專題5.7平行線的性質與判定中的三種常用輔助線【人教版】考卷信息：本套訓練卷共30題，題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可加強學生對平行線的性質與判定中的三種常用輔助線的理解！【題型1過“拐點”作平行線】1．（2023下·遼寧大連·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知∠A=90°+α，∠C=90°?α，且∠BED=135°．若∠ABE=70°，求∠D的度數．

2．（2023上·吉林長春·七年級統(tǒng)考期末）已知AB∥CD，點E在AB上，點F在DC上，點G為射線(1)【基礎問題】如圖1，試說明：∠AGD=∠A+∠D．（完成下面的填空部分）證明：過點G作直線MN∥∵AB∥∴_______①_______∥CD∵MN∥∴_______②_______=∠MGA．∵MN∥CD，∴∠D=_______③_______（_______④_______）．∴∠AGD=∠AGM+∠DGM=∠A+∠D．(2)【類比探究】如圖2，當點G在線段EF延長線上時，請寫出∠AGD、∠A、∠D三者之間的數量關系，并說明理由．(3)【應用拓展】如圖3，點E與點A重合，AH平分∠GAB，且∠HDF=22°，∠AFC=72°，那么∠H的度數為________．3．（2023下·浙江杭州·七年級統(tǒng)考期末）已知AB∥CD，點E在AB上，點F在CD上，點Q為射線

(1)如圖1，若∠A=22°，∠C=35°，則∠AQC=．(2)如圖2，當點Q在線段EF的延長線上時，請寫出∠A、∠C和∠AQC三者之間的數量關系，并說明理由．(3)如圖3，AH平分∠QAB，CH交AH于點H．①若CH平分∠QCD，求∠AQC和∠AHC的數量關系．②若∠QCH:∠DCH=1:3，∠HCD=33°，∠AHC=25°，直接寫出∠AQC的度數為．4．（2023下·遼寧鞍山·七年級?？计谀┤鐖D1，點A在直線MN上，點B在直線ST上，點C在MN，ST之間，且滿足∠MAC+∠ACB+∠SBC=360°．

(1)證明：MN∥ST；(2)如圖2，若∠ACB=45°，AD∥CB，點E在線段BC上，連接AE，且∠DAE=3∠CBT，試判斷∠CAE與(3)如圖3，若∠ACB=36°，點E在線段BC上，連接AE，若∠MAE=5∠CBT，直接寫出∠CAE：5．（2023下·黑龍江哈爾濱·七年級校考期末）已知直線AB∥CD，直線EF交AB于點M，交CD于點N，MH平分∠BMN交CD于點H，∠MHN=72°．（本題不允許直接使用三角形內角和定理）

(1)如圖1，求∠CNM的度數；(2)如圖2，若NG平分∠MND，交MH于點G，求證：NG⊥MH；(3)如圖3，在（2）的條件下，點P在EF上，HP平分∠DHM，NG延長線交HP于點Q，連接MQ，若∠HMQ=3∠MPQ，求∠MQN的度數．6．（2023下·廣西來賓·七年級統(tǒng)考期末）已知：直線a∥b，點A和點B是直線a上的點，點C和點D是直線b上的點，連接AD，BC，設直線AD和BC交于點

(1)在如圖1所示的情形下，若AD⊥BC，求∠ABE+∠CDE的度數(提示：可過點E作EG∥CD(2)在如圖2所示的情形下，若BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF與DF交于點F，當∠ABC=64°，∠ADC=72°時，求∠BFD的度數．(3)如圖3，當點B在點A的右側時，若BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF交于點F，設∠ABC=α，∠ADC=β，用含有α，β的代數式表示∠BFD的補角．(直接寫出結果即可)7．（2023下·河北石家莊·七年級統(tǒng)考期末）已知：點C是∠AOB的OA邊上一點（點C不與點O重合），點D是∠AOB內部一點，射線CD不與OB相交．

(1)如圖1，∠AOB=90°,∠OCD=120°，過點O作射線OE，使得CD①依據題意，補全圖1；②直接寫出∠BOE的度數．(2)如圖2，點F是射線OB上一點，且點F不與點O重合，當∠AOB=α0°<α≤180°時，過點F作射線FH，使得FH∥CD（其中點H在∠AOB的外部），用含α8．（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級?？计谥校┮阎褐本€AB與直線CD內部有一個點P，連接BP．(1)如圖1，當點E在直線CD上，連接PE，若∠B+∠PEC=∠P，求證：AB∥CD；(2)如圖2，當點E在直線AB與直線CD的內部，點H在直線CD上，連接EH，若∠ABP+∠PEH=∠P+∠EHD，求證：AB∥CD；(3)如圖3，在（2）的條件下，BG、EF分別是∠ABP、∠PEH的角平分線，BG和EF相交于點G，EF和直線AB相交于點F，當BP⊥PE時，若∠BFG=∠EHD+10°，∠BGE=36°，求∠EHD的度數．9．（2023下·湖北荊州·七年級?？计谥校┤鐖D，AB∥CD，點A，E，B，(1)如圖1，求證：∠E+∠C?∠A=(2)如圖2，直線FA，CP交于點P，且∠BAF=13∠BAE①試探究∠E與∠APC的數量關系；②如圖3，延長CE交射線PF于點Q，若AE∥PC，∠BAQ=α(0°<α<22.5°)，則10．（2023下·江蘇連云港·七年級統(tǒng)考期中）已知AB∥CD．

[知識回顧]（1）如圖1，點E在兩平行線之間，試說明：∠BED=∠ABE+∠EDC．[知識應用]（2）如圖2，BP、DP分別平分∠ABE、∠EDC，利用1中的結論，試說明：∠BPD=1（3）如圖2，直接寫出∠BPD、∠BED、∠PBE、∠PDE四個角之間的數量關系．[知識拓展]（4）如圖3，若∠BEF=145°，∠EFD=135°，BP、DP分別平分∠ABE、∠CDF，那么∠BPD=______°；(只要直接填上正確結論即可)（5）如圖4，若∠BEF、∠EFG、∠FGD三個角的和是n，BP、DP分別平分∠ABE、∠CDG，那么∠BPD=______．(用含n的式子表示11．（2023下·浙江寧波·七年級?？计谥校┮阎本€AB∥CD，點E、F分別是直線

(1)若點P在AB、①求證：∠P=∠AEP+∠CFP；②若∠P=75°，∠PEB與∠PFD的平分線交于點M，求∠EMF的度數．(2)若點P在AB的上方，∠PEA與∠PFC的平分線交于點G，若∠P=α，用含α的代數式表示∠G．12．（2023下·河南駐馬店·七年級統(tǒng)考期中）問題情境：如圖1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求小明的思路是：過P作PE∥AB，通過平行線性質來求∠APC．

(1)按小明的思路，易求得∠APC的度數為______度；（直接寫出答案）(2)問題遷移：如圖2，AB∥CD，點P在射線OM上運動，記∠PAB=α，∠PCD=β，當點P在B、D兩點之間運動時，問∠APC與α、(3)在（2）的條件下，如果點P在B、D兩點外側運動時（點P與點O、B、D三點不重合），請直接寫出∠APC與α、β之間的數量關系．【題型2連接兩點】1．（2023下·山西臨汾·七年級統(tǒng)考期中）圖①是某種青花瓷花瓶，圖②是其抽象出來的簡易輪廓圖，已知AG∥EF，AB∥DE，若∠DEF=120°，則∠A的度數為（

）A．60° B．65° C．70° D．75°2．（2023下·浙江·七年級期末）如圖，已知AB//CD，∠AFC=120°，∠EAF=13∠EAB，∠ECF=A．60° B．80° C．90° D．100°3．（2023上·河南平頂山·七年級統(tǒng)考期末）如圖，△CEF中，∠E=70°，∠F=50°，且AB∥CF，AD∥CE，連接BC，CD，則∠A的度數是（

