§8.3正態(tài)分布第8章概

率1.利用實際問題的頻率分布直方圖，了解正態(tài)密度曲線的特點及

曲線所表示的意義.2.了解變量落在區(qū)間(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ

＋3σ)內(nèi)的概率大小.3.掌握正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的轉(zhuǎn)換，能利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表

求得標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布在某一區(qū)間內(nèi)取值的概率.學(xué)習(xí)目標(biāo)一所學(xué)校同年級的同學(xué)的身高，特別高的同學(xué)比較少，特別矮的同學(xué)也不多，大都集中在某個高度左右；某種電子產(chǎn)品的使用壽命也都接近某一個數(shù)，使用期過長，或過短的產(chǎn)品相對較少.生活中這樣的現(xiàn)象很多，是否可以用數(shù)學(xué)模型來刻畫呢？導(dǎo)語某乒乓球生產(chǎn)廠家生產(chǎn)一批直徑為4.8cm的乒乓球，如果通過抽樣估計得到這批乒乓球的直徑的標(biāo)準(zhǔn)差為0.1，則應(yīng)該怎樣來判斷這批乒乓球的質(zhì)量？如果產(chǎn)品中發(fā)現(xiàn)一個乒乓球的直徑為5.2cm，則說明了什么情況？隨堂演練課時對點練一、正態(tài)曲線及其性質(zhì)二、正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值三、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布內(nèi)容索引一、正態(tài)曲線及其性質(zhì)問題

你見過高爾頓板嗎？如圖所示是一塊高爾頓板示意圖.在一塊木板上釘上若干排相互平行但相互錯開的圓柱形小木塊，小木塊之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，前面擋有一塊玻璃，讓一個小球從高爾頓板上方的通道口落下，小球在下落過程中與層層小木塊碰撞，最后掉入高爾頓板下方的某一球槽內(nèi).為了更好地考察隨著試驗次數(shù)的增加，落在各個球槽內(nèi)的小球分布情況，我們進一步從頻率的角度探究一下小球的分布規(guī)律，以球槽的編號為橫坐標(biāo)，以小球落入各個球槽內(nèi)的頻率值為縱坐標(biāo)，可以畫出頻率分布條形圖如下：試想隨著試驗次數(shù)的增加，頻率分布條形圖會呈現(xiàn)出什么形狀？提示

隨著重復(fù)次數(shù)的增加，這個頻率分布條形圖的形狀會越來越像一條鐘形曲線.知識梳理1.概率密度曲線對于某一隨機變量的頻率分布直方圖，如果數(shù)據(jù)無限

且組距無限

，那么頻率分布直方圖上的折線將趨于一條光滑的曲線，我們將此曲線稱為概率密度曲線.增多縮小2.正態(tài)密度曲線上升下降x軸大小1函數(shù)表達式P(x)＝

，x∈R，其中實數(shù)μ(μ∈R)和σ(σ>0)為參數(shù)圖象的特征(1)當(dāng)x<μ時，曲線

；當(dāng)x>μ時，曲線

.當(dāng)曲線向左右兩邊無限延伸時，以

為漸近線；(2)曲線關(guān)于直線

對稱；(3)σ越

，曲線越扁平；σ越

，曲線越尖陡；(4)在曲線下方和x軸上方范圍內(nèi)的區(qū)域面積為__x＝μ3.正態(tài)分布若X是一個隨機變量，則對任給區(qū)間(a，b]，P(a<X≤b)是_____________

和

所圍成的圖形的面積，我們就稱隨機變量X服從參數(shù)為μ和σ2的正態(tài)分布，簡記為

.正態(tài)密度曲線x軸上(a，b]上方下方X～N(μ，σ2)注意點：參數(shù)μ和σ對正態(tài)曲線的形狀的影響(1)μ為位置參數(shù)當(dāng)參數(shù)σ取固定值時，正態(tài)曲線的位置由μ確定，且隨著μ的變化而沿x軸平移，如圖①，根據(jù)隨機變量均值的意義，有E(X)＝μ.(2)σ為形狀參數(shù)參數(shù)σ的大小決定了曲線的高低和胖瘦，因此σ的變化影響曲線的形狀，σ越小，曲線越“瘦高”，表示隨機變量的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示隨機變量的分布越分散，如圖②，根據(jù)隨機變量方差的意義，有V(X)＝σ2.√解析

