第3章

一次方程與方程組

3.4二元一次方程組及其解法課程導(dǎo)入

課程講授習(xí)題解析歸納總結(jié)第2課時

用代入法解二元一次方程組問題引入

問題1：籃球聯(lián)賽中，每場比賽都要分出勝負(fù)，每隊(duì)勝一場得2分，負(fù)一場得1分.如果某隊(duì)為了爭取較好名次，想在全部22場比賽中得40分，這個隊(duì)勝、負(fù)場數(shù)應(yīng)分別是多少?設(shè)他們勝場次數(shù)為

x，負(fù)場數(shù)為

y.根據(jù)題意得昨天，我們

8

個人去紅山公園玩，買門票花了

34

元每張成人票5

元，每張兒童票3

元設(shè)他們中有

x個成人，y個兒童.根據(jù)題意得問題2：他們到底去了幾個成人，幾個兒童呢?合作探究

有哪些值滿足方程

x+y=22且符合問題的實(shí)際意義？x012…18…22yx

+y222120…4…0222222…22…22二元一次方程（組）的解若不考慮實(shí)際意義，你還能再找出方程的幾個解嗎？

一般地，一個二元一次方程有無數(shù)個解.如果對未知數(shù)的取值附加某些限制條件，那么可能有有限個解.

使二元一次方程左右兩邊相等的一組未知數(shù)的值，叫做這個二元一次方程的一個解通常記作：······

x

+

y

=

22x

=

2y

=

20x012…18…22yx

+y222120…4…0222222…22…22x012…18…222xy2x

+y024…36…44404040…40…40403632…4…/不難發(fā)現(xiàn)

x=18，y=4既是x+y=22的解，也是2x+y=40的解，也就是說它是這兩個方程的公共解，我們把它們叫做方程組

的解.x

+

y

=

22

2x

+

y

=

40

記作：x

=

18y

=

4

使二元一次方程組中每個方程都成立的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程組的解.怎么求

x、y的值呢？

昨天，我們

8個人去紅山公園玩，買門票花了34

元.

每張成人票

5

元，每張兒童票

3

元.他們到底去了幾個成人、幾個兒童呢?還記得下面這一問題嗎?設(shè)他們中有

x個成人，y個兒童.用代入法解二元一次方程組x+y=8，5x+3y=34.5x+3(8-

x)=34.解：設(shè)去了

x個成人，則去了(8－x)個兒童，根據(jù)題意，得解得

x=5.將

x=5代入8－x=8－5=3.答:去了5個成人，3個兒童.用一元一次方程求解解：設(shè)去了

x個成人，去了

y個兒童，根據(jù)題意，得用二元一次方程組求解觀察：二元一次方程組和一元一次方程有何聯(lián)系？這對你解二元一次方程組有何啟示？

y=8-

x用二元一次方程組求解解：由①得

y=8－x.③將③代入②，得5x+3(8－x)=34.解得

x=5.把

x=5代入③，得

y=3.x+y=8①5x+3y=34②所以原方程組的解為x

+

y

=85x

+3y

=345x

+3(8-

x)

=34第一個方程

x

+

y

=8說明

y

=8-

x將第二個方程5x

+3y

=34的

y

換成8-

x解得

x

=5代入

y

=8-

x得

y=3y=3x

=5思考：從到達(dá)到了什么目的?怎樣達(dá)到的?x

+

y

=85x

+3y

=345x

+3(8-

x)

=34要點(diǎn)歸納解二元一次方程組的基本思路：“消元”二元一次方程組一元一次方程消元轉(zhuǎn)化

也就是要消去其中一個未知數(shù)，把解二元一次方程組轉(zhuǎn)化成解一元一次方程.

這里的消元方法是，從一個方程中求出某一個未知數(shù)的表達(dá)式，并把它“代入”另一個方程，進(jìn)行求解，這種方法叫做代入消元法，簡稱代入法.