）A．40° B．45° C．50° D．60°4．（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱市第十七中學校校考期中）如圖，AB∥CD，BE平分∠ABF，∠DCF=∠ECF，已知∠F?∠E=15°，則∠ABE+∠DCF=度．5．（2023上·四川眉山·七年級期末）已知，直線AB∥CD，∠EFG=90°．(1)如圖1，點F在AB上，FG與CD交于點N，若∠EFB=71°，則∠FNC=______°；(2)如圖2，點F在AB與CD之間，EF與AB交于點M，FG與CD交于點N，且∠AMF的平分線MH與∠CNF的平分線NH交于點H．①若∠EMB=θ，求∠FNC（用含θ的式子表示）；②求∠MHN的度數．【題型3延長線段使相交】1．（2023下·山東臨沂·七年級統(tǒng)考期中）如圖，AB∥CD，將一副直角三角板作如下擺放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°．下列結論：①GE∥MP；②∠EFN＝135°；③∠BEF＝75°；④∠AEG＝∠PMN．其中正確的結論有(寫出所有正確結論的序號)．

2．（2023下·遼寧鞍山·七年級統(tǒng)考期中）如圖，AB∥CD，BF,DF分別平分∠ABE和∠CDE，BF∥DE，∠F與∠ABE互補，則∠F的度數為

A．30° B．35° C．36° D．45°3．（2023上·江西宜春·七年級江西省豐城中學?？茧A段練習）如圖，AB∥CD，F為AB上一點，FD∥EH，且FE平分∠AFG，過點F作FG⊥EH于點G，且∠AFG=2∠D，則下列結論：①∠D=40°；②2∠D+∠EHC=90°；③FD平分∠HFB；④FH平分∠GFD．其中正確結論的個數是（

）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個4．（2023下·遼寧營口·七年級?？计谥校┤鐖D，已知AB∥CD，∠BEH=∠CFG，EI、FK分別為∠AEH、∠CFG的角平分線，①EH∥GF②∠CFK=∠H③FJ平分∠GFD④∠AEI+∠GFK=90°A．4 B．3 C．2 D．15．（2023下·廣東深圳·七年級?？计谥校┤鐖D，E在線段BA的延長線上，∠EAD=∠D，∠B=∠D，EF∥HC，連FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K為線段BC上一點，連CG，使∠CKG=∠CGK，在∠AGK內部有射線GM，GM平分∠

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個6．（2023下·廣東廣州·七年級?？计谥校┤鐖D，直線MN∥PQ，點A在直線MN與PQ之間，點B在直線MN上，連接AB．∠ABM的平分線BC交PQ于點C，連接AC，過點A作AD⊥PQ交PQ于點D，作AF⊥AB交PQ于點F，AE平分∠DAF交PQ于點E，若∠CAE=45°，∠ACB=52∠DAE，則∠ACD的度數是

7．（2023上·遼寧沈陽·七年級統(tǒng)考期末）圖1是某款籃球架，圖2是其示意圖，立柱OA垂直地面OB，支架CD與OA交于點A，支架CG⊥CD交OA于點G，支架DE平行地面OB，籃筐EF與支架DE在同一直線上，OA=2.5米，AD=0.8米．∠AGC=32°．(1)求：支架點D到立柱OA的距離；(2)某運動員準備給籃筐掛上籃網，如果他站在凳子上，最高可以把籃網掛到離地面3米處，那么他能掛上籃網嗎？請通過計算說明理由．（參考數據：sin32°≈0.53,8．（2023下·七年級課時練習）如圖是一個漢字“互”字，其中，AB∥CD,HF∥GE，∠HGE=∠HFE，M、H、G三點在同一直線上，N、

求證：(1)GH∥(2)∠CMH=∠BNE．9．（2023下·江蘇南京·七年級南京師范大學附屬中學江寧分校階段練習）某模具廠生產一種鋼板，如圖所示，已知該模具的邊AB∥CF，CD∥AE，按生產規(guī)定，邊AB和邊CD的延長線必須成80°的角才算合格，因交點不在模板上，不便測量，這時，李師傅告訴徒弟只需測一個角，便可知道鋼板是否符合規(guī)定，你知道需要測量哪個角嗎？請說明理由．10．（2023上·重慶渝北·七年級?？奸_學考試）如圖1，AB∥CD，點E，F分別在直線CD，AB上，∠BEC=2∠BEF，過點A作AG⊥BE的延長線交于點G，交CD于點N，AK平分∠BAG，交EF于點(1)直接寫出∠AHE，∠FAH，(2)若∠BEF=12∠BAK(3)如圖2，在（2）的條件下，將△KHE繞著點E以每秒5°的速度逆時針旋轉，旋轉時間為t，當KE邊與射線ED重合時停止，則在旋轉過程中，當△KHE的其中一邊與△ENG的某一邊平行時，直接寫出此時t的值．11．（2023下·浙江寧波·七年級校聯考期中）如圖，直線PQ∥MN，一副三角尺（∠ABC=∠CDE=90°,∠ACB=30°,∠BAC=60°,∠DCE=∠DEC=45°）按如圖①放置，其中點E在直線PQ上，點B，C均在直線MN上，且CE平分∠ACN．

(1)求∠DEQ的度數．(2)如圖②，若將三角形ABC繞點B以每秒4度的速度逆時針方向旋轉（A,C的對應點分別為F，G），設旋轉時間為t（s）（0≤t≤45）；①在旋轉過程中，若邊BG∥CD，求t的值；②若在三角形ABC繞點B旋轉的同時，三角形CDE繞點E以每秒3度的速度順時針方向旋轉（C,D的對應點為H，K）請求出當邊BG∥HK時t的值．12．（2023上·重慶九龍坡·七年級重慶市育才中學?？奸_學考試）如圖1，AB∥CD，點E、F分別在AB、CD上，點O在直線AB、CD之間，且

(1)求∠BEO+∠OFD的值；(2)如圖2，直線MN分別交∠BEO、∠OFC的角平分線于點M、N，直接寫出∠EMN?∠FNM的值；(3)如圖3，EG在∠AEO內，∠AEG=m∠OEG；FH在∠DFO內，∠DFH=m∠OFH，直線MN分別交EG、FH分別于點M、N，且∠FMN?∠ENM=80°，直接寫出m的值．13．（2023下·福建福州·七年級統(tǒng)考期中）如圖AB∥CD，一個含45°的直角三角板的直角頂點在這兩條平行線之間，另兩個頂點均在這兩條平行線的外部，設∠1=x°，∠2=y°，則x與y的數量關系為

專題5.7平行線的性質與判定中的三種常用輔助線【人教版】考卷信息：本套訓練卷共30題，題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可加強學生對平行線的性質與判定中的三種常用輔助線大題型的理解！【題型1過“拐點”作平行線】1．（2023下·遼寧大連·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知∠A=90°+α，∠C=90°?α，且∠BED=135°．若∠ABE=70°，求∠D的度數．

【答案】∠D=65°【分析】過點E作EF∥AB，由題意可判定EF∥CD，從而得∠BEF=∠ABE=70°，再利用平行線性質求解即可．【詳解】如下圖，過點E作EF∥AB，

∵∠A=90°+α，∠C=90°?α，∴∠A+∠C=90°+α+90°?α=180°，∴AB∥CD,又∵EF∥AB，∴EF∥CD，∵∠ABE=70°，∴∠BEF=∠ABE=70°,又∵∠BED=135°，∴∠DEF=135°?70°=65°，∴∠D=∠DEF=65°．【點睛】本題考查了平行線的判定與性質，解題的關鍵是掌握平行線的判定定理和性質定理以及證明EF//2．（2023上·吉林長春·七年級統(tǒng)考期末）已知AB∥CD，點E在AB上，點F在DC上，點G為射線(1)【基礎問題】如圖1，試說明：∠AGD=∠A+∠D．（完成下面的填空部分）證明：過點G作直線MN∥∵AB∥∴_______①_______∥CD∵MN∥∴_______②_______=∠MGA．∵MN∥CD，∴∠D=_______③_______（_______④_______）．∴∠AGD=∠AGM+∠DGM=∠A+∠D．(2)【類比探究】如圖2，當點G在線段EF延長線上時，請寫出∠AGD、∠A、∠D三者之間的數量關系，并說明理由．(3)【應用拓展】如圖3，點E與點A重合，AH平分∠GAB，且∠HDF=22°，∠AFC=72°，那么∠H的度數為________．【答案】(1)MN；∠A；∠DGM；兩直線平行，內錯角相等(2)∠AGD=∠A?∠D，理由見解析(3)32°【分析】（1）過點G作直線MN∥（2）過點G作直線MN∥AB，同理可得∠A=∠AGM，∠D=∠DGM，則（3）利用平行線的性質求出∠GAB的值，再利用平行線的性質進行計算即可；本題主要考查了平行線的性質，平行公理，解題的關鍵在于能夠熟練掌握平行線的性質.【詳解】（1）過點G作直線MN∥∵AB∥∴MN∥∵MN∥∴∠A=∠MGA，∵MN∥∴∠D=∠DGM（兩直線平行，內錯角相等），∴∠AGD=∠AGM+∠DGM=∠A+∠D；故答案為：MN；∠A；∠DGM；兩直線平行，內錯角相等；（2）如圖所示，過點G作直線MN∥又∵AB∥∴MN∥∵MN∥∴∠A=∠AGM，∵MN∥∴∠D=∠DGM，∴∠AGD=∠AGM?∠DGM=∠A?∠D；（3）如圖所示，∵∠AFC=72°，∴∠GAB=180°?72°=108°，∵AH平分∠GAB，∴∠HAB=1∵DC∥AB，∴∠HQC=54°，∴∠H=∠HQC?∠HDF=54°?22°=32°．3．（2023下·浙江杭州·七年級統(tǒng)考期末）已知AB∥CD，點E在AB上，點F在CD上，點Q為射線

