專題09線段上動(dòng)點(diǎn)問題的兩種考法

類型一、線段和差問題

例1.已知點(diǎn)C在線段AB上，AC=2BC,點(diǎn)D,E在直線AB上，點(diǎn)D在點(diǎn)E的左側(cè).

（1）若AB=15,DE=6,線段DE在線段AB上移動(dòng).

①如圖1,當(dāng)E為BC中點(diǎn)時(shí)，求AD的長(zhǎng)；

②點(diǎn)F（異于A,B,C點(diǎn)）在線段AB上，AF=3AD,CF=3,求AD的長(zhǎng)；

（2）若AB=2DE,線段DE在直線AB上移動(dòng)，且滿足關(guān)系式半手=：,求累的值.

BE2BD

；------D----------EB----------------------?---------W

圖1備用圖

1a7CD1711

【答案】⑴①AD的長(zhǎng)為6.5；②AD的長(zhǎng)為［或：；（2）w的值為2或已

33BD3113

【詳解】解：（1）團(tuán)AC=2BC,AB=15,

回BC=5,AC=10,

①團(tuán)E為BC中點(diǎn)，

團(tuán)CE=2.5,

團(tuán)DE=6,

團(tuán)CD=3.5,

回AD=AC-CD=10-3.5=6.5；

②如圖2,當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)C的右側(cè)時(shí)，

?-----------------?----------------?---------???

ADCEFB

圖2

0CF=3,AC=10,

團(tuán)AF=AC+CF=13,

團(tuán)AF=3AD,

1-13

團(tuán)AD=-Ab=——；

33

如圖3,當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)C的左側(cè)時(shí)，

??????

A-0FECB

圖3

回AC=10,CF=3,

團(tuán)AF=AC-CF=7,

團(tuán)AF=3AD,

1y7

團(tuán)AD=-A/=一；

33

137

綜上所述，AD的長(zhǎng)為了或(；

(2)①當(dāng)點(diǎn)E在線段BC之間時(shí)，如圖4,

?????

ADcEB

-圖4

設(shè)BC=x,

則AC=2BC=2x,

團(tuán)AB=3x,

團(tuán)AB=2DE,

回DE=1.5x,

設(shè)CE=y,

團(tuán)AE=2x+y,BE=x-y,

團(tuán)AD=AE-DE=2x+y-1.5x=0.5x+y,

AD+EC3

回

BE2

0.5x+y+y3

團(tuán)----------

%一y2

2

0my=-x,

團(tuán)CD=1.5x--x=-x,BD=3x-(0.5x+y)=-x,

71414

17

CD14_17

回

BD31-31；

—X

②當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A的左側(cè)，如圖5,

I151」

DEACB

圖5

設(shè)BC=x,貝DE=1.5x,

設(shè)CE=y,

團(tuán)DC=EC+DE=y+L5x,

團(tuán)AD=DC-AC=y+1.5x-2x=y-0.5x,

AD+EC3

回--------=—，BE=EC+BC=x+y,

BE2

y-0.5%+y3

x+y2

團(tuán)y=4x,

團(tuán)CD=y+1.5x=4x+1.5x=5.5x,BD=DC+BC=y+1.5x+x=6.5x,

CD5.5x_11

團(tuán)一=

BD6.5%13

③點(diǎn)D、E都在點(diǎn)C的右側(cè)時(shí)，如圖6,

ACDBE

圖6

設(shè)BC=x,貝l|DE=1.5x,

設(shè)CE=y,

0DC=EC-DE=y-1,5x,

團(tuán)AD=DC+AC=y-1.5x+2x=y+0.5x,

AD+EC3

團(tuán)--------=一,BE=EC-BC=y-x,

BE2

y+0.5x+y3

y-x2'

0y=-4x（舍去）

CD1711

綜上所述g的值為5或

BD3113

【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，線段的和差，線段的中點(diǎn)，以及分類討論的數(shù)學(xué)思想,

比較難，分類討論是解答本題的關(guān)鍵.

例2.已知線段AB,點(diǎn)C在直線AB上，。為線段8C的中點(diǎn).

---------------------------------------?------------------------------?---------------------------------

AB

AB

（備用圖）

⑴若AB=8,AC=2,求線段C。的長(zhǎng).

⑵若點(diǎn)E是線段AC的中點(diǎn)，請(qǐng)寫出線段。E和的數(shù)量關(guān)系并說明理由.

【答案】（1）3或5

（2）AB=2DE,理由見解析

【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)C在直線A3上，分兩種情況：①C在點(diǎn)A的右側(cè)，②C在點(diǎn)A的左

側(cè)，根據(jù)線段的和與差可得結(jié)論；

（2）AB=2DE,分三種情況：根據(jù)線段中點(diǎn)的定義可得結(jié)論.

【詳解】（1）解：如圖1,當(dāng)。在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)，

?--------------?--------------------------?--------------------------?

