專題2.7配方法的應用【八大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1利用配方法求字母的值】 1【題型2利用配方法求代數式的值】 2【題型3利用配方法比較大小】 3【題型4利用配方法進行證明】 4【題型5利用配方法求最值】 5【題型6利用配方法在實數范圍內分解因式】 5【題型7利用配方法確定三角形形狀】 5【題型8利用配方法求幾何圖形面積最值】 6知識點：配方法等號兩邊都就是整式，只含有一個未知數（一元），并且未知數得最高次數就是2（二次）的方程，叫做一元二次方程?！绢}型1利用配方法求字母的值】【例1】（23-24九年級·福建莆田·階段練習）小明在學習配方法時，將關于x的多項式x2?2x+3配方成x?12+2，發(fā)現當x?1取任意一對互為相反數的數時，多項式x2?2x+3的值是相等的．例如：當x?1=±2時，即x=3或?1時，x2?2x+3的值均為6；當x?1=±3時，即于是小明給出一個定義：對于關于x的多項式，若當x?t取任意一對互為相反數的數時，該多項式的值相等，就稱該多項式關于x=t對偶，例如x2?2x+3關于請你結合小明的思考過程，運用此定義解決下列問題：(1)多項式x2?8x+10關于(2)當x=m或9?m時，關于x的多項式x2+2bx+c的值相等，求(3)若整式x2+8x+16x2?4x+4【變式1-1】（23-24九年級·湖北武漢·期末）已知關于x的多項式?x2+mx+4A．1 B．2 C．4 D．5【變式1-2】（23-24九年級·山西呂梁·期中）若關于x的一元二次方程x2?10x+m=0可以通過配方寫成(x?n)2=A．m=25,n=5 B．m=20,n=5 C．m=100【變式1-3】（23-24九年級·湖北武漢·階段練習）無論x為何值，關于x的多項式﹣12x2+3x+m的值都為負數，則常數mA．m＜﹣9 B．m＜﹣92 C．m＜9 D．m＜【題型2利用配方法求代數式的值】【例2】（23-24九年級·浙江嘉興·期末）已知關于x的多項式ax2?2bx+ca≠0，當x=a時，該多項式的值為c?a，則多項式A．3.5 B．3.25 C．3 D．2.75【變式2-1】（23-24九年級·遼寧鞍山·期中）若a，b滿足2a2+b2【變式2-2】（23-24九年級·四川眉山·階段練習）“a2x2∵x?4∴x?4∴x試利用“配方法”解決下列問題：(1)如果4a2+6a+1=b+c4b2(2)已知x2+8x+y【變式2-3】（23-24九年級·重慶忠縣·期末）閱讀下面材料，解決后面的問題：我們知道，如果實數a，b滿足a2+b2=0，那么a=b=0．利用這種思路，對于m解法是：∵m2?2mn+2n即m?n2+n?32=0，∴m?n=0根據這樣的解法，完成：(1)若x2+y(2)若等腰△ABC的兩邊長a，b滿足a2+b(3)若正整數a，b，c滿足不等式a2+b【題型3利用配方法比較大小】【例3】（23-24·河北石家莊·一模）（1）發(fā)現，比較4m與m2①當m=3時，4m②當m=2時，4mm③當m=?3時，4mm（2）論證，無論m取什么值，判斷4m與m2（3）拓展，試通過計算比較．x2+2與【變式3-1】（23-24九年級·福建泉州·期中）已知P＝1113m?2，Q＝m2?1513mA．P＞Q B．P＝Q C．P＜Q D．無法判斷【變式3-2】（23-24·安徽馬鞍山·二模）已知a,b,c為實數，且b+c=5?4a+3a2,c?b=1?2a+a2A．a<b≤c B．b<a≤c C．b≤c<a D．c<a≤b【變式3-3】（23-24九年級·全國·專題練習）閱讀以下材料：利用我們學過的完全平方公式及不等式知識能解決代數式一些問題，如a∵a+12∴a2因此，代數式a2+2a?4根據以上材料，解決下列問題：(1)代數式a2?2a+2的最小值為(2)試比較a2+b(3)已知：a?b=2，ab+c【題型4利用配方法進行證明】【例4】（23-24九年級·四川宜賓·期中）我們已經學習了利用配方法解一元二次方程，其實配方法還有其他重要應用．