高一數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷選擇題（共60分）一、選擇題（本題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的．）1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則的虛部為（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義及復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，結(jié)合復(fù)數(shù)的概念即可求解.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，所以，所以，故的虛部為.故選：D.2.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出，再由垂直得到方程，求出答案.【詳解】由題意得，故，解得.故選：A3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式化簡(jiǎn)即可.【詳解】所以.故選：D4.已知，，則在上的投影向量是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)在上投影向量是計(jì)算即可解決.【詳解】由題知，，所以，設(shè)與夾角為，所以在上的投影向量是.故選：B5.在中，，為上一點(diǎn)，且，若，則的長(zhǎng)度為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出的長(zhǎng)，設(shè)，則，，利用余弦定理可得出關(guān)于的等式，求出的值，即可求得的長(zhǎng)度.【詳解】在中，，為上一點(diǎn)，且，則，因?yàn)椋O(shè)，則，，由余弦定理可得，即，解得，故.故選：B.6.已知平行四邊形中，，，．若點(diǎn)滿足，點(diǎn)為中點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將向量、、用基底表示，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得的值.【詳解】如下圖所示：因?yàn)?，則，又因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，則，，，所以，.故選：C.7.三國(guó)時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽在對(duì)《九章算數(shù)》作注時(shí)，給出了“割圓術(shù)”求圓周率的方法；魏晉南北朝時(shí)期，祖沖之利用割圓術(shù)求出圓周率約為，這一數(shù)值與的誤差小于八億分之一．現(xiàn)已知的近似值還可表示為，則的值為（）A. B. C.8 D.【答案】C【解析】【分析】將代入，結(jié)合三角函數(shù)的基本關(guān)系式、三角恒等變換的公式，準(zhǔn)確化簡(jiǎn)、運(yùn)算，即可求解.【詳解】由題意，將代入，可得.故選：C.8.在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，記以、、為邊長(zhǎng)的三個(gè)正三角形的面積分別為、、且，若，，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角形的面積公式、余弦定理結(jié)合已知條件可得出關(guān)于、、的方程組，解出這三個(gè)量的值，求出的值，利用三角形的面積公式可求得該三角形的面積.【詳解】因?yàn)椋砜傻?，，所以，，所以，，①，即，②又因?yàn)椋?，?lián)立①②③可得，，，因?yàn)?，則為銳角，且，因此，.故選：A.二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．）9.已知復(fù)數(shù)，則（）A.的共軛復(fù)數(shù)是 B.對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限C. D.若復(fù)數(shù)滿足，則的最大值是6【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于選項(xiàng)A，由共軛復(fù)數(shù)的定義即可判斷；對(duì)于選項(xiàng)B，先求，再判斷對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限；對(duì)于選項(xiàng)C，分別求出和即可判斷；對(duì)于選項(xiàng)D，可用復(fù)數(shù)模的三角不等式求解，或用復(fù)數(shù)模的幾何意義轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)和定點(diǎn)的距離的最值問(wèn)題來(lái)求解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，由復(fù)數(shù)，得的共軛復(fù)數(shù)是，故選項(xiàng)A正確.對(duì)于選項(xiàng)B，由復(fù)數(shù)，得，所以對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為在第二象限.故選項(xiàng)B正確.對(duì)于選項(xiàng)C，，，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)D，解法一：因?yàn)?，利用?fù)數(shù)模的三角不等式得.解法二：如圖，因?yàn)樵趶?fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，表示在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到的距離等于，所以表示的點(diǎn)的軌跡為圓心在，半徑等于的圓.因?yàn)?，，所以?dāng)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在處時(shí)，的最大值為.故選項(xiàng)D正確.故選：ABD10.關(guān)于平面向量，下列說(shuō)法不正確的是（）A.若，則B.兩個(gè)非零向量，，若，則與共線且反向C.若向量與向量共線，則D.若，，且與的夾角為銳角，則【答案】ACD【解析】【分析】AC選項(xiàng)，可舉出反例；B選項(xiàng)，由兩邊平方后化簡(jiǎn)得到，故與共線且反向，B正確；D選項(xiàng)，根據(jù)兩向量夾角為銳角得到不等式組，求出的取值范圍.