考向03不等式性質(zhì)與一元二

次不等式

［經(jīng)典字■題)

（2018年全國卷III理數(shù)高考試題文檔版）設(shè)。=logo2°-3,b=l?g20-3,則

A.a+b<ab<0B.ab<a+b<0

C.a+b<0<abD.ab<0<a+b

【答案】B

【詳解】

11CC17CO11

分析：求出一=log0.3o.2,=/og0.32,得到一+的范圍，進而可得結(jié)果.

abab

詳解：.?.?Q=log0.2o.3,&=/og2O.3

—=log0.3o.2,_=log0.32

ab

11八)

/.—+—=l7og0.4

ab°?3

八II1八a+b1

/.0<—+-<l,即0<------<l

abab

又,.?a>0,b<0

/.ab<0Bpab<a+b<0

故選B.

點睛：本題主要考查對數(shù)的運算和不等式，屬于中檔題.

，方

(I)一般數(shù)學結(jié)論都有前提，不等式性質(zhì)也是如此.在運用不等式性質(zhì)之前，一定要準確把握前提條

件，一定要注意不可隨意放寬其成立的前提條件.

(2)不等式性質(zhì)包括“充分條件(或者是必要條件)”和“充要條件”兩種，前者一般是證明不等式的

理論基礎(chǔ)，后者一般是解不等式的理論基礎(chǔ).

(3)解一元二次不等式的步驟：

第一步，將二次項系數(shù)化為正數(shù)；

第二步，解相應(yīng)的一元二次方程；

第三步，根據(jù)一元二次方程的根，結(jié)合不等號的方向畫圖；

第四步，寫出不等式的解集.容易出現(xiàn)的錯誤有：①未將二次項系數(shù)化正，對應(yīng)錯標準形式；②解方

程出錯；③結(jié)果未按要求寫成集合.

(4)對含參的不等式，應(yīng)對參數(shù)進行分類討論

［查漏補缺)

一、不等式的基本性質(zhì)

1、不等式的基本性質(zhì)

(1)不等式的基本性質(zhì)1

如果a>b,b>c,那么a〉c,此性質(zhì)稱為不等式的傳遞性

(2)不等式的基本性質(zhì)2

如果a>。，那么a+c>O+c,此性質(zhì)稱為不等式的加法性質(zhì)

(3)不等式的基本性質(zhì)3

如果a>b,c>0,那么ac>"c,如果a>Ac<0,那么ac<歷.此性質(zhì)稱為不等式的乘法性質(zhì)

2、其他性質(zhì)

(4)a>b,c>d=^>a+c>b+d(同向相加性)；

(5)a>b>Q,c>d>Onac>bd(同向相乘性，特別注意符號限制，需滿足正號)；

（6）a>b>Q,neN*na”>b”（可乘方性，特別注意符號限制，需滿足正號）；

（7）a>b>Q,HGN*=*>乖（可開方性，特別注意符號限制，需滿足正號）。

（8）a>b>Q^O<L<L（可倒性，特別注意符號性質(zhì)，需滿足正號）

ab

3.一元二次不等式

一般地，我們把只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是乙的不等式，稱為一元二次不等式.

4.三個“二次”間的關(guān)系

判別式A=b2—4acA>0A=0A<0

7

——伏EN繳y—ax2-|-DX-|-c〈a\/

J

>0)的圖象O/xIy

J()|1X|=X2Jf

0X

有兩個相等的實數(shù)根X1

一元二次方程ax2+bx+c=有兩個不相等的實數(shù)根

b沒有實數(shù)根

0(a>0)的根X,X(X<=X=-

121X）22a

ax2+bx+c>0(a>0)的解[x卜b]

{xx>x2或X<xJ-a)R

集

ax2+bx+c<0(a>0)的解

{x|x.<x<xj00

集'——

5.(x-a)(x-b)>0或(x-a)(x-b)<0型不等式的解集

解集

不等式

a<ba=ba>b

(x—a)?(x—b)>0{xx〈a或x>b}{xxWa}{xx〈b或x>a}

(x—a)?(x—b)<0{xa〈x〈b}0{xb〈x〈a}

【知識拓展】

不等式的證明方法：

1.比較法

（1）求差比較法要證。>。，只需證。一。>。；要證。<。，只需證。一b<0.其步驟是：作差一變

形f判斷（與零比較）.

（2）求商比較法要證。>。，而。>0,只需證:〉1；要證。<。，而。>0,只需證?<1.其步驟

bb

是：作商（除式分母大于零）一變形一判斷（與1比較）

2.綜合法

利用某些已經(jīng)證明過的不等式作為基礎(chǔ)，再運用不等式的性質(zhì)推導出所要求證的不等式，這種由因?qū)Ч?/p>

的證明方法叫做綜合法.

