賀蘭一中2023~2024學(xué)年第二學(xué)期高二年級(jí)數(shù)學(xué)周末試卷（16）一、單選題1．已知隨機(jī)變量，若，，則（

）A．15 B． C． D．【答案】A【分析】由隨機(jī)變量的期望和方差公式解方程組計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，即，所以，所以．x0123y23562．已知x與y之間的一組數(shù)據(jù)：則y與x的線性回歸方程必過（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用線性回歸方程必過樣本中心點(diǎn)即可判斷.【詳解】因?yàn)椋?，所以與的線性回歸方程必過.3．一個(gè)不透明的箱子裝有若干個(gè)除顏色外完全相同的紅球和黃球．若第一次摸出紅球的概率為，在第一次摸出紅球的條件下，第二次摸出黃球的概率為，則第一次摸出紅球且第二次摸出黃球的概率為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】記事件“第一次摸出紅球”，事件“第二次黃球”，由條件概率公式求解即可．【詳解】記事件“第一次摸出紅球”，事件“第二次黃球”，則，，由條件概率公式得，則,4．6名研究人員在3個(gè)不同的無菌研究艙同時(shí)進(jìn)行工作，每名研究人員必須去一個(gè)艙，且每個(gè)艙至少去1人，由于空間限制，每個(gè)艙至多容納3人，則不同的安排方案共有（

）種.A．720 B．450 C．360 D．180【答案】B【分析】考慮6人的分組情況，即每2人一組分到三個(gè)研究艙，或者是按人數(shù)為1，2，3分為3組分到三個(gè)研究艙，根據(jù)分類計(jì)數(shù)加法原理即可求得答案.【詳解】由題意可知，6名研究員的安排可以是按平均分組，即每2人一組分到三個(gè)研究艙，或者是按人數(shù)為1，2，3分為3組分到三個(gè)研究艙，每2人一組分到三個(gè)研究艙時(shí)，共有（種）安排方案，按人數(shù)為1，2，3分為3組分到三個(gè)研究艙時(shí)，共有（種）安排方案，故共有（種）安排方案，5．如圖，在“楊輝三角”中從左往右第3斜行的數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列：，則該數(shù)列前10項(xiàng)的和為（

）A．66 B．120 C．165 D．220【答案】D【分析】由題意可知：前10項(xiàng)分別為，結(jié)合組合數(shù)的性質(zhì)運(yùn)算求解.【詳解】由題意可知：前10項(xiàng)分別為，則，所以前10項(xiàng)的和為220.6．經(jīng)檢測(cè)一批產(chǎn)品中每件產(chǎn)品的合格率為，現(xiàn)從這批產(chǎn)品中任取5件，設(shè)取得合格產(chǎn)品的件數(shù)為，則以下選項(xiàng)正確的是（

）A．的可能取值為1、2、3、4、5 B．C． D．【答案】C【分析】對(duì)A，根據(jù)題意分析即可；對(duì)B，根據(jù)5件里面有2件合格，3件不合格求解即可；對(duì)C，根據(jù)二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望公式求解即可；對(duì)D，根據(jù)二項(xiàng)分布的方差公式求解即可.【詳解】對(duì)A，從這批產(chǎn)品中任取5件，設(shè)取得合格產(chǎn)品的件數(shù)為，則的可能取值為0、1、2、3、4、5，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，任取5件，里面有2件合格，3件不合格，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，由題意，，故，故C正確；對(duì)D，由題意，，故，故D錯(cuò)誤；7．蕪湖有很多聞名的旅游景點(diǎn)．現(xiàn)有兩位游客慕名來到蕪湖，都準(zhǔn)備從甲、乙、丙、丁4個(gè)著名旅游景點(diǎn)中隨機(jī)選擇一個(gè)游玩．設(shè)事件A為“兩人至少有一人選擇丙景點(diǎn)”，事件B為“兩人選擇的景點(diǎn)不同”，則條件概率（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出，，利用條件概率公式求出答案.【詳解】?jī)扇司?種選擇，故共有16個(gè)基本事件，其中兩人至少有一人選擇丙景點(diǎn)分兩種情況，一是均選擇丙景點(diǎn)，二是一人選擇丙景點(diǎn)，另一人選擇其他景點(diǎn)，故A事件共有個(gè)基本事件，而事件包含個(gè)基本事件，故，，所以.8．設(shè)隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，若，則成功概率（

