第02講平面向量的數(shù)量積及其應用（模擬精練+真題演練）1．（2023·湖南長沙·長沙市實驗中學校考三模）已知向量（2，1），（，3），則向量在方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．2．（2023·北京·統(tǒng)考模擬預測）若向量，，則與的夾角等于（

）A． B． C． D．3．（2023·湖南長沙·雅禮中學?？寄M預測）已知向量，滿足，且，，則（

）A．5 B．3 C．2 D．14．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預測）若等邊的邊長為2，平面內(nèi)一點滿足，則（

）A． B． C． D．5．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第四中學校?？寄M預測）如圖，已知的半徑為2，，則（

）

A．1 B．-2 C．2 D．6．（2023·新疆喀什·?？寄M預測）在當中，且，已知為邊的中點，則（

）.A．2 B． C． D．7．（2023·山東菏澤·山東省鄄城縣第一中學?？既＃┮阎蛄浚覞M足，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．8．（2023·上海嘉定·上海市嘉定區(qū)第一中學校考三模）如圖直線l以及三個不同的點A，，O，其中，設，，直線l的一個方向向量的單位向量是，下列關于向量運算的方程甲：，乙：，其中是否可以作為A，關于直線l對稱的充要條件的方程（組），下列說法正確的是（

）

A．甲乙都可以 B．甲可以，乙不可以C．甲不可以，乙可以 D．甲乙都不可以9．（2023·安徽亳州·蒙城第一中學校聯(lián)考模擬預測）已知非零向量，，滿足，，，.則向量與的夾角（

）A．45° B．60° C．135° D．150°10．（2023·重慶沙坪壩·重慶一中校考模擬預測）在中，點D，E滿足，，且．若，則的可能值為（

）A． B． C． D．11．（多選題）（2023·廣東梅州·大埔縣虎山中學?？寄M預測）已知平面向量，，則下列說法正確的是（

）A．B．在方向上的投影向量為C．與垂直的單位向量的坐標為D．若向量與非零向量共線，則12．（多選題）（2023·廣東珠海·珠海市第一中學?？寄M預測）已知，下列結(jié)論正確的是（

）A．與向量垂直且模長是2的向量是和B．與向量反向共線的單位向量是C．向量在向量上的投影向量是D．向量與向量所成的角是銳角，則的取值范圍是13．（多選題）（2023·遼寧·朝陽市第一高級中學校聯(lián)考三模）△ABC是邊長為2的等邊三角形，已知向量，滿足，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．14．（多選題）（2023·廣東汕頭·統(tǒng)考二模）在中，已知，，，BC，AC邊上的兩條中線AM，BN相交于點P，下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．的余弦值為 D．15．（多選題）（2023·安徽·合肥一中校聯(lián)考模擬預測）如圖，已知正六邊形ABCDEF的邊長為1，記，則（

）

A．B．C．D．在方向上的投影向量為16．（2023·陜西西安·統(tǒng)考模擬預測）若向量，不共線，且，則________.17．（2023·重慶萬州·重慶市萬州第三中學校考模擬預測）已知向量，，若，則向量在上的投影向量的模長為___________.18．（2023·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）已知正六邊形的邊長為1，為邊的中點，為正六邊形的中心，則______．19．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預測）已知向量，，，滿足，且，，則＝______．1．（2023?乙卷（文））正方形的邊長是2，是的中點，則A． B．3 C． D．52．（2023?甲卷（文））已知向量，，則，A． B． C． D．3．（2023?甲卷（理））向量，，且，則，A． B． C． D．4．（2022?乙卷（文））已知向量，滿足，，，則A． B． C．1 D．25．（2023?天津）在中，，，點為的中點，點為的中點，若設，，則可用，表示為；若，則的最大值為．6．（2023?上海）已知向量，，則．7．（2023?新高考Ⅱ）已知向量，滿足，，則．8．（2022?天津）在中，，，是中點，，試用，表示為，若，則的最大值為．9．（2022?上海）若平面向量，且滿足，，，則．10．（2022?浙江）設點在單位圓的內(nèi)接正八邊形的邊上，則的取值范圍是．11．（2022?甲卷（文））已知向量，．若，則．12．（2022?甲卷（理））設向量，的夾角的余弦值為，且，，則．