3.分析法

肯定待證的不等式成立，逆推到與已知條件或基本不等式相符合，這一系列的不等式中后者總是前者的

充分條件.這種由果索因的證明方法叫做分析法，又稱逆證法.

4.一元二次不等式

（1）解不等式ax2+bx+c>0?0）時不要忘記a=0時的情形.

（2）不等式ax2+bx+c〉0（<0）恒成立的條件要結(jié)合其對應(yīng)的函數(shù)圖象決定.

[a=b=O,[a>0,

①不等式ax2+bx+c>0對任意實數(shù)x恒成立或|人

[c>0[A<0.

[a=b=0,[a<0,

②不等式ax2+bx+c<0對任意實數(shù)x恒成立或:

[c<0[A<0.

1.（2021?全國高三其他模擬（理））已知a>b,c>d,則下列關(guān)系式正確的是（）

A.ac+bd>ad+bcB.ac+bd<ad+bc

C.ac>bdD.ac<bd

2.（2021?貴溪市實驗中學高三其他模擬）如果那么下列說法正確的是)

A.ac>bcB.ac2<bc2C.ac=bcD.b-a<0

3.（2019年天津市高考數(shù)學試卷（文科））設(shè)xwR,使不等式3x2+x-2<0成立的1的取值范圍為

4.（2。21.河北石家莊市.高三二模）若命題“々R,*-2x°+〃z<°"為真命題,則實數(shù)相的取值

范圍為

開帶

1.（2021?安徽馬鞍山市?高三二模（理））已知a>0,b>0,下列說法錯誤的是（）

bba

A.若貝！J—〉——B.若=3加,則。>匕

aab

C.恒成立D.e（0,1）,使得QC-Q=J_￡-a

a

2.（2021?廣東珠海市?高三二模）已知Q,b￡R,滿足〃b<0,a+b>Qfa>b,則（）

11bai7i

A.-<-B.-+->0C.a2>b2D.ci<\b\

abab11

3.（2021?北京八十中高三其他模擬）已知非零實數(shù)a,匕滿足4<b,則下列不等式中一定成立的是（）

A.InavlnbB.-C.a2<b?D.。3<匕3

ab

4.（2020年新高考全國卷I數(shù)學高考試題（山東））已知a>0,b>0,且a+b=l,則（）

711

A.a2+b2>_B.2a-b>-

22

C.10g2?+10g2Z?>-2D.yfa-^yfb<y/2

5.（2021?江蘇南京市?高三一模）若。<b<0,則下列不等式恒成立的是（）

111〉1

A-口<7B'MM

C."[>[+：）D.+J

6.（2021?江蘇揚州市?揚州中學高三其他模擬）已知兩個不為零的實數(shù)X,y滿足x<y,則下列說法中

正確的有（）

A.3x-vl>1B.xy<y2c.x|x|<y|y|D.->-

7.（2021?江蘇鹽城市?鹽城中學高三其他模擬）下列命題為真命題的是（）

A.若a>b〉0,則ac2〉/?c2B.若。<b<0,則。2〉"〉匕2

C.若a〉b>0,且c<0,則D.若a>b,則一<了

。2b2ab

8.（2017年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學（北京卷精編版））能夠說明“設(shè)出兒。是任意實數(shù),

若〃〉b>j則4+b>?！笔羌倜}的一組整數(shù)。力工的值依次為.

9.（2021?浙江高三二模）已知。，beR,若對任意xWO,不等式（辦+2）（￥2+2bx—1）W0恒成立,

則。+。的最小值為.

10.（2021?四川攀枝花市?高三一模（文））定義在R上的奇函數(shù)/（X）滿足了G+l）=/（—X）,當

xe0,1時，f（x）=-x2+x,則當xe（1,2）時，不等式/（x）+且V0的解為__________.

<2」16

C1

11.（2021?新疆烏魯木齊市?高三二模（文））不等式2X2-3X+I<］的解集是.

12.（2020年江蘇省高考數(shù)學試卷）設(shè)xeR,解不等式21x+ll+1xl<4.

