銳角三角函數(shù)（第5課時）人教版九年級數(shù)學(xué)下冊

1．如圖，在Rt△ABC

中，∠C＝90°．

sinA＝____________＝____；

cosA＝____________＝____；

tanA＝____________＝____．ACB斜邊c對邊a鄰邊

b

2．將30°，45°，60°角的正弦值、余弦值和正切值填入下表：

銳角A銳角三角函數(shù)30°45°60°sinAcosAtanA1類型一、非特殊角的三角函數(shù)值在生活中的應(yīng)用ABODCE

1．下圖是一個半圓形橋洞截面的示意圖，圓心為

O，直徑

AB是河底線，弦

CD是水位線，CD∥AB，且

CD＝24

m，OE⊥CD于點

E．已測得

sin∠DOE＝

．（1）求

AB的長；（2）根據(jù)需要，水面要以

0.5

m/h的速度下降，則經(jīng)過多長時間才能將水排干？ABODCE

解：（1）∵OE⊥CD于點

E，CD＝24

m，

∴ED＝

CD＝12（m）．在

Rt△DOE中，∵sin∠DOE＝

＝

，

∴OD＝

＝13（m），

∴AB＝26（m）．（2）在Rt△DOE中，OE＝

＝

＝5，

∴將水排干需5÷0.5＝10（h）．答：經(jīng)過10

h才能將水排干．ABDCEFα

2．CD是掛在墻上的一幅畫，高為

1.5

m．畫的下端與地面之間的距離

DE為

2.5

m，一個高

1.6

m的人在距離墻

1.2

m處看畫，求此人的視角

α的正切值．

解：由題意，得

AF＝1.2

m，DF＝2.5－1.6＝0.9（m），∴AD＝

＝1.5（m），∴CD＝AD，∴α＝∠C，在

Rt△AFC中，tan

C＝

＝

＝

，∴視角

α的正切值為

．

3．如圖，在離地面

5

m的點

C處引拉線固定電線桿，拉線與地面成

60°角，求拉線

AC的長以及拉線下端點

A與桿底

D的距離

AD（結(jié)果保留根號）．類型二、特殊角的三角函數(shù)值在生活中的應(yīng)用

解：在

Rt△ADC中，∵sin∠CAD＝

，tan∠CAD＝

，

∴AC＝

＝

＝

（m），

AD＝

＝

＝

（m）．答：拉線

AC的長是

m，拉線下端點

A與桿底

D的距離

AD是

m．類型二、特殊角的三角函數(shù)值在生活中的應(yīng)用

4．在數(shù)學(xué)拓展課程《玩轉(zhuǎn)學(xué)具》課堂中，小陸同學(xué)發(fā)現(xiàn)：一副三角板中，含

45°的三角板的斜邊與含

30°的三角板的長直角邊相等．于是，小陸同學(xué)提出一個問題：如圖，將一副三角板直角頂點重合拼放在一起，點

B，C，E在同一直線上，若

BC＝2，求

AF（結(jié)果保留根號）．

解：在Rt△ABC中，BC＝2，∠A＝30°，tan

A＝

，

∴AC＝

＝2，

∴EF＝AC＝2．在Rt△CEF中，∠E＝45°，sin

E＝

，

∴FC＝EF·sin45°＝

，

∴AF＝AC－FC＝2－

．類型三、構(gòu)造直角三角形解決實際問題

5．如圖，△ABC表示某中學(xué)的一塊三角形空地，為美化校園環(huán)境，準備在空地內(nèi)種植草皮，已知某種草皮的售價為

a元/m2，則購買這種草皮至少花費多少元？

解：如圖，作

BA邊的高

CD，與

BA的延長線交于點

D．

∵∠BAC＝150°，∴∠DAC＝30°．

∵在

Rt△ADC中，AC＝30

m，sin∠DAC＝

，

∴CD＝AC·sin∠DAC＝15（m），

∵AB＝20

m，

∴S△ABC＝

AB·CD＝×20×15＝150（m2）．

∵這種草皮的售價為

a元/m2，

∴購買這種草皮至少需要

150a元．D

6．如圖，在相距

100

m的

A，B兩處觀測工廠

C，測得∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，求

A，B兩處到工廠

C的距離．

解：如圖，過點C作

CD⊥AB于點

D．在

Rt△ACD中，∠A＝60°，tan

A＝

，∴CD＝AD·tan

60°＝

AD．在

Rt△BCD中，∠B＝45°，∴BD＝CD＝

AD．又

AB＝100

m，

∴AD＋BD＝AD＋

AD＝100，D解得

AD＝50(－1)m，∴BD＝CD＝50(3－

)m．在Rt△ACD中，∠A＝60°，cos

A＝

，∴AC＝100(－1)m．在Rt△BCD中，∠B＝45°，cos

B＝

，∴BC＝50(3－

)m．故

A，B兩處到工廠

C的距離分別為

100(－1)m，50(3－

)m．歸納（1）在作垂線構(gòu)造直角三角形時，不要破壞特殊角（30°，45°，60°）的完整性，即盡量不要過這些特殊角的頂點作垂線．（2）當(dāng)題目中出現(xiàn)150°，120°，105°，75°等角度時，要通過“割補”法，把這些角度轉(zhuǎn)化為30°，45°，60°，再利用這些角的三角函數(shù)值解決問題．ABCD

7．如圖，一塊三角形的草地，其中

BC＝10

m，tan

B＝2，tan

C＝

，試求這塊草地的面積．

解：如圖，過點

A作

AD⊥BC于點

D．

∵tan

B＝2，∴

＝2．

∵tan

C＝

，∴

＝

．則設(shè)

AD＝x，則

BD＝

x，DC＝2x，故

x＋2