高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2廣東省河源市部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期5月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，則由題意可得.故選：B.2.已知，則（）A.3 B. C.2 D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，則.故選：D.3.在正三棱錐中，頂點(diǎn)在底面的射影為點(diǎn)，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗正三棱錐中，點(diǎn)在平面的射影是點(diǎn)，即為等邊的中心，已知，可得，由底面，底面，可得，則由勾股定理可得高.故選：D.4.已知，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，得，又，所以，故.故選：D.5.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗函數(shù)在上單調(diào)遞增，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則有函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.6.已知，則正整數(shù)的最小值為（）（參考數(shù)據(jù)：取）A.8 B.9 C.10 D.11〖答案〗A〖解析〗由，則，因?yàn)?，即，又，所以的最小值?.故選：A.7.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意可得，所以.故選：B.8.已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，且在中滿足，則下列情況中，能唯一確定該三角形形狀的是（）A.角取最大值 B.角取最大值C.取最小值 D.取最小值〖答案〗A〖解析〗由得，考慮在上單調(diào)遞減，故當(dāng)角取最大值時(shí)，取最小值，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等，此時(shí)，即，故此時(shí)三角形為等邊三角形，形狀唯一確定；同理，，設(shè)，所以單調(diào)遞減，故不存在最小值與最大值，故B不正確，D不正確；由于，故，所以角有最大值，故A正確；則取最小值時(shí)，取最大值，由，無(wú)法取得最大值，故不能取最小值，故C不正確.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說(shuō)法正確的是（）A.復(fù)數(shù)的虛部為 B.若為純虛數(shù)，則為實(shí)數(shù)C.若為實(shí)數(shù)，則 D.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限〖答案〗BD〖解析〗對(duì)于A中，由復(fù)數(shù)的虛部為1，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，設(shè)，則，所以B正確；對(duì)于C中，當(dāng)為負(fù)數(shù)時(shí)，，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，因?yàn)?，在?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為，位于第二象限，所以D正確.故選：BD.10.已知圓錐的頂點(diǎn)為，底面圓心為為底面直徑，，點(diǎn)在底面圓周上，且二面角為，則（）A.該圓錐的體積為 B.該圓錐的側(cè)面積為C. D.的面積為4〖答案〗AC〖解析〗依題意，，所以，對(duì)于選項(xiàng)，圓錐的體積為選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)，圓錐的側(cè)面積為，選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)，設(shè)是的中點(diǎn)，連接，則，所以是二面角的平面角，則，所以，故，則，選項(xiàng)正確；選項(xiàng)，，所以，選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.11.設(shè)平面內(nèi)共起點(diǎn)的向量的終點(diǎn)分別為，且滿足，記與的夾角為，則（）A.B.最大值為C.若，則三點(diǎn)共線D.若，當(dāng)取得最大值時(shí)，〖答案〗BC〖解析〗設(shè)為三個(gè)向量的公共的起點(diǎn)，由題意知，可得在以為圓心，1為半徑的圓上，在以為圓心，1為半徑的圓上，所以點(diǎn)覆蓋的范圍為以為圓心，2為半徑的整個(gè)圓面，對(duì)于A中，設(shè)在的投影為，則，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，如圖1所示，當(dāng)位于時(shí)有與圓相切，此時(shí)夾角最大為，由題意，，所以，最大值為，所以B正確；對(duì)于C中，如圖2所示，由向量的平行四邊形法則可知，，則為中點(diǎn)，可得三點(diǎn)共線，所以C正確；對(duì)于D中，若，則，可得均在以為圓心，1為半徑的圓上，且為等邊三角形，如圖2所示，當(dāng)運(yùn)動(dòng)至于與圓相切時(shí)，取得最大值，記作切點(diǎn)為，不妨取進(jìn)行計(jì)算，則，此時(shí)畫出的兩種位置，分別為和，不妨取進(jìn)行計(jì)算，此時(shí)，設(shè)為在上的投影向量，所以，所以D錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知是兩個(gè)不共線的向量，，若與是共線向量，則__________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)槭莾蓚€(gè)不共線的向量，，若與是共線向量，設(shè)，則，則，解得.故〖答案〗為：.13.