ACDB

圖1

0AB=8,AC=2,

團(tuán)BC=AB—AC=6,

回。是線段8c的中點(diǎn)，：

0CD=-BC=3；

2

如圖2,當(dāng)C在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，

?----------?--------------------?---------------------------------?

CADB

圖2

[EAB=8,AC=2,

團(tuán)BC=AB+AC=10,

團(tuán)。是線段的中點(diǎn)，

0CD=-BC=5；

2

綜上所述，CD=3或5；

（2）解：AB=2DE.

理由是：如圖3,當(dāng)C在點(diǎn)A和點(diǎn)8之間時(shí)，

?------?-------?-------------------------?--------------------------?

AECDB

圖3

SE是AC的中點(diǎn)，D是BC的中點(diǎn)，

回AC=2EC,BC=2CD,^\AB=AC+BC=2EC+2CD=2DE；

如9-圖4?,當(dāng)?C-在-點(diǎn)A-左-側(cè)時(shí)?，-------?

CEADB

圖4

同理可得：AB=BC-AC=2CD-2CE=2（CD-CE）=2DE；

如9-圖-5,-當(dāng)C-在-點(diǎn)B-右-側(cè)時(shí)-，-?~?---?----?

AEBDC

圖5

同理可得：AB=AC-BC=2EC-2CD=2（EC-CD）=IDE.

【點(diǎn)睛】本題考查的是兩點(diǎn)間的距離，熟知各線段之間的和、差及倍數(shù)關(guān)系是解答此題的關(guān)

鍵.

【變式訓(xùn)練1】如圖，點(diǎn)加位于數(shù)軸原點(diǎn)，C點(diǎn)從加點(diǎn)出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿

數(shù)軸向左運(yùn)動(dòng)，。點(diǎn)從8點(diǎn)出發(fā)以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng).

AC_MD.BAMB

O-o

(1)若點(diǎn)A表示的數(shù)為-3,點(diǎn)8表示的數(shù)為7,當(dāng)點(diǎn)C,。運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2秒時(shí)，求線段。的

長(zhǎng)；

⑵若點(diǎn)A,8分別表示-2,6,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f,當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)。是線段BC的中點(diǎn).

(3)^AM=-AB,N是數(shù)軸上的一點(diǎn)，尺.AN—BN=MN,求曳8的值.

4AB

【答案】(i)cr>=3

(2)當(dāng)/=|時(shí)點(diǎn)。是線段8c的中點(diǎn)

⑶k5或1

【分析】(1)根據(jù)路程=速度x時(shí)間可以計(jì)算出C、。運(yùn)行的路程，進(jìn)而求出的值，根據(jù)

=+可求；

(2)先表示出5。和CD,再根據(jù)點(diǎn)。是線段5c的中點(diǎn)，列方程求解；

(3)分N在線段A5上和點(diǎn)N在線段A5的延長(zhǎng)線上兩種情況，分別求解.

【詳解】(1)解：團(tuán)CM=2xl=2,30=2x3=6,

又回點(diǎn)A表示-3,點(diǎn)3表示7,

團(tuán)AM=3,BM=7

國(guó)MD=BM—BD=7—6=1

^\CD=CM+MD=2+1=3.

(2)解：團(tuán)點(diǎn)A,3分別表示一2,6,

所以AM=2,BM=6,MC=t,BD=3t,MD=6-3t,CD=MD+MC=t+6—3t

當(dāng)。是BC的中點(diǎn)時(shí)CD=BD,即7+6-3t=3t,Z=|

團(tuán)當(dāng)r=g時(shí)點(diǎn)。是線段BC的中點(diǎn).

(3)解：①當(dāng)點(diǎn)N在線段A3上時(shí)，如圖

I_________________________|__i_____________?

AMNB

BAN—BN=MN,

^AN-AM=MN

0BN=AM,

^AM=-AB

4

1MN

BMN=-AB,即Rn——

2AB-2

②當(dāng)點(diǎn)N在線段A5的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖

AMBN

?AN—BN=MN,^AN-BN=AB

口門MN1

^\MN=AB,BP——=l

AB

綜上所述M嗯N=：I或1.

AID2

【點(diǎn)睛】本題考查了線段的和差和中點(diǎn)，及兩點(diǎn)間的距離，一元一次方程，解題分關(guān)鍵是掌

握點(diǎn)的移動(dòng)路程與線段的關(guān)系.

【變式訓(xùn)練2】已知點(diǎn)C在線段A3上，AC=23C,點(diǎn)。，E在直線上，點(diǎn)。在點(diǎn)E的

左側(cè).

IIIIIIII

ADCEBACB

圖1備用圖

⑴若AB=24,DE=16,線段DE在線段AB上移動(dòng)，

①當(dāng)點(diǎn)E是線段8C的中點(diǎn)時(shí)，求AD的長(zhǎng)；

②當(dāng)點(diǎn)C是線段DE的三等分點(diǎn)時(shí)，求AD的長(zhǎng)；

4D-i-FC3CD

⑵若=點(diǎn)E在線段AB上移動(dòng)，且滿足關(guān)系式二=：,則==_（直接寫

BE2AB

出結(jié)果）.

