第2章投影的基本知識投影概述2.1三面投影圖2.2點的投影2.3直線的投影2.4平面的投影2.5目錄2.1投影概述

2.1.1投影的概念2.1.2投影法分類2.1.3正投影的特性投影概述2.1.1投影的概念假設形體上方有一個光源，在其下方有個平面，在光線的照射下，將形體上的棱線清楚地投到平面上，組成一個能反映形體形狀的圖形，該圖形稱為投影，上述光源稱為投影中心，上述光線稱為投影線，上述平面稱為投影面。產生投影必備的三個條件投射線形體投射面投影必須將物體的各個組成部分的輪廓全部表示出來；影子只能表達物體的整體輪廓，并且內部為一個整體。2.1.2投影法分類投影法中心投影法平行投影法斜投影正投影正投影法能夠表達物體的真實形狀和大小，作圖方法也較簡單。投影線從一點出發(fā)所有投射線相互平行類似性：當直線與投影面傾斜時，直線的投影仍為直線，但比本身短；當平面與投影面傾斜時，平面的投影仍為平面，但形狀和大小都發(fā)生變化。2.1.3正投影的特性顯實性：平行于投影面的直線段或平面圖形，在該投影面上的正投影反映該直線段或者平面圖形的實長或實形。積聚性：當一條直線或一個平面垂直于投影面時，直線的正投影變成一個點，而平面的正投影變成一條直線。2.2三面投影圖2.2.1三面投影體系的建立2.2.2三面投影圖的形成2.2.3三面投影圖的展開

2.2.4三面投影圖的基本規(guī)律2.2.5三面投影圖的畫法三面投影圖2.2.1三面投影體系的建立在投影面、投影中心和投影方向確定之后，形體上每一點必有其唯一的一個投影，也就是點與投影之間建立起了一一對應的關系。但是兩個完全不同形狀的形體，在同一投影面上的投影有可能相同。2.2.1三面投影體系的建立用3個相互垂直的投影面構成一空間體系稱為三面投影體系。2.2.2三面投影圖的形成將形體由前向后投射在正面投影面上得到的投影圖稱為正面投影圖；將形體由上向下投射在水平投影面上得到的投影圖稱為水平投影圖；將形體由左向右投射在側面投影面上得到的投影圖稱為側面投影圖。2.2.3三面投影圖的展開三面投影圖的展開方法是：正投影面V保持不動，將水平投影面H繞OX軸向下旋轉90°，將側面投影面W繞OZ軸向右旋轉90°，將三投影面展開在一個平面上。2.2.4三面投影圖的基本規(guī)律主、俯視圖長度相等——長對正；主、左視圖高度相等——高平齊；俯、左視圖寬度相等——寬相等。主視圖反映物體的上、下和左、右；俯視圖反映物體的左、右和前、后；左視圖反映物體的上、下和前、后。2.2.5三面投影圖的畫法繪制某兩坡屋面房屋三面投影圖45°法圓弧法2.3點的投影2.3.1點的三面投影2.3.2點的投影規(guī)律2.3.3點的坐標2.3.4兩點之間的相對位置關系2.3.5兩點的重影點點的投影2.3.1點的三面投影通常規(guī)定空間點用大寫字母A，B，C…表示；水平投影用相應的小寫字母a，b，c…表示；正面投影用小寫字母加上上標“′”表示，如a′，b′，c′…；側面投影用小寫字母加上上標“″”表示，如a″，b″，c″…。2.3.2點的投影規(guī)律①