第02講平面向量的數(shù)量積及其應用（模擬精練+真題演練）1．（2023·湖南長沙·長沙市實驗中學?？既＃┮阎蛄浚?，1），（，3），則向量在方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為向量（2，1），（，3），所以向量在方向上的投影向量為，故選：C2．（2023·北京·統(tǒng)考模擬預測）若向量，，則與的夾角等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，又因為，所以，即與的夾角等于.故選：D3．（2023·湖南長沙·雅禮中學?？寄M預測）已知向量，滿足，且，，則（

）A．5 B．3 C．2 D．1【答案】D【解析】，所以，故選：D4．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預測）若等邊的邊長為2，平面內(nèi)一點滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，.故選：C.5．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第四中學校校考模擬預測）如圖，已知的半徑為2，，則（

）

A．1 B．-2 C．2 D．【答案】C【解析】由題知，為正三角形，所以，所以.故選：C6．（2023·新疆喀什·校考模擬預測）在當中，且，已知為邊的中點，則（

）.A．2 B． C． D．【答案】D【解析】因為為邊的中點，所以，即，而，，，故，所以.故選：D7．（2023·山東菏澤·山東省鄄城縣第一中學?？既＃┮阎蛄浚覞M足，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，所以，得，所以，，所以向量在向量上的投影向量為.故選：C8．（2023·上海嘉定·上海市嘉定區(qū)第一中學?？既＃┤鐖D直線l以及三個不同的點A，，O，其中，設，，直線l的一個方向向量的單位向量是，下列關于向量運算的方程甲：，乙：，其中是否可以作為A，關于直線l對稱的充要條件的方程（組），下列說法正確的是（

）

A．甲乙都可以 B．甲可以，乙不可以C．甲不可以，乙可以 D．甲乙都不可以【答案】A【解析】對于方程甲：因為、為、在方向上的投影，可得表示點A，到直線l的距離相等，則點A，分別在關于直線l對稱的平行線上，

因為，可得，則，且，可得，所以A，關于直線l對稱，反之也成立，故甲滿足；對于乙：在中，因為，則為邊的中線所在的直線，且點A在直線上的投影為的中點，所以A，關于直線l對稱，反之也成立，故乙滿足；故選：A.9．（2023·安徽亳州·蒙城第一中學校聯(lián)考模擬預測）已知非零向量，，滿足，，，.則向量與的夾角（

）A．45° B．60° C．135° D．150°【答案】C【解析】∵，，∴.∵，∴，，則，設向量與的夾角為，與反向,則.故選：C.10．（2023·重慶沙坪壩·重慶一中?？寄M預測）在中，點D，E滿足，，且．若，則的可能值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意，作圖如下，

由，可得，所以，即，也即，又因為,所以，所以，所以，當且僅當時取得等號，所以，所以結(jié)合選項的可能值為，故選：D.11．（多選題）（2023·廣東梅州·大埔縣虎山中學校考模擬預測）已知平面向量，，則下列說法正確的是（

）A．B．在方向上的投影向量為C．與垂直的單位向量的坐標為D．若向量與非零向量共線，則【答案】AD【解析】由題意知，，，則，因此A正確；在方向上的投影向量為，因此B錯誤；與垂直的單位向量的坐標為或，因此C錯誤；因為，，若向量與向量共線，則，解得，因此D正確.故選：AD.12．（多選題）（2023·廣東珠?！ぶ楹Ｊ械谝恢袑W校考模擬預測）已知，下列結(jié)論正確的是（