Q917

【答案】⑴①4,②了；⑵石

【分析】（1）根據(jù)已知條件得到3C=8,AC=16,①由線段中點(diǎn)的定義得到CE=4,求得

CD=12,由線段的和差得到仞=AC-CD=16-12=4；②當(dāng)點(diǎn)C線段DE的三等分點(diǎn)時(shí)，

1323232

^^CE=-DE=—^CE=-DE=—>S=BC則C￡>=丁，由線段的和差即可

316333

得到結(jié)論；

（2）①當(dāng)點(diǎn)E在線段BC之間時(shí)，設(shè)BC=x,CE=y,則AC=23C=2x,求得A3=3x、

DE=1.5x,AE=2x+y,BE=x-y、AO=0.5尤+y,然后根據(jù)叱產(chǎn)=，可得y=梟,

BE27

717CD

CD=1.5X--X=—X,再代入%即可解答；②當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時(shí)，設(shè)

BC=x>0,CE=y>0,則AC=23C=2x,求得AB=3x、DE=1.5x.

40+FC33

AE=2x-y,BE=x+y、AD=0.5x-y,然后根據(jù)叫#=［可得>=_白<0不符題意.

BE22

【詳解】(1)解：團(tuán)AC=2BC,AB=24,

138c=8,AC=16,

①回￡為BC中點(diǎn)，

團(tuán)CE-4,

團(tuán)。石=16,

回CD=12,

^AD=AC-CD=16-12=4；

②回點(diǎn)C是線段DE的三等分點(diǎn)，￡>￡=16,

11A。

^CE=-DE=—^CE=-DE=—>8=BC(不合題意，舍去)，

3333

^CD=DE-CE=16--=—

33,

1A2。

BAD=AC-CD=16--=—；

33

(2)解：①當(dāng)點(diǎn)E在線段3c上，如圖，

??，??

ADCEB

設(shè)8C=%,CE=y,則AC=25C=2x,

0AB=3x,

^AB=2DE,

0DE=1.5x,

團(tuán)AE=2x+y,BE=x-y,

^\AD=AE—DE=2x+y—1.5x=0.5x+y,

0.5%+y+y3

x-y2'

2「八…217

By=—x,CD=1.5x——x=——x,

7714

17

團(tuán)CD值尤=17；

AB~3x~42

如圖：當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時(shí)，

IIIII

ADECB

設(shè)3c=x>0,CE=y>0,則AC=2BC=2尤，

回AB-3x,

^AB=2DE,

團(tuán)DE=1.5x,

團(tuán)AE=2x—y,BE=x+y,

AD=AC—DE—EC=2x—1.5x—y=0.5%—y,

AD+EC3

0

BE2

0.5x-y+y3

團(tuán)-------------=~

x+y2

3

團(tuán)y=——x<0不符題意,

團(tuán)點(diǎn)E不可能在線段AC上.

CD17

綜上所述篇的值為a

【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線上兩點(diǎn)間的距離、線段中點(diǎn)的性質(zhì)、線段的和差等知識(shí)點(diǎn)，準(zhǔn)

確識(shí)圖、分類討論DE的位置是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練3】如圖已知線段A3、CD,

cAfABND

（1）線段AB在線段。上（點(diǎn)C、A在點(diǎn)8的左側(cè)，點(diǎn)。在點(diǎn)C的右側(cè)）

①若線段AB=6,CD=14,M、N分別為AC、8。的中點(diǎn)，求MN的長(zhǎng).

②M、N分別為AC、8。的中點(diǎn)，求證：MN=；（AB+CD）

⑵線段8在線段AB的延長(zhǎng)線上，M.N分別為AC、3D的中點(diǎn)，②中的結(jié)論是否成立？

請(qǐng)畫出圖形，直接寫出結(jié)論

【答案】⑴①10,②見解析

⑵不成立，見解析

【分析】（1）①利用CD-求出AC+3D的值，利用中點(diǎn)平分線段，得到

AM=^AC,BN=^BD,再禾lj用MN=AM+A3+BN=；（AC+B￡>）+AB,即可得解；（2）

利用中點(diǎn)平分線段，得到AM=gAC,2N=；2D,進(jìn)而得到

AM+BN=^（AC+BD）=^（CD-AB）,再利用ACV=AVf+AB+3N,即可得證；

（2）分C點(diǎn)在。點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)N在點(diǎn)C的右側(cè)，C點(diǎn)在。點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)N在點(diǎn)C的左側(cè),

以及。點(diǎn)在C點(diǎn)的左側(cè)，三種情況分類討論，求解即可.