aa′⊥OX；②

a′a″⊥OZ；③

aaX＝a″aZ。

點的兩面投影即可確定點的空間位置，只要給出點的兩面投影，就可以求出其第三面投影。2.3.3點的坐標空間點到W面的距離為x坐標，即Aa″＝a′aZ＝aaH＝x；空間點到V面的距離為y坐標，即Aa′＝aaX＝a″aZ＝y(tǒng)；空間點到H面的距離為z坐標，即Aa＝a′aX＝a″aW＝z。在三面投影面體系中，空間任意點及其投影位置可用坐標方法表示。2.3.4兩點之間的相對位置關系按x坐標判別兩點的左右關系，x坐標大者在左邊，x坐標小者在右邊；按y坐標判別兩點的前后關系，y坐標大者在前邊，y坐標小者在后邊；按z坐標判別兩點的上下關系，z坐標大者在上邊，z坐標小者在下邊。2.3.5兩點的重影點當空間兩點位于同一投影線上時，它們在該投影面上的投影重合為一點，這兩點稱為該投影面的重影點。空間點A，B稱為水平投影面的重影點A點在B點上方，B點為不可見點，其水平投影應加括號2.4直線的投影2.4.1各種位置直線的投影及其投影特性2.4.2直線上點的投影特性2.4.3兩直線的相對位置直線的投影2.4.1各種位置直線的投影及其

投影特性一般位置直線是傾斜于三個投影面的直線，對三個投影面都有傾斜角，分別以α（與水平投影面傾角）、β（與正面投影面傾角）、γ（與側面投影面傾角）表示。1．一般位置直線一般位置直線的投影特性：①

三面投影均短于實長；②

三面投影均傾斜于投影軸，其與投影軸的夾角不等于直線對投影面的傾角。2．投影面平行線平行于某一投影面，同時傾斜于其余兩個投影面3．投影面垂直線垂直于某一投影面，同時平行于其他投影面2.4.2直線上點的投影特性從屬性：直線上點的投影必在該直線的同面投影上。C點在直線AB上，則C點的三面投影c，c′，c″分別在直線的同面投影ab，a′b′，a″b″上，并且其三面投影符合點的投影規(guī)律。2.4.2直線上點的投影特性定比性：若直線上的點分線段成比例，則此點的各投影相應地分該線段的同面投影成相同的比例。

點C分線段AB為3﹕2，則水平投影c和正面投影c′同樣分別分直線AB的同面投影ab和a′b′為3﹕2。1．兩直線平行2.4.3兩直線的相對位置1．兩直線平行若空間兩直線相互平行，則它們的同面投影必平行。反之，若兩直線的同面投影都互相平行，則兩直線在空間也必然是平行的2．兩直線相交3．兩直線交叉2.4.3兩直線的相對位置1．兩直線平行2．兩直線相交3．兩直線交叉若空間兩直線相交，則它們的同面投影仍然相交，且各同面投影的交點應符合空間的投影規(guī)律。反之亦成立。2.4.3兩直線的相對位置1．兩直線平行2．兩直線相交3．兩直線交叉當空間兩直線既不平行也不相交時，稱為交叉直線。兩直線在空間如果不平行，也不相交，那么它們的位置關系一定是交叉。2.5平面的投影2.5.1平面的表示法2.5.2各種位置平面的投影及其投影特性2.5.3平面上的點和直線平面的投影2.5.1平面的表示法不在同一直線

上的3個點直線和直線外一點兩條相交直線兩條平行直線任意平面圖形2.5.2各種位置平面的投影及其

投影特性一般位置平面的投影均保持原幾何形狀不變，但面積均比原平面圖形本身的面積小。1．一般位置平面一般位置平面是傾斜于3個投影面的平面。2．投影面平行面平行于某一投影面而與其他投影面垂直的平面。3．投影面垂直面垂直于某一投影面而傾斜于其他投影面的平面。2.5.3平面上的點和直線點在平面內的幾何條件：點在平面內，則該點必在平面的某一直線上。在平面內取點，當點所處的平面投影具有積聚性時，可利用積聚性直接求出點的各面投影；當點所處的平面為一般位置平面時，應先在平面上作一條輔助直線，然后利用輔助直線的投影求得點的投影。1．平面內的點2.5.3平面上的點和直線如圖所示，K點在△ABC所確定的平面內，已知k′，求K點的水平投影。

分析：既然K點在△ABC所確定的平面內，則K點必在該平面內的一條直線上，該直線的正面投影必通過k′點，所以K點必在該直線的水平投影上。2.5.3平面上的點和直線作圖步驟：①

連a′k′交b′c′于1′，從1′作X軸垂線與水平投影bc交于1點，連接a1并延長；②

從k′作X軸垂線與水平投影a1的延長線交于k點，該點即為平面內K點的水平投影。2.5.3平面上