(1)如圖1，若∠A=22°，∠C=35°，則∠AQC=．(2)如圖2，當點Q在線段EF的延長線上時，請寫出∠A、∠C和∠AQC三者之間的數量關系，并說明理由．(3)如圖3，AH平分∠QAB，CH交AH于點H．①若CH平分∠QCD，求∠AQC和∠AHC的數量關系．②若∠QCH:∠DCH=1:3，∠HCD=33°，∠AHC=25°，直接寫出∠AQC的度數為．【答案】(1)57°(2)數量關系：∠A?∠C=∠AQC，理由見解析(3)①∠AHC=12∠AQC，②【分析】（1）過點Q作QH∥AB，進而利用兩直線平行，內錯角相等解答即可；（2）過點Q作MN∥CD，進而利用兩直線平行，內錯角相等解答即可；（3）①過點H作PH∥CD，根據平行線的性質和角平分線的定義解答即可；②根據①的結論，利用角的關系解答即可．【詳解】（1）解：過點Q作QH∥AB，

∵AB∥CD，∴QH∥AB∥CD，∴∠C=∠CQH=35°，∠A=∠HQA=22°，∴∠AQC=∠CQH+∠HQA=35°+22°=57°，故答案為：57°；（2）數量關系：∠A?∠C=∠AQC，證明：過點Q作MN∥CD，

∵AB∥CD，∴AB∥MN，∴∠NQC=∠C，∠MQA=180°?∠A，∴∠AQC=180°?∠NQC?∠MQA=∠A?∠C．（3）①過點H作PG∥CD，

∵AB∥CD，∴AB∥PH，∴∠PHC=∠HCD，∠GHA=180°?∠HAB，∴∠AHC=∠HAB?∠HCD．又∵AH平分∠CAB，CH平分∠QCD，∴∠HAB=12∠QAB，∠HCD=12∴∠AHC=12由（2）可得∠AHC=12②∠AQC=72°，理由如下：∵∠QCH：∠DCH=1:3，∠HCD=33°，∠AHC=25°，∴∠QCH=11°，∠DCH=33°，∴∠HAB=33°+25°=58°，∴∠AQC=58°×2?44°=72°，故答案為：72°．【點睛】本題考查平行線的判定和性質，關鍵是添加輔助線，根據兩直線平行，內錯角相等解答．4．（2023下·遼寧鞍山·七年級?？计谀┤鐖D1，點A在直線MN上，點B在直線ST上，點C在MN，ST之間，且滿足∠MAC+∠ACB+∠SBC=360°．

(1)證明：MN∥ST；(2)如圖2，若∠ACB=45°，AD∥CB，點E在線段BC上，連接AE，且∠DAE=3∠CBT，試判斷∠CAE與(3)如圖3，若∠ACB=36°，點E在線段BC上，連接AE，若∠MAE=5∠CBT，直接寫出∠CAE：【答案】(1)見解析(2)∠CAE=2∠CAN，理由見解析(3)4【分析】（1）如圖：作CH∥MN，然后根據平行線的性質可得∠MAC+∠ACH=180°．再結合∠MAC+∠ACB+∠SBC=360°可得∠HCB+∠SBC=180°，即CH∥ST，最后根據平行公理即可證明結論；（2）如圖：作CF∥ST，設∠CBT=α，則∠DAE=3α．由平行線的性質可得∠BCF=∠CBT=α，進而得到∠ACF=45°?α；再說明MN∥CF可得∠CAN=∠ACF=45°?α；然后根據AD∥BC得到（3）設∠CBT=β，根據∠MAE=5∠CBT，表示出∠MAE=5β，∠ACF=∠CAN=36°?β，∠CAE=436°?β，求CAE【詳解】（1）證明：如圖：作CH∥MN

∴∠MAC+∠ACH=180°．∵∠MAC+∠ACB+∠SBC=360°，∴∠HCB+∠SBC=180°，∴CH∥ST∴MN∥ST．（2）解：∠CAE=2∠CAN，理由如下：如圖：作CF∥ST，

設∠CBT=α，則∠DAE=3α．∵CF∥ST∴∠BCF=∠CBT=α，∵∠ACB=45°∴∠ACF=45°?α∵CF∥ST，MN∥ST∴MN∥CF∴∠CAN=∠ACF=45°?α∵AD∥∴∠DAC+∠ACB=180°∴∠DAC=180°?∠ACB=180°?45°=135°，∴∠CAE=∠DAC?∠DAE=135°?3α=3∴∠CAE=3∠CAN．（3）解：如圖：作CF∥ST，

設∠CBT=β，∵∠MAE=5∠CBT，∴∠MAE=5β，∵CF∥ST，MN∥ST∴MN∥CF∴∠CBT=∠BCF=β，∴∠ACF=∠CAN=36°?β，∠CAE=180°?∠MAE?∠CAN=180°?5β?36°?β∴∠CAE：【點睛】本題主要考查平行線的性質和判定，根據角度的靈活轉換、構建數量關系式是解答本題的關鍵．5．（2023下·黑龍江哈爾濱·七年級校考期末）已知直線AB∥CD，直線EF交AB于點M，交CD于點N，MH平分∠BMN交CD于點H，∠MHN=72°．（本題不允許直接使用三角形內角和定理）

(1)如圖1，求∠CNM的度數；(2)如圖2，若NG平分∠MND，交MH于點G，求證：NG⊥MH；(3)如圖3，在（2）的條件下，點P在EF上，HP平分∠DHM，NG延長線交HP于點Q，連接MQ，若∠HMQ=3∠MPQ，求∠MQN的度數．【答案】(1)∠CNM=144°(2)見解析(3)∠MQN=36°【分析】（1）根據平行線的性質得到∠MHN=∠BMH=72°，再根據角平分線的性質求出∠CNM的度數；（2）作GR∥AB，根據（1）所求∠CNM=144°，可求得∠MNH=36°，再根據NG平分∠MND，AB∥CD，證明NG⊥MH；（3）作PO∥CD，得出∠NPO=∠PNH，∠HPO=∠PHD，根據已知條件求得∠MHD=108°，根據HP平分∠DHM和∠HMQ=3∠MPQ，根據已知角度求出∠BMQ=18°，再作QK∥CD，根據以上證明方式求出∠MQN的度數．【詳解】（1）解：∵AB∥CD，且∠MHN=72°∴∠MHN=∠BMH=72°，∠CNM=∠BMN∵MH平分∠BMN∴∠BMN=2∠BMH=144°；∴∠CNM=∠BMN=144°；（2）證明：作GR∥AB，如下圖所示，

∵∠CNM=144°，∴∠MNH=180°?144°=36°，∵NG平分∠MND，∴∠GNH=18°，∴∠MGR=∠BMH=72°，∵AB∥CD，∴GR∥CD，∴∠RGN=∠GNH=18°，∴∠MGN=∠MGR+∠RGN=90°，∴NG⊥MH；（3）解：作PO∥CD，如下圖所示，

