課時(shí)作業(yè)52圓錐曲線中的證明、定值及定點(diǎn)問題[基礎(chǔ)落實(shí)練]1．[2023·重慶高三月考]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(3),2)，且C過點(diǎn)M(2，1).點(diǎn)P，Q在C上，且直線PQ不與坐標(biāo)軸垂直．(1)求C的方程；(2)若直線MP，MQ的斜率存在，分別記為k1，k2，證明：PQ過O點(diǎn)的充要條件是k1·k2＝－eq\f(1,4).2．已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)為F，P，Q是雙曲線C上關(guān)于原點(diǎn)O對稱的兩點(diǎn)，直線FP與雙曲線C的另一個(gè)交點(diǎn)是M，直線FQ與雙曲線C的另一個(gè)交點(diǎn)是N.當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，2eq\r(6))時(shí)，|PF|＝7.(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線C上運(yùn)動時(shí)，證明：直線MN經(jīng)過定點(diǎn)．3．已知圓O：x2＋y2＝eq\f(4,3)，橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的短軸長等于圓O半徑的eq\r(6)倍，C的離心率為eq\f(\r(2),2).(1)求C的方程；(2)若直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，且與圓O相切，證明：△AOB為直角三角形．4.[2022·河北唐山高三開學(xué)考試]已知雙曲線E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為2，點(diǎn)P(2，3)在E上．(1)求E的方程；(2)過點(diǎn)Q(0，1)的直線l交E于不同的兩點(diǎn)A，B(均異于點(diǎn)P)，求直線PA，PB的斜率之和．[素養(yǎng)提升練]5．[2022·黃岡中學(xué)、華師附中等八校聯(lián)考]已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)過點(diǎn)(2，1)，且離心率e＝eq\f(\r(3),2).(1)求橢圓C的方程；(2)已知斜率為eq\f(1,2)的直線l與橢圓C交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，1)，設(shè)直線PA與PB的傾斜角分別為α，β，證明：α＋β＝π.6．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(6),3)，兩焦點(diǎn)與短軸兩頂點(diǎn)圍成的四邊形的面積為4eq\r(2).(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)我們稱圓心在橢圓C上運(yùn)動，半徑為eq\f(a,2)的圓是橢圓C的“衛(wèi)星圓”，過原點(diǎn)O作橢圓C的“衛(wèi)星圓”的兩條切線，分別交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若直線OA，OB的斜率存在，記