【詳解】A選項(xiàng)，設(shè)，滿足，但，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，兩邊平方得，，即，即，又，故，故，所以與共線且反向，B正確；C選項(xiàng)，可設(shè)，此時(shí)向量為零向量，不論為何值，向量與向量共線，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，，因?yàn)榕c的夾角為銳角，所以且與不同向共線，即，解得，D錯(cuò)誤.故選：ACD11.已知函數(shù)，方程在區(qū)間上有且僅有3個(gè)不等實(shí)根，則（）A.的取值范圍是B.在區(qū)間為上單調(diào)遞增C.若，則直線是曲線的對(duì)稱軸D.在區(qū)間上存在，，滿足【答案】AC【解析】【分析】利用正弦函數(shù)的性質(zhì)及條件可得，即，然后結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即得.【詳解】因?yàn)榉匠淘趨^(qū)間上有且僅有3個(gè)不等實(shí)根，所以方程在區(qū)間上有且僅有3個(gè)不等實(shí)根，因?yàn)?，所以，則，令，則，由題意，函數(shù)與函數(shù)有3個(gè)交點(diǎn)，畫(huà)出圖像進(jìn)行分析:由圖象易知，解得，即的取值范圍是，故A正確；若，則，此時(shí)，令，，得，，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，即直線是曲線的對(duì)稱軸，故C正確；由，此時(shí)，，所以在上不單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；因?yàn)樵趨^(qū)間上存在，，滿足，所以在上至少有兩次最大值，因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，此時(shí)，函數(shù)在上只有1個(gè)最大值，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，函數(shù)在上有2個(gè)最大值，所以在區(qū)間上不一定存在，，滿足，故D錯(cuò)誤；故選：AC.12.已知函數(shù)，若存在非零常數(shù)T，，都有成立，我們就稱函數(shù)為“T不減函數(shù)”，若，都有成立，我們就稱函數(shù)為“嚴(yán)格T增函數(shù)”．則（）A.函數(shù)是“T不減函數(shù)”B.函數(shù)為“嚴(yán)格增函數(shù)”C.若函數(shù)是“不減函數(shù)”，則k的取值范圍為D.已知函數(shù)，函數(shù)是奇函數(shù)，且對(duì)任意的正實(shí)數(shù)T，是“嚴(yán)格T增函數(shù)”，若，，則【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)“T不減函數(shù)”和“嚴(yán)格T增函數(shù)”的概念與性質(zhì)，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可判斷AB；根據(jù)函數(shù)新定義，結(jié)合不等式恒成立，即可判斷C；根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性可得，即可判斷D.【詳解】A：，則，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以函數(shù)是“T不減函數(shù)”，故A正確；B：函數(shù)，則，得，由，得，所以，所以即在上不恒成立，故函數(shù)不是“嚴(yán)格增函數(shù)”，故B錯(cuò)誤；C：因?yàn)楹瘮?shù)是“不減函數(shù)”，所以對(duì)恒成立，對(duì)恒成立，得，即對(duì)恒成立，又，所以，則，即實(shí)數(shù)k的取值范圍為，故C正確；D：函數(shù)的定義域?yàn)镽，，所以函數(shù)為奇函數(shù)，得，又函數(shù)為奇函數(shù)，得，所以.又函數(shù)和在R上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增，所以，即函數(shù)為奇函數(shù)，又函數(shù)為“嚴(yán)格T增函數(shù)”，，所以，得，則，即，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】“新定義”主要是指即時(shí)定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問(wèn)題，有時(shí)還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對(duì)新定義的透徹理解.對(duì)于此題中的新概念，對(duì)閱讀理解能力有一定的要求.但是，透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)，所以說(shuō)“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬(wàn)變才是制勝法寶.第Ⅱ卷非選擇題（共90分）三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知A，B，C三點(diǎn)共線，若，則______．【答案】##0.5【解析】【分析】根據(jù)向量共線的充要條件計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，故有而，故，解之得.故答案為：14.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到曲線，若曲線關(guān)于軸對(duì)稱，則曲線的一個(gè)對(duì)稱中心為_(kāi)_____．【答案】（對(duì)稱中心坐標(biāo)為）【解析】【分析】求出曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性可求得的值，再利用正弦型函數(shù)的對(duì)稱性可求得曲線的對(duì)稱中心坐標(biāo)，即可得解.【詳解】將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到曲線，則曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為，由題意可知，函數(shù)為偶函數(shù)，則，解得，因?yàn)椋瑒t，所以，，曲線由可得，所以，曲線的一個(gè)對(duì)稱中心為.故答案為：.15.已知為銳角，且滿足，則______．【答案】【解析】【分析】利用三角恒等變換得到，結(jié)合為銳角求出，得到答案.【詳解】，故，即，因?yàn)?，所以，故，解得，則.故答案為：16.