【高中數(shù)學】數(shù)學《推理與證明》試卷含答案

一、選擇題

1.已知〃+/?+c=2,則次?+bc+ca的值()

A.大于2B.小于2C.不小于2D.不大于2

【答案】B

【解析】

【分析】

把已知變形得到Q+Z?=-C,a+c=-b,b+c=-a,把2(〃b+bc+ac)拆開后提取公因式

代入〃+Z?=-c,a+c=-b,b+c=—a,則可判斷2(aZ?+Z?c+〃c)的符號，從而得至(J

++的值的符號.

【詳解】

Q+Z?+C=2,

tz+Z7—2—cfa+c=2—b,Z7+c=2—a.

則2(ab+bc+ac)

=2ab+2ac+2bc

=ab+ac+be+ac+ab+be

=a(b+c)+c(b+a)+b(a+c)

=b(2-b)+a(2—a)+c(2-c)

—2b—/+2Q—a?+2c—c?

=-(a?++02)+2(a+b+0)

=-(/+/+，)+4,

a+b+c=2,+Z?2+c2)>0,

即-(/+/+，)〈0,

2(ab+bc+ac)<4,/.(ab+bc+ac)<2

即ab+bc+ac的值小于2.

故選：B.

【點睛】

本題考查不等式的應用，考查了學生的靈活處理問題和解決問題的能力.

2.我國南宋數(shù)學家楊家輝所著的《詳解九章算法》一書中記錄了一個由正整數(shù)構成的三角

形數(shù)表，我們通常稱之為楊輝三角.以下數(shù)表的構造思路就來源于楊輝三角.（）

I35792013201520172019

481216???402840324036

12202880608068

4X16128

從第二行起，每一行中的數(shù)字均等于其"肩上"兩數(shù)之和，表中最后一行僅有一個數(shù)。，則

a的值為()

A.2018x21008B.2018x21009

C.2020x21008D.2020x21009

【答案】c

【解析】

【分析】

根據(jù)每一行的第一個數(shù)的變化規(guī)律即可得到結果.

【詳解】

解：第一行第一個數(shù)為：1=1x2°；

第二行第一個數(shù)為：4=2x2'；

第三行第一個數(shù)為：12=3x22；

第四行第一個數(shù)為：32=4x23；

第n行第一個數(shù)為：%=nx2"，

一共有1010行，

.,.第1010行僅有一個數(shù)：a=1010x21009=2O2Ox21008；

故選C.

【點睛】

本題考查了由數(shù)表探究數(shù)列規(guī)律的問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題.

22

3.已知點尸(10,3)在橢圓C：—+靠=1上.若點N(%,為)在圓〃：/+/=/上，則

圓"過點N的切線方程為/x+%>=由此類比得橢圓。在點P處的切線方程為

()

xy1XV1xy1

B.----1---—IC.---1—ID.---1—I

H099II3399H0

【答案】c

【解析】

【分析】

先根據(jù)點在橢圓上,求得/，再類比可得切線方程.

【詳解】

22

因為點尸(10,3)在橢圓。：［+上=1上,

a299

故可得干+短j解得a-.

由類比可得橢圓C在點P處的切線方程為:

10%3y,

——+—=1整理可得二+2=1.

110991133

故選：C.

【點睛】

本題考查由橢圓上一點的坐標求橢圓方程，以及類比法的應用，屬綜合基礎題.

4.已知函數(shù)/(X)的導函數(shù)為了'(X),記工(%)=/'(X),力(力=1'(力，…,

力+1(%)=力'⑺("N*).若〃x)=xsinx,則為O19(X)+為021(力=()

A.-2cosxB.-2sinxC.2cos%D.2sinx

【答案】D

【解析】

【分析】

通過計算于1(%),/(%)/(%)/(%)"(%)，可得

于4k.3(%)(%)，于4"\(%)，力左(%),最后計算可得結果.