例如：已知x可取任何實數，試求二次三項式x2解：x2∵無論x取何實數，都有（x+1)2≥0，∴（x+1請利用上述知識解決以下問題：(1)求代數式2x(2)證明：無論x取何實數，二次根式x2【變式4-1】（23-24九年級·浙江·專題練習）用配方法說明，無論x取何值，代數式?2x【變式4-2】（23-24·湖南·模擬預測）已知整式A=4x(1)將整式A分解因式；(2)求證：若x取整數，則A能被4整除．【變式4-3】（23-24九年級·湖南長沙·階段練習）[項目學習]配方法是數學中重要的一種思想方法.它是指將一個式子的某部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個完全平方式的和的方法，這種方法常被用到代數式的變形中，并結合非負數的意義來解決一些問題．例如，把二次三項式x2解：x2我們定義：一個整數能表示成a2+b2（a，b是整數）的形式，即兩個數的平方和形式，則稱這個數為“雅美數”例如，5是“雅美數”．理由：因為5=22+12(1)[問題解決]4，6，7，8四個數中的“雅美數”是______．(2)若二次三項式x2?6x+13（x是整數）是“雅美數”，可配方成x?m2+n（m，(3)[問題探究]已知S=x2+4y2+8x?12y+k（x，y是整數，k是常數且x≠?4，(4)[問題拓展]已知實數M，N是“雅美數”，求證：M?N是“雅美數”．c2A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．無法確定【變式7-2】（23-24九年級·全國·課后作業(yè)）已知a，b，c是△ABC的三邊，若a，b，c滿足a2－6a＋b2－8b＋c?5＋25＝0，則△ABC是三角形；若a，b，c滿足a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0，則△ABC是三角形．【變式7-3】（23-24九年級·全國·單元測試）先閱讀，再解決問題，例題：若m2+2mn+2n解：∵m∴(∴m+n∴n=3，(1)若x2+2y(2)已知ΔABC的三邊長a，b，c都是正整數，且滿足a2+(3)根據以上的方法是說明代數式：x2【題型8利用配方法求幾何圖形面積最值】【例8】（23-24九年級·福建泉州·階段練習）閱讀下面內容：我們已經學習了《二次根式》和《乘法公式》，聰明的你可以發(fā)現：當a>0，b>0時，∵a?b2=a?2ab(1)當x>0時，則x+1(2)）若y=x2+7x+11(3)如圖，四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，△AOB、△COD的面積分別為4和9，求四邊形

【變式8-1】（23-24九年級·湖北武漢·階段練習）配方(1)若x2?6x+7=(x+m)2+n≥n(2)如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=12，BC=24，動點P從點A開始沿邊AB向點B以2cm/s的速度移動，動點Q從點B開始沿邊BC以4cm/s的速度移動.如果P、Q兩點分別從A、B兩點同時出發(fā)，同時停止運動．設動點運動時間為t(0<t≤6)，當t為何值時，(3)式子3?x【變式8-2】（23-24九年級·廣東佛山·階段練習）如圖，某農戶準備用長34米的鐵柵欄，一邊利用墻，其余邊用鐵柵欄圍成長方形羊圈ABCD和一個邊長為1米的正方形狗屋CEFG．設AB=x米．