相似三角形（第9課時）教學(xué)目標(biāo)1．通過探索測量河寬的學(xué)習(xí)過程，使學(xué)生了解數(shù)學(xué)建模的思想，從而能夠?qū)嶋H問題轉(zhuǎn)化為相似三角形的數(shù)學(xué)模型，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力．2．會運用相似三角形的知識，求出不能到達的物體的兩點之間的距離．教學(xué)重點利用相似三角形測量不能到達的物體的兩點之間的距離．教學(xué)難點理解數(shù)學(xué)建模的思想，能夠?qū)嶋H問題轉(zhuǎn)化為相似三角形的數(shù)學(xué)模型．教學(xué)過程新課導(dǎo)入【問題】怎樣測量河寬呢？ 【師生活動】教師提出問題，學(xué)生分小組交流討論．教師提問：河的兩端可以直接測量嗎？學(xué)生回答：由于河的兩端不能直接到達，所以不能直接測量．教師追問：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了利用陽光下的影子測量頂端不能到達的物體的高度的方法，那么不能直接到達的物體的兩點之間的距離應(yīng)該怎樣測量呢？學(xué)生自由發(fā)言，教師引出新課．【設(shè)計意圖】通過問題串的形式，引出新課內(nèi)容，激發(fā)學(xué)生的求知欲，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性．新知探究一、探究學(xué)習(xí)【探究】如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對岸選定一個目標(biāo)點P，在近岸取點Q和S，使點P，Q，S共線且直線PS與河垂直，接著在過點S且與PS垂直的直線a上選擇適當(dāng)?shù)狞cT，確定PT與過點Q且垂直PS的直線b的交點R．已測得QS＝45m，ST＝90m，QR＝60m，請根據(jù)這些數(shù)據(jù)，計算河寬PQ．【師生活動】教師提示：結(jié)合學(xué)習(xí)過的相似三角形的知識，思考如何解決問題．學(xué)生思考并回答：根據(jù)題干，可知△PQR∽△PST，進而可以利用相似三角形中的對應(yīng)線段之間的比值關(guān)系求出河寬PQ．學(xué)生嘗試獨立作答，教師巡查糾錯并板書講解．【答案】解：∵∠PQR＝∠PST＝90°，∠P＝∠P，∴△PQR∽△PST．∴．即，，PQ×90＝(PQ＋45)×60．解得PQ＝90m．因此，河寬大約為90m．【探究】如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對岸選定一個目標(biāo)點A，在近岸取點B和C，使AB與河垂直，接著選擇適當(dāng)?shù)狞cE，過點E作與河岸垂直的垂線，垂足為C，確定BC和AE的交點D．已測得BD＝120m，DC＝60m，EC＝50m，請根據(jù)這些數(shù)據(jù)，求河寬AB．【師生活動】學(xué)生分小組交流討論，并派代表回答，教師板書講解．【答案】解：∵∠ADB＝∠EDC，∠ABD＝∠ECD＝90°，∴△ABD∽△ECD．∴，即．解得AB＝100（m）．因此，河寬大約為100m．【新知】利用相似三角形測量物體的寬度測量原理：（1）要求線段AB的長度，可先測量線段BE，BC及CD的長度，再說明△ADC∽△AEB，利用相似三角形的性質(zhì)，得，即；（2）要求線段AB的長度，可先測量線段BE，EC及CD的長度，再說明△ECD∽△EBA，利用相似三角形的性質(zhì)，得，即．特別提醒：（1）測量不能到達的物體的兩點之間的距離時，常構(gòu)造“A”字型或“X”字型的相似三角形，并測量出必要的數(shù)據(jù)，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出要求的兩點之間的距離；（2）測量不能到達的物體的兩點之間的距離時，常根據(jù)公共角相等或?qū)斀窍嗟葮?gòu)造相似三角形求解．【設(shè)計意圖】通過探索河寬的學(xué)習(xí)過程，使學(xué)生了解數(shù)學(xué)建模的思想，并學(xué)會運用相似三角形的知識，求出不能直接到達的物體的兩點之間的距離．二、典例精講【例1】如圖，為了測量水塘邊A，B兩點之間的距離，在可以看到A，B的點E處，取AE，BE延長線上的D，C兩點，使得CD∥AB．若測得CD＝5m，AD＝15m，ED＝3m，則A，B兩點間的距離為_____m．【答案】20【解析】∵CD∥AB，∴△ABE∽△DCE．∴，即．解得AB＝20m．【例2】某高中為高一新生設(shè)計的學(xué)生板凳從正面看到的平面圖形如圖所示，其中BA＝CD，BC＝20cm，BC與EF平行于AD，且到AD的距離分別為40cm，8cm．為使板凳兩腿底端A，D之間的距離為30cm，那么橫梁EF應(yīng)為多長？（材質(zhì)及其厚度等忽略不計）【師生活動】教師提出問題，學(xué)生思考并嘗試獨立作答，教師巡查糾錯并講解．【答案】解：如圖，過點C作CM∥AB，分別交EF，AD于點N，M．作CP⊥AD，分別交EF，AD于點Q，P．∵BC∥AD，EN∥AD，∴四邊形ABCM、四邊形AENM是平行四邊形．∴EN＝AM＝BC＝20cm．∴MD＝AD－AM＝30－20＝10（cm）．由題意知CP＝40cm，PQ＝8cm，∴CQ＝CP－PQ＝32cm．∵EF∥AD，∴△CNF∽△CMD．∴，即．解得NF＝8cm．∴EF＝EN＋NF＝20＋8＝28（cm）．答：橫梁EF應(yīng)為28cm．【設(shè)計意圖