∴∠NPO=∠PNH，∠HPO=∠PHD，∵∠PNH=36°，∴∠NPO=36°，∵∠MHN=72°，∴∠MHD=180°?∠MHN=108°，∵HP平分∠DHM，∴∠PHD=54°=∠HPO，∴∠MPQ=∠HPO?∠NPO=54°?36°=18°，∵∠HMQ=3∠MPQ，∴∠HMQ=54°，∵∠BMH=∠CHM=72°，∴∠BMQ=∠BMH?∠HMQ=18°，作QK∥CD，如上圖所示，同理可證∠MQN=∠BMQ+∠HNQ=36°．【點睛】本題主要考查了平行線的性質和角平分線的性質，根據已知條件，利用平行線的性質和角平分線的性質是解題的關鍵．6．（2023下·廣西來賓·七年級統(tǒng)考期末）已知：直線a∥b，點A和點B是直線a上的點，點C和點D是直線b上的點，連接AD，BC，設直線AD和BC交于點

(1)在如圖1所示的情形下，若AD⊥BC，求∠ABE+∠CDE的度數(提示：可過點E作EG∥CD(2)在如圖2所示的情形下，若BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF與DF交于點F，當∠ABC=64°，∠ADC=72°時，求∠BFD的度數．(3)如圖3，當點B在點A的右側時，若BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF交于點F，設∠ABC=α，∠ADC=β，用含有α，β的代數式表示∠BFD的補角．(直接寫出結果即可)【答案】(1)90°(2)68°(3)1【分析】（1）過點E作EG∥AB，根據a∥b，可得（2）過點F作FH∥AB，結合（1）的方法，根據BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，即可求（3）過點F作FQ∥AB，結合（1）的方法，根據BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，設∠ABC=α，∠ADC=β，即可用含有α，β的代數式表示【詳解】（1）過點E作EG∥∵a∥∴EG∥∴∠ABE=∠BEG，∠CDE=∠DEG，∴∠ABE+∠CDE=∠BEG+∠DEG=∠BED，∵AD⊥BC，∴∠ABE+∠CDE=∠BED=90°；（2）如圖，過點F作FH∥

∵a∥∴FH∥∴∠ABF=∠BFH，∠CDF=∠DFH，∴∠BFD=∠BFH+∠DFH=∠ABF+∠CDF，∵BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，∠ABC=64°，∠ADC=72°，∴∠ABF=12∠ABC=32°∴∠BFD=∠ABF+∠CDF=68°；（3）如圖，過點F作FQ∥

∵a∥∴FQ∥∴∠ABF+∠BFQ=180°，∠CDF=∠DFQ，∴∠BFD=∠BFQ+∠DFQ=180°?∠ABF+∠CDF∵BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，∠ABC=α，∠ADC=β，∴∠ABF=12∠ABC=∴∠BFD=180°?∠ABF+∠CDF=180°?1∴∠BFD的補角=1【點睛】本題考查了平行線的性質，角平分線定義，解決本題的關鍵是掌握平行線的性質．7．（2023下·河北石家莊·七年級統(tǒng)考期末）已知：點C是∠AOB的OA邊上一點（點C不與點O重合），點D是∠AOB內部一點，射線CD不與OB相交．

(1)如圖1，∠AOB=90°,∠OCD=120°，過點O作射線OE，使得CD①依據題意，補全圖1；②直接寫出∠BOE的度數．(2)如圖2，點F是射線OB上一點，且點F不與點O重合，當∠AOB=α0°<α≤180°時，過點F作射線FH，使得FH∥CD（其中點H在∠AOB的外部），用含α【答案】(1)①見解析②30°(2)∠OCD+∠BFH=360°?α，證明見解析【分析】（1）①根據題意補圖即可；②根據平行線的性質求出即可；（2）過點O作OM∥【詳解】（1）①依據題意，補全圖1如下：

②∵CD∥∴∠OCD+∠COE=180°，∵∠OCD=120°，∴∠COE=60°，∵∠AOB=90°，∴∠BOE=90°?∠COE=90°?60°=30°；（2）（2）∠OCD+∠BFH=360°﹣證明：過點O作OM

∴∠OCD+∠COM=180°，又∵∠BFH+∠OFH=180°，∴180°?∠OCD+180°?∠BFH=α，∴∠OCD+∠BFH=360°?α．【點睛】本題主要考查平行線的性質，熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵．8．（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級校考期中）已知：直線AB與直線CD內部有一個點P，連接BP．(1)如圖1，當點E在直線CD上，連接PE，若∠B+∠PEC=∠P，求證：AB∥CD；(2)如圖2，當點E在直線AB與直線CD的內部，點H在直線CD上，連接EH，若∠ABP+∠PEH=∠P+∠EHD，求證：AB∥CD；(3)如圖3，在（2）的條件下，BG、EF分別是∠ABP、∠PEH的角平分線，BG和EF相交于點G，EF和直線AB相交于點F，當BP⊥PE時，若∠BFG=∠EHD+10°，∠BGE=36°，求∠EHD的度數．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)18°.【分析】（1）過點P作PF∥AB，推出∠PEC=∠EPF，進而得（2）分別過點P和點E作PF∥AB，EM∥CD，推出∠PEM=∠FPE，進而得（3）過點E作EN∥AB，同（1）（2）理證明∠FEH=∠FEN+∠NEH=∠BFE+∠EHD，設∠EHD=α，∠PBG=β，∠PEG=γ，則∠BFG=α+10°，結合角平分線得2β+2γ=90°+α，用含α的式子代替β，γ，代入【詳解】（1）證明：如圖，過點P作PF∥∴∠B=∠BPF，∵∠B+∠PEC=∠BPE=∠BPF+∠EPF，∴∠PEC=∠EPF，∴PF∥∴AB∥（2）證明：如圖，分別過點P和點E作PF∥AB，∴∠ABP=∠BPF，∠MEH=∠EHD，∵∠ABP+∠PEH=∠P+∠EHD，即∠ABP+∠PEM+∠MEH=∠BPF+∠FPE+∠EHD，∴∠PEM=∠FPE，∴PF∥∴EM∥AB，∴AB∥（3）如圖，過點E作EN∥由(2)得AB∥∴EN∥CD，∠BFE=∠FEN，∴∠FEH=∠FEN+∠NEH=∠BFE+∠EHD，設∠EHD=α，∠PBG=β，∠PEG=γ，則∠BFG=α+10°，∵BG、EF分別是∠ABP、∠PEH的角平分線，∴∠ABP=2β，∠PEH=2γ∵BP⊥PE，∴∠P=90°，由(2)得∠ABP+∠PEH=∠P+∠EHD，∴2β+2γ=90°+α，∵∠FEH=∠FEN+∠NEH=∠BFE+∠EHD，∴γ=α+10°+α=2α+10°，∵∠BGE=36°，∠FGB=180°?∠BFG+∠FBG，∠FGB=180°?∠BGE∴∠BFG+∠FBG=∠BGE=36°，∴α+10°+β=36°，∴β=26°?α∴226°?α∴α=18°，即∠EHD的度數為18°.【點睛】本題考查平行線的判定與性質，角平分線的定義，三角形的內角和，平角定義等知識，添加輔助線，靈活運用平行公理的推論是解題的關鍵．9．（2023下·湖北荊州·七年級?？计谥校┤鐖D，AB∥CD，點A，E，B，(1)如圖1，求證：∠E+∠C?∠A=(2)如圖2，直線FA，CP交于點P，且∠BAF=13∠BAE①試探究∠E與∠APC的數量關系；②如圖3，延長CE交射線PF于點Q，若AE∥PC，∠BAQ=α(0°<α<22.5°)，則【答案】(1)見解析(2)①∠E=180°?3∠APC；②180°?8a【分析】（1）過E作EF∥AB，根據平行線的性質即可得到結論；（2）①設∠BAF=x，∠BAE=3x，∠DCP=y，∠DCE=3y，由（1）知，②過P作PG∥CD，根據平行線的性質即可得到結論．【詳解】（1）證明：如圖1，過E作EF∥AB，∵AB∥∴AB∥∴∠AEF=∠A，∠C+∠FEC=180°，∴∠E=∠AEF+∠FEC=∠A+180°?∠C，即∠E+∠C?∠A=180°；（2）解：∵∠BAF=13∠BAE∴設∠BAF=x，∠E=180°?∠C+∠A=180°?3y?x如圖2，過P作PG∥CD，∵AB∥∴AB∥∴∠GPA=∠BAF=x，∠GPC=∠PCD=y，∴∠APC=y?x，即∠E=180°?3y?x②如圖3，過P作PG∥CD，∵∠BAQ=α，∴∠QAE=2α，∵AE∥∴∠QAE=∠APC=2α，由①知，∠AEC=180°?3∠APC=180°?6α，∴∠PQC=∠AEC?∠QAE=180°?6α?2α=180°?8α，故答案為：180°?8a．【點睛】本題考查了平行線的性質，角的計算，三角形的外角性質，熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵．10．（2023下·江蘇連云港·七年級統(tǒng)考期中）已知AB∥CD．