函數(shù)f(x)圖象的對稱軸為直線x＝μ，因為μ<0，所以排除B，D；又正態(tài)曲線位于x軸上方，因此排除C.A.μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3B.μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3C.μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3D.μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3√解析

由正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對稱，知μ1<μ2＝μ3，σ的大小決定曲線的形狀，σ越大，隨機變量的分布越分散，曲線越“矮胖”；σ越小，隨機變量的分布越集中，曲線越“瘦高”，則σ1＝σ2<σ3.反思感悟

利用正態(tài)曲線的特點求參數(shù)μ，σ(1)正態(tài)曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對稱，由此特點結(jié)合圖象求出μ.跟蹤訓(xùn)練1

(1)如圖所示分別是甲、乙、丙三種品牌石英鐘時間誤差分布的正態(tài)曲線，則下列說法不正確的是A.三種品牌的石英鐘時間誤差的均值相等B.時間誤差的均值從大到小依次為甲、乙、丙C.時間誤差的方差從小到大依次為甲、乙、丙D.三種品牌的石英鐘中甲品牌的質(zhì)量最好√解析

正態(tài)曲線中的參數(shù)μ，σ分別表示隨機變量的均值和標(biāo)準(zhǔn)差.由圖象可知甲、乙、丙三種曲線的對稱軸相同，故它們的時間誤差的均值相等，A正確，B錯誤；再根據(jù)圖象的扁平與尖陡情況可以判斷它們的標(biāo)準(zhǔn)差從小到大依次為甲、乙、丙，這也說明甲品牌偏離均值的離散程度較小，所以甲品牌的質(zhì)量最好，故C，D正確.A.甲類水果的平均質(zhì)量μ1＝0.4kgB.甲類水果的質(zhì)量比乙類水果的質(zhì)量更集中于平

均值左右C.甲類水果的平均質(zhì)量比乙類水果的平均質(zhì)量小D.乙類水果的質(zhì)量服從的正態(tài)分布的參數(shù)σ2＝1.99√√√解析

由圖象可知甲圖象關(guān)于直線x＝0.4對稱，乙圖象關(guān)于直線x＝0.8對稱，所以μ1＝0.4，μ2＝0.8，μ1<μ2，故A，C正確；因為甲圖象比乙圖象更“高瘦”，所以甲類水果的質(zhì)量比乙類水果的質(zhì)量更集中于平均值左右，故B正確；因為乙圖象的最大值為1.99，二、正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值知識梳理(1)落在區(qū)間(μ－σ，μ＋σ)內(nèi)的概率約為

.(2)落在區(qū)間(μ－2σ，μ＋2σ)內(nèi)的概率約為

.(3)落在區(qū)間(μ－3σ，μ＋3σ)內(nèi)的概率約為

.注意點：盡管正態(tài)變量的取值范圍是(－∞，＋∞)，但在一次試驗中，X的取值幾乎總是落在區(qū)間(μ－3σ，μ＋3σ)內(nèi)，而在此區(qū)間以外取值的概率大約只有0.003，通常認為這種情況在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生.在實際應(yīng)用中，通常認為服從于正態(tài)分布N(μ，σ2)的隨機變量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)中的值，這在統(tǒng)計學(xué)中稱為3σ原則.68.3%95.4%99.7%例2

設(shè)ξ～N(1,22)，試求：(1)P(－1<ξ<3)；解

∵ξ～N(1,22)，∴μ＝1，σ＝2.P(－1<ξ<3)＝P(1－2<ξ<1＋2)＝P(μ－σ<ξ<μ＋σ)≈0.683；(2)P(3<ξ<5).解

∵P(3<ξ<5)＝P(－3<ξ<－1)，延伸探究若本例條件不變，求P(ξ≥5).反思感悟充分利用正態(tài)曲線的對稱性及面積為1的性質(zhì)求解(1)熟記正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對稱，從而在關(guān)于x＝μ對稱的區(qū)間上概率相等.(2)P(X<a)＝1－P(X≥a)；P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a).跟蹤訓(xùn)練2