(1)請用含x的代數式表示BC的長（直接寫出結果）；(2)設山羊活動范圍即圖中陰影部分的面積為S平方米，請用含x的代數式表示S；（寫出過程）(3)求出山羊活動范圍面積S的最大值．【變式8-3】（23-24九年級·浙江·期中）配方法在初中數學中運用非常廣泛，可以求值，因式分解，求最值等．如：求代數式的最值：x2+2x+2=(x+1)（1）求代數式x2（2）?2x（3）求x2（4）a2（5）三角ABE和三角形DEC的面積分別為4和9，求四邊形ABCD的面積最小值．專題2.7配方法的應用【八大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1利用配方法求字母的值】 1【題型2利用配方法求代數式的值】 4【題型3利用配方法比較大小】 7【題型4利用配方法進行證明】 10【題型5利用配方法求最值】 14【題型6利用配方法在實數范圍內分解因式】 17【題型7利用配方法確定三角形形狀】 18【題型8利用配方法求幾何圖形面積最值】 21知識點：配方法等號兩邊都就是整式，只含有一個未知數（一元），并且未知數得最高次數就是2（二次）的方程，叫做一元二次方程?！绢}型1利用配方法求字母的值】【例1】（23-24九年級·福建莆田·階段練習）小明在學習配方法時，將關于x的多項式x2?2x+3配方成x?12+2，發(fā)現當x?1取任意一對互為相反數的數時，多項式x2?2x+3的值是相等的．例如：當x?1=±2時，即x=3或?1時，x2?2x+3的值均為6；當于是小明給出一個定義：對于關于x的多項式，若當x?t取任意一對互為相反數的數時，該多項式的值相等，就稱該多項式關于x=t對偶，例如x2?2x+3關于請你結合小明的思考過程，運用此定義解決下列問題：(1)多項式x2?8x+10關于(2)當x=m或9?m時，關于x的多項式x2+2bx+c的值相等，求(3)若整式x2+8x+16x2?4x+4【答案】(1)x=4(2)b=?4.5(3)n=?1【分析】本題考查了配方法的應用，完全平方公式，整式乘法，正確理解新定理，判斷出對稱軸是解題關鍵．（1）將多項式配方得x?42（2）將多項式配方得x+b2?b2+c（3）結合完全平方公式對多項式進行配方，再根據新定義判定即可．【詳解】（1）解：∵x2∴當x?4取任意一對互為相反數的數時，該多項式的值相等，∴多項式x2?8x+10關于故答案為：x=4（2）解：∵x∴當x+b取任意一對互為相反數的數時，該多項式的值相等，∵當x=m或9?m時，關于x的多項x2∴m+b解得：b=?4.5；（3）解：x====∵整式x2+8x+16x∴n=?1．【變式1-1】（23-24九年級·湖北武漢·期末）已知關于x的多項式?x2+mx+4A．1 B．2 C．4 D．5【答案】B【分析】利用配方法將?x【詳解】解：?故m2解得：m=±2.故選B.【點睛】本題考查了配方法的運用，掌握配方法是解題的關鍵.【變式1-2】（23-24九年級·山西呂梁·期中）若關于x的一元二次方程x2?10x+m=0可以通過配方寫成(x?n)2=A．m=25,n=5 B．m=20,n=5 C．m=100【答案】A【分析】根據完全平方公式展開即可得解；【詳解】∵(x?n)2∴x2又∵一元二次方程x2∴2n=10，m=n∴n=5，m=25；故選A．【點睛】本題主要考查了一元二次方程配方法的應用，準確分析計算是解題的關鍵．【變式1-3】（23-24九年級·湖北武漢·階段練習）無論x為何值，關于x的多項式﹣12x2+3x+m的值都為負數，則常數mA．m＜﹣9 B．m＜﹣92 C．m＜9 D．m＜【答案】B【分析】首先判斷出：﹣12x2+3x+m＝﹣12（x﹣3）2+m+92，然后根據偶次方的非負性質，可得-12（x﹣3）2+m+92≤m+92，再根據無論x為何值，﹣12x2+3x+m【詳解】解：∵﹣12x2+3x+m＝﹣12（x2﹣6x+9）+m+92＝﹣12（x﹣3）2∵﹣12（x﹣3）2∴﹣12（x﹣3）2+m+92≤m+∵無論x為何值，﹣12x2+3x+m∴m+92解得m＜﹣92故選：A．