)角為度．根據(jù)題意可得：，解得，答：這個(gè)角的度數(shù)為度．20．（1）⊥，90，，，，垂直的定義；（2）解：（1）⊥

90

垂直的定義（2）因?yàn)?，所以．因?yàn)椋裕裕裕裕裕?1．相等，見分析【分析】根據(jù)平行線間距離處處相等，證明即可．解：面積相等，理由如下：如圖所示，作于M點(diǎn)，于N點(diǎn)，∵，∴AM=DN，∵，，∴，經(jīng)過(guò)證明，只要以BC為底邊，頂點(diǎn)落在上的三角形，面積均與的面積相等，如下圖：，等，均滿足面積等于的面積．【點(diǎn)撥】本題考查平行線的基本性質(zhì)，掌握平行線間的距離處處相等，是解題關(guān)鍵．22．（1），理由見分析；（2）平分，理由見