【詳解】（1）解：①回AB=6,CD=14,

^AC+BD=CD-AB=8,

0M.N分別為AC、8。的中點(diǎn)，

S\AM=-AC,BN=-BD,

22

^\MN=AM+AB+BN=^（AC+BD）+AB=^x8+6=10；

②團(tuán)0、N分別為AC、3。的中點(diǎn)，

^\AM=-AC,BN=-BD,

22

0AC+BD-CD—AB,

^AM+BN=^（AC+BD）=^（CD-AB）,

SMN=AM+AB+BN=^（CD-AB）+AB=^CD+ABy

（2）不成立；

回M、N分別為AC、8。的中點(diǎn)，

S\AM=MC=^AC,BN=ND=^BD,

①當(dāng)C點(diǎn)在。點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)N在點(diǎn)C的右側(cè)時(shí)，如圖：

IIIIII

AMBCND或

IIIIII

ABMCND

MN=MC+CN

=MC+BN-BC

=-AC+-BD-BC

22

=1（AB+BC）+|（BC+CD）-BC

=i（AB+C￡＞）;

②當(dāng)C點(diǎn)在。點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)N在點(diǎn)C的左側(cè)時(shí)，如圖：

I_______II_____________I________I______________________I

ABMNCD或

IIIIII

AMBNCD

MN=AD-AM-DN

=AD--AC--BD

22

=AD-^（AD-CD）-^AD-AB）

=l（AjS+cr））；

③當(dāng)。點(diǎn)在C點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，如圖：

|----------------------------------1_I——I-----------1------------------1T

ABMNDC或

????i?

AMBNDC

MN^CM-CN=^AC-（CD+DN）=^AB+BD+CD）-[CD+^BD）]=1（AB-CD）；

綜上：MN=g（A3+。）或故結(jié)論不成立.

【點(diǎn)睛】本題考查線段之間的和與差.正確的識(shí)圖，理清線段之間的和，差，倍數(shù)關(guān)系，是

解題的關(guān)鍵.注意分類討論.

類型二、定值問題

例.如圖，點(diǎn)尸是定長(zhǎng)線段AB上一點(diǎn)，C、D兩點(diǎn)分別從點(diǎn)尸、8出發(fā)以1厘米/秒，2厘

米/秒的速度沿直線AB向左運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)C在線段”上，點(diǎn)。在線段3尸上）.

（1）若點(diǎn)C、。運(yùn)動(dòng)到任一時(shí)刻時(shí)，總有PD=2AC,請(qǐng)說明點(diǎn)尸在線段AB上的位置；

（2）在（1）的條件下，點(diǎn)。是直線上一點(diǎn)，且&。-3。=尸。，求學(xué)的值；

（3）在（1）的條件下，若點(diǎn)C、。運(yùn)動(dòng)5秒后，恰好有=此時(shí)點(diǎn)C停止運(yùn)動(dòng)，

點(diǎn)D繼續(xù)運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)D在線段PB上），點(diǎn)M、N分別是CO、PZ）的中點(diǎn),下列結(jié)論:①PM-PN

的值不變；②"乜的值不變.可以說明，只有一個(gè)結(jié)論是正確的，請(qǐng)你找出正確的結(jié)論并

AB

求值.

11111

ACPDB

【答案】（1）點(diǎn)P在線段AB的1處；（2）:或1；（3）結(jié)論②”人的值不變正確，

33ABAB12

【分析】（1）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，用含t的代數(shù)式可表示出線段PD、AC長(zhǎng)，根據(jù)PD=2AC,

可知點(diǎn)尸在線段AB上的位置；

（2）由4。-2。=尸。可知4。=尸Q+B。，當(dāng)點(diǎn)Q在線段AB上時(shí),等量代換可得AP=BQ,

再結(jié)合AP=^-AB可得?的值；當(dāng)點(diǎn)Q在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí),可得AQ-BQ=AB=PQ,

3AB

易得的值.

AB

（3）點(diǎn)C停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，CD^^AB,可求得CM與AB的數(shù)量關(guān)系，則PM與PN的值可以

含AB的式子來表示，可得MN與AB的數(shù)量關(guān)系，易知處的值.

AB

【詳解】解：（1）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則尸D=P3-2f,PC=AP-f,

由PD=2AC得尸8-2r=2（AP-f）,即尸3=2AP

QAP+PB=AB,:.AP+2AP=AB,:.3AP=AB,即=

所以點(diǎn)P在線段AB的g處；

（2）①如圖，當(dāng)點(diǎn)Q在線段AB上時(shí)，

?A------------J-------------1

APQB

由AQ-=可知AQ=PQ+BQ,

QAQ=AP+PQ

PQ=AP=^AB

.PQ=l

"AB~3

②如圖，當(dāng)點(diǎn)Q在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，

I?--J.I—

APBQ

QAQ-BQ=AB,AQ-BQ=PQ

:.AB=PQ

熠=1

AB

綜合上述，當(dāng)?shù)闹禐?或1;

AB3

（3）②皿的值不變.