【點睛】本題考查的知識點是配方法的應用，將多項式進行配方是解此題的關鍵．【題型2利用配方法求代數式的值】【例2】（23-24九年級·浙江嘉興·期末）已知關于x的多項式ax2?2bx+ca≠0，當x=a時，該多項式的值為c?a，則多項式A．3.5 B．3.25 C．3 D．2.75【答案】A【分析】本題考查了代數式及配方法，不等式及偶次方的非負性，熟練掌握知識點是解題的關鍵．先將x=a代入原式，可整理得a2=2b?1>0，再代入到a2【詳解】∵當x=a時，該多項式的值為c?a，∴a3整理得a3?2ab+a=0∵a≠0，∴a2?2b+1=0，即∴b>1∴a2四個選項中，只有A符合，故選：A．【變式2-1】（23-24九年級·遼寧鞍山·期中）若a，b滿足2a2+b2【答案】?4【分析】已知等式利用完全平方公式配方后，利用非負數的性質求出a，b的值，代入原式計算即可得到結果．【詳解】解：已知等式變形得：a2即a+b2∵a+b2≥0，∴a+b=0，a?2=0，解得：a=2，b=?2，則a+3b=2?6=?4．故答案為：?4．【點睛】此題考查了配方法的應用，以及非負數的性質，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．【變式2-2】（23-24九年級·四川眉山·階段練習）“a2x2∵x?4∴x?4∴x試利用“配方法”解決下列問題：(1)如果4a2+6a+1=b+c4b2(2)已知x2+8x+y【答案】(1)?(2)?5【分析】（1）將方程組的三個方程相加，變形后再根據完全平方式的特征求解；（2）先配方，再根據非負數的性質求值即可；【詳解】（1）4①+②+③，得：4∴4∴2a+1∴2a+1∴2a+1=0,2b+1=0,2c+1=0,∴a=?∴a+b+c=?1故答案為：?3【點睛】本題考查配方法的應用，正確配方，充分利用平方的非負性是求解本題的關鍵．【變式2-3】（23-24九年級·重慶忠縣·期末）閱讀下面材料，解決后面的問題：我們知道，如果實數a，b滿足a2+b2=0，那么a=b=0．利用這種思路，對于m解法是：∵m2?2mn+2n即m?n2+n?32=0，∴m?n=0根據這樣的解法，完成：(1)若x2+y(2)若等腰△ABC的兩邊長a，b滿足a2+b(3)若正整數a，b，c滿足不等式a2+b【答案】(1)x+3y=?1；(2)△ABC的周長為10或11；(3)a+b+c=6．【分析】本題考查的是配方法的應用、等腰三角形的概念、三角形的三邊關系，靈活運用配方法是解題的關鍵．（1）利用配方法把原式變形，根據偶次方的非負性分別求出x、y，進而求出x+3y；（2）利用配方法把原式變形，根據偶次方的非負性分別求出a、b，根據等腰三角形的概念解答即可；（3）利用配方法把原式變形，根據偶次方的非負性以及有理數的平方、分情況討論求出a、b、c，計算即可．【詳解】（1）解：∵x2∴x+42∴x=?4，y=1，∴x+3y=?1；（2）解：∵a2∴a?32∴a=3，b=4．∵a，b是等腰△ABC的兩邊長，∴當a是腰，b是底時，△ABC的周長為3+3+4=10；當b是腰，a是底時，△ABC的周長為4+4+3=11．綜上所述：△ABC的周長為10或11；（3）解：∵a2∴4a∴3a?2∵a，b，c為正整數，∴c?3=0，即c=3，而a?2=0或±1，即a=2或1或3，當a=1時，必有a?2b=0，則b=0.5，與題意不符，舍去，當a=3時，必有a?2b=0，則b=1.5，與題意不符，舍去，∴a=2，b=1，c=3，∴a+b+c=6．