已知函數(shù)，若任意，存在，滿足，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】由，求得，根據(jù)題意得到，再由，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由，可得，則，可得，即，因?yàn)槿我?，存在，滿足，是的值域的子集，因?yàn)?，可得，則，則滿足，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）17.已知復(fù)數(shù)，．（1）若是純虛數(shù)，求的值；（2）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線上，求a的值．【答案】（1）；（2）或．【解析】【分析】（1）求得，根據(jù)純虛數(shù)的定義求得，再根據(jù)模長(zhǎng)公式求解即可；（2）求得，從而可得，求解即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，要使是純虛?shù)，需滿足，，解得，所以，．．【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為又因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在直線上，所以．整理得．解得或．故a值為或．18.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．（1）求的解析式，并求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，，求值．【答案】（1），單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)部分圖象及三角函數(shù)的周期的公式，利用三角函數(shù)的最值和單調(diào)性即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及函數(shù)值的定義，利用同角三角函數(shù)函數(shù)的平方關(guān)系及兩角和的余弦公式即可求解.【小問(wèn)1詳解】由圖象可得的最小正周期，故，又，可知．由，，解得，，又因?yàn)?，得，所以．由，，解得，，所以函?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．【小問(wèn)2詳解】由（1）知，因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，所以，．19.在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，．（1）若A，B，C三點(diǎn)共線，求x的值；（2）當(dāng)時(shí)，直線OC上是否存在一點(diǎn)M，使取得最小值？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，試說(shuō)明理由．【答案】（1）4（2）存在，此時(shí)．【解析】【分析】（1）根據(jù)向量平行的充要條件計(jì)算即可；（2）設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示計(jì)算，結(jié)合二次函數(shù)求最值即可.【小問(wèn)1詳解】由題意可得：，，因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以，故，解得．【小問(wèn)2詳解】假設(shè)直線OC上存在M點(diǎn)，因?yàn)?，所以，設(shè)，則，．當(dāng)時(shí)，取最小值，此時(shí)．20.在①；②；③設(shè)的面積為S，且．這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上．并加以解答．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且__________，．（1）若，求的面積；（2）若為銳角三角形，求的取值范圍．【答案】（1）任選一條件，面積皆為；（2）【解析】【分析】（1）若選①，利用正弦定理可得；若選②，利用切化弦可得；若選③，利用及余弦定理可得.后利用及余弦定理可得，即可得的面積；（2）由（1）及正弦定理，可得，求出范圍后可得答案.【小問(wèn)1詳解】選①，利用正弦定理化簡(jiǎn)得，整理得，即，因，故，又，故．選②，因?yàn)?，所以，又，故．又，故．選③，因?yàn)?，即，所以，根?jù)余弦定理可得，所以，又，故．由余弦定理得，即，解得，所以的面積．【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，由正弦定理得：在銳角ABC中，，即，所以，即．又，所以，故．21.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)于函數(shù)，稱向量為函數(shù)的伴隨向量，同時(shí)稱函數(shù)為向量的伴隨函數(shù)．（1）設(shè)函數(shù)，試求的伴隨向量；（2）將（1）中函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把整個(gè)圖象橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變）得到的圖象，已知，，問(wèn)在的圖象上是否存在一點(diǎn)P，使得．若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）存在點(diǎn)滿足題意.【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件及兩角和的余弦公式，利用降冪公式及伴隨向量的定義即可求解；（2）根據(jù)（1）及輔助角公式，利用三角函數(shù)的平移變換及伸縮變換，結(jié)合和向量垂直的條件、三角函數(shù)及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【小問(wèn)1詳解】所以的伴隨向量．【小問(wèn)2詳解】，由函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把整個(gè)圖象橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變）得到的圖象，得，假設(shè)存在點(diǎn)，使得，則．即．又因?yàn)椋?，所以．又因?yàn)椋援?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，和和同時(shí)等于．此時(shí)，故在函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)P，使得．22.某公園有一塊長(zhǎng)方形空地ABCD，如圖，，．為迎接“五一”觀光游，在邊界BC上選擇中點(diǎn)E，分別在邊界AB、CD上取M、N兩點(diǎn)，現(xiàn)將三角形地塊MEN修建