）A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8【答案】C【分析】根據(jù)兩點(diǎn)分布概率性質(zhì)可得解.【詳解】隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，，根據(jù)兩點(diǎn)分布概率性質(zhì)可知：，解得，二、多選題9．已知隨機(jī)變量，且，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】由二項(xiàng)分布的期望公式可得A正確；方差公式可得B錯(cuò)誤；由二項(xiàng)分布的概率公式可求C錯(cuò)誤；由期望公式可得D正確.【詳解】A：因?yàn)殡S機(jī)變量，且，所以，故A正確；B：，故B錯(cuò)誤；C：，故C錯(cuò)誤；D：，故D正確；10．某醫(yī)院派出甲、乙、丙、丁四名醫(yī)生奔赴某市的四個(gè)區(qū)參加防疫工作，每名醫(yī)生只能去一個(gè)區(qū)，則下列說法正確的是（

）A．若四個(gè)區(qū)都有人去，則共有24種不同的安排方法B．若恰有一個(gè)區(qū)無人去，則共有144種不同的安排方法C．若甲不去區(qū)，乙不去區(qū)，且每區(qū)均有人去，則共有18種不同的安排方法D．若該醫(yī)院又計(jì)劃向這四個(gè)區(qū)捐贈(zèng)18箱防護(hù)服，且每區(qū)至少發(fā)放3箱，則共有84種不同的安排方法【答案】ABD【分析】全排列可得A正確；先將人員分組為2,1,1，再將三組人員送到三個(gè)地方可得B正確；全排中除去甲去區(qū)，乙去區(qū)，再加上多減的即可判斷C錯(cuò)誤；隔板法，先每個(gè)區(qū)發(fā)2箱，然后使用3塊隔板將剩下的10箱分成4份，且隔板不相鄰，不在兩端，再計(jì)算后可得D正確.【詳解】A：若四個(gè)區(qū)都有人去，則共有種不同的安排方法，故A正確；B：若恰有一個(gè)區(qū)無人去，則共有種不同的安排方法，故B正確；C：若甲不去區(qū)，乙不去區(qū)，且每區(qū)均有人去，則共有種不同的安排方法，故C錯(cuò)誤；D：若該醫(yī)院又計(jì)劃向這四個(gè)區(qū)捐贈(zèng)18箱防護(hù)服，且每區(qū)至少發(fā)放3箱，先每個(gè)區(qū)發(fā)2箱，然后使用3塊隔板將剩下的10箱分成4份，且隔板不相鄰，不在兩端，則共有種不同的安排方法，故D正確；11．若，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)給定條件，利用二項(xiàng)式定理，結(jié)合賦值法逐項(xiàng)計(jì)算判斷即得.【詳解】令，對(duì)于A，由，得，A正確；對(duì)于B，由，得，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，得，因此，C正確；對(duì)于D，，D錯(cuò)誤.12．下列說法中，正確的是（