[知識回顧]（1）如圖1，點E在兩平行線之間，試說明：∠BED=∠ABE+∠EDC．[知識應用]（2）如圖2，BP、DP分別平分∠ABE、∠EDC，利用1中的結論，試說明：∠BPD=1（3）如圖2，直接寫出∠BPD、∠BED、∠PBE、∠PDE四個角之間的數量關系．[知識拓展]（4）如圖3，若∠BEF=145°，∠EFD=135°，BP、DP分別平分∠ABE、∠CDF，那么∠BPD=______°；(只要直接填上正確結論即可)（5）如圖4，若∠BEF、∠EFG、∠FGD三個角的和是n，BP、DP分別平分∠ABE、∠CDG，那么∠BPD=______．(用含n的式子表示【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）50；（4）1【分析】1過點E作EM∥AB，利用豬腳模型進行計算，即可解答；2利用1的結論可得得：∠BED=∠ABE+∠CDE，∠BPD=∠ABP+∠CDP，再利用角平分線的定義可得∠ABP=12∠ABE3根據角平分線的定義可得∠EBP=12∠ABE，∠EDP=12∠CDE，再利用1的結論，從而進行計算可得4過點E作EM//AB，過點F作FN∥AB，從而可得AB∥EM∥FN∥CD，然后利用平行線的性質可得∠MEF+∠NFE=180°，從而可得∠BEM+∠DFN=100°，再利用平行線的性質可得∠ABE=∠BEM，∠CDF=∠DFN，從而可得∠ABE+∠CDF=100°，最后利用角平分線的定義可得∠ABP=12∠ABE，∠CDP=125過點E作EM∥AB，過點F作FN∥AB，過點G作GH∥AB，利用4的解題思路進行計算即可解答．【詳解】解：1過點E作EM∥AB，

∴∠ABE=∠BEM，∵AB∥CD，∴CD∥EM，∴∠CDE=∠DEM，∵∠BED=∠BEM+∠DEM，∴∠BED=∠ABE+∠CDE；2由1得：∠BED=∠ABE+∠CDE，∠BPD=∠ABP+∠CDP，∵BP、DP分別平分∠ABE、∠EDC，∴∠ABP=12∠ABE∴∠BPD=∠ABP+∠CDP=1=1=1即∠BPD=13∠BPD+∠PBE+∠PDE=∠BED理由：∵BP、DP分別平分∠ABE、∠EDC，∴∠EBP=12∠ABE∴∠PBE+∠PDE=1=1=1由2得：∠BPD=1∴∠BPD+∠PBE+∠PDE=1即∠BPD+∠PBE+∠PDE=∠BED；4過點E作EM∥AB，過點F作FN∥AB，

∵AB∥CD，∴AB∥EM∥FN∥CD，∵EM∥FN，∴∠MEF+∠NFE=180°，∵∠BEF=145°，∠EFD=135°，∴∠BEM+∠DFN=∠BEF+∠EFD?∠MEF+∠NFE∵AB∥EM，FN∥CD，∴∠ABE=∠BEM，∠CDF=∠DFN，∴∠ABE+∠CDF=100°，∵BP、DP分別平分∠ABE、∠CDF，∴∠ABP=12∠ABE∴∠BPD=∠ABP+∠CDP=1=1=1=50°，故答案為：50；5過點E作EM∥AB，過點F作FN∥AB，過點G作GH∥AB，

∵AB∥CD，∴AB∥EM∥FN∥GH∥CD，∵EM∥FN，FN∥GH，∴∠MEF+∠NFE=180°，∠NFG+∠HGF=180°，∵∠BEF+∠EFG+∠FGD=n，∴∠BEM+∠DGH=∠BEF+∠EFG+∠FGD?∠MEF+∠NFE+∠NFG+∠HGF∵BP、DP分別平分∠ABE、∠CDG，∴∠ABP=12∠ABE∴∠BPD=∠ABP+∠CDP=1=1=1=1故答案為：12【點睛】本題考查了平行線的性質，列代數式，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．11．（2023下·浙江寧波·七年級?？计谥校┮阎本€AB∥CD，點E、F分別是直線

(1)若點P在AB、①求證：∠P=∠AEP+∠CFP；②若∠P=75°，∠PEB與∠PFD的平分線交于點M，求∠EMF的度數．(2)若點P在AB的上方，∠PEA與∠PFC的平分線交于點G，若∠P=α，用含α的代數式表示∠G．【答案】(1)①見解析；②∠EMF=142.5°(2)∠EGF=【分析】（1）①過P作PQ∥AB，利用平行線的性質得到∠AEP=∠EPQ，②根據平行線的性質，可得∠BEP+∠P+∠PFD=360°，故可得∠BEP+∠DFP=360°?75°=285°，再利用角平分線的定義可得∠BEM+∠DFM=142.5°，結合①中結論即可解答；（2）過P作PN∥AB，過G作GK∥AB，利用平行線的性質得到【詳解】（1）解：①過P作PQ∥AB，如圖1：則∵AB∥∴PQ∥∴∠QPF=∠PFC，∴∠FPE=∠EPQ+∠QPF=∠AEP+∠CFP；②由①得：∠AEP+∠CFP=∠P=75°，∴∠BEP+∠DFP=360°?75°=285°，∵∠PEB與∠PFD的平分線交于點M，∴∠BEM=12∠BEP∴∠BEM+∠MFD=1由①得：∠EMF=∠BEM+∠MFD=142.5°；（2）如圖2，過P作PN∥AB，過G作則∠NPE=∠AEP，∵AB∥∴PN∥∴∠NPF=∠CFP，∴∠EPD=∠NPF?∠NPE=∠CFP?∠AEP=a，同理：∠EGF=∠CFG?∠AEG，∵∠PEA與∠PFC的平分線交于點G，∴∠CFG=12∠CFP∴∠EGF=1【點睛】本題考查了平行線的性質和角平分線的定義，作出正確的輔助線是解題的關鍵．12．（2023下·河南駐馬店·七年級統(tǒng)考期中）問題情境：如圖1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求小明的思路是：過P作PE∥AB，通過平行線性質來求∠APC．

(1)按小明的思路，易求得∠APC的度數為______度；（直接寫出答案）(2)問題遷移：如圖2，AB∥CD，點P在射線OM上運動，記∠PAB=α，∠PCD=β，當點P在B、D兩點之間運動時，問∠APC與α、(3)在（2）的條件下，如果點P在B、D兩點外側運動時（點P與點O、B、D三點不重合），請直接寫出∠APC與α、β之間的數量關系．【答案】(1)110(2)∠APC=α+β，理由見解析(3)當P在BD延長線上時，∠CPA=α?β；當P在DB延長線上時，∠CPA=β?α．【分析】（1）過點P作PE∥AB，通過平行線性質求∠APC即可；（2）過點P作PE∥AB，交AC于E，推出AB∥PE∥CD，根據平行線的性質得出α=∠APE，β=∠CPE，即可得出答案；（3）分兩種情況：P在BD延長線上時，P在DB延長線上時，分別畫出圖形，根據平行線的性質得出α=∠APE，β=∠CPE即可得出答案．【詳解】（1）解：過點P作PE∥AB，∵AB∥∴PE∥∴∠PAB+∠APE=180°，∠PCD+∠CPE=180°，∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，∴∠APE=50°，∠CPE=60°，∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．故答案為：110；（2）∠APC=α+β，理由：如圖，過點P作PE∥AB，交AC于E，