為了解某省高中男生的身體發(fā)育情況，隨機抽取1000名男生測量他們的體重，測量的結(jié)果表明他們的體重X(單位：kg)服從正態(tài)分布N(μ，22)，正態(tài)曲線如圖所示.若體重落在區(qū)間(58.5,62.5)內(nèi)屬于正常情況，則在這1000名男生中不屬于正常情況的人數(shù)約是A.954 B.819C.683 D.317解析

由題意可知，μ＝60.5，σ＝2，故P(58.5<X<62.5)＝P(μ－σ<X<μ＋σ)≈0.683，從而不屬于正常情況的人數(shù)約是1000×(1－0.683)＝317.√三、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布知識梳理N(0,1)例3

在某校舉行的數(shù)學(xué)競賽中，全體參賽學(xué)生的競賽成績ξ近似服從正態(tài)分布N(70,100).已知成績在90分以上(含90分)的學(xué)生有12名.(1)此次參賽的學(xué)生總數(shù)約為多少人？解因為ξ～N(70,100)，＝1－Φ(2)＝1－0.9772＝0.0228.這說明成績在90分以上(含90分)的學(xué)生人數(shù)約占全體參賽人數(shù)的2.28%，(2)若該校計劃獎勵競賽成績排在前50名的學(xué)生，則設(shè)獎的分數(shù)線約為多少分？參考數(shù)據(jù)：可供查閱的(部分)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表Φ(Z)x001234567891.20.88490.88690.8880.890770.89250.89440.89620.89800.89970.90151.30.90320.90490.90660.90820.90990.91150.91310.91470.91620.91771.40.91920.92070.92220.92360.92510.92650.92780.92920.93060.93161.90.977130.97190.97260.97320.97380.97440.97500.97560.97620.97672.00.97720.97780.97830.97880.97930.97980.98030.98080.98120.98172.10.98210.98260.98300.98340.98380.98420.98460.98500.98540.9857解假定設(shè)獎的分數(shù)線為x分，則X～N(70,100)，解得x＝83.1.故設(shè)獎的分數(shù)線約為83分.(2)Φ(a)＝P(x<a)，即標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線與x軸在區(qū)間(－∞，a)上的概率.跟蹤訓(xùn)練3

某市統(tǒng)考成績大體上反映了全市學(xué)生的成績狀況，因此可以把統(tǒng)考成績作為總體，設(shè)平均成績μ＝480，標(biāo)準(zhǔn)差σ＝100，總體服從正態(tài)分布，若全市重點校錄取率為40%，那么重點錄取分數(shù)線可能劃在多少分？(已知Φ(0.25)＝0.6)解

∵平均成績μ＝480，標(biāo)準(zhǔn)差σ＝100，總體服從正態(tài)分布，∴X～N(480,1002).設(shè)重點錄取分數(shù)線可能劃在f分，1.知識清單：(1)正態(tài)曲線及其特點.(2)正態(tài)分布及正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值.(3)正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的轉(zhuǎn)化.2.方法歸納：轉(zhuǎn)化化歸、數(shù)形結(jié)合.3.常見誤區(qū)：概率區(qū)間轉(zhuǎn)化不等價.課堂小結(jié)隨堂演練1234√12342.(多選)下面給出的關(guān)于正態(tài)曲線的4個敘述中，正確的有A.曲線在x軸上方，且與x軸不相交B.當(dāng)x>μ時，曲線下降，當(dāng)x<μ時，曲線上升C.當(dāng)μ一定時，σ越小，總體分布越分散，σ越大，總體分布越集中D.曲線關(guān)于直線x＝μ對稱，且當(dāng)x＝μ時，位于最高點解析

只有C錯誤，因為當(dāng)μ一定時，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，總體分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，總體分布越分散.√√√12343.已知服從正態(tài)分布N(μ，σ2)的隨機變量在區(qū)間(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)和(μ－3σ，μ＋3σ)內(nèi)取值的概率約為68.3%,95.4%和99.7%.若某校高一年級1000名學(xué)生的某次考試成績X服從正態(tài)分布N(90,152)，則此次考試成績在區(qū)間(60,120)內(nèi)的學(xué)生大約有A.997人

B.972人C.954人

D.683人√解析

依題意可知μ＝90，σ＝15，故P(60<X<120)＝P(90－2×15<X<90＋2×15)≈0.954,1000×0.954＝954，故學(xué)生大約有954人.12344.設(shè)隨機變量X～N(2,9)，若P(X>1＋c)＝P(X<c－1).則：(1)c＝___，解析