）A．設(shè)有一個(gè)經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，變量增加1個(gè)單位時(shí)，平均增加2個(gè)單位；B．已知隨機(jī)變量服從超幾何分布，則；C．樣本相關(guān)系數(shù)越大，兩個(gè)變量的線性相關(guān)程度越強(qiáng)，反之，線性相關(guān)程度越弱；D．將4名老師分派到兩個(gè)學(xué)校支教，每個(gè)學(xué)校至少派1人，則共有14種不同的分派方法．【答案】BD【分析】根據(jù)經(jīng)驗(yàn)回歸方程的意義可判斷A的正誤，根據(jù)選項(xiàng)中的參數(shù)可求對(duì)應(yīng)的概率，故可判斷B的正誤,根據(jù)相關(guān)系數(shù)的意義可判斷C的正誤，利用間接法可判斷D的正誤.【詳解】對(duì)A，因?yàn)榛貧w方程的斜率參數(shù)為，故變量增加1個(gè)單位時(shí)，平均減少2個(gè)單位，故A錯(cuò)誤.對(duì)B，因?yàn)殡S機(jī)變量服從超幾何分布，所以，B正確.對(duì)C，樣本相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越大，兩個(gè)變量的線性相關(guān)程度越強(qiáng)，故C錯(cuò)誤.對(duì)D，將4名老師分派到兩個(gè)學(xué)校支教，每個(gè)學(xué)校至少派1人，共有,故D正確.01230.10.1三、填空題13．隨機(jī)變量的分布列如表所示，且，則.【答案】1.5/【分析】根據(jù)題意結(jié)合分布列的性質(zhì)求得，進(jìn)而求期望即可.【詳解】由題意可得：，解得，所以.14．學(xué)校召集高二年級(jí)6個(gè)班級(jí)的部分家長(zhǎng)座談，高二（1）班有2名家長(zhǎng)到會(huì)，其余5個(gè)班級(jí)各有1名家長(zhǎng)到會(huì)，會(huì)上任選3名家長(zhǎng)發(fā)言，則發(fā)言的3名家長(zhǎng)來自3個(gè)不同班級(jí)的可能情況的種數(shù)為【答案】30【分析】方法一：分高二（1）班有家長(zhǎng)發(fā)言和沒有家長(zhǎng)發(fā)言兩種情況求解，再利用加法原理可求得結(jié)果，方法二：先求出7人中任選3人的方法數(shù)，再減去高二（1）班2名家長(zhǎng)都發(fā)言的情況即可.【詳解】法一：若高二（1）班有家長(zhǎng)發(fā)言，共有種，若高二（1）班沒有家長(zhǎng)發(fā)言，共有種，所以發(fā)言的3名家長(zhǎng)來自3個(gè)不同班級(jí)的可能情況的種數(shù)共有+=種.法二：若從7名家長(zhǎng)中任選3人，共有種情況，高二（1）班2名家長(zhǎng)都發(fā)言的情況有種，所以發(fā)言的3名家長(zhǎng)來自3個(gè)不同班級(jí)的可能情況的種數(shù)共有種.15．已知函數(shù)，若，，則實(shí)數(shù)k的最大值是．【答案】【分析】根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為即，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)單調(diào)性與最大值，即可求解.【詳解】由，可得，即，設(shè)，可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，因?yàn)椋?，所以，所以?shí)數(shù)的最大值為.16．在孟德爾豌豆試驗(yàn)中，子二代的基因型為、、，其中為顯性基因，為隱性基因，且這三種基因型的比為.如果在子二代中任意選取顆豌豆作為父本雜交，那么子三代中基因型為的概率是【答案】/0.25【分析】由條件概率與獨(dú)立事件的概念求解即可.【詳解】記事件：子三代中基因型為，由于父本中含時(shí)子三代為的概率為0，故父本基因選擇如下：記事件：選擇的是、，記事件：選擇的是、，記事件：選擇的是、，則，，．在子二代中任取顆豌豆作為父本雜交，分以下三種情況討論：①若選擇的是、，則子三代中基因型為的概率為；②若選擇的是、，則子三代中基因型為的概率為；③若選擇的是、，則子三代中基因型為的概率為．綜上所述，．因此，子三代中基因型為的概率是．四、解答題17．已知函數(shù)，且．(1)求的值及曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最值．【答案】(1)；(2)最小值為，最大值為8【分析】（1）根據(jù)題意，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，又由，解可得的值，進(jìn)而可得的值，由直線的點(diǎn)斜式方程分析可得答案；（2）根據(jù)題意，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，據(jù)此求出函數(shù)的最值即可得答案．【詳解】（1）根據(jù)題意，，則，因?yàn)?，所以．?dāng)時(shí)，，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，化簡(jiǎn)得；（2）由（1）可知，，．故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則函數(shù)最小值為最大值為.18．按照《中華人民共和國環(huán)境保護(hù)法》的規(guī)定，每年生態(tài)環(huán)境部都會(huì)會(huì)同國家發(fā)展改革委等部門共同編制《中國生態(tài)環(huán)境狀況公報(bào)》，并向社會(huì)公開發(fā)布．下表是20172021年五年《中國生態(tài)環(huán)境狀況公報(bào)》中酸雨區(qū)面積約占國土面積的百分比：年份2017年2018年2019年2020年2021年年份代碼123456.45.55.04.83.8(1)求2017—2021年年份代碼與的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；(2)請(qǐng)用樣本相關(guān)系數(shù)說明該組數(shù)據(jù)中與之間的關(guān)系可用一元線性回歸模型進(jìn)行描述，并求出關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；(3)預(yù)測(cè)2024年的酸雨區(qū)面積占國土面積的百分比．（回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為：附：樣本相關(guān)系數(shù)，．【答案】(1)(2)(3)預(yù)測(cè)2024年的酸雨區(qū)面積占國土面積的百分比為2.15%【分析】（1）由表中數(shù)據(jù)結(jié)合題中數(shù)據(jù)，求出相關(guān)數(shù)值，代入相關(guān)系數(shù)，即可得出答案；（2）由（1）知，接近1，即可說明線性相關(guān)關(guān)系極強(qiáng)；根據(jù)（1）中求出的數(shù)據(jù)，即可求出，，進(jìn)而得到回歸直線方程；（3）將代入回歸直線方程，即可預(yù)測(cè)2024年的酸雨區(qū)面積占國土面積的百分比.