∵AB∥∴AB∥∴α=∠APE，β=∠CPE，∴∠APC=∠APE+∠CPE=α+β；（3）當P在BD延長線上時，如圖所示，

由（2）可知α=∠APE，β=∠CPE，∴∠CPA=α?β，當P在DB延長線上時，如圖所示，

由（2）可知α=∠APE，β=∠CPE，∴∠CPA=β?α，【點睛】本題主要考查了平行線的性質和判定的應用，主要考查學生的推理能力，題目是一道比較典型的題目，解題時注意分類思想的運用．【題型2連接兩點】1．（2023下·山西臨汾·七年級統(tǒng)考期中）圖①是某種青花瓷花瓶，圖②是其抽象出來的簡易輪廓圖，已知AG∥EF，AB∥DE，若∠DEF=120°，則∠A的度數為（

）A．60° B．65° C．70° D．75°【答案】A【分析】連接CF，根據AB∥CF，AG∥EF可得出∠CFE=∠BAG，再由平行線的性質即可得出結論．【詳解】解：連接CF，延長AG交CF于點H，作MN∥AG，如圖∵AB∥CF∥DE，∠DEF=120°∴∠CEF=180°?120°=60°，∠AHF=∠BAG∵AG∥EF，AG∥MN∴∴∠AHF=∠MNF，EF∥MN∴∠CFE=∠FNM=∠BAG=60°．故選：A．【點睛】本題考查的是平行線的性質，根據題意作出輔助線，構造出平行線是解題的關鍵．2．（2023下·浙江·七年級期末）如圖，已知AB//CD，∠AFC=120°，∠EAF=13∠EAB，∠ECF=A．60° B．80° C．90° D．100°【答案】C【分析】連接AC，設∠EAF=x，∠ECF=y，得到∠FAB=4x，∠FCD=4x，根據平行線性質得出∠CAB+∠ACD=180°，從而得到x+y=30°，再根據∠AEC=180°-（∠EAF+∠ECF+∠FCA+∠FAC）得到結果．【詳解】解：連接AC，設∠EAF=x，∠ECF=y，∴∠EAB=3x，∠ECD=3x，∴∠FAB=4x，∠FCD=4x，∵AB∥CD，∴∠CAB+∠ACD=180°，∵∠AFC=120°，∴∠FAC+∠FCA=180°-120°=60°，∴∠FAC+∠FCA+∠FAB+∠FCD=180°，即60+4x+4y=180°，解得：x+y=30°，∴∠AEC=180°-（∠EAC+∠ECA）=180°-（∠EAF+∠ECF+∠FCA+∠FAC）=180°-（x+y+60°）=90°故選C．【點睛】本題考查了平行線性質和三角形內角和定理的應用，解題的關鍵是注意整體思想的運用．3．（2023上·河南平頂山·七年級統(tǒng)考期末）如圖，△CEF中，∠E=70°，∠F=50°，且AB∥CF，AD∥CE，連接BC，CD，則∠A的度數是（

）A．40° B．45° C．50° D．60°【答案】D【分析】連接AC并延長交EF于點M．由平行線的性質得∠3=∠1，∠2=∠4，再由等量代換得∠BAD=∠3+∠4=∠1+∠2=∠FCE，先求出∠FCE即可求出∠A．【詳解】連接AC并延長交EF于點M．∵AB∥CF，∴∠3=∠1，∵AD∥CE，∴∠2=∠4，∴∠BAD=∠3+∠4=∠1+∠2=∠FCE，∵∠FCE=180°?∠E?∠F=180°?70°?50°=60°，∴∠BAD=∠FCE=60°，故選D．【點睛】本題主要考查了平行線的性質以及三角形的內角和定理，屬于基礎題型．4．（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱市第十七中學校?？计谥校┤鐖D，AB∥CD，BE平分∠ABF，∠DCF=∠ECF，已知∠F?∠E=15°，則∠ABE+∠DCF=度．【答案】115【分析】本題主要考查了平行線的性質，角平分線的定義，．如圖所示，連接EF，過點C作MN∥EF，先根據角平分線的定義和平行線的性質證明∠ABE=∠FBE=12∠CHF，再由平行線的性質證明∠CFE+∠CEF+∠ECF=180°，同理可得∠FBE+∠BEC+∠BFE=180°，∠DCF+∠CHF+∠CFH=180°，由此推出∠FBE+∠BFC+∠BEC+180°?∠ECF=180°，再由∠DCF=∠ECF，推出3∠ABE+2∠BFC+∠BEC=180°，根據∠BFC?∠BEC=15°，推出∠ABE+∠BEC=50°，再由∠HCF+∠CFH+∠CHF=180°，推出∠ABE+∠HCF=115°【詳解】解：如圖所示，連接EF，過點C作MN∥EF，∵AB∥CD，∴∠ABF=∠CHF，∵BE平分∠ABF，∴∠ABE=∠FBE=1∴∠ABE=∠FBE=1∵MN∥EF，∴∠MCE=∠CEF，∵∠MCE+∠NCF+∠ECF=180°，∴∠CFE+∠CEF+∠ECF=180°，同理可得∠FBE+∠BEC+∠BFE=180°，∠DCF+∠CHF+∠CFH=180°，∴∠FBE+∠BFC+∠CFE+∠BEC+∠CEF=180°，∴∠FBE+∠BFC+∠BEC+180°?∠ECF=180°，∵∠DCF=∠ECF，∴∠FBE+∠BFC+∠BEC+180°?∠DCF=180°，∴∠FBE+∠BFC+∠BEC+∠CFH+∠CHF=180°，∴∠ABE+∠BFC+∠BEC+2∠ABE+∠CFH=180°，∴3∠ABE+2∠BFC+∠BEC=180°，∵∠BFC?∠BEC=15°，∴3∠ABE+2∠BEC+30°+∠BEC=180°，∴3∠ABE+3∠BEC=150°，∴∠ABE+∠BEC=50°，∵∠HCF+∠CFH+∠CHF=180°，∴2∠ABE+∠HCF+∠BEC+15°=180°，∴2∠ABE+50°?∠ABE+15°+∠HCF=180°，∴∠ABE+∠HCF=115°，即∠ABE+∠DCF=115°，故答案為：115．5．（2023上·四川眉山·七年級期末）已知，直線AB∥CD，∠EFG=90°．(1)如圖1，點F在AB上，FG與CD交于點N，若∠EFB=71°，則∠FNC=______°；(2)如圖2，點F在AB與CD之間，EF與AB交于點M，FG與CD交于點N，且∠AMF的平分線MH與∠CNF的平分線NH交于點H．①若∠EMB=θ，求∠FNC（用含θ的式子表示）；②求∠MHN的度數．【答案】(1)19(2)①90°?θ；②45°【分析】本題考查了平行線的性質，熟練掌握平行線的性質，添加適當的輔助線，是解此題的關鍵．（1）根據平行線的性質和互余解答即可；（2）①過F作FP∥AB，連接EG，利用平行線的性質解答即可；②過F作FQ∥AB，利用平行線的性質解答即可．【詳解】（1）解：∵∠EFG=90°，∠EFB=71°，∴∠BFD=90°?71°=19°，∵AB∥CD，∴∠FNC=∠BFD=19°，故答案為：19；（2）解：①如圖，過F作FP∥AB，連接EG，，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥FP，∴∠MFP=∠EMB=θ，∵∠EFG=90°，∴∠PFN=90°?θ，∵FP∥CD，∴∠FNC=∠PFN=90°?θ；②如圖，過F作FQ∥AB，，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥FQ，∴∠MFQ=∠AMF，∠QFN=∠CNF，∴∠AMF+∠CNF=∠MFQ+∠QFN=∠EFG=90°，過H作HR∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥HR，∴∠AMH=∠MHR，∠HNC=∠NHR，∵MH平分∠AMF，NH平分∠CNF，∴∠AMH=12∠AMF∴∠MHN=∠MHR+∠NHR=∠AMH+∠HNC=1【題型3延長線段使相交】1．（2023下·山東臨沂·七年級統(tǒng)考期中）如圖，AB∥CD，將一副直角三角板作如下擺放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°．下列結論：①GE∥MP；②∠EFN＝135°；③∠BEF＝75°；④∠AEG＝∠PMN．其中正確的結論有(寫出所有正確結論的序號)．