【詳解】

由題可知：/(x)=xsinx

所以fi(X)=sinx+xcosx,(x)=2cosx-xsinx

^(x)=-3sinx-xcosx,y4(x)=-4cosx+xsinx

f5(x)=5sinx+xcosx,---

所以猜想可知：以―3(x)=(4左—3)sinx+%cosx

九一2(x)=(4左一2)cosx-xsinx

力j(%)=—(4%-l)sinx-xcosx

%左(％)=Tkcosx+xsinx

由2019=4x505—1,2021=4x506—3

所以A019(x)--2019sinx-xcosx

力02i(x)=202lsinx+xcosx

所以力019(%)+力021(%)=2sinx

故選：D

【點睛】

本題考查導數(shù)的計算以及不完全歸納法的應用，選擇題、填空題可以使用取特殊值，歸納

猜想等方法的使用，屬中檔題.

5.觀察(Y)'=2X,(x4)-4x3,(cosx)'=-sinx,由歸納推理可得：若定義在R上的

函數(shù)/(X)滿足/(一%)=/(%),記g(x)為f(x)的導函數(shù)，則g(—x)=

A.f(x)B.-f(x)C.g(x)D.~g(x)

【答案】D

【解析】

由歸納推理可知偶函數(shù)的導數(shù)是奇函數(shù)，因為f(x)是偶函數(shù)，則g(x)=/'(燈是奇函數(shù)，

所以g(—x)=—g(x),應選答案D.

6.平面上有幾個圓，其中每兩個都相交于兩點，每三個都無公共點，它們將平面分成

/(〃)塊區(qū)域，有/⑴=2,/(2)=4,f(3)=8,則/(")=().

2

A.2"B.n-n+2

C.2"-(附-1)(〃-2)(〃-3)D.H3-5n2+10/7-4

【答案】B

【解析】

【分析】

分析可得平面內有〃個圓時,它們將平面分成了(")塊，再添加第〃+1個圓時，因為每兩個都

相交于兩點，每三個都無公共點，故會增加2〃個圓.再求和即可.

【詳解】

由題,添加第〃+1個圓時，因為每兩個都相交于兩點，每三個都無公共點，故會增加2幾個圓.

又/⑴=2,故/5+1)—/(句=2〃.

即〃2)-〃1)=21(3)—〃2)=4.45)—/5—1)=2九—2.

累加可得/(〃)=2+2+4+...+2〃—2=2+—2"一2)="2—〃+2

故選：B

【點睛】

本題主要考查了根據(jù)數(shù)列的遞推關系求解通項公式的方法，需要畫圖分析進行理解.或直接計

算/(4),/(5)等利用排除法判斷.屬于中檔題.

7.在《中華好詩詞大學季》的決賽賽場上，由南京師范大學酈波老師、中南大學楊雨老

師、著名歷史學者紀連海和知名電視節(jié)目主持人趙忠祥四位大學士分別帶領的四支大學生

團隊進行了角逐.將這四支大學生團隊分別記作甲、乙、丙、丁，且比賽結果只有一支隊

伍獲得冠軍，現(xiàn)有小張、小王、小李、小趙四位同學對這四支參賽團隊的獲獎結果預測如

下：小張說：“甲或乙團隊獲得冠軍"；小王說："丁團隊獲得冠軍"；小李說"乙、丙兩個團

隊均未獲得冠軍"；小趙說："甲團隊獲得冠軍若這四位同學中只有兩位預測結果是對

的，則獲得冠軍的團隊是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

【答案】D

【解析】

【分析】

對甲、乙、丙、丁分別獲得冠軍進行分類討論，結合四人的說法進行推理，進而可得出結

論.

【詳解】

若甲獲得冠軍，則小張、小李、小趙的預測都正確，與題意不符；

若乙獲得冠軍，則小王、小李、小趙的預測不正確，與題意不符；

若丙獲得冠軍，則四個人的預測都不正確，與題意不符；

若丁獲得冠軍，則小王、小李的預測都正確，小張和小趙預測的都不正確，與題意相符.