【詳解】（1）由己知可得，，，由題可列下表：0121.30.4，．（2）由小問1知，與的相關(guān)系數(shù)接近1，所以與之間具有極強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，可用線性回歸模型進(jìn)行描述．由小問1知，，，所求經(jīng)驗(yàn)回歸方程為．（3）令，則，預(yù)測(cè)2024年的酸雨區(qū)面積占國土面積的百分比為2.15%．19．已知的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)只有第五項(xiàng)．(1)求的值；(2)求該展開式中的常數(shù)項(xiàng)．(3)求其展開式中系數(shù)最大的項(xiàng).【答案】(1)(2)(3)1792【分析】（1）由題意可得，求解即可；（2）利用展開式的通項(xiàng)公式，可求常數(shù)項(xiàng)；（3）利用展開式的通項(xiàng)公式，可求系數(shù)最大的項(xiàng).【詳解】（1）因?yàn)檎归_式中只有第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以，展開式共有9項(xiàng)，所以，解得；（2）通項(xiàng)公式為，，當(dāng)時(shí)，則，所以展開式的常數(shù)項(xiàng)為；（3）因?yàn)椋?，所以時(shí)，系數(shù)為負(fù)，所以時(shí)，系數(shù)是，可得系數(shù)分別為，，，，所以當(dāng)時(shí)，系數(shù)最大，最大的項(xiàng)是.20．2024年春節(jié)期間，某超市準(zhǔn)備舉辦一次有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，若顧客一次消費(fèi)達(dá)到400元?jiǎng)t可參加一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)如下：一個(gè)不透明的盒子中裝有30個(gè)質(zhì)地均勻且大小相同的小球，其中10個(gè)紅球，20個(gè)白球，攪拌均勻后，顧客從中隨機(jī)抽取一個(gè)球，且顧客有放回地抽取3次．超市設(shè)計(jì)了兩種抽獎(jiǎng)方案．方案一：若抽到紅球則顧客獲得60元的返金券，若抽到白球則獲得20元的返金券．方案二：若抽到紅球則顧客獲得80元的返金券，若抽到白球則未中獎(jiǎng)．(1)現(xiàn)有兩位顧客均獲得抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，且都按方案一抽獎(jiǎng)，試求這兩位顧客均獲得180元返金券的概率；(2)若某顧客獲得抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)．①試分別計(jì)算他選擇兩種抽獎(jiǎng)方案最終獲得返金券的數(shù)學(xué)期望；②為了吸引顧客消費(fèi)，讓顧客獲得更多金額的返金券，該超市應(yīng)選擇哪一種抽獎(jiǎng)方案進(jìn)行促銷活動(dòng)？【答案】(1)(2)①方案一，方案二；②選擇方案一【分析】（1）方案一中每一次摸到紅球的概率為，每名顧客有放回的抽3次獲180元返金券的概率為，根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率可知兩顧客都獲得180元返金券的概率（2）①分別計(jì)算方案一，方案二顧客獲返金卷的期望，方案一列出分布列計(jì)算即可，方案二根據(jù)二項(xiàng)分布計(jì)算期望即可；②根據(jù)①得出結(jié)論【詳解】（1）選擇方案一，則每一次摸到紅球的概率為，設(shè)“每位顧客獲得180元返金券”為事件A，則，所以兩位顧客均獲得180元返金券的概率，（2）①若選擇抽獎(jiǎng)方案一，則每一次摸到紅球的概率為，每一次摸到白球的概率為.設(shè)獲得返金券金額為X元，則可能的取值為60，100，140，180,則,，所以該顧客獲得返金券金額的數(shù)學(xué)期望為（元），若選擇抽獎(jiǎng)方案二，設(shè)三次摸球的過程中，摸到紅球的次數(shù)為Y，最終獲得返金券的金額為Z元，則，故，所以該顧客獲得返金券金額的數(shù)學(xué)期望為（元）.②即，所以該超市應(yīng)選擇第一種抽獎(jiǎng)方案21．已知函數(shù)．(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)若函數(shù)在處取得極值，且對(duì)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)答案見解析；(2)答案見解析；(3).【分析】（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而分析導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)區(qū)間與單調(diào)區(qū)間；（2）先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)；再分和兩種情況，再每一種情況中借助導(dǎo)數(shù)即可解答；（3）先根據(jù)函數(shù)在處取得極值得出；再將問題“對(duì)，恒成立”轉(zhuǎn)化為“對(duì)，恒成立”；最后構(gòu)造函數(shù)，并利用導(dǎo)數(shù)求出即可解答.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，令可得，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；故遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為.（2）由可得：函數(shù)定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，解得；令，解得，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.綜上可得：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.（3）因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極值，所以，即，解得.此時(shí)，令，解得；令，解得，所以函數(shù)在處取得極值，故.所以.因?yàn)閷?duì)，恒成立，所以對(duì)，恒成立.令，則.令，解得；令，解得，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，則，解得：.所以實(shí)數(shù)b的取值范圍為22．某加盟連鎖店總部對(duì)旗下600個(gè)加盟店中每個(gè)店的日銷售額（單位：百元）進(jìn)行了調(diào)查，如圖是隨機(jī)抽取的50個(gè)加盟店的日銷售額的頻率分布直方圖．若將日銷售額在的加盟店評(píng)定為“四星級(jí)”加盟店，日銷售額在的