【答案】①③④【分析】由內錯角相等，兩直線平行可判斷①，由鄰補角的性質可判斷②，如圖，延長EG交AB于K,先求解∠KEG=45°,從而可判斷③④，于是可得答案．【詳解】解：由題意得：∠GEF=60°,∠GFE=30°,∠EGF=90°=∠MPN,∠PMN=∠PNM=45°,∴∠MPG=∠EGP=90°,∴EG∥PM,故①符合題意；∵∠EFG=30°,∴∠EFN=180°?30°=150°,故②不符合題意；如圖，延長FG交AB于K,

∵AB∥CD,∴∠GKE=∠PNM=45°,∴∠KEG=90°?45°=45°,∴∠BEF=180°?45°?60°=75°,∠AEG=∠PMN=45°,故③④符合題意；綜上：符合題意的有①③④故答案為：①③④．【點睛】本題考查的是三角形的內角和定理的應用，平行線的判定與性質，三角板中角度計算問題，掌握以上基礎知識是解本題的關鍵．2．（2023下·遼寧鞍山·七年級統(tǒng)考期中）如圖，AB∥CD，BF,DF分別平分∠ABE和∠CDE，BF∥DE，∠F與∠ABE互補，則∠F的度數為

A．30° B．35° C．36° D．45°【答案】C【分析】延長FB交CD于G,然后運用平行的性質和角平分線的定義，進行解答即可.【詳解】解：如圖延長FB交CD于G

∵BF∥ED∴∠F=∠EDF又∵DF平分∠CDE，∴∠CDE=2∠F，∵BF∥ED∴∠CGF=∠EDC=2∠F，∵AB∥CD∴∠ABF=∠CGF=2∠F，∵BF平分∠ABE∴∠ABE=2∠ABF=4∠F，又∵∠F與∠ABE互補∴∠F+∠ABE=180°即5∠F=180°，解得∠F=36°故答案選C.【點睛】本題考查了平行的性質和角平分線的定義，做出輔助線是解答本題的關鍵.3．（2023上·江西宜春·七年級江西省豐城中學校考階段練習）如圖，AB∥CD，F為AB上一點，FD∥EH，且FE平分∠AFG，過點F作FG⊥EH于點G，且∠AFG=2∠D，則下列結論：①∠D=40°；②2∠D+∠EHC=90°；③FD平分∠HFB；④FH平分∠GFD．其中正確結論的個數是（

）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】根據角平分線的性質和平行線的性質解答．延長FG，交CH于I，構造出直角三角形，利用直角三角形兩銳角互余解答．【詳解】解：延長FG，交CH于I．

∵AB∥CD，∴∠BFD=∠D，∠AFI=∠FIH，∵FD∥EH，∴∠EHC=∠D，∵FE平分∠AFG，∴∠FIH=2∠AFE=2∠EHC，∴3∠EHC=90°，∴∠EHC=30°，∴∠D=30°，∴2∠D+∠EHC=2×30°+30°=90°，∴①∠D=40°錯誤；∵FE平分∠AFG，∴∠AFI=30°×2=60°，∵∠BFD=30°，∴∠GFD=90°，∴∠GFH+∠HFD=90°，可見，∠HFD的值未必為30°，∠GFH未必為45°，只要和為90°即可，∴③FD平分∠HFB，④FH故選：A．【點睛】本題考查了角平分線的性質和平行線的性質，二者有機結合，難度較大，需要作出輔助線，對能力要求較高．4．（2023下·遼寧營口·七年級?？计谥校┤鐖D，已知AB∥CD，∠BEH=∠CFG，EI、FK分別為∠AEH、∠CFG的角平分線，①EH∥GF②∠CFK=∠H③FJ平分∠GFD④∠AEI+∠GFK=90°A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】如圖，延長EH交CD于M，由AB∥CD，可得∠BEH=∠EMC，由∠BEH=∠CFG，可得∠EMC=∠CFG，EH∥GF，進而可判斷①的正誤；由EI、FK分別為∠AEH、∠CFG的角平分線，則∠AEI=∠HEI=12∠AEH，∠CFK=∠GFK=12∠CFG，如圖，過I作IP∥AB，則IP∥CD，有∠EIP=∠AEI=12∠AEH，∠PIF=∠CFK=∠GFK=12∠CFG，根據∠EIP=180°?∠HEI?∠BEH=180°?12∠AEH?∠BEH，可得∠EIF=∠EIP+∠PIF=180°?12∠AEH?∠BEH+12∠CFG=90°，可得∠AEI+∠GFK=∠EIF=90°，進而可判斷④的正誤；由FK⊥FJ，可知∠KFJ=90°【詳解】解：如圖，延長EH交CD于M，∵AB∥CD，∴∠BEH=∠EMC，∵∠BEH=∠CFG，∴∠EMC=∠CFG，∴EH∥GF，∴①正確，故符合要求；∵EI、FK分別為∠AEH、∠CFG的角平分線，∴∠AEI=∠HEI=12∠AEH如圖，過I作IP∥AB，∴IP∥CD，∴∠EIP=∠AEI=12∠AEH∵∠EIP=180°?∠HEI?∠BEH=180°?1∴∠EIF=∠EIP+∠PIF=180°?=180°?=180°?=90°∴∠AEI+∠GFK=∠EIP+∠PIF=∠EIF=90°，∴④正確，故符合要求；∵FK⊥FJ，∴∠KFJ=90°，∠GFK+∠GFJ=90°，∵∠CFK+∠KFJ+∠DFJ=180°，∴∠DFJ=180°?∠CFK?∠KFJ=90°?∠CFK=90°?∠GFK=∠GFJ，∴FJ平分∠GFD，∴③正確，故符合要求；∵EH∥GF，∴∠H=∠G，∵GH與FK的位置關系不確定，∴∠GFK與∠G的大小關系不確定，∴∠CFK=∠H不一定成立，∴②錯誤，故不符合要求；∴正確的共有3個，故選B．【點睛】本題考查了兩直線平行，內錯角相等；同位角相等，兩直線平行；角平分線，兩直線平行，同旁內角互補等知識．解題的關鍵在于對平行線的判定與性質的熟練掌握與靈活運用．5．（2023下·廣東深圳·七年級校考期中）如圖，E在線段BA的延長線上，∠EAD=∠D，∠B=∠D，EF∥HC，連FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K為線段BC上一點，連CG，使∠CKG=∠CGK，在∠AGK內部有射線GM，GM平分∠

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據平行線的判定定理得到AD∥BC，故①正確；由平行線的性質得到∠AGK=∠CKG，等量代換得到∠AGK=∠CGK，求得GK平分∠AGC；故②正確；根據平行線同旁內角互補得∠D+∠DCG+∠GCK=180°，再根據題目已知∠CKG=∠CGK，得【詳解】∵∠EAD=∴∠EAD=∴AD∥BC，故①正確；∴∠AGK=∵∠CKG=∴∠AGK=∴GK平分∠AGC延長EF交AD于P，延長CH交AD于Q，

∵EF∥CH，∴∠EPQ=∵∠EPQ=∴∠CQG=∵AD∥BC，∴∠HCK+∴∠E+∵∠FGA的余角比∠DGH大∴90°?∠FGA?∠DGH=16°，∵∠FGA=∴90°?2∠∴∠FGA=設∠AGM=α，∠MGK=∴∠AGK=α＋β∵GK平分∠AGC∴∠CGK=∠AGK=α∵GM平分∠FGC∴∠FGM=∴∠FGA+∴37°＋α=β＋α＋β，∴β=18.5°，∴∠MGK=18.5°故選：B．【點睛】本題考查了平行線的判定和性質，角平分線的性質，對頂角性質，正確的識別圖形是解題的關鍵．6．（2023下·廣東廣州·七年級校考期中）如圖，直線MN∥PQ，點A在直線MN與PQ之間，點B在直線MN上，連接AB．∠ABM的平分線BC交PQ于點C，連接AC，過點A作AD⊥PQ交PQ于點D，作AF⊥AB交PQ于點F，AE平分∠DAF交PQ于點E，若∠CAE=45°，∠ACB=52∠DAE，則∠ACD的度數是

