重難點(diǎn)09線線角、線面角、二面角與距離七大題型匯

期末題型解讀

題型4動(dòng)點(diǎn)相關(guān)問題

題型1異面直線所成的角

題型5二面角與其他相關(guān)問題

線線角、線面角、二面角

題型直線與平面所成的角

2與距離七大題型匯總

'題型6綜合性問題

題型3二面角

題型7距離問題

滿分技巧

技巧一.異面直線所求的角

1.求異面直線所成的角的步驟

一作，即依據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角

二證，即證明作出的角是異面直線所成的角

三求，解三角形，求出作出的角，如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角，如果求出的角是鈍角，

則它的補(bǔ)角才是要求的角

2.向量法

已知a,b為兩異面直線，A,C與B,D分別是a,b上的任意兩點(diǎn),a,b所成的角為0,貝hosB=|

技巧二.直線與平面所成的角

線面角的求法：斜線與平面所成角的范圍為（0,6具體操作方法：

①在直線上任取一點(diǎn)A（通常都是取特殊點(diǎn)），向平面。引（通常都是找+證明）垂線A0;②連接斜足與

垂足M0;

③則斜線與射影M0所成的角AAMO,就是直線與平面所成角.

技巧三.二面角的求法

1.定義法

利用二面角的平面角的定義，在二面角的棱上取一點(diǎn)，過該點(diǎn)在兩個(gè)半平面內(nèi)作垂直于棱的射線，兩射線

所成的角就是二面角的平面角，這是一種最基本的方法.

2.三垂線法

是利用三垂線定理及其逆定理來證明線線垂直，來找到二面角的平面角的方法.這種方法關(guān)鍵是找垂直于

二面角的面的垂線.此方法是屬于較常用的.

三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.

三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它和這條斜線的射影垂

直.

3.垂面法

作一與棱垂直的平面，該垂面與二面角兩半平面相交，得到交線，交線所成的角為二面角的平面角.關(guān)鍵

在找與二面角的棱垂直且與二面角兩半平面都有交線的平面.

題型1異面直線所成的角

【例題1]（2022春?四川宜賓?高一四川省高縣中學(xué)校校考期末）如圖所示，在長(zhǎng)方陣□□□□-

中，口口、=口口=2,口口=，.點(diǎn),F,G分別是口&,口口,的中點(diǎn)，則異面直

線&g口小斤成的角是

【答案】900

【分析】連接。&,a。，則得n&口皈其補(bǔ)角即為ago次斤成的角，再利用勾股定理即

可得到線線角.

【詳解】連接。0,。1口，3,??,點(diǎn)E,F,G分別是O4,口□,0a的中點(diǎn),

???口口川□□,口、□「oo,???四邊形aooa為平行四邊形，

洪\口□川□[D,故N&￡70或其補(bǔ)角即為&。與￡7。所成的角,

易得aD=，口&+口d=Vl2+12=氏口1口=行+￡7上=V22+12=V5,

□□=J口仃+□仃+口存=V3,所以&爐+口仃=口面,所以N4□□=90°.

故答案為：90°.

【變式1-1]（2020春?吉林長(zhǎng)春?高一長(zhǎng)春市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┤鐖D，在正方梅□□□□-

aaa4中，E,F,G,H分別為AA1,AB,BB1,B1C1的中點(diǎn)，則異面直線EF與GH所成的角等

于.

【答案】607g

【分析】根據(jù)中點(diǎn)，得到￡75口1D,Z7OII,然后根據(jù)平行得到N40□1為異面直線口。與口/斤

成角或其補(bǔ)角，最后求角即可.

【詳解】AFB

如圖，連接0。，□□「口、口「

因?yàn)榭?口，口,心鎖為口口.□口,,口&的中點(diǎn)，所以。Dll□、D,□□、，/口、□□、

為異面直線?？谂cOO所成角或其補(bǔ)角，

因?yàn)椤酢酢酢?□[□]口、&為正方體，所以三角形&。a為正三角形，所以N4□□1=60°.

故答案為：60°.

【變式1-2】（2022春?福建莆田?高一莆田一中?？计谀┤鐖D是正方體的展開圖，則在這個(gè)正方體中，下

面命題不正確的是（）

N

A.0￡7與Z27Z7是異面直線；B.□□與UN行

C.□□與口麗60。角;D.□□與口口^行

【答案】D

【分析】根據(jù)正方體的展開圖得到直觀圖，再根據(jù)正方體的性質(zhì)——判斷即可.