AB

由點(diǎn)C、。運(yùn)動(dòng)5秒可得C尸=5,30=5x2=10,

如圖，當(dāng)點(diǎn)M、N在點(diǎn)P同側(cè)時(shí)，

1------1_'-------H----1-------------'

ACPMNDB

點(diǎn)C停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，CD=^-AB,

2

點(diǎn)、M、N分別是C。、PD的中點(diǎn),

;.CM=-CD,PN=-PD

22

:.CM=-AB

4

:.PM=CM-CP=-AB-5

4

QPD=PB-BD=^AB-10

;.PN=g(mB-10)=：43一5

：.MN=PN-PM=—AB

12

--AR

當(dāng)點(diǎn)C停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)D繼續(xù)運(yùn)動(dòng)時(shí)，MN的值不變，所以MN_12=1；

AB~AB-12

如圖，當(dāng)點(diǎn)M、N在點(diǎn)P異側(cè)時(shí)，

II“1I------------------------------------------1

ACMPNDB

點(diǎn)C停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，CD=^-AB,

2

.點(diǎn)M、N分別是CD、尸￡)的中點(diǎn)，

:.CM=-CD,PN=-PD,:.CM=-AB

224

:.PM=CP-CM=5--AB

4

QPD=PB-BD=^AB-IO

.-.PAf=|(|AB-10)=|AB-5

:.MN=PN+PM=—AB

12

當(dāng)點(diǎn)C停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)D繼續(xù)運(yùn)動(dòng)時(shí)，MN的值不變，所以8廠1；

AB~AB-12

所以②翳的值不變正確，篝=/

【點(diǎn)睛】本題考查了線段的相關(guān)計(jì)算，利用線段中點(diǎn)性質(zhì)轉(zhuǎn)化線段之間的和差倍分關(guān)系是解

題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】已知：如圖，一條直線上依次有A、B、C三點(diǎn).

(1)若BC=60,AC=3A8,求A8的長(zhǎng)；

⑵若點(diǎn)。是射線上―為皿的中點(diǎn)，點(diǎn)N為8的中點(diǎn)，求短的值;

(3)當(dāng)點(diǎn)尸在線段BC的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)E是AP中點(diǎn)，點(diǎn)歹是2C中點(diǎn)，下列結(jié)論中:

AC+3P

是定值;

①~EF-

②人。二F是定值.其中只有一個(gè)結(jié)論是正確的，請(qǐng)選擇正確結(jié)論并求出其值.

tLr

ABC

BC

ABC

【答案】⑴A8=30；(2)2;(3)①詳見解析;②詳見解析.

【分析】(1)由AC=AB+BC=3AB可得；

(2)分三種情況：①D在BC之間時(shí)②D在AB之間時(shí)③D在A點(diǎn)左側(cè)時(shí)；

(3)分三種情況討論：①F、E在BC之間，F(xiàn)在E左側(cè)②F在BC之間，E在CP之間③F、

E在BC之間，F(xiàn)在E右側(cè)；

【詳解】(1)EBC=60,AC=AB+BC=3AB,

0AB=30；

(2)團(tuán)點(diǎn)M為8。中點(diǎn)，點(diǎn)、N為CD中點(diǎn),

^\BM=BD,DN=NC,

①。在8c之間時(shí)：

ABMDNC

BC=BD+CD=2MD+2DN=2MN,

BC

El——=2；

MN

②。在AB之間時(shí)：

ADMBN(

BC=DC-DB=2DN-2MB=2(BN+2MB)-2MB=2BN+2MB=2MN,

③。在A點(diǎn)左側(cè)時(shí)：

DAMNBC

BC=DN+NB=MN+DN-NB=MN+MB-NB=MN+MN+NB-NB=2MN,

BC

團(tuán)——=2；

MN

4BC

故—2；

MN

(3)點(diǎn)石是AP的中點(diǎn)，點(diǎn)廠是BC的中點(diǎn).

^\AE=EPfBF=CF,

①

~4BFECP~

EF=FC-EC=+BC-AC+AE=-AB)-AC+AE=AE-^AB=^AC,

BP=AP-AB=2AE-AB,

AC-BP=AC-2AE+AB,

②

~B_FCEP~

EF=BC+CE=BC+AE-AC=1(AC-AB)+AE-AC=AE-^AB-|AC,

BP=AP-AB=2AE-AB,

AC-BP

AC-BP=AC^AB-2AE,0―——=2.

EF

③

EF=CE-CF=CE-^BC=AC-AE-^BC=AC-AE-y(AC-AB)=j-AC-AE+|yAB,

BP=AP-AB=2AE-AB,

AC-BP

0AC-BP=AC+AB-2AE,0———=2.

EF

【點(diǎn)睛】本題考查線段之間量的關(guān)系，結(jié)合圖形，能夠考慮到所有分類是解題的關(guān)鍵.

課后訓(xùn)練

1.已知，C為線段AB上一點(diǎn)，D為AC的中點(diǎn)，E為8C的中點(diǎn)，F(xiàn)為DE的中點(diǎn).