由X～N(2,9)可知，正態(tài)密度曲線圖象關(guān)于直線x＝2對稱(如圖所示)，2又P(X>1＋c)＝P(X<c－1)，故有2－(c－1)＝(c＋1)－2，∴c＝2.1234(2)P(－4<X<8)≈______.0.954解析

P(－4<X<8)＝P(2－2×3<X<2＋2×3)≈0.954.課時對點練基礎(chǔ)鞏固12345678910111213141516√2.已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(a,4)，且P(X＞1)＝0.5，則實數(shù)a的值為A.1B.2C.3D.412345678910111213141516√解析

隨機變量X服從正態(tài)分布N(a,4)，所以曲線關(guān)于x＝a對稱，且P(X＞a)＝0.5，由P(X＞1)＝0.5，可知μ＝a＝1.123456789101112131415163.(多選)一次教學(xué)質(zhì)量檢測中，甲、乙、丙三科考試成績的正態(tài)分布密度曲線如圖所示，下列說法中不正確的是解析

由題中圖象可知三科總體的均值相等，由正態(tài)分布密度曲線的性質(zhì)，可知σ越大，正態(tài)曲線越“矮胖”，σ越小，正態(tài)曲線越“瘦高”，故三科總體的標(biāo)準(zhǔn)差從小到大依次為甲、乙、丙.A.甲科總體的標(biāo)準(zhǔn)差最小B.丙科總體的均值最小C.乙科總體的標(biāo)準(zhǔn)差及均值都比甲小，比丙大D.甲、乙、丙總體的均值不相同√√√123456789101112131415164.已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，則P(0<ξ<2)等于A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2√解析

∵隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(2，σ2)，∴μ＝2，對稱軸是ξ＝2.∵P(ξ<4)＝0.8，∴P(ξ≥4)＝P(ξ≤0)＝0.2，∴P(0<ξ<4)＝0.6，∴P(0<ξ<2)＝0.3.故選C.123456789101112131415165.某廠生產(chǎn)的零件外徑X～N(10,0.04)，今從該廠上午、下午生產(chǎn)的零件中各取一件，測得其外徑分別為9.9cm,9.3cm，則可認為A.上午生產(chǎn)情況正常，下午生產(chǎn)情況異常B.上午生產(chǎn)情況異常，下午生產(chǎn)情況正常C.上午、下午生產(chǎn)情況均正常D.上午、下午生產(chǎn)情況均異常解析

因測量值X為隨機變量，又X～N(10,0.04)，所以μ＝10，σ＝0.2，記I＝(μ－3σ，μ＋3σ)＝(9.4,10.6)，則9.9∈I,9.3?I.故選A.√123456789101112131415166.(多選)設(shè)隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(0,1)，則下列結(jié)論正確的是A.P(|ξ|<a)＝P(ξ<a)＋P(ξ>－a)(a>0)B.P(|ξ|<a)＝2P(ξ<a)－1(a>0)C.P(|ξ|<a)＝1－2P(ξ<a)(a>0)D.P(|ξ|<a)＝1－P(|ξ|≥a)(a>0)√√解析

因為P(|ξ|<a)＝P(－a<ξ<a)，所以A錯誤；因為P(|ξ|<a)＝P(－a<ξ<a)＝P(ξ<a)－P(ξ<－a)＝P(ξ<a)－P(ξ>a)＝P(ξ<a)－[1－P(ξ<a)]＝2P(ξ<a)－1，所以B正確，C錯誤；因為P(|ξ|<a)＋P(|ξ|≥a)＝1，所以P(|ξ|<a)＝1－P(|ξ|≥a)(a>0)，所以D正確.123456789101112131415167.設(shè)隨機變量X～N(4，σ2)，且P(4<X<8)＝0.3，則P(X≤0)＝____.0.2解析

概率密度曲線關(guān)于直線X＝4對稱，在4右邊的概率為0.5，在0左邊的概率等于8右邊的概率，即0.5－0.3＝0.2.123456789101112131415168.設(shè)隨機變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)，在某項測量中，已知X在(－∞，－1.96]內(nèi)取值的概率為0.025，則P(|X|<1.96)＝________.0.9512345678910111213141516解析