【題型3利用配方法比較大小】【例3】（23-24·河北石家莊·一模）（1）發(fā)現，比較4m與m2①當m=3時，4m②當m=2時，4mm③當m=?3時，4mm（2）論證，無論m取什么值，判斷4m與m2（3）拓展，試通過計算比較．x2+2與【答案】（1）<，=，<；（2）總有4m≤m2【分析】此題考查了配方法的應用，不等式的性質，用到的知識點是不等式的性質、完全平方公式、非負數的性質，關鍵是根據兩個式子的差比較出數的大?。?）當m=3時，當m=2時，當m=?3時，分別代入計算，再進行比較得出結論填空即可；（2）根據(m2+4)?4m=(m?2)2≥0，即可得出無論m取什么值，判斷（3）拓展：先求出x2+2?2x【詳解】解：（1）①當m=3時，4m=12，m2+4=13，則②當m=2時，4m=8，m2+4=8，則③當m=?3時，4m=?12，m2+4=13，則故答案為：<；=；<；（2）無論m取什么值，判斷4m與m2+4有理由如下：∵(m∴無論取什么值，總有4m≤m（3）拓展：x=?=?(=?(x+2)故x2【變式3-1】（23-24九年級·福建泉州·期中）已知P＝1113m?2，Q＝m2?1513mA．P＞Q B．P＝Q C．P＜Q D．無法判斷【答案】C【分析】用做差法，寫出P-Q的形式，利用配方法把原式變形，根據偶次方的非負性解答即可．【詳解】解：∵P＝1113m?2，Q＝∴Q﹣P＝(m2?1513m)?(1113m?2)＝m2則P＜Q，故選：D．【點睛】本題考查的是用做差發(fā)比較大小以及配方法的應用，掌握完全平方公式、靈活運用配方法是解題的關鍵．【變式3-2】（23-24·安徽馬鞍山·二模）已知a,b,c為實數，且b+c=5?4a+3a2,c?b=1?2a+a2A．a<b≤c B．b<a≤c C．b≤c<a D．c<a≤b【答案】A【分析】先根據已知等式求出b=a2?a+2,c=2【詳解】∵b+c=5?4a+3a∴b=a∴b?a=a=a=(a?1)∴a<b，又∵c?b=1?2a+a∴b≤c，∴a<b≤c，故選：A．【點睛】本題考查了完全平方公式的應用，熟練掌握完全平方公式是解題關鍵．【變式3-3】（23-24九年級·全國·專題練習）閱讀以下材料：利用我們學過的完全平方公式及不等式知識能解決代數式一些問題，如a∵a+12∴a2因此，代數式a2+2a?4根據以上材料，解決下列問題：(1)代數式a2?2a+2的最小值為(2)試比較a2+b(3)已知：a?b=2，ab+c【答案】(1)1(2)a2(3)2【分析】（1）將代數式a2（2）作差并配方，可進行大小比較；（3）變形后得：a=b+2，【詳解】（1）解：a2∵a?12∴a?12即代數式a2?2a+2的最小值為故答案為：1；（2）a2a==a∵a?32∴a2（3）∵a?b=2，∴a=b+2，∵ab+c∴bb+2∴b+12∴b+1=0，∴b=?1，∴a=?1+2=1，∴a+b+c=1?1+2=2．【點睛】本題考查非負數的性質、配方法的應用，解題的關鍵是熟練掌握配方法，利用配方法可以確定最值問題，屬于中考?？碱}型．【題型4利用配方法進行證明】【例4】（23-24九年級·四川宜賓·期中）我們已經學習了利用配方法解一元二次方程，其實配方法還有其他重要應用．例如：已知x可取任何實數，試求二次三項式x2解：x2∵無論x取何實數，都有（x+1)2≥0，∴（x+1請利用上述知識解決以下問題：(1)求代數式2x(2)證明：無論x取何實數，二次根式x2【答案】(1)代數式2x(2)見解析【分析】（1）先把2x2+4x+10（2）先把被開方數x2+x+2通過配方化為【詳解】（1）解：2x2+4x+10=∵無論x取何實數，都有（x+1)2≥0∴代數式2x（2）證明：x2+x+2∵無論x取何實數，都有（x+12∴無論x取何實數，二次根式x2【點睛】本題考查的是配方法的應用，代數式的最值，偶次方的非負性的應用，二次根式有意義的條件，掌握以上基礎知識是解本題的關鍵．