ADCFEB

圖1

?_1_1

AB

備用圖1

i____?

AB

備用圖2

（1）如圖1,若AC=4,BC=6,求CF的長(zhǎng)；

AT

（2）若AB=16CF,求"的值；

CB

（3）若AC>3C,AC-BC=a,取。C的中點(diǎn)R,CE的中點(diǎn)E1，Dg的中點(diǎn)耳，則Cf；

=（用含a的代數(shù)式表示）.

【答案】（1）（2）名的值為?；颍?；（3）"

乙CB35o

【分析】（1）由D為AC的中點(diǎn)，E為BC的中點(diǎn)得到DC=3AC=2,CE=yBC=3,則可計(jì)算出

DE=5,再利用F為DE的中點(diǎn)得到DF=yDE,然后利用CF=DF-DC求解；

（2）根據(jù)線段的中點(diǎn)定義和線段的和差計(jì)算分兩種情況即可求解；

（3）如圖，設(shè)AC=x,BC=y,即x-y=a,利用線段中點(diǎn)定義得到DC=：x,CE=1y,則

DlC=^x,CEl=^y,所以=:（尤+>）,再利用的中點(diǎn)耳，得到已居［（x+y）,于

是可計(jì)算出PG=J（x-y），即有尸

OO

【詳解】解：（1）團(tuán)D為AC的中點(diǎn)，E為BC的中點(diǎn)，

E1DC=；AC=2,CE=；BC=3,

ElDE=DC+CE=2+3=5,

回F為DE的中點(diǎn)，

15

0DF=-DE=-,

22

5?1

0CF=DF-DC=——2=-；

22

（2）①當(dāng)AC>BC,點(diǎn)F在點(diǎn)C左側(cè)時(shí)，如圖所示：

IIII??

ADFCEB

回D為AC的中點(diǎn)，E為BC的中點(diǎn),

EIDC=yAC,CE=：BC,

國(guó)DE=DC+CE=4(AC+BC)=：AB,

回F為DE的中點(diǎn)，

11

[?]DF=-DE=-AB,

24

團(tuán)AB=16CF,

團(tuán)DF=4CF,

[?]CF=DC-DF=|AC-4CF,

0AC=1OCF,

0BC=AB-AC=16CF-1OCF=6CF,

AC10CF5

團(tuán)-----------------二一，

CB6CF3

②當(dāng)AC<BC,點(diǎn)F在點(diǎn)C右側(cè)時(shí)，如圖所示:

IIIIII

ADCFEB

團(tuán)D為AC的中點(diǎn)，E為BC的中點(diǎn)，

團(tuán)DC=^AC,CE=1-BC,

回DE=DC+CE=！(AC+BC)=1-AB,

團(tuán)F為DE的中點(diǎn)，

11

[?]DF=-DE=-AB,

24

團(tuán)AB=16CF,

0DF=4CF,

團(tuán)CF=DF-DECF-^AC,

0AC=6CF,

[?]BC=AB-AC=16CF-6CF=1OCF,

AC6CF3

0--=---二一，

CB1OCF5

綜上所述，生AT的值為5?或3：.

CBJj

(3)如圖，

I______________I______IIlli______I

ADD}FtCExEB

設(shè)AC=x,BC=y,即x-y=a,

EID為AC的中點(diǎn)，E為BC的中點(diǎn)，

回DC=gAC=gx,CE=1BC=1y,

回DC的中點(diǎn)為A,CE的中點(diǎn)為耳，

^D.C=-CD=-x,CE.=-CE=-y,

124124-

El￡)[E]=—(JC+y),

回的中點(diǎn)為4

國(guó)=:(》+>)，

2o

回FC；=D￡_DFi=%_"(x+y)="(無(wú)一y),

團(tuán)FC[=—ci

故答案為：-a.

8

【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離：連接兩點(diǎn)間的線段的長(zhǎng)度叫兩點(diǎn)間的距離.理清線段之

間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

2.已知點(diǎn)C在線段AB上，AC=2BC,點(diǎn)。、E在直線AB上，點(diǎn)。在點(diǎn)E的左側(cè).若A2=18,

DE=8,線段DE在線段AB上移動(dòng).

ADCE_BACB

圖1備用圖

(1)如圖1,當(dāng)E為BC中點(diǎn)時(shí)，求AD的長(zhǎng)；

(2)點(diǎn)F(異于A,B,C點(diǎn))在線段A3上，AF=3AD,CE+EF=3,求AD的長(zhǎng).

【答案】⑴7；(2)3或5

【分析】(1)根據(jù)AC=23C,AB=18,可求得3c=6,AC=12,根據(jù)中點(diǎn)的定義求出

BE,由線段的和差即可得到AD的長(zhǎng).

(2)點(diǎn)F(異于A,B,C點(diǎn))在線段AB上，AF=3AD,CE+EF=3,確定點(diǎn)尸是BC

的中點(diǎn)，即可求出AD的長(zhǎng).