）A．與向量垂直且模長是2的向量是和B．與向量反向共線的單位向量是C．向量在向量上的投影向量是D．向量與向量所成的角是銳角，則的取值范圍是【答案】BC【解析】對于A，向量的模不符合，故A不正確.對于B，向量的相反向量為，與相反向量同向的單位向量是，故B正確.對于C，向量在向量上的投影為，與向量同向的單位向量，所以向量在向量上的投影向量是，故C正確.對于D，時，向量與同向共線，夾角為0，不是銳角，故D不正確.故選：BC.13．（多選題）（2023·遼寧·朝陽市第一高級中學校聯(lián)考三模）△ABC是邊長為2的等邊三角形，已知向量，滿足，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】因為，所以，所以，又因為，所以,所以，所以，A錯誤；因為△ABC是邊長為2的等邊三角形，所以的夾角為，即的夾角為，所以，所以，B正確；，C正確，D錯誤；故選:BC.14．（多選題）（2023·廣東汕頭·統(tǒng)考二模）在中，已知，，，BC，AC邊上的兩條中線AM，BN相交于點P，下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．的余弦值為 D．【答案】ABD【解析】連接PC，并延長交AB于Q，中，，，，則，,，，，選項A:.判斷正確；選項B:.判斷正確；選項C:.判斷錯誤；選項D:.判斷正確.故選：ABD15．（多選題）（2023·安徽·合肥一中校聯(lián)考模擬預測）如圖，已知正六邊形ABCDEF的邊長為1，記，則（

）

A．B．C．D．在方向上的投影向量為【答案】BC【解析】，故A錯誤；因為，故B正確；，又，所以，故C正確；在方向上的投影向量為，故D錯誤.故選：.16．（2023·陜西西安·統(tǒng)考模擬預測）若向量，不共線，且，則________.【答案】【解析】因為向量，，所以，因為，所以，所以或，又向量，不共線，所以，所以，所以，即，所以，故答案為：.17．（2023·重慶萬州·重慶市萬州第三中學?？寄M預測）已知向量，，若，則向量在上的投影向量的模長為___________.【答案】【解析】因為向量，，，，

若，則，即，即，解得:,向量在上的投影向量的模長為:.故答案為：.18．（2023·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）已知正六邊形的邊長為1，為邊的中點，為正六邊形的中心，則______．【答案】【解析】根據(jù)題意得，，，故．故答案為：19．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預測）已知向量，，，滿足，且，，則＝______．【答案】【解析】，所以，，以向量的起點為原點，向量的方向為軸正方向，建立如圖所示的坐標系，不妨設，則，，設

∵，所以或，或，則或，故答案為：．1．（2023?乙卷（文））正方形的邊長是2，是的中點，則A． B．3 C． D．5【答案】【解析】正方形的邊長是2，是的中點，所以，，，，則．故選：．2．（2023?甲卷（文））已知向量，，則，A． B． C． D．【答案】【解析】根據(jù)題意，向量，，則，，則有，，，故，．故選：．3．（2023?甲卷（理））向量，，且，則，A． B． C． D．【答案】【解析】因為向量，，且，所以，所以，即，，解得，，所以，又，，所以，，所以，．故選：．4．（2022?乙卷（文））已知向量，滿足，，，則A． B． C．1 D．2【答案】【解析】因為向量，滿足，，，所以，兩邊平方得，，解得，故選：．5．（2023?天津）在中，，，點為的中點，點為的中點，若設，，則可用，表示為；若，則的最大值為．【答案】；．【解析】在中，，，點為的中點，點為的中點，，，則；設，，由余弦定理可得：，又，即，當且僅當時取等號，又，則，則，即的最大值為．故答案為：；．6．（2023?上海）已知向量，，則．【答案】4．【解析】向量，，．故答案為：4．7．（2023?新高考Ⅱ）已知向量，滿足，，則．【答案】【解析】，，，，，，．故答案為：．8．（2022?天津）在中，，，是中點，，試用，表示為，若，則的最大值為．【答案】；．【解析】中，，，是中點，，如圖：．，，，即，即，即，當且僅當時，等號成立，故的最小值為，故的最大值為，即的最大值為，故答案為：；．9．（2022?上海）若平面向量，且滿足，，，則．【答案】【解析】由題