科學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)，地震時(shí)釋放出的能量（單位：焦耳）與地震里氏震級(jí)之間的關(guān)系為，則根據(jù)以上信息可得里氏9.0級(jí)地震釋放的能量是8.0級(jí)地震所釋放能量的______倍.〖答案〗100〖解析〗由題意得，所以，即里氏9.0級(jí)地震釋放的能量是8.0級(jí)地震所釋放能量的100倍.故〖答案〗為：100.14.已知函數(shù)，如圖是直線與曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，若，則__________.〖答案〗〖解析〗設(shè)，因?yàn)?，可得，又因?yàn)榭芍?，所以或，結(jié)合函數(shù)的圖象，可得，即，所以，因?yàn)椋以趩握{(diào)遞增區(qū)間內(nèi)，所以，即，所以，所以.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明，證明過程或演算步驟.15.已知在中，.（1）求；（2）設(shè)，求的長(zhǎng).解：（1）由題意得，，，，即.（2）由（1）知，，由，由正弦定理，，可得.16.如圖，在四棱錐中，已知底面為矩形，側(cè)面是正三角形，側(cè)面底面是棱的中點(diǎn)，.（1）證明：平面；（2）若二面角為，求異面直線與所成角的正切值.解：（1）在四棱錐中，由底面為矩形，得，由側(cè)面底面，側(cè)面底面平面，得平面，又平面，則，又側(cè)面是正三角形，是的中點(diǎn)，則，又平面，所以平面.（2）如圖，在平面內(nèi)，過點(diǎn)作，垂足為，顯然，由側(cè)面底面，交線為，得底面，底面，則，過作，垂足為，連接，顯然，平面，則平面，而平面，因此，則即為二面角的平面角，其大小為，在中，，則，由，得四邊形為平行四邊形，則，由，得（或其補(bǔ)角）為異面直線與所成角，由（1）知平面，則為直角三角形，，所以異面直線與所成角的正切值為.17.已知復(fù)數(shù)的實(shí)部分別為，虛部分別為，其中.（1）求的取值范圍；（2）能否為純虛數(shù)，若能，求；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（1）由復(fù)數(shù)實(shí)部分別為，虛部分別為，可得，可得，因此的取值范圍是.（2）因?yàn)?，所以，因此，且，化?jiǎn)得，即，可得，此時(shí)，故不能為純虛數(shù).18.閱讀材料：材料一：我國(guó)南宋的數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中提出了“三斜求積術(shù)”：若把三角形的三條邊分別稱為小斜?中斜和大斜，記小斜為，中斜為，大斜為，則三角形的面積為.這個(gè)公式稱之為秦九韶公式；材料二：古希臘數(shù)學(xué)家海倫在其所著的《度量論》或稱《測(cè)地術(shù)》中給出了用三角形的三條邊長(zhǎng)表示三角形的面積的公式，即已知三角形的三條邊長(zhǎng)分別為，則它的面積為，其中，這個(gè)公式稱之為海倫公式；請(qǐng)你結(jié)合閱讀材料解答下面的問題：（1）證明秦九韶公式與海倫公式的等價(jià)性；（2）已知的面積為24，其內(nèi)切圓半徑為，求.解：（1）三角形的三條邊長(zhǎng)分別為，，上述每一步均為等價(jià)變形，所以秦九韶公式與海倫公式是等價(jià)的.（2）設(shè)內(nèi)切圓半徑為，由，，得，顯然，由海倫公式，得，化簡(jiǎn)得，即，所以.19.已知函數(shù).（1）求不等式解集；（2），將的圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù).若對(duì)任意的，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）因?yàn)?，所以，解得：，所以，所以不等式的解集?（2）由題意可得，因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)閷?duì)任意的，都有成立，所以，，因?yàn)?，所以，設(shè)，可設(shè)，則的圖象為開口向下，對(duì)稱軸為的拋物線，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以，所以，解得，所以當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以，所以，解得，故；當(dāng)時(shí)，，故，解得，所以，綜上所述：實(shí)數(shù)取值范圍為.廣東省河源市部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期5月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)椋瑒t由題意可得.故選：B.2.已知，則（）A.3 B. C.2 D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)椋瑒t.故選：D.3.在正三棱錐中，頂點(diǎn)在底面的射影為點(diǎn)，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗正三棱錐中，點(diǎn)在平面的射影是點(diǎn)，即為等邊的中心，已知，可得，由底面，底面，可得，則由勾股定理可得高.故選：D.4.已知，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，得，又，所以，故.故選：D.5.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗函數(shù)在上單調(diào)遞增，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則有函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.6.已知，則正整數(shù)的最小值為（）（參考數(shù)據(jù)：?。〢.8 B.9 C.10 D.11〖答案〗A〖解析〗由，則，因?yàn)椋?，又，所以的最小值?.故選：A.7.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意可得，所以.故選：B.8.已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，且在中滿足，則下列情況中，能唯一確定該三角形形狀的是（）A.