【詳解】(1)AC^2BC,AB=18,

:.BC=6,AC=12,

如圖1,

I------------1------------1------1-------L

ADCEB

圖1

石為BC中點(diǎn)，:.CE=BE=3,

DE=3,：.BD=DE-^-BE=8+3=U9：.AD=AB-DB=18-11=7,

(2)I、當(dāng)點(diǎn)石在點(diǎn)尸的左側(cè)，如圖2,

|------------1---------------1_LJ---------L

A3圖2,‘力力

或1+圖2=C*，

VCE+EF=3,BC=6,

二?點(diǎn)廠是3c的中點(diǎn)，

:?CF=BF=3,

：.AF=AB-BF=18-3=15f

：.AD=-AF=5,

3

VCE+EF=3,故圖2。)這種情況求不出；

II、如圖3,當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)尸的右側(cè)，

AD~EcB

圖3

AC=12,CE+EF=CF=3,

：,AF=AC-CF=9,

：.AF=3AD=9,

AD=3.

???CE+￡F=3,故圖3（。）這種情況求不出；

綜上所述：的長(zhǎng)為3或5.

【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，熟知各線段之間的和、差及倍數(shù)關(guān)系是解答的關(guān)鍵.本

題較難，需要想清楚各種情況是否存在.

3.已知線段AB=12,CD=6,線段CD在直線AB上運(yùn)動(dòng)（A在8的左側(cè)，C在。的左側(cè)）.

（1）當(dāng)。點(diǎn)與B點(diǎn)重合時(shí)，AC=；

（2）點(diǎn)尸是線段AB延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)，在（1）的條件下，求B4+P8-2PC的值；

（3）M、N分別是AC、8。的中點(diǎn)，當(dāng)8C=4時(shí)，求的長(zhǎng).

---------?-----------------?-------------

AB

【答案】⑴6

（2）PA+PB-2PC=0-,

（3）MN=9.

【分析】（1）根據(jù)題意即可得到結(jié)論；

(2)由(1)得AC=iAB,CD=』AB,根據(jù)線段的和差即可得到結(jié)論；

22

(3)需要分類討論：①如圖1,當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，根據(jù)"M、N分別為線段AC、BD

的中點(diǎn)”，先計(jì)算出AM、DN的長(zhǎng)度，然后計(jì)算MN=AD-AM-DN；②如圖2,當(dāng)點(diǎn)C位于點(diǎn)

B的左側(cè)時(shí)，利用線段間的和差關(guān)系求得MN的長(zhǎng)度.

【詳解】(1)當(dāng)D點(diǎn)與B點(diǎn)重合時(shí)，AC=AB-CD=6；

故答案為6；

(2)由(1)得AC=《AB,EICD=；AB,

回點(diǎn)P是線段AB延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)，0PA+PB=AB+PB+PB,PC=CD+PB=：AB+PB,

回PA+PB-2PC=AB+PB+PB-2(；AB+PB)=0；

(3)如圖1,I3M、N分別為線段AC、BD的中點(diǎn)，

13AM=3AC=；(AB+BC)=8,

DN=5BD=](CD+BC)=5,

0MN=AD-AM-DN=9；

如圖2,EIM、N分別為線段AC、BD的中點(diǎn)，

13AM=3AC=；(AB-BC)=4,

DN《BD=；(CD-BC)=1,

0MN=AD-AM-DN=12+6-4-4-1=9.

MN

-------------?------------------?-----I

ABCD

圖1

-----?--M?--?---?~~N?----------------I

ACBD

圖2

【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，比較線段的長(zhǎng)短.利用中點(diǎn)性質(zhì)轉(zhuǎn)化線段之間的

倍分關(guān)系是解本題的關(guān)鍵.

4.【新知理解】

如圖①，點(diǎn)M在線段A8上，圖中共有三條線段A8、AM和若其中有一條線段的長(zhǎng)

度是另外一條線段長(zhǎng)度的2倍，則稱點(diǎn)M是線段A8的"和諧點(diǎn)”.

AMBCD

圖①圖②

1________________________________1

AB

圖③

(1)線段的中點(diǎn)這條線段的“和諧點(diǎn)"(填"是"或"不是")；

(2)【初步應(yīng)用】如圖②，若CO=12cm,點(diǎn)N是線段的和諧點(diǎn)，則CN=cm；

⑶【解決問題】如圖③，已知AB=15cm,動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)，以lcm/s速度沿AB向點(diǎn)2

勻速移動(dòng)：點(diǎn)。從點(diǎn)8出發(fā)，以2〃z/s的速度沿向點(diǎn)A勻速移動(dòng)，點(diǎn)P、。同時(shí)出發(fā)，

當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止，設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為3請(qǐng)直接寫出f為何值時(shí)，A、P、Q

三點(diǎn)中其中一點(diǎn)恰好是另外兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的和諧點(diǎn).