【詳解】解：如圖，oa與02是異面直線，故A正確；

因?yàn)?□□=□□,所以四邊形OOO孕平行四邊形，所以故B正確.

因?yàn)樗浴?0與￡70所成角即為。。與OO所成角，在等邊三角形?！?口中，4□口□=60°

所以￡70與。。所成角為60。，故C正確.

OO1平面OOOO,￡7￡7u平面ZZ7Z7OO,所以□□上口□,又OO1口口=D,

口口，口口匚礴口口口,鉀□□□,￡7Z7u平面。。ZZ7,所以。口1口口,故D錯(cuò)誤.

故選：D.

【變式1-312022春?黑龍江哈爾濱?高一哈爾濱市第六中學(xué)校?？计谀┤鐖D，四面體ABCD中，口口=2<2,

AC=2,M、N分別為BC、AD的中點(diǎn)，MN=1,則異面直線AC與BD所成的角是（）

【答案】D

【分析】取口。的中點(diǎn)口，連接oas,則。on□口,口□,解三角形。〃。即可得解.

【詳解】解：取o二的中點(diǎn)。，蘸口口,口口,

因?yàn)镸、N分別為BC、AD的中點(diǎn)，

所以O(shè)DII□恒□□=；口口=短,口?□□=；□□=1,

則皈其補(bǔ)角即為異面直線AC與BD所成的角，

因?yàn)榭诏?口存=2=O/J2,

麗以上□□口=/

所以々□口□=乙□□□=鄉(xiāng),

即異面直線AC與BD所成的角是景

故選：D.

【變式1-4X2022春?遼寧丹東?高一統(tǒng)考期末施正方悻□□□□-口1口】口口】中點(diǎn)牛線段&□上,

則（）

A.與口。所成角等于60°B.平面□□□、

C.平面&OZZ71平面a口□D.三棱錐。-口1￡70體積為定值

【答案】C

【分析】由線面垂直的判定可證得。平面。&0,可知￡7￡7,知人錯(cuò)誤;假設(shè)00//平面。。。1,

由面面平行的判定與性質(zhì)可知平面OD4,由線面平行性質(zhì)得口。/0口,可知當(dāng)冰與餐合時(shí)，

&Q/OK成立，知B錯(cuò)誤；由線面垂直的判定可證得&Z71平面,由面面垂直的判定可知C

正確；根據(jù)010。平面￡70&=口,可知點(diǎn)。到平面。口&的距離不是定值，知D錯(cuò)誤.

【詳解】對(duì)于A,連接。O,

???四邊形。正方形，.??□□\□□；

，平面￡7￡7Z7￡7,ZZZOu平面￡7￡7￡7￡7,二\;

又ZZ7ZZZ|n□□—□,□□□u平面￡7ZZZ(□,□□_L平'[§]□,

又口□u平面0qn,口□1口口,A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,連接口4,&。，

假設(shè)。。/平面,

u平面口口口1,□□、《淬面□□□[,口口小平面□□□、,

又￡7ZZ7n□□[=[J,□□,□□[u平面口口口1,:^^口口口川平面□□□[,

'?ZZ7i￡7u平面ZZ7ZZ7Z17i,□、ZZZ7平面/Z7ZZ7ZZZ),

又口、口u平面□□□【□]，平面□□□[□[n平面OZ7Z7i=口口，:.□、口“□□,

當(dāng)O與冰重合時(shí)，顯然&Q/OK成立，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,'■,□JL平面￡7ZZ7/Z7/Z7,□□u平■囿□□口□,??□J_□□;

又□□1口口,□□、n□□=U,□口u平面Z7,□□,.■■□□1平面0口□,

□、□u平■面□、□口,□、□-L□□；

同理可得:L口口,

---□n□□—□,□□□u平面ZZ7/Z7ZZ7i,□、□J■平?百□□□[,

口、口u平面口、口口，二平面口、口口1平面口、口□,C正確；

對(duì)于D口口「平面口□□I=o,.??當(dāng)a為線段aat的動(dòng)點(diǎn)時(shí),其到平面。?？诘木嚯x不是定值

三棱錐。-□、體積不是定值.

故選：c.

【變式1-5]（2022春?重慶沙坪壩?高一重慶一中?？计谀┰谒拿骟wABCD*□□=□□,且異面直

線AB與CD所成的角為70°,M,N分別是邊BC,AD的中點(diǎn)，則異面直線MN和AB所成的角為（）

A.35°B.55°C.35°或55°D,20°或70°

【答案】C

【分析】取S中點(diǎn)O,得出異面直線oa04所成的角，然后根據(jù)異面直線所成角的定義求解MN和

AB所成的角即可.