故選：D.

【點睛】

本題考查合情推理，考查分類討論思想的應用，屬于中等題.

8.甲、乙、丙、丁四人通過抓閹的方式選出一人周末值班（抓到"值"字的人值班）.抓完

閹后，甲說："我沒抓到."乙說："丙抓到了."丙說："丁抓到了"丁說："我沒抓到."已知他們

四人中只有一人說了真話，根據(jù)他們的說法，可以斷定值班的人是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

【答案】A

【解析】

【分析】

可采用假設法進行討論推理，即可得到結論.

【詳解】

由題意，假設甲：我沒有抓到是真的，乙：丙抓到了，則丙：丁抓到了是假的，

T：我沒有抓到就是真的，與他們四人中只有一個人抓到是矛盾的；

假設甲：我沒有抓到是假的，那么?。何覜]有抓到就是真的，

乙：丙抓到了，丙：丁抓到了是假的，成立，

所以可以斷定值班人是甲.

故選：A.

【點睛】

本題主要考查了合情推理及其應用，其中解答中合理采用假設法進行討論推理是解答的關

鍵，著重考查了推理與分析判斷能力，屬于基礎題.

9.二維空間中圓的一維測度（周長）/=2w,二維測度（面積）S=?，；三維空間中球的二

42

維測度(表面積)s=4"2，三維測度(體積)V=.若四維空間中“超球，，的三維測度

V=8萬r3,猜想其四維測度卬=()

A.2%/B.3"4C.4萬74D.6"4

【答案】A

【解析】

分析：由題意結合所給的性質進行類比推理即可確定四維測度W.

詳解：結合所給的測度定義可得：在同維空間中，〃+1維測度關于「求導可得〃維測度，

結合"超球"的三維測度V=阮，，可得其四維測度w=271rA.

本題選擇A選項.

點睛：本題主要考查類比推理，導數(shù)的簡單應用等知識，意在考查學生的轉化能力和計算

求解能力.

10.在等差數(shù)列｛%｝中，若?！?gt;0,公差dwO,則有。4%,>%%?類比上述性質，在等比

數(shù)列他“｝中，若包>0,公比則關于打，以,“，名的一個不等關系正確的是

()

A.b5b^>b4bsB.&瓦>b4b5C.b5+Z?7<b4+b&D.Z?7+Z?8<Z?4+b5

【答案】C

【解析】

【分析】

類比等差數(shù)列｛4｝與等比數(shù)列｛2｝各項均為正數(shù)，等差數(shù)列中的"和”運算類比到等比數(shù)列

變?yōu)?積"運算，即可得到答案.

【詳解】

在等差數(shù)列｛4｝中，由4+6=3+7時，有％%,〉%%，

類比到等比數(shù)列｛々｝中，由5+7=4+8時，有句+々>4+67，

3

因為“+4-(么+2)="4-b&q-b&q3=b4(l—q)+b4q｛q—1)

=d(j)(l-/)=d(i—Mi+q+q2)〉。，

所以“+々>4+2成立.

故選：C

【點睛】

本題主要考查類比推理，同時考查觀察、分析、類比能力及推理論證能力，屬于中檔題.

/+/

11.用數(shù)學歸納法證明T+2+3+...+r)3=-----,nGN*",則當n=k+l時，應當在n=k時對應

2

的等式左邊加上()

A.k3+lB.(k3+l)+(k3+2)+...+(k+1)3

（左+1）6+（左+1）3

C.（k+1）3D.