【變式4-1】（23-24九年級·浙江·專題練習）用配方法說明，無論x取何值，代數式?2x【答案】見解析【分析】本題主要考查配方的應用，將?2x2+8x?12【詳解】證明：?2x∵(x?2)∴?2(x?2)∴?2(x?2)∴無論x為何實數，代數式?2x【變式4-2】（23-24·湖南·模擬預測）已知整式A=4x(1)將整式A分解因式；(2)求證：若x取整數，則A能被4整除．【答案】(1)4(x+3)(x?2)；(2)證明見解析．【分析】（1）利用配方法把4x（2）利用（1）的結果即可求證；本題考查了因式分解及其應用，掌握因式分解的方法是解題的關鍵．【詳解】（1）解：A=4=(2x+1)=[(2x+1)+5][(2x+1)?5]，=4(x+3)(x?2)；（2）證明：∵x取整數，∴x+3和x?2均為整數，又由（1）可知，A=4(x+3)(x?2)，∴A能被4整除．【變式4-3】（23-24九年級·湖南長沙·階段練習）[項目學習]配方法是數學中重要的一種思想方法.它是指將一個式子的某部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個完全平方式的和的方法，這種方法常被用到代數式的變形中，并結合非負數的意義來解決一些問題．例如，把二次三項式x2解：x2我們定義：一個整數能表示成a2+b2（a，b是整數）的形式，即兩個數的平方和形式，則稱這個數為“雅美數”例如，5是“雅美數”．理由：因為5=22+12(1)[問題解決]4，6，7，8四個數中的“雅美數”是______．(2)若二次三項式x2?6x+13（x是整數）是“雅美數”，可配方成x?m2+n（m，(3)[問題探究]已知S=x2+4y2+8x?12y+k（x，y是整數，k是常數且x≠?4，(4)[問題拓展]已知實數M，N是“雅美數”，求證：M?N是“雅美數”．【答案】(1)4，8(2)12(3)k=25(4)見解析【分析】（1）根據“雅美數”的定義判斷即可；（2）利用配方法進行轉化，然后求得對應系數的值；（3）配方后根據非負數的性質可得x、y的值，進行計算即可；（4）利用完全平方公式把原式變形，根據“雅美數”的定義證明結論．【詳解】（1）4是“雅美數”，理由：因為4=28是“雅美數”，理由：因為8=2故答案為：4，8；（2）∵x2∴m=3，n=4，∴mn=12，故答案為：12；（3）S=又∵x≠?4，y≠∴x+42≠0∴k?25=0，∴k=25；（4）因為M，N為“雅美數”，則令M=a2+b2，N=c2+d∴M?N===又∵a，b，c，d為整數∴ac+bd，bc?ad均為整數∴M?N是“雅美數”．【點睛】本題考查的是配方法的應用，掌握完全平方公式、偶次方的非負性是解題關鍵．【題型5利用配方法求最值】【例5】（23-24九年級·浙江寧波·期中）新定義：關于x的一元二次方程a1(x?c)2+k=0與a2(x?c)2+k=0稱為“同族二次方程”．例如：5(x?6)2+7=0與6【答案】2024【分析】此題考查了配方法的應用，非負數的性質，以及一元二次方程的定義，弄清題中的新定義是解本題的關鍵．利用“同族二次方程”定義列出關系式，再利用多項式相等的條件列出關于m與n的方程組，求出方程組的解得到m與n的值，進而利用非負數的性質確定出代數式的最大值即可．【詳解】解：∵關于x的一元二次方程(m+2)x2+(n?4)x+8=0∴(m+2)x∴(m+2)x∴n?4=?2(m+2)m+3=8解得m=5n=?10∴m=5=5(x?1)∵5(x?1)∴5(x?1)∴mx故答案為：2024．【變式5-1】（23-24九年級·江蘇南通·階段練習）已知實數x，y滿足2x+y=4，則代數式xy?2x+2y?4的最大值為．【答案】9【分析】將y=4?2x代入代數式，利用配方法可得?2(x?