1.（2017年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試理科數(shù)學（新課標1卷精編版））設(shè)x、y、z為正數(shù)，且2、=3〉=5z,

則

2x<3y<5zB.5z<2x<3y

3y<5z<2xD.3y<2x<5z

2.（廣西玉林市陸川中學2018屆高三期中考試數(shù)學（理）試題）若。>6>1,0<c<l,則

B.abc<baC."logc<blogcD.logc<logc

3.（2016年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試理科數(shù)學（北京卷參考版））已知羽丁￡尺，且x>>>。，則

B.sinx-siny>0

D.Inx+Iny>0

4.（2016年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學（天津卷精編版））設(shè)X>0,*R,則“x>y”

是“X>|”的

A.充要條件

B.充分而不必要條件

C.必要而不充分條件

D.既不充分也不必要條件

5.（2016年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學（浙江卷精編版））已知a,b>0,且aWl,bWL若

logb>l,則

a

A.(6Z-l)(&-l)<0

B.>0

C.g—l)(b—a)eO

D.S-1)(j)〉0

6.(2016年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試理科數(shù)學(浙江卷精編版))已知實數(shù)a,b,c.

A.若|@2+b+c|+1a+b2+c|W1,則@2+b2+c2<100

B.若|出+b+c|+1az+b-c|Wl,貝！Jaz+bz+czVIOO

C.若|a+b+c21+1a+b-C21Wl,則a2+b2+c2<100

D.若|a2+b+c|+1a+b2-c|Wl,貝!Ja2+b2+c2<100

基就練

1.【答案】A

【分析】

利用作差法可判斷A、B,利用特值法可判斷C、D.

【詳解】

解：對于A、B：

a>b,c>d,

ac+bd-（ad+bc）=（a-b）（c-d）>0,故A正確，B錯誤;

對于C：當b=0,c〈0時，ac<0,bd=O,故C錯誤；

對于D：當a〉b〉O,c>d>0時，ac>bd,故D錯誤；

故選：A.

2.【答案】D

【分析】

根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷，錯誤的可舉反例.

【詳解】

因為a>b,不等式兩邊同時減去。得D正確，

若c=0,則AB錯誤，若CWO,C錯誤.

故選：D.

/，2、

3.【答案】（-1,-）

【分析】

通過因式分解，解不等式.

【詳解】

3x2+%-2<0,

即（x+l）（3x—2）<0,

,2

即-1<x<w,

/，2、

故》的取值范圍是（-1，?.

【點睛】

解一元二次不等式的步驟：（1）將二次項系數(shù)化為正數(shù)；（2）解相應(yīng)的一元二次方程；（3）根據(jù)一元二次方程

的根，結(jié)合不等號的方向畫圖；（4）寫出不等式的解集.容易出現(xiàn)的錯誤有：①未將二次項系數(shù)化正，對應(yīng)

錯標準形式；②解方程出錯；③結(jié)果未按要求寫成集合.

4.【答案】（—8/）

【分析】

根據(jù)特稱命題為真命題，結(jié)合判別式可得結(jié)果.

【詳解】

由題意可知，不等式%2-2%+機<0有解，

.?.A=4—4m>0,m<1,

實數(shù)m的取值范圍為(—81)，

故答案為：J00」)

提升絳

1.【答案】D

【分析】

A選項可以構(gòu)造嘉型函數(shù)來判斷；B、D選項借用求導的手段求出函數(shù)單調(diào)性來判斷大小關(guān)系；C選項利用基

本不等式可判斷出大小關(guān)系.

【詳解】

解：對于A：0<a<b<l,所以

,bba

因為?！礱,所以。所以—〉一,故A正確；

aab

對于B：設(shè)/(x)=x-ex,則r(Q=(x+l)e,所以xe(0,+co)上單調(diào)遞增，

ac3

因為2aea=3be%所以竺一=-〉l,所以。打>加占，所以。>6,故B正確；

beb2

對于C：已知。>0,b>0,

所以砒+ba22而樂,當且僅當a時，等號成立，

當0<a<l時，y=成立，故C正確；

對于D：令y=x?e-x,則y'=e-x—x,e-x=(l—x)?e-x,

因為xe(0,l),所以y=單調(diào)遞增，則不存在ae-。=；，故D錯誤.

a

故選：D.

【點睛】

實數(shù)間的大小比較，常見解題思路如下

(1)構(gòu)造幕型函數(shù)、指數(shù)型函數(shù)、對數(shù)型函數(shù)，三角函數(shù)等、利用函數(shù)性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)圖象進行實數(shù)間的大

小比較；

(2)利用基本不等式、不等式性質(zhì)進行實數(shù)間的大小比較；

⑶利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性進行實數(shù)間的大小比較；

(4)利用函數(shù)單調(diào)性、對稱性、奇偶性、周期性進行實數(shù)間的大小比較.

2.【分析】由給定條件分析出a>0,b<0及a與b間的關(guān)系，針對各選項逐一討論即可得解.