2

【答案】B

【解析】

分析：當項數(shù)從“=左到〃=左+1時，等式左邊變化的項可利用兩個式子相減得到。

詳解：當〃=左時，等式左邊=1+2+3+..../

當〃=左+1時，等式左邊=1+2+3+.…左3+伏3+1)+伏3+2)伏3+3)…伏+1)3

3

所以增加的項為(左3+1)+(左3+2)(左3+3)…/+I)

所以選B

點睛：本題考查了數(shù)學歸納法的應用，當項數(shù)變化時分析出增加的項，屬于簡單題。

11r\1O1

12.已知數(shù)組(一)，(―,—),(—?—?—)，(一，----7<，—-—,不)，…，記該數(shù)組為

121321nn-121

(%)，(%'。3)，(“4，%，。6)，…,則。200=()

.910119

A.—B.—C.—D.—

11111210

【答案】B

【解析】

【分析】

設。200在第。組中，則"〃+1)(nCN*),

22

]9x20

由等差數(shù)列求和得：。2。。在第20組中，前19組的數(shù)的個數(shù)之和為：------=190,

2

再進行簡單的合情推理得：。20。=---=—,得解.

20-10+111

【詳解】

由題意有，第“組中有數(shù)”個，且分子由小到大且為1,2,3...n,設azo。在第。組中，則

(n-\\n+

——^-<200<-^——("GN*),

22

解得：〃=20,

]9x20

即。20。在第20組中，前19組的數(shù)的個數(shù)之和為：------=190,

2

即。20。在第20組的第10個數(shù)，即為一--=—,

20-10+111

_10

0200------，

11

故選B.

【點睛】

本題考查了閱讀理解及等差數(shù)列求和與進行簡單的合情推理能力，屬中檔題.

13.對于實數(shù)。，b,已知下列條件：①。+/?=2；②。+/?〉2；③2；

@ab>l；⑤log/<0.其中能推出"。，萬中至少有一個大于1"的條件為()

A.②③④B.②③④⑤

C.①②③⑤D.②⑤

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)條件分別利用特殊值以及反證法進行判斷即可.

【詳解】

①當a=b=l時，滿足a+b=2,但此時推不出結論，

②若awl,b<l,則a+b42,與a+b>2,矛盾，即a+b>2,可以推出，

③當a=—,b=工時，滿足條件a+b>-2,則不可以推出，

22

④若a=-2,b=-1.滿足ab>L但不能推出結論，

⑤由logab<0得logabClogal,若a>l,則0<b<l,若0<a<l,則b>l,可以推出結

論.

故可能推出的有②⑤，

故選：D.

【點睛】

本題主要考查合情推理的應用，利用特殊值法以及反證法是解決本題的關鍵.比較基礎.

14.幻方最早起源于我國，由正整數(shù)1,2.3,......,〃2這〃2個數(shù)填入"X"方格中，使得

每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和相等，這個正方形數(shù)陣就叫九階幻方.定義了(九)為〃

階幻方對角線上所有數(shù)的和，如/(3)=15,則/(10)=()

A.55B.500C.505D.5050

【答案】C

【解析】

【分析】

1+9+3—?+n

因為幻方的每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和相等，可得/(")=

n

即得解.

【詳解】

因為幻方的每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和相等，

所以〃階幻方對角線上數(shù)的和/(")就等于每行(或每列)的數(shù)的和，

又“階幻方有〃行(或九列)，

因此，f(n)=----------------，

n

12+----1.99+100

于是y(io)=--+----J。~—=505.

故選：c

【點睛】

本題考查了數(shù)陣問題，考查了學生邏輯推理，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.

15.觀察如圖中各多邊形圖案，每個圖案均由若干個全等的正六邊形組成，記第〃個圖案

中正六邊形的個數(shù)是

由/⑴=1,/(2)=7,43)=19,…,可推出〃10)=()

A.271B.272C.273D.274

【答案】A

【解析】

【分析】

觀察圖形，發(fā)現(xiàn)，第一個圖案中有一個正六邊形，第二個圖案中有7個正六邊形；…

根據(jù)這個規(guī)律，即可確定第10個圖案中正六邊形的個數(shù).

【詳解】

由圖可知，/(1)=1，

/(2)=l+2x6-6=7,

/(3)=l+(2+3)x6-2x6=19,

〃2)=l+(2+3)x6-2x6=19,

/(4)=l+(2+3+4)x6-3x6=37,

/(10)=l+(2+3+4+...+10)x6-9x6=271.