【答案】①是

(2)6或4或8c

⑶/為3或〒或丁或彳或〒或6

【分析】(1)若點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)時(shí)，則由此即可得到答案；

(2)分①當(dāng)N為中點(diǎn)時(shí)，CN=gcr>=6cm；②N為CO的三等分點(diǎn)，且N靠近C時(shí)，CN

I2

=-CD=4cm；③N為CD的三等分點(diǎn)且N靠近Z)時(shí)，CN=—CD=8cm.

(3)分P為A、。的和諧點(diǎn)，。為A、P的和諧點(diǎn)，兩種情況討論求解即可.

【詳解】(1)解：若點(diǎn)M是線段的中點(diǎn)時(shí)，滿足

團(tuán)線段的中點(diǎn)是這條線段的“和諧點(diǎn)"，

故答案為：是；

(2)解：①當(dāng)N為中點(diǎn)時(shí)，CN-CD=6cm；

②N為CO的三等分點(diǎn)，且N靠近C時(shí)，C7V=1cD=4cm:

2

③N為CD的三等分點(diǎn)且N靠近。時(shí)，CN=§CO=8cm.

故答案為：6cm或4cm或8cm；

(3)解：0AB=15cm,

比秒后，AP=t,AQ=15-2t(0<r<7.5),

由題意可知，A不可能為P、。的和諧點(diǎn)，此情況排除；

①尸為A、。的和諧點(diǎn)，有三種情況：

1）P為中點(diǎn)，AP^^AQ,即（15-2t）,

解得t=—;

4

2）尸為A。的三等分點(diǎn)，且尸靠近A,AP^^AQ,即（15-2f）,

解得f=3；

3）P為A。的三等分點(diǎn)，且尸靠近。，AP^-AQ,即（15-27）,

解得f=3B0：

②。為4、尸的和諧點(diǎn)，有三種情況：

1）。為中點(diǎn)，AP=^AQ,即15-2t=P，

解得t=6；

2）。為A尸的三等分點(diǎn),且尸靠近A,AP=§A。,即15-2/=7,

解得t=45,

3）。為AP的三等分點(diǎn)，且尸靠近。，AP=-AQ,即15-2f=1,

解得片段45.

O

綜上所述，f為3或？或，或1或;或6時(shí)，A、P、。三點(diǎn)中其中一點(diǎn)恰好是另外兩點(diǎn)

為端點(diǎn)的線段的和諧點(diǎn).

【點(diǎn)睛】本題主要考查了與線段中點(diǎn)和三等分點(diǎn)有關(guān)的計(jì)算，解題的關(guān)鍵在于能夠利用分類

討論的思想求解.

5.如圖，射線。儀上有三點(diǎn)A、B、C,滿足OA=30cm,AB=90cm,BC=15cm,點(diǎn)尸從點(diǎn)。

出發(fā)，沿0M方向以1?！?秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)在線段CO上向點(diǎn)。勻速運(yùn)動(dòng)，

兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。時(shí)，點(diǎn)P、。停止運(yùn)動(dòng).

⑴若點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)速度為2cm/秒，經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間尸、。兩點(diǎn)相遇？

（2）當(dāng)上4=2尸5時(shí)，點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到的位置恰好是線段0B的中點(diǎn)，求點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)速度；

⑶當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到線段A3上時(shí)，分別取。尸和A2的中點(diǎn)E、F,求4的值?

°'E二F1

OABM

【答案】(1)45s;(2)9cm/s或、■的/s;(3)2

614

【分析】(1)設(shè)經(jīng)過t秒時(shí)間P、Q兩點(diǎn)相遇，列出方程即可解決問題;

(2)分兩種情形求解即可；

(3)用t表示AP、EF的長(zhǎng)，代入化簡(jiǎn)即可解決問題；

【詳解】(1)設(shè)經(jīng)過t秒時(shí)間P、Q兩點(diǎn)相遇，

則t+2t=90+30+15,

解得t=45,

所以經(jīng)過45秒時(shí)間P、Q兩點(diǎn)相遇.

(2)①當(dāng)P在線段AB上時(shí)，

0AB=9O,PA=2PB,

0PA=6O,PB=30,

0OP=OA+AP=30+60=90,

團(tuán)點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為90秒，

0AB=9O,OA=30,0OB=12O,EBQ=yOB=60,

團(tuán)點(diǎn)Q的路程為CQ=CB+BQ=15+60=75,

755

團(tuán)點(diǎn)Q是速度為；^=工cm/秒；

906

②點(diǎn)P在線段AB延長(zhǎng)線上時(shí)，

0AB=9O,PA=2PB,fflBP=90,AP=180,

[30P=OA+AP=30+180=210,

團(tuán)點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為210秒，

EIAB=90,OA=30,

0OB=12O,EIBQ=：OB=60,

回點(diǎn)Q的路程為CQ=CB+BQ=15+60=75,

755

團(tuán)點(diǎn)Q是速度為——=—cm/秒；