【詳解】

因而<0,a>b,則a>0,b<0,->0,-<0,A不正確；-<0,^<0,則2+：<0,B不正確；

ababab

又a+Z?>0,即a>—b>0,貝［］。2>(—6)2,az>bz,C正確；由。>一6>0得。>16，D不正確.

故選：C

3.【答案】D

【分析】

當a<6<0時，A,B,C均不成立，即可得到答案；

【詳解】

對A,當a<6<0時，不等式無意義，故A錯誤；

，八11

對B,當。<。<0時，一<7，故B錯誤；

ab

對C,當a<b<0時，t/2>Z?2,故C錯誤；

對D,當時，.3<加成立，故D正確；

故選：D.

4.【答案】ABD

【分析】

根據(jù)a+b=l,結(jié)合基本不等式及二次函數(shù)知識進行求解.

【詳解】

對于A,+加=+(1-=2a2—2a+1=21ci——+一>—,

{2J22

,1

當且僅當a=6=2時，等號成立，故A正確；

cc1

對于B,a-b=2a-l>-l,所以2“4>2-1=1，故B正確;

(a+b\21

對于C,k>g_a+logb=log_ab<logII=log—=-2,

當且僅當a=b=^時，等號成立，故C不正確；

對于D,因為+JF)=1+2yfab<l+a+b=2,

所以亞+邪W鬼,當且僅當。=匕=:時，等號成立，故D正確;

故選：ABD

【點睛】

本題主要考查不等式的性質(zhì)，綜合了基本不等式，指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，側(cè)重考查數(shù)學運算的核

心素養(yǎng).

5.【答案】AC

【分析】

根據(jù)作差法比較大小或者取特殊值舉反例即可.

【詳解】

11a-(a-b)b_11

對于A選項，由于故。一"<°,所以口一廠力^=就%<0,即力<7故人

選項正確;

11國一回a-b八11

對于選項,由于a<b<0,故a—。<0,廠廠方==廠面故而〈而，故選項錯誤；

B\a\啊\1a\\b\\a\\b\<0,\a\\b\B

iiiiriY<iY

對于c選項，因為a<b<o,故o>—>不，所以0>8+—〉。+丁，所以a+—〉b+—,故C選項正

ababIb)Ia)

確;

c,11,15(1Y

對于D選項—則a+/+廠”，所以a+j>不成立，故D選項錯誤;

故選:AC

【點睛】

本題考查不等式的性質(zhì)，作差法比較大小，考查運算求解能力，是中檔題.本題解題的關(guān)鍵在于利用不等式

的性質(zhì)或者作差法比較大小，進而判斷.

6.【答案】AC

【分析】

對四個選項一一驗證：

對于A：利用y=3,為增函數(shù)直接證明；

對于B：取特殊值判斷；

對于C：若x<y<0時，利用同向不等式相乘判斷;若x<°<y時，有N*<°<,直接判斷;若0<x<y

時，利用不等式的乘法性質(zhì)進行判斷

對于D：取特殊值判斷；

【詳解】

對于A：因為兩個不為零的實數(shù)了,丁滿足x<V,所以|尤-”>0,而y=3工為增函數(shù)，所以3工4>3。=1,

即3上J>1；故A正確；

對于B：可以?。?-2,y=-1,則有孫=2,>2=1,所以孫〉y2；故B不正確；

對于c：若x<y<0時，則有-x>—y>0相>川>0,根據(jù)同向不等式相乘得：―九|尤|>一,即中|<y⑶

成立；

若x<0<y時，有訓<0〈山故*x|<y|y|成立；

若0<x<y時，則有川x|=x2,y\y\=y2,因為。<x<y,所以門〉》2,即可可<斗乂成立；

故C正確；

kJL11

對于D：可以取x=-2,y=l,則有三TV5—,所以一<一；故D不正確；

XLyxy

故選：AC

【點睛】

(1)判斷不等式是否成立：①利用不等式的性質(zhì)或定理直接證明；②取特殊值進行否定，用排除法；

(2)多項選擇題是2020年高考新題型，需要要對選項一一驗證.

(3)要證明一個命題是真命題，需要嚴格的證明；要判斷一個命題是假命題，只需要舉一個反例否定就看

可以了.

7.【答案】BC

【分析】

利用不等式的性質(zhì)逐一判斷即可求解.

【詳解】

選項A：當c=0時，不等式不成立，故本命題是假命題；

-f

a<ba<b

選項B:〈>ab,\C二ab>b2,

、a<0Ib<0

:.a?>ab>b?,所以本命題是真命題；

選項C：d!>/?>0=>612>/72>0=>0<—<—,

。2b2

?/c<0,.*--->-—,所以本命題是真命題；

。2匕2

選項D:若〃>0/<0時，顯然不成立，所以本命題是假命題；

ab

故選：BC.