角取最大值 B.角取最大值C.取最小值 D.取最小值〖答案〗A〖解析〗由得，考慮在上單調(diào)遞減，故當(dāng)角取最大值時(shí)，取最小值，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等，此時(shí)，即，故此時(shí)三角形為等邊三角形，形狀唯一確定；同理，，設(shè)，所以單調(diào)遞減，故不存在最小值與最大值，故B不正確，D不正確；由于，故，所以角有最大值，故A正確；則取最小值時(shí)，取最大值，由，無(wú)法取得最大值，故不能取最小值，故C不正確.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說(shuō)法正確的是（）A.復(fù)數(shù)的虛部為 B.若為純虛數(shù)，則為實(shí)數(shù)C.若為實(shí)數(shù)，則 D.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限〖答案〗BD〖解析〗對(duì)于A中，由復(fù)數(shù)的虛部為1，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，設(shè)，則，所以B正確；對(duì)于C中，當(dāng)為負(fù)數(shù)時(shí)，，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，因?yàn)?，在?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為，位于第二象限，所以D正確.故選：BD.10.已知圓錐的頂點(diǎn)為，底面圓心為為底面直徑，，點(diǎn)在底面圓周上，且二面角為，則（）A.該圓錐的體積為 B.該圓錐的側(cè)面積為C. D.的面積為4〖答案〗AC〖解析〗依題意，，所以，對(duì)于選項(xiàng)，圓錐的體積為選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)，圓錐的側(cè)面積為，選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)，設(shè)是的中點(diǎn)，連接，則，所以是二面角的平面角，則，所以，故，則，選項(xiàng)正確；選項(xiàng)，，所以，選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.11.設(shè)平面內(nèi)共起點(diǎn)的向量的終點(diǎn)分別為，且滿足，記與的夾角為，則（）A.B.最大值為C.若，則三點(diǎn)共線D.若，當(dāng)取得最大值時(shí)，〖答案〗BC〖解析〗設(shè)為三個(gè)向量的公共的起點(diǎn)，由題意知，可得在以為圓心，1為半徑的圓上，在以為圓心，1為半徑的圓上，所以點(diǎn)覆蓋的范圍為以為圓心，2為半徑的整個(gè)圓面，對(duì)于A中，設(shè)在的投影為，則，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，如圖1所示，當(dāng)位于時(shí)有與圓相切，此時(shí)夾角最大為，由題意，，所以，最大值為，所以B正確；對(duì)于C中，如圖2所示，由向量的平行四邊形法則可知，，則為中點(diǎn)，可得三點(diǎn)共線，所以C正確；對(duì)于D中，若，則，可得均在以為圓心，1為半徑的圓上，且為等邊三角形，如圖2所示，當(dāng)運(yùn)動(dòng)至于與圓相切時(shí)，取得最大值，記作切點(diǎn)為，不妨取進(jìn)行計(jì)算，則，此時(shí)畫出的兩種位置，分別為和，不妨取進(jìn)行計(jì)算，此時(shí)，設(shè)為在上的投影向量，所以，所以D錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知是兩個(gè)不共線的向量，，若與是共線向量，則__________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)槭莾蓚€(gè)不共線的向量，，若與是共線向量，設(shè)，則，則，解得.故〖答案〗為：.13.科學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)，地震時(shí)釋放出的能量（單位：焦耳）與地震里氏震級(jí)之間的關(guān)系為，則根據(jù)以上信息可得里氏9.0級(jí)地震釋放的能量是8.0級(jí)地震所釋放能量的______倍.〖答案〗100〖解析〗由題意得，所以，即里氏9.0級(jí)地震釋放的能量是8.0級(jí)地震所釋放能量的100倍.故〖答案〗為：100.14.已知函數(shù)，如圖是直線與曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，若，則__________.〖答案〗〖解析〗設(shè)，因?yàn)?，可得，又因?yàn)榭芍?，所以或，結(jié)合函數(shù)的圖象，可得，即，所以，因?yàn)?，且在單調(diào)遞增區(qū)間內(nèi)，所以，即，所以，所以.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明，證明過程或演算步驟.15.已知在中，.（1）求；（2）設(shè)，求的長(zhǎng).解：（1）由題意得，，，，即.（2）由（1）知，，由，由正弦定理，，可得.16.如圖，在四棱錐中，已知底面為矩形，側(cè)面是正三角形，側(cè)面底面是棱的中點(diǎn)，.（1）證明：平面；（2）若二面角為，求異面直線與所成角的正切值.解：（1）在四棱錐中，由底面為矩形，得，由側(cè)面底面，側(cè)面底面平面，得平面，又平面，則，又側(cè)面是正三角形，是的中點(diǎn)，則，又平面，所以平面.（2）如圖，在平面內(nèi)，過點(diǎn)作，垂足為，顯然，由側(cè)面底面，交線為，得底面，底面，則，過作，垂足為，連接，顯然，平面，則平面，而平面，因此，則即為二面角的平面角，其大小為，在中，，則，由，得四邊形為平行四邊形，則，由，得（或其補(bǔ)角）為異面直線與所成角，由（1）知平面，則為直角三角形，，所以異面直線與所成角的正切值為.17.已知復(fù)數(shù)的實(shí)部分別為，虛部分別為，其中.（1）求的取值范圍；（2）能否為純虛數(shù)，