故選A.

【點睛】

此類題要能夠結合圖形，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：當〃22時，/(〃)—/(〃-1)=6(〃—1).

16.某學校為響應國家強化德智體美勞教育的號召，積極實施國家課程校本化.每個學生除

學習文化課程外，還可以根據(jù)自己的興趣愛好來選修一門校本課程作為自己的特長課程來

學習.該校學生小剛選完課后，本班的其他三位同學根據(jù)小剛的興趣愛好對小剛的選課做出

了自己的判斷：甲說：小剛選的不是書法，選的是籃球；乙說：小剛選的不是籃球，選的

是排球；丙說:小剛選的不是籃球，選的也不是國畫.已知三人中有一個人說的全對，有一

人說對了一半,另一個人說的全不對，由此推斷小剛的選擇的（）

A.可能是國畫B.可能是書法C.可能是排球D.一定是籃球

【答案】B

【解析】

【分析】

依次假定小剛的選擇,逐一驗證得到答案.

【詳解】

若小剛選擇的是國畫,則甲對一半，乙對一半，丙對一半，不滿足，排除;

若小剛選擇的是書法,則甲全不對，乙對一半，丙全對，滿足；

若小剛選擇的是排球,則甲對一半，乙全對，丙全對，不滿足，排除；

若小剛選擇的是籃球,則甲全對，乙全不對，丙對一半，滿足；

故小剛可能選擇的是書法和籃球.

故選：B.

【點睛】

本題考查了推理分析，意在考查學生的邏輯推理能力.

17.已知/(x+1)二了;72,"1)=1(XGN*),猜想/(%)的表達式為()

A

-?。?匕B.f(x}=---C.f(x}=——D.f(x}=---

V72"+2V7x+1')2x+l

【答案】A

為〃x+l)=2/S),所以111

【解析】因-----=----1-,因此

八)〃x)+2/(x+1)/(X)2

—L=—TX+—(x-1)=—(x+l)^>=?—，選A.

/(x)/(I)2、'2、'x+1

18.下列表述正確的是（）

①歸納推理是由特殊到一般的推理；②演繹推理是由一般到特殊的推理；

③類比推理是由特殊到一般的推理；④分析法是一種間接證明法；

A.②④B.①③C.①④D.①②

【答案】D

【解析】分析：根據(jù)題意，結合合情推理、演繹推理的定義，依次分析4個命題，綜合即

可得答案.

詳解：根據(jù)題意，依次分析4個命題：

對于①，歸納推理是由特殊到一般的推理，符合歸納推理的定義，所以正確；

對于②，演繹推理是由一般到特殊的推理，符合演繹推理的定義，所以正確；

對于③，類比推理是由特殊到特殊的推理，所以錯誤；

對于④，分析法、綜合法是常見的直接證明法，所以錯誤；

則正確的是①②，故選D.

點睛：該題考查的是有關推理的問題，對歸納推理、演繹推理和類比推理的定義要明確,

以及清楚哪些方法是直接證明方法，哪些方法是間接證明方法，就可以得結果.

19.某校實行選科走班制度，張毅同學的選擇是物理、生物、政治這三科，且物理在A層

班級，生物在3層班級.該校周一上午選科走班的課程安排如下表所示，張毅選擇三個科目

的課各上一節(jié)，另外一節(jié)上自習，則他不同的選課方法有()

第一節(jié)第二節(jié)第三節(jié)第四節(jié)

地理3層2班化學A層3班地理A層1班化學4層4班

生物A層1班化學3層2班生物3層2班歷史B層1班

物理A層1班生物A層3班物理A層2班生物A層4班

物理3層2班生物3層3班物理3層1班物理A層4班

政治1班物理A層3班政治2班政治3班

A.8種B.10種C.12種D.14種

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)表格，利用分類討論思想進行邏輯推理一一列舉即可.

【詳解】

張毅同學不同