8.【答案】-1,-2,-3

【解析】

試題分析：-1>-2>-3,-1+(-2)=-3>-3,矛盾，所以T,-2,-3可驗證該命題是假命題.

【名師點睛】對于判斷不等式恒成立問題，一般采用舉反例排除法.解答本題時利用賦值的方式舉反例進

行驗證，答案不唯一.

9.【答案】73

【分析】

考慮兩個函數(shù)g(無)=以+2,/(x)=x2+2/?x-l,由此確定。>0,x<。時，/(x),g(x)有相同的零點,

得出。力的關(guān)系，檢驗此時Ax)也滿足題意，然后計算出(用。表示)，然后由基本不等式得最小值.

【詳解】

設(shè)g(x)=奴+2,f(x)=X2+2bx-1,

〃龍)圖象是開口向上的拋物線，因此由xWO時，/(x)g(x)WO恒成立得。>0,

222

g(x)=O時，1=一_,X<一一時，g(x)<0,一-<x4。時，g(x)>0,

aaa

222

因此時，/(x)>0,__<xVO時，/W<0,/(--)=0,

aaa

4助，八,2

所以一一一一1=0①，—b>——②,

a2aa

?,1aa12人

由①得?！?，代入②得二一—〉——，因為a>。，此式顯然成立.

a44aa

a+b=—+—>2J—x1^.'=,當且僅當一=即a=4g時等號成立，

a4\a4a43

所以a+。的最小值是盧.

故答案為：邪.

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：本題考查不等式恒成立問題，考查基本不等式求最值.解題關(guān)鍵是引入兩個函數(shù)/(x)和g(x),

把三次函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)與一次函數(shù)，降低了難度.由兩個函數(shù)的關(guān)系得出參數(shù)。力的關(guān)系，從而可求得

a+b的最小值.

57

10.【答案】-<x<-

44

【分析】

根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)及條件求得函數(shù)周期，從而求得xe(1,2)時對應(yīng)的函數(shù)解析式，然后解一元二次不等式

即可.

【詳解】

/G+l)=/(-x)=-/(%)f(x+2)=-/(%+1)=/(%),函數(shù)周期為2；

當儀-別時，+X,

則當時，/(x)=/(x-2)=(%-2)2+(x-2)=%2-3%+2,

由/(X+1)=/(-%)=-/(%)=/(X)=-/(尤-1)知，

當時，/(X)=-/(X-1)=-[-(X-1)2+X-1]=X2-3%+2,

故xe(1,2)時，/(%)=%2-3x+2

3357

則不等式/G）+m<0即X2-3X+2+M<0,解得?,

161644

57

故答案為：———

44

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：難點在于求得函數(shù)在xe（1,2）對應(yīng)的函數(shù)解析式，從而解一元二次不等式.

11.【答案】（12）

【分析】

由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得X2-3x+2<0,求解即可.

【詳解】

...2X2-3X+I<1=2-1,X2-3x+l<-1,即X2—3X+2<0,解得1<X<2,

故不等式的解集為（1,2）.

故答案為：（12）.

/c2、

12.【答案】（-2,?

【分析】

根據(jù)絕對值定義化為三個方程組，解得結(jié)果

【詳解】

x<-1f-1<x<0fx>0

*-2x-2-x<4[2x+2-x<4[2x+2+x<4

2

/.-2<x<-l^-l^%^0^0<x<—

所以解集為：（-2,1）

【點睛】

本題考查分類討論解含絕對值不等式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

真題練

L【解析】

令2工=3丫=5二=左（左〉1）,貝ijx=logk,y=logk,z=logk

235

2x也.里=里〉］

則2x〉3y,

,1,371g231g左lg8

2x21gklg5lg25,

k=[、'T]~T=1”<1,貝！]2x<5z,故選D.

5zlg251gklg32

點睛:對于連等問題，常規(guī)的方法是令該連等為同一個常數(shù)，再用這個常數(shù)表示出對應(yīng)的x，％z,通過

作差或作商進行比較大小.對數(shù)運算要記住對數(shù)運算中常見的運算法則，尤其是換底公式以及。與1的

對數(shù)表示.

2.【答案】C

【詳解】

試題分析：用特殊值法，令。=3,b=2,。=彳得32>2?選項A錯誤，3X2：〉2X31選項B錯誤,

,1,1

log3->log_,選項D錯誤，

因為

alogc-blogc=lgc.（---心-）=lgc?（國竺—a>b>