典例精析將

y=1代入②，得x=4.經(jīng)檢驗(yàn)，

x=4，y=1適合原方程組.所以原方程組的解是x=4，y=1.解：將②代入①，得3(y+3)+2y=

143y+9+2y=145y=5

y=1.例1解方程組3x+2y=14①x=y+3②

檢驗(yàn)可以口算或在草稿紙上驗(yàn)算，以后可以不必寫出.解：由②，得x=13-

4y.③將③代入①，得2(13-

4y)+3y=16.26-

8y+3y=16.

-5y=-10.

y=2.所以原方程組的解是x=5，y=2.例2解方程組2x+3y=16①x+4y=13②將

y=2代入③，得x=5.用代入法解二元一次方程組的一般步驟1.將方程組里的一個方程變形，用含有一個未知數(shù)的式子表示另一個未知數(shù)；變代2.用這個式子代替另一個方程中相應(yīng)的未知數(shù)，得到一個一元一次方程，求得一個未知數(shù)的值；求3.把這個未知數(shù)的值代入上面的式子，求得另一個未知數(shù)的值；寫4.寫出方程組的解.由①直接代入②

下列各方程組中，應(yīng)怎樣代入消元？由①得

y

=

7x–11.③將③代入②x

=

4y

-

1①3x+

y

=

10

②7x

-

y

=

11①5x+

2y

=

0

②小技巧：用代入法時，往往對方程組中系數(shù)為

1

的未知數(shù)所在的方程進(jìn)行變形代入.練一練例3籃球聯(lián)賽中，每場比賽都要分出勝負(fù)，勝一場得2分.負(fù)一場得1分，某隊(duì)為了爭取較好的名次，想在全部20場比賽中得到35分，那么這個隊(duì)勝負(fù)場數(shù)分別是多少？解：設(shè)勝的場數(shù)是

x，負(fù)的場數(shù)是

y，可列方程組：

由①得y＝20-

x.將③代入②，得2x+20-

x=35，解得x=15.將

x=15代入③得

y=5.則這個方程組的解是答：這個隊(duì)勝

15場，負(fù)5場.①②1.二元一次方程組

的解是（）

A．B．C．D.Dy=2x，x+y=12；(1)(2)2x=y-5，4x+3y=65.解：(1)x=

4，y=8.(2)2.解下列方程組：x=5，y=15.3.