【詳解】取口口中點(diǎn)O,趣妾口口，口口,

.M、N分別為邊BC和AD的中點(diǎn)，

:□口,且□□=\□口,口□=口口,

.?異面直線AB與CD所成的角是二￡7。皈其補(bǔ)角，

由□□=口□，得,

異面直線MN和AB所成的角是NOO強(qiáng)其補(bǔ)角.

異面直線AB與CD所成的角為70。，貝!UZ7O￡7=70?；?10。，

若乙□□口=70°,則S=55°,異面直線MN和AB所成的角是55°,

若乙口□口=110°,則/口口口=35°,異面直線MN和AB所成的角是35°,

故選：C.

A

【變式1-6]（2022春?黑龍江綏化?高一?？计谀┌胝嗝骟w（semiregularsolid）亦稱"阿基米德多面

體"，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.二十四等邊體就是一種半正多面體，

是由正方體切截而成的，它由八個(gè)正三角形和六個(gè)正方形構(gòu)成（如圖所示）,若它的所有棱長(zhǎng)都為遮，則正

確的序號(hào)是.

①平面□□口;

②□口與□□所成角為45°；

③該二十四等邊體的體積為吊；

④該二十四等邊體外接球的表面積為81T.

【答案】③④

【分析】將該二十四等邊體補(bǔ)形為正方體，利用。。與。〃是異面直線判定選項(xiàng)①錯(cuò)誤，利用00/0次口

形狀判定選項(xiàng)②錯(cuò)誤，利用正方體和等二十四等邊體的關(guān)系和分割法判定選項(xiàng)③正確，利用該二

十四等邊體外接球的球心即為正方體的中心及球的表面積公式判定選項(xiàng)④正確.

【詳解】解：將該二十四等邊體補(bǔ)形為正方體（如圖所示）,

因?yàn)樵摱牡冗咉w的所有棱長(zhǎng)都為魚,所以正方體的棱長(zhǎng)為2,

對(duì)于①：根據(jù)正方體的性質(zhì)可得。。?1"平面。口口匚.,所以□□工口口，

同理可證00^00=0,口口,加口□□,

所以。O_L平面￡700,而OD與口。是異面直線，

所以￡70,平面?！?冰成立，即選項(xiàng)①錯(cuò)誤；

對(duì)于②：因?yàn)?/p>

所以/口。。是。。與口4斤成角或其補(bǔ)角，

在A/7DB,n/J=n/J=y[2,Z7￡^=12+22+12=6

因訊□品口辦口己,所以N/7/Z70H45。，

即選項(xiàng)②錯(cuò)誤；

對(duì)于③：因?yàn)樵摱牡冗咉w的所有棱長(zhǎng)都為近,

所以正方體的棱長(zhǎng)為2,

所以該二十四等邊體的體積為623-G*gx13)x8=個(gè)，

即選項(xiàng)③正確；

對(duì)于④：設(shè)該二十四等邊體外接球的半徑為。，

該二十四等邊體外接球的球心即為正方體的中心,

正方體六個(gè)表面的面積都為1,

所以爐=尸+（學(xué)）=2,

所以其表面積為640爐=8。，即選項(xiàng)④正確.

故答案為：③④.

題型2直線與平面所成的角

【例題212022春?江蘇南通?高一金沙中學(xué)?？计谀┲比庵鵒口口-口]□]口]中，□口=□□=,

則O&與平面?？?乜所成的角為（）

A海B<C,-D.-

【答案】A

【分析】將直三棱柱補(bǔ)全為正方體，根據(jù)正方體性質(zhì)、線面垂直的判定可得面,由線面角

的定義找到與平面&所成角的平面角，進(jìn)而求其大小.

【詳解】由題意，將直三棱柱補(bǔ)全為如下圖示的正方體，％上底面對(duì)角線交點(diǎn)，

所以O(shè)OJ.口□,而口口1遹□□□,□□竭口口口,故-L口□,

又U面□□□[□],取□□1^口口口、口1,

則O4與平面所成角為NO&O,若口□=□□=□□]=2,

所以￡7。=V2,=2V2,則sinzOq〃=；,故/□□、口=工

ZO

故選：A

【變式2-1]（2022春?上海浦東新?高一上海師大附中校考期末）已知平面口￡7,直線口，記口與口,。所

成的角分別為4,4，若則（）

A.sir）a<cos&B.sin/Tj>cosZZ^C.sinQ>1-sinZZ^D.sin/Tj<1-sinZZ72

【答案】A

【分析】討論直線。與平面口,詡位置，根據(jù)線面角的定義確定&,口,再分別求sin&,COS￡72,sin&

的表達(dá)式，由此確定結(jié)論.