【詳解】解：由題意得：y=4?2x，將y=4?2x代入代數式得：xy?2x+2y?4=x(4?2x)?2x+2(4?2x)?4=?2=?2=?2(x?∵2(x?∴?2(x?∴?2(x?∴原代數式的最大值為：92故答案為：92【點睛】本題考查了配方法的應用、不等式的性質及平方的非負性，熟練掌握配方法是解題的關鍵．【變式5-2】（23-24·河北石家莊·一模）已知A=x2+6x+n2A．B?A的最大值是0 B．B?A的最小值是?1C．當B=2A時，x為正數 D．當B=2A時，x為負數【答案】B【分析】利用配方法表示出B?A，以及B=2A時，用含n的式子表示出x，確定x的符號，進行判斷即可．【詳解】解：∵A=x2+6x+∴B?A=2=2==x?1∴當x=1時，B?A有最小值?1；當B=2A時，即：2x∴2x∴?8x=n∴x≤0，即x是非正數；故選項A,C,D錯誤，選項B正確；故選B．【點睛】本題考查整式加減運算，配方法的應用．熟練掌握合并同類項，以及配方法，是解題的關鍵．【變式5-3】（23-24九年級·湖北黃岡·自主招生）設實數x，y，z滿足x+y+z=1，則M=xy+2yz+3zx的最大值為．【答案】3【分析】先將已知等式變形可得z=1?x?y，然后代入M中，利用配方法將右側配方，最后利用平方的非負性即可求出結論．【詳解】解：∵x+y+z=1∴z=1?x?y∴M=xy+2yz+3zx=xy+2y=xy+2y?2xy?2=?3=?2=?2=?2=?2=?2∵?2∴?2∴M=xy+2yz+3zx的最大值為3故答案為：34【點睛】此題考查的是配方法的應用和非負性的應用，掌握完全平方公式和平方的非負性是解決此題的關鍵．【題型6利用配方法在實數范圍內分解因式】【例6】（23-24九年級·上海黃浦·期中）在實數范圍內分解因式：x2+6x?5=【答案】x+3+【分析】先利用配方法進行整理，再根據平方差公式進行因式分解即可。【詳解】解：x2根據平方差公式可得x+32故x2故答案為：x+3+14【點睛】本題考查實數范圍內的因式分解，注意在實數范圍內進行因式分解的式子的結果一般要分到出現無理數為止是解題的關鍵．【變式6-1】（23-24九年級·上海普陀·期中）在實數范圍內因式分解：2x2【答案】2【分析】根據配方法化為平方差的形式，進而因式分解，即可求解．【詳解】解：2=2=2=2=2x?故答案為：2x?【點睛】本題考查了實數范圍內因式分解，熟練掌握配方法是解題的關鍵．【變式6-2】（23-24九年級·上海浦東新·期中）在實數范圍內分解因式：2x【答案】(【分析】先利用配方法，再利用平方差公式即可得．【詳解】解：原式=2=2(=2==(2【點睛】本題考查了用配方法和平方差公式法進行因式分解，因式分解的常用方法有：配方法、公式法、提取公因式法、十字相乘法等．【變式6-3】（23-24九年級·上海浦東新·階段練習）在實數范圍內因式分解：2【答案】2【分析】先配方，再采用平方差公式進行分解.【詳解】解：原式=2=2=2=2=2=2【點睛】本題考查實數范圍內分解因式，熟練掌握配方法與平方差公式是解題的關鍵.【題型7利用配方法確定三角形形狀】【例7】（23-24九年級·全國·課后作業(yè)）選取二次三項式ax2+bx+c(a≠0)中的兩項，配成完全平方式的過程叫作配方．例如①選取二次項和一次項配方：x2?4x+2=(x?2)2根據上述材料解決下面問題：（1）寫出x2（2）已知x2+y（3）已知a、b、c為三條線段，且滿足14a2+b2+c【答案】（1）詳見解析；（2）1；（3）不能圍成三角形，理由詳見解析．【分析】（1）根據配方的概念，分別對一次項和常數項進行配方；（2）根據x2（3）將原式進行轉換，得出a、b、c之間的等量關系，從而進行判斷．【詳解】（1）x2?8x+4=x（2）∵x∴(x+∴x=?1，y=2．∴x（3）不能，理由如下：原式變形：14a∴(4a即(2a?b)2∴b=2a，c=3a，3b=2c．