方法一

∵X～N(0,1)，∴P(|X|<1.96)＝P(－1.96<X<1.96)＝Φ(1.96)－Φ(－1.96)＝1－2Φ(－1.96)＝0.95.方法二因為曲線的對稱軸是直線X＝0，所以由圖知P(X＞1.96)＝P(X≤－1.96)＝Φ(－1.96)＝0.025，∴P(|X|<1.96)＝1－0.025－0.025＝0.95.123456789101112131415169.設(shè)X～N(3,42)，試求：(1)P(－1<X<7)；解

∵X～N(3,42)，∴μ＝3，σ＝4.P(－1<X<7)＝P(3－4<X<3＋4)＝P(μ－σ<X<μ＋σ)≈0.683.12345678910111213141516(2)P(7<X<11)；解

∵P(7<X<11)＝P(－5<X<－1)，12345678910111213141516(3)P(X≥11).解

∵P(X≥11)＝P(X≤－5)，1234567891011121314151610.某人騎自行車上班，第一條路線較短但擁擠，到達時間X(分鐘)服從正態(tài)分布N(5,1)；第二條路線較長不擁擠，X服從N(6,0.16).若有一天他出發(fā)時離點名時間還有7分鐘，問他應(yīng)選哪一條路線？若離點名時間還有6.5分鐘，問他應(yīng)選哪一條路線？12345678910111213141516解

還有7分鐘時：若選第一條路線，即X～N(5,1)，能及時到達的概率P1＝P(X≤7)＝P(X≤5)＋P(5<X≤7)若選第二條路線，即X～N(6,0.16)，能及時到達的概率P2＝P(X≤7)＝P(X≤6)＋P(6<X≤7)12345678910111213141516因為P1<P2，所以應(yīng)選第二條路線.同理，還有6.5分鐘時，應(yīng)選第一條路線.綜合運用1234567891011121314151611.在某市的高三質(zhì)量檢測考試中，數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布N(98,100).已知參加本次考試的全市學(xué)生約有9450人，如果某學(xué)生在這次考試中的數(shù)學(xué)成績是108分，那么他的數(shù)學(xué)成績大約排在全市第A.1498名

B.1700名

C.4500名

D.8000名√1234567891011121314151612.一批電阻的電阻值X(單位：Ω)服從正態(tài)分布N(1000,52)，現(xiàn)從甲、乙兩箱出廠的成品中各隨機抽取一個電阻，測得電阻值分別為1011Ω和982Ω，可以認為A.甲、乙兩箱電阻均可出廠B.甲、乙兩箱電阻均不可出廠C.甲箱電阻可出廠，乙箱電阻不可出廠D.甲箱電阻不可出廠，乙箱電阻可出廠√12345678910111213141516解析

∵X～N(1000,52)，∴μ＝1000，σ＝5，∴μ－3σ＝1000－3×5＝985，μ＋3σ＝1000＋3×5＝1015.∵1011∈(985,1015)，982?(985,1015)，∴甲箱電阻可出廠，乙箱電阻不可出廠.1234567891011121314151613.某工廠生產(chǎn)一種螺栓，在正常情況下，螺栓的直徑X(單位：mm)服從正態(tài)分布X～N(100,1).現(xiàn)加工10個螺栓的尺寸(單位：mm)如下：101.7,100.3,99.6,102.4，98.2，103.2,101.1,98.8,100.4,100.0.X～N(μ，σ2)，有P(μ－2σ<X<μ＋2σ)≈0.954，P(μ－3σ<X<μ＋3σ)≈0.997.根據(jù)行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)，概率低于0.003視為小概率事件，工人隨機將其中的8個交與質(zhì)檢員檢驗，則質(zhì)檢員認為設(shè)備需檢修的概率為√123456789101112131415161234567891011121314151614.已知隨機變量X～N(2,22)，且aX＋b(a>0)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)，則a＝____，b＝____.－1解析

∵隨機變量X～N(2,22)，∴E(X)＝2，D(X)＝22＝4.∴E(aX＋b)＝aE(X)＋b＝2a＋b＝0，D(aX＋b)＝a2D(X)＝4a2＝1，拓廣探究12345678910111213141516A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