【詳解】如圖，不妨設(shè)口,口（>□=口,設(shè)口門口=□1過點(diǎn)Of乍OZ71U,垂足為￡7,

因?yàn)椤?O,￡70c口,口口?□、□□□=□,所以￡70,￡7,所以N0OU%直線若平面次斤成

的角的平面角，即ND。。=&，過點(diǎn)O作Z7,垂足為O,作。。且口￡7=.趣妾口□,

同理可得。O1□，乙□□口=口,因?yàn)榭诳谂f口,□□=口口,所以四邊形OOZ7。為平行四邊形，

所以￡70=口□,

因?yàn)閆7DJ.口，口口匚口所以□□LOO,所以△為直角三角形,也。為直角所以sin0=攜

因?yàn)?。OJ.□，口CJu口，所以口口人口口，所以△￡70%直角三角形，為直角，所以cos/=

.r~!口口

而,sinZ^=—）

因?yàn)椤酢酢昕凇?所以sina<cos￡72,當(dāng)且僅當(dāng)口強(qiáng)合時(shí)取等號(hào)，B錯(cuò)誤，

sin￡7l+sin^=—+—=^^=^^>1,D錯(cuò)慶，

若取直線，則&=0,Q=乙□□□,貝！|sin&=0,0<sin/^<1,C錯(cuò)誤，

故選：A.

【變式2-2］（多選X2022春?安徽合肥?高一?？计谀┤鐖D，四棱錐O-0005勺底面為正方形，。。1

底面ABCD,則下列結(jié)論中正確的是（）

A.□□L□□

B.。。/平面SCD

C.SA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角

D.AB與SC所成的角等于DC與SA所成的角

【答案】ABC

【分析】證明口。1面OOO即可判斷A;由線面平行的判定定理可判斷B;由線面角的定義求出兩個(gè)線面

角即可判斷C;根據(jù)異面直線所成的角可判斷D,進(jìn)而可得正確選項(xiàng)

【詳解】解：對(duì)于A:因?yàn)榈酌婵凇踹y□□口口,所以,

因?yàn)榈酌妗Ｊ钦叫?，所以?O_L口□,因?yàn)镺On口口=口,□□,口近平面□□□,

所以。O1平面口?！?,因?yàn)閁Uu平面□□□,所以O(shè)Z71口□,故A正確;

對(duì)于B:因?yàn)榈酌?。正方形，即以口?1口口,因?yàn)槠矫妗酢酢?口口匚平面口口口,

由線面平行的判定定理可得。。/平面〃口。，故B正確；

對(duì)于C:設(shè)O￡7n□口=口,連接￡70,因?yàn)槠矫鍻OO,口口匚強(qiáng)口□□,

所以NOOZLW為0g平面OO礪成的角，NZ7O0B[]為O磔平面￡70次斤成的角

因?yàn)椤酢?,□□=□□,且□□工,所以tan乙口□□=tanzOUO,

可得乙口□口=乙□□□,所以O(shè)O與平面￡7￡7/斤成的角等于Z7O與平面Z7Z7匚所成的角，故C正確；

對(duì)于D:因?yàn)?所以N￡7/7。即為口A與，。所成的角,4口口加為□□與口口^成的住,

因?yàn)榭诳谏峡诳?□□工口口,口口門口口=口，口口，［JUu鉀□□□,所以口口上平面口口□,

因?yàn)閁Uu平面□□□,所以口口工□□,所以乙□□□=90°,因?yàn)樯稀酢蹩?90°,

即以3口□口手90°,所以一口口□豐乙□□□,

所以口。與。。所成的角不等于ZZ7O與OZ5所成的角，故D不正確；

故選：ABC

【變式2-3］（2022春河南許昌高一統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形,

△PCD為等邊三角形，平面PAC_L平面PCD,PA_LCD,CD=2,AD=3.

⑴求證：PA，平面PCD;

（2）求直線AD與平面PAC所成角的正弦值.