根據(jù)市場調(diào)查，某種消毒液的大瓶裝

(500

g)和小瓶裝(250

g)，兩種產(chǎn)品的銷售數(shù)量(按瓶計(jì)算)的比為

2∶5.某廠每天生產(chǎn)這種消毒液

22.5

噸，這些消毒液應(yīng)該分裝大、小瓶兩種產(chǎn)品各多少瓶？解：設(shè)這些消毒液應(yīng)該分裝

x

瓶大瓶、y

瓶小瓶.根據(jù)題意，可列方程組：解方程組，得答：這些消毒液應(yīng)分裝20000瓶大瓶，50000瓶小瓶.小技巧：當(dāng)相同未知數(shù)的系數(shù)成倍數(shù)關(guān)系時，我們常用整體代入法會使解法更加快捷簡便！解二元一次方程組基本思路“消元”代入法解二元一次方程組的一般步驟變：用含一個未知數(shù)的式子表示另一個未知數(shù)代：用這個式子替代另一個方程中相應(yīng)未知數(shù)求：求出兩個未知數(shù)的值寫：寫出方程組的解謝謝大家愛心.誠心.細(xì)心.耐心，讓家長放心.孩子安心。樣，也可能因討厭一位老師而討厭學(xué)習(xí)。一個被學(xué)生喜歡的老師，其教育效果總是超出一般教師。無論中學(xué)生還是小學(xué)生，他們對自己喜歡的老師都會有一些普遍認(rèn)同的標(biāo)準(zhǔn)，諸如尊重和理解學(xué)生，寬容、不傷害學(xué)生自尊心，平等待人、說話辦事公道、有耐心、不輕易發(fā)脾氣等。教師要放下架子，把學(xué)生放在心上?！岸紫律碜雍蛯W(xué)生說話，走下講臺給學(xué)生講課”;關(guān)心學(xué)生情感體驗(yàn)，讓學(xué)生感受到被關(guān)懷的溫暖;自覺接受學(xué)生的評價，努力做學(xué)生喜歡的老師。教師要學(xué)會寬容，寬容學(xué)生的錯誤和過失，寬容學(xué)生一時沒有取得很大的進(jìn)步。蘇霍姆林斯基說過：有時寬容引起的道德震動，比懲罰更強(qiáng)烈。每當(dāng)想起葉圣陶先生的話：你這糊涂的先生，在你教鞭下有瓦特，在你的冷眼里有牛頓，在你的譏笑里有愛迪生。身為教師，就更加感受到自己職責(zé)的神圣和一言一行的重要。善待每一個學(xué)生，做學(xué)生喜歡的老師，師生雙方才會有愉快的情感體驗(yàn)。一個教師，只有當(dāng)他受到學(xué)生喜愛時，才能真正實(shí)現(xiàn)自己的最大價值。義務(wù)教育課程方案和課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）簡介新課標(biāo)的全名叫做《義務(wù)教育課程方案和課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》，文件包括義務(wù)教育課程方案和16個課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版），不僅有語文數(shù)學(xué)等主要科目，連勞動、道德這些，也有非常詳細(xì)的課程標(biāo)準(zhǔn)?，F(xiàn)行義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)，是2011年制定的，離現(xiàn)在已經(jīng)十多年了；而課程方案最早，要追溯到2001年，已經(jīng)二十多年沒更新過了，很多內(nèi)容，確實(shí)需要根據(jù)現(xiàn)實(shí)情況更新。所以這次新標(biāo)準(zhǔn)的實(shí)施，首先是對老課標(biāo)的一次升級完善。另外，在雙減的大背景下頒布，也能體現(xiàn)出，國家對未來教育改革方向的規(guī)劃。課程方案課程標(biāo)準(zhǔn)是啥？課程方案是對某一學(xué)科課程的總體設(shè)計(jì)，或者說，是對教學(xué)過程的計(jì)劃安排。簡單說，每個年級上什么課，每周上幾節(jié)，老師上課怎么講，課程方案就是依據(jù)。課程標(biāo)準(zhǔn)是規(guī)定某一學(xué)科的課程性質(zhì)、課程目標(biāo)、內(nèi)容目標(biāo)、實(shí)施建議的教學(xué)指導(dǎo)性文件，也就是說，它規(guī)定了，老師上課都要講什么內(nèi)容。課程方案和課程標(biāo)準(zhǔn)，就像是一面旗幟，學(xué)校里所有具體的課程設(shè)計(jì)，都要朝它無限靠近。所以，這份文件的出臺，其實(shí)給學(xué)校教育定了一個總基調(diào)，決定了我們孩子成長的走向。各門課程基于培養(yǎng)目標(biāo)，將黨的教育方針具體化細(xì)化為學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展要求，明確本課程應(yīng)著力培養(yǎng)的正確價值觀、必備品格和關(guān)鍵能力。進(jìn)一步優(yōu)化了課程設(shè)置，九年一體化設(shè)計(jì)，注重幼小銜接、小學(xué)初中銜接，獨(dú)立設(shè)置勞動課程。與時俱進(jìn)，更新課程內(nèi)容，改進(jìn)課程內(nèi)容組織與呈現(xiàn)形式，注重學(xué)科內(nèi)知識關(guān)聯(lián)、學(xué)科間關(guān)聯(lián)。結(jié)合課程內(nèi)容，依據(jù)核心素養(yǎng)發(fā)展水平，提出學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)，引導(dǎo)和幫助教師把握教學(xué)深度與廣度。通過增加學(xué)業(yè)要求、教學(xué)提示、評價案例等，增強(qiáng)了指導(dǎo)性。教育部將組織宣傳解讀