【答案】27°/27度【分析】延長FA與直線MN交于點K，通過角度的不斷轉換解得∠BCA=45°，然后結合圖形，利用各角之間的關系求解即可．【詳解】解：延長FA與直線MN交于點K，

由圖可知∠ACD=90°-∠CAD=90°-(45°+∠EAD)=45°-12∠FAD=45°-12(90°-∠AFD)=12∵MN∥PQ，∴∠AFD=∠BKA=90°-∠KBA=90°-(180°-∠ABM)=∠ABM-90°，∴∠ACD=12∠AFD=12(∠ABM-90°)=∠即∠BCD-∠ACD=∠BCA=45°，∴∠ACD=90°-(45°+∠EAD)=45°-∠EAD=45°-25∠BCA故∠ACD的度數是27°，故答案為：27°．【點睛】本題利用平行線、垂直、角平分線綜合考查角度的計算，理解題意，綜合運用這些知識點是解題關鍵．7．（2023上·遼寧沈陽·七年級統(tǒng)考期末）圖1是某款籃球架，圖2是其示意圖，立柱OA垂直地面OB，支架CD與OA交于點A，支架CG⊥CD交OA于點G，支架DE平行地面OB，籃筐EF與支架DE在同一直線上，OA=2.5米，AD=0.8米．∠AGC=32°．(1)求：支架點D到立柱OA的距離；(2)某運動員準備給籃筐掛上籃網，如果他站在凳子上，最高可以把籃網掛到離地面3米處，那么他能掛上籃網嗎？請通過計算說明理由．（參考數據：sin32°≈0.53,【答案】(1)0.68(2)不能，理由見解析【分析】本題考查了三角形內角和定理，解直角三角形的應用，熟練掌握解直角三角形的應用是解題的關鍵（1）：如圖，延長ED，OA，交點為H，則∠ADH=∠AGC=32°，根據（2）由題意知，AH=AD?sin∠ADH，OH=OA+AH，比較【詳解】（1）解：如圖，延長ED，OA，交點為∴∠AHD=∠ACG=90°，∵∠ADH+∠DAH+∠AHD=180°=∠AGC+∠GAC+∠ACG，∠DAH=∠GAC，∴∠ADH=∠AGC=32°，∴DH=AD?cos∴支架點D到立柱OA的距離為0.68米；（2）解：不能，理由如下：由題意知，AH=AD?sin∴OH=OA+AH=2.924（米），∵2.924<3，∴不能．8．（2023下·七年級課時練習）如圖是一個漢字“互”字，其中，AB∥CD,HF∥GE，∠HGE=∠HFE，M、H、G三點在同一直線上，N、

求證：(1)GH∥(2)∠CMH=∠BNE．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據HF∥GE，得出∠HGE+∠GHF=180°，則∠HFE+∠GHF=180°，即可求證（2）延長MG交直線AB于點P，根據AB∥CD，得出∠CMH=∠MPB，根據GH∥EF，得出【詳解】（1）證明：∵HF∥∴∠HGE+∠GHF=180°，∵∠HGE=∠HFE，∴∠HFE+∠GHF=180°，∴GH∥（2）證明：延長MG交直線AB于點P，

∵AB∥∴∠CMH=∠MPB，∵GH∥∴∠MPB=∠BNE，∴∠CMH=∠BNE．【點睛】本題主要考查了平行線的判定和性質，解題的關鍵是掌握平行線的判定：同旁內角互補，兩直線平行；同位角相等，兩直線平行；內錯角相等，兩直線平行；平行線的性質：兩直線平行，同位角相等，內錯角相等，同旁內角互補．9．（2023下·江蘇南京·七年級南京師范大學附屬中學江寧分校階段練習）某模具廠生產一種鋼板，如圖所示，已知該模具的邊AB∥CF，CD∥AE，按生產規(guī)定，邊AB和邊CD的延長線必須成80°的角才算合格，因交點不在模板上，不便測量，這時，李師傅告訴徒弟只需測一個角，便可知道鋼板是否符合規(guī)定，你知道需要測量哪個角嗎？請說明理由．【答案】測量∠C或∠A的度數均可，只需∠C＝100°或∠A＝100°即可．理由見解析.【分析】延長AB、CD相交于點G．根據平行線的性質，知測量∠C或∠A的度數均可．【詳解】延長AB、CD相交于點G．∵AB∥CF，CD∥AE，∴∠C+∠G＝180°，∠A+∠G＝180°（兩條直線平行，同旁內角互補），∵∠G＝80°，∴∠C＝100°，∠A＝100°，∴測量∠C或∠A的度數均可，只需∠C＝100°或∠A＝100°即可．【點睛】此題考查了平行線的性質在實際問題中的運用．10．（2023上·重慶渝北·七年級校考開學考試）如圖1，AB∥CD，點E，F分別在直線CD，AB上，∠BEC=2∠BEF，過點A作AG⊥BE的延長線交于點G，交CD于點N，AK平分∠BAG，交EF于點(1)直接寫出∠AHE，∠FAH，(2)若∠BEF=12∠BAK(3)如圖2，在（2）的條件下，將△KHE繞著點E以每秒5°的速度逆時針旋轉，旋轉時間為t，當KE邊與射線ED重合時停止，則在旋轉過程中，當△KHE的其中一邊與△ENG的某一邊平行時，直接寫出此時t的值．【答案】(1)∠AHE=∠FAH+∠KEH(2)75°(3)6,12,21,24,30【分析】（1）根據平行線的性質和三角形的外角性質可得答案；（2）根據∠BEF=12∠BAK，分別表示出∠BAK、∠BEC、∠BAK、∠KAG、∠AME和∠AHE，再由AG⊥BE（3）結合（2），分以下幾種情況求解：①當KH∥NG時，延長KE交GN邊于P，②當KH∥EG時，③當KH∥EN時，即EK與【詳解】（1）∵AB∥∴∠KEH=∠AFH，∵∠AHE是△AHF的外角，∴∠AHE=∠AFH+∠FAH，∴∠AHE=∠FAH+∠KEH，故答案為：∠AHE=∠FAH+∠KEH；（2）∵AB∥∴∠BAK=∠MKE,∠ABE=∠BEC，∵∠BEF=1∴∠BAK=2∠BEF，∵∠BEC=2∠BEF，∴∠BAK=∠BEC，∴∠BAK=∠ABE，∴AK平分∠BAG，∴∠BAK=∠GAK=∠ABE，∵AG⊥BE，∴∠AGB=90°，∴3∠BAK=90°，∴∠BAK=∠ABE=∠GAK=30°，∴∠BEF=1∴∠CEF=45°，∴∠CEF=∠AFE=45°，∴∠AHE=∠AFE+∠BAK=75°；（3）①當KH∥NG時，延長KE交GN邊于∵∠EKH=∠EPG=30°，∴∠PEG=90°?∠EPG=60°，∵∠GEN=90°?∠ENG=30°，∴∠PEN=∠PEG?∠GEN=30°，∴∠CEK=∠PEN=30°，當△KHE繞E點旋轉30°時，EK∥t=30°②當KH∥∴∠EKH=∠KEG=30°，∠NEK=∠NEG+∠KEG=60°，∴∠NEK=60°，∴∠CEK=120°，當△KHE繞點E旋轉120°時，HK∥∴t=120°③當KH∥EN時，即EK與∴∠CEK=150°當△KHE繞點E旋轉150°時，KH∥∴t=150°④當KE∥∵∠GEK=30°，∴∠CEK=90°?∠GEK=60°，當△KHE旋轉60°時，KE∥∴t=60°⑤當HE∥∵∠GEK=30°，∴∠CEK=∠CEH+∠HEK=90°?∠GEK+∠HEK=105°，∴當△KHE旋轉105°時，HE∥t=105°綜上所述，當△KEH的其中一邊與△ENG的某一邊平行時t的值為6,12,21,24,30．【點睛】本題考查了平行線的性質，角平分線的性質，三角形的內角和，一元一次方程在幾何問題中的應用，理清題中的數量關系并分類討論是解題的關鍵．11．（2023下·浙江寧波·七年級校聯考期中）如圖，直線PQ∥MN，一副三角尺（∠ABC=∠CDE=90°,∠ACB=30°,∠BAC=60°,∠DCE=∠DEC