【答案】Q）證明見解析

【分析】（1）取棱PC的中點(diǎn)N，連接DN，可得DN_LPC,利用面面垂直的性質(zhì)定理可得DN_L平面PAC,

從而得到DN±PA,利用線面垂直的判定定理證明即可；

（2）連接AN,由線面角的定義可得，zDAN為直線AD與平面PAC所成的角，在三角形中，利用邊角關(guān)

系求解即可.

【詳解】（1）證明：取棱PC的中點(diǎn)N,連接DN,

由題意可知，DNJ_PC,又因?yàn)槠矫鍼AC_L平面PCD,平面PACn平面PCD=PC,

所以DN_L平面PAC,又PAu平面PAC,

故DNJ_PA,又PA±CD,CDCIDN=D,CD,DNu平面PCD,

則PA_L平面PCD;

（2）連接AN,由（1）可知，DN,平面PAC,

則NDAN為直線AD與平面PAC所成的角，

因?yàn)椤骺凇＃サ冗吶切?，CD=2且N為PC的中點(diǎn)，

所以DN=V5,又DN_LAN,

在R3SZ沖，sinzDAN=fg=y,

故直線AD與平面PAC所成角的正弦值為日.

【變式2-4】（2022春?福建福州?高一校聯(lián)考期末）如圖，在以以口、口、口、口、班頂點(diǎn)的五面體中，

面口口口口^）正方形,口口=2□口，4□□口=90°,且二面角口一口□一行二面角口一口□-215

(1)證明：OZ71平面EFDC;

(2)求直線與平面所成角的正切值.

【答案】Q)證明見解析

【分析】(1)由題意可得口□,□□,□□.由線面垂直的判定定理可證OO1平面。Z7OD

(2)由題易得直線。。與平面。OOO所成的角，再分別求出。aZ7。，由tan4口□口=卷

代入即可求出答案.

(1)

證明：由正方形00/7。可得Z701口口,0為口口“口口,所以。Z7J.口口,

由正方形/口。。=90°可得OO1.皿口□“□□,所以口□,

□□c□口=口,所以，OZZ71平面ZZ7Z7OO.

⑵

連接口。，￡7/71□□,□□工□口口口門口□=a

由。平面口門口口可得，直線。。在平面口上的射影為口￡7

所以直線與平面OZ7Z7O所成的角，

由正方形?？?。E■得口?！?。，???□□《平面□□□□,

則□□“平面UULJU,

又???Z7/7u平面OZ7Z7Z27,平面Z7/7￡7Z7n平面□□□□=□□,

/□□,即UU//□口,

由（1）可得口口人口口，則是二面角口一。&勺平面角

同理是二面角Z7—口□-中］平面角，

即平面四邊形。等腰梯形，目4□□口=乙□□□=60°,

不妨設(shè)口口=1,則ZZ7/Z7=2,□口=2,口口=1,

在4口口袋,口廳=口己+口己-2□口?□□-cosz□□口=3,即OD=V3,

在R3OZ7B八aM□□口=素=%=等,

UUV33

所以，直線。口與平面ooo/j所成角的正切值為學(xué).

【變式2-5J2022春?遼寧?高一校聯(lián)考期末如圖1在直角梯形ABCD中，□口1\口口幺口=90。，口口=3,

￡70=2,E在AB上，且△ZZ7O班邊長(zhǎng)為2的等邊三角形.將4口口醍DE折起，使得點(diǎn)A到點(diǎn)P的

位置，平面平面BCDE,如圖2.

⑴若F為PC的中點(diǎn)，證明￡701平面PDE;

⑵證明：口口=□□:

（3）求直線BP與平面DCBE所成角的大小.

【答案】（1）證明見解析

（2）證明見解析

【分析】（1）利用線面平行判定定理去證明平面PDE;

(2)利用三角形全等去證明￡70=□□:

(3)先作出直線BP與平面DCBE所成角的平面角，求得該平面角的大小，進(jìn)而求得直線BP與平面DCBE

所成角的大小.

【詳解】(1)取PD中點(diǎn)G,連接GE,GF

X-.F是PC中點(diǎn)，，在△口口田,口口\\□□,口口=；□口

在直角梯形ABCD中，□□=1,口口=2.

所以?！?11口□,口口=g□□,：.□□"□詛口□=口□.

??四邊形GFBE為平行四邊形,：.□□□□□

又,「□/Ju面PDE,面PDE,.,.￡7￡711平面PDE.