∴a+b=3a=c．∴a、b、c三條線段不能圍成三角形．【點睛】本題考查了整式的運算，根據題意理解新概念并掌握整式的運算，求解出未知數或者他們之間的等量關系是解題的關鍵．【變式7-1】（23-24九年級·江蘇·單元測試）已知三角形三邊長為a、b、c，且滿足a2?4b=7，b2A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．無法確定【答案】A【詳解】解：∵a2﹣4b=7，b2﹣4c=﹣6，c2﹣6a=﹣18，∴a2﹣4b+b2﹣4c+c2﹣6a=7﹣6﹣18，整理得：a2﹣6a+9+b2﹣4b+4+c2﹣4c+4=0，即（a﹣3）2+（b﹣2）2+（c﹣2）2=0，∴a=3，b=2，c=2，∴此三角形為等腰三角形．故選A．點睛：本題考查了因式分解的應用，解題的關鍵是正確的進行因式分解．【變式7-2】（23-24九年級·全國·課后作業(yè)）已知a，b，c是△ABC的三邊，若a，b，c滿足a2－6a＋b2－8b＋c?5＋25＝0，則△ABC是三角形；若a，b，c滿足a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0，則△ABC是三角形．【答案】直角;等邊.【分析】把25分成9、16，利用配方法把a2－6a＋b2－8b＋c?5＋25＝0改寫為(a-3)2+(b-4)2+c?5=0，利用非負數的性質求出a、b、c的值，根據勾股定理逆定理判斷即可；利用配方法把a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0改寫為(a-b)2+(b-c)2+(a-c)【詳解】∵a2－6a＋b2－8b＋c?5∴(a-3)2+(b-4)2+c?5∴a=3，b=4，c=5，∵32+42=52，∴△ABC是直角三角形；∵a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0，∴(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0,∴a=b，b=c，a=c，∴a=b=c，∴△ABC是等邊三角形.故答案為直角；等邊.【點睛】此題考查了配方法的應用、勾股定理逆定理、非負數的性質,解題的關鍵是注意配方法的步驟,在變形的過程中不要改變式子的值.【變式7-3】（23-24九年級·全國·單元測試）先閱讀，再解決問題，例題：若m2+2mn+2n解：∵m∴(∴m+n∴n=3，(1)若x2+2y(2)已知ΔABC的三邊長a，b，c都是正整數，且滿足a2+(3)根據以上的方法是說明代數式：x2【答案】(1)14(2)△ABC是等邊三角形；(3)答案見解析．【分析】（1）將原式配方得(x-y)2（2）將原式配方得(a-3)2+(b-3)（3）利用配方法可以對式子x2【詳解】（1）解：x2∴x-y∴x∴x（2）解：a==0，∴a∴ΔABC（3）解：∵==(故x2【點睛】本題考查配方法的應用、非負數的性質：絕對值、偶次方，解題的關鍵是明確如何運用配方法化簡題目中所求的問題，根據三角形的三邊可以判斷三角形的形狀．【題型8利用配方法求幾何圖形面積最值】【例8】（23-24九年級·福建泉州·階段練習）閱讀下面內容：我們已經學習了《二次根式》和《乘法公式》，聰明的你可以發(fā)現：當a>0，b>0時，∵a?b2=a?2ab(1)當x>0時，則x+1(2)）若y=x2+7x+11(3)如圖，四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，△AOB、△COD的面積分別為4和9，求四邊形

【答案】(1)2；(2)y最小值為4；(3)25．【分析】（1）當x>0時，按照公式a+b