(2)取DE中點(diǎn)M,連接PM,MB,MC,則￡701口□,

1,面面BEDC,面口□□胸口□口口=口□,ZZ7￡7u平面PDE,

.,.OO1面BEDC,又。Ou面BEDC,￡7Ou面BEDC,

:工□□,￡7/71.

在^□□仔,4□□口=60°,則4口口口=60°,

XA,□口=2,口□=1,則?！?=J4+1-2x2x1xi=V3,

同理在△□□濟(jì),乙□□□=60°,則/￡7口口=120°,

又X□□田,口口=1,□□=1,則口口=Ji+1-2x1x1x（_y=V3,

△□□□三4□□□,：.□□=.

（3）由（2）知￡7￡71面BEDC,"口口為PB與平面DCBE所成角的平面角，

在RtA/JOB,DDL口口，口□=

4

則PB與平面DCBE所成角的大小為己.

4

【變式2-6]（2022春四川成都?高一統(tǒng)考期末）如圖，在三棱錐D-ABC中，MBC是邊長(zhǎng)為2的正三角

形，MDC是以AC為底邊的等腰直角三角形，E為AC的中點(diǎn).

⑴證明：平面BEDJ_平面ACD;

⑵若BD=2,點(diǎn)F在BD上，當(dāng)MFC的面積最小時(shí),求FA與平面ABC所成角的正弦值.

【答案】Q）證明見解析

⑵噂

【分析】（1）通過。口困口口工￡7。證明。01平面OOOBIJ可；

（2）過小得出口□1^口口口.貝（Jsin￡7=券即可求出.

（1）

因?yàn)椤魇钦切?，E為AC的中點(diǎn)，所以￡7Z7_L□□,

又因?yàn)椤鳌蹩诳谑且?c為底邊的等腰直角三角形，所以口口人口□‘

因?yàn)椤?Z27n□□=口,所以平面￡7￡7￡7,

因?yàn)閁lJu平面口口口,所以平面BEDJ_平面ACD;

（2）

因?yàn)榭凇鮈嬸□□口,口□u平面SO，所以\口□,

所以當(dāng)口。最小時(shí)，AAFC的面積最小，此時(shí)口口，口口,

由題可得1,口口=V3,因?yàn)椤酢?2,滿足O仆+口^=口存,

所以0O1口口,且/□□□=30°,

又□□1,口口門口□=口,所以口口人平面口口口,

過小□□“□□,所以口□，平面。叱7,

因?yàn)榭诳?□□.cos30°=|,所以O(shè)O=sin30°=?,

因?yàn)榭凇?□□.sin30°=y,所以在直角△□□田,□□=+=y,

設(shè)FA與平面ABC所成角為￡7,貝人由。=攜=挈.

題型3二面角

【例題3】（多選）（2022春?福建福州?高一福建省福州第一中學(xué)校考期末）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑

奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐.已知胡夫金字塔的每一個(gè)側(cè)面三角形的面積等于金字塔高的平

方，則（）

A.側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長(zhǎng)的比值為竽

B.側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長(zhǎng)的比值為亨

C.側(cè)面與底面所成二面角的余弦值為第

D.側(cè)面與底面所成二面角的余弦值為黑

【答案】AD

【分析】設(shè)底面邊長(zhǎng)為D，側(cè)棱D,結(jié)合題意得到:?□,口-/=仃-”,進(jìn)而得

到g=警，所以端=竽乂則面與底面所成二面角的平面角即，所以COSNOO〃=票=亨.

!__]O1_11—14LJLJN

【詳解】解：如圖，在正四棱錐O-□口口口中，。為底面。?！?。的中心，取口中）中點(diǎn)，設(shè)底面邊

長(zhǎng)為口。=口，側(cè)棱口，

斜高￡70=行+0行=口-/+/=爐,

72474

因?yàn)閭?cè)面三角形的面積等于高的平方，

所以g-口口=皿,即:■口.J4-尹=d-赳,

整理得4瑙）4一口瞪+”0，解得芻=等,

5

1

1

1西

+

>

>一

n

=

-

-

-

-

8

4

4

4

8

為

的比值

的邊長(zhǎng)

正方形

與底面

上的高

形底邊

面三角

于是側(cè)

5

1+V

V5

/6+2

i

5―

/5+V

曰一1

尹

8-

DD

=

=

=

'

4

16

\

4

萬一Z=

=［

￡7

~ad

,

面角

的平

面角

的二

所成

底面

面與