2024-2025學年高中數(shù)學第1章三角函數(shù)1.4三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.4.2第2課時正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)性與最值（教師用書）教案新人教A版必修4課題：科目：班級：課時：計劃1課時教師：單位：一、教學內(nèi)容分析本節(jié)課的主要教學內(nèi)容是高中數(shù)學第1章三角函數(shù)1.4節(jié)中的1.4.2小節(jié)，重點探討正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)性與最值。教學內(nèi)容與學生已有知識的聯(lián)系在于，學生在之前的學習中掌握了正弦、余弦函數(shù)的基本概念、圖像及周期性等性質(zhì)，本節(jié)課將在此基礎上進一步研究這兩個函數(shù)的單調(diào)遞增與遞減區(qū)間，以及它們在特定區(qū)間內(nèi)的最大值和最小值。通過本節(jié)課的學習，學生能夠深化對正弦、余弦函數(shù)圖像與性質(zhì)的理解，并提高解決實際問題的能力。二、核心素養(yǎng)目標本節(jié)課的核心素養(yǎng)目標旨在培養(yǎng)學生以下能力：通過分析正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)性與最值，提升學生的數(shù)形結(jié)合思維，增強他們對函數(shù)圖像與性質(zhì)之間關系的理解，提高數(shù)據(jù)分析與解決問題的能力。同時，通過探索函數(shù)的單調(diào)性及最值，激發(fā)學生的邏輯推理能力，培養(yǎng)他們從特殊到一般、從具體到抽象的數(shù)學思維方式，進一步加強數(shù)學抽象、數(shù)學建模和數(shù)學運算等學科核心素養(yǎng)。三、教學難點與重點1.教學重點：

-正弦、余弦函數(shù)單調(diào)區(qū)間的判定及其應用。

-正弦、余弦函數(shù)最值的求解及其在具體問題中的運用。

-利用單位圓和三角函數(shù)的定義，理解函數(shù)單調(diào)性與最值的關系。

例如，通過分析正弦函數(shù)在0到π和π到2π的單調(diào)性，強調(diào)其在π/2處取得最大值，而在3π/2處取得最小值；同理，對于余弦函數(shù)，在0到π/2和3π/2到2π的單調(diào)性，以及在π/2和3π/2處取得最值。

2.教學難點：

-理解并掌握正弦、余弦函數(shù)單調(diào)性的證明過程，特別是當角度跨過π/2或π時單調(diào)性的轉(zhuǎn)變。

-能夠在給定區(qū)間內(nèi)正確求解正弦、余弦函數(shù)的最值，特別是當區(qū)間邊界為函數(shù)的極值點時的情況。

-將單調(diào)性與最值的理論知識應用于解決實際問題時，如何建立數(shù)學模型并進行有效的數(shù)學運算。

例如，學生可能會在確定含有π/2或π的區(qū)間內(nèi)函數(shù)的單調(diào)性時感到困惑，或者在求解如“求sinx在[0,π]上的最大值和最小值”這類問題時，不能正確地將理論應用到實際求解中。教師需要針對這些難點，通過圖示、例題和反復練習，幫助學生克服這些難點。四、教學方法與策略1.選擇講授與討論相結(jié)合的教學方法，結(jié)合學生的認知特點，通過講解正弦、余弦函數(shù)單調(diào)性與最值的理論知識，引導學生參與課堂討論，加深理解。

2.設計具體教學活動，如小組合作探究，讓學生通過繪制函數(shù)圖像、分析單調(diào)區(qū)間和最值，進行案例研究，提高學生的參與度和互動性。

3.利用多媒體教學工具，如幾何畫板或數(shù)學軟件，動態(tài)展示正弦、余弦函數(shù)的圖像變化，幫助學生直觀理解單調(diào)性和最值的概念。

4.通過角色扮演或數(shù)學游戲等形式，激發(fā)學生學習興趣，如設置“函數(shù)偵探”游戲，讓學生在尋找函數(shù)最值的過程中掌握知識。同時，結(jié)合課本例題，組織學生進行項目導向?qū)W習，提高實際問題解決能力。五、教學實施過程1.課前自主探索

-教師活動：

發(fā)布預習任務：通過學校在線平臺，發(fā)布關于正弦、余弦函數(shù)單調(diào)性與最值的預習資料，明確預習目標和要求。

設計預習問題：圍繞正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)性判定和最值求解，設計具有啟發(fā)性的問題，引導學生自主思考。

監(jiān)控預習進度：通過平臺數(shù)據(jù)跟蹤學生的學習進度，及時給予指導。

-學生活動：

自主閱讀預習資料：學生按照要求，閱讀預習資料，初步理解正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)性與最值概念。

思考預習問題：學生針對預習問題進行獨立思考，如“如何判斷正弦函數(shù)的單調(diào)性？”記錄自己的理解。

提交預習成果：學生將預習筆記、思維導圖或疑問提交至平臺。

-教學方法/手段/資源：

自主學習法：培養(yǎng)學生的自主學習能力。

信息技術手段：利用在線平臺共享預習資源，提高預習效率。

-作用與目的：

幫助學生提前接觸新課內(nèi)容，為課中學習打下基礎。

培養(yǎng)學生的自主學習和獨立思考能力。

2.課中強化技能

-教師活動：

導入新課：通過實際生活中的例子，如音樂節(jié)拍與周期性，引出正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)性與最值。

講解知識點：詳細講解正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)性判定和最值求解方法，結(jié)合圖像和實例。

組織課堂活動：設計小組討論，讓學生分析特定區(qū)間內(nèi)函數(shù)的單調(diào)性和最值。

解答疑問：及時解答學生在學習過程中遇到的問題。

-學生活動：

聽講并思考：學生認真聽講，積極思考函數(shù)單調(diào)性與最值的判定方法。

參與課堂活動：在小組討論中，學生共同分析函數(shù)圖像，確定單調(diào)性和最值。

提問與討論：學生針對不懂的問題提出疑問，參與課堂討論。

-教學方法/手段/資源：

講授法：通過講解和實例，幫助學生理解知識點。

實踐活動法：通過小組討論，讓學生在實踐中掌握技能。

合作學習法：培養(yǎng)學生的團隊合作和溝通能力。

-作用與目的：

加深學生對正弦、余弦函數(shù)單調(diào)性與最值的理解。

通過實踐活動，培養(yǎng)學生的實際應用能力。

通過合作學習，提高學生的團隊協(xié)作能力。

3.課后拓展應用

-教師活動：

布置作業(yè)：根據(jù)本節(jié)課內(nèi)容，布置相關的練習題，鞏固學習效果。

提供拓展資源：推薦相關的學習資料，如高級數(shù)學視頻講座、學術文章等。

反饋作業(yè)情況：及時批改作業(yè)，給予學生反饋。

-學生活動：

完成作業(yè)：學生認真完成作業(yè)，鞏固課堂所學。

拓展學習：利用拓展資源，深入學習正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)和應用。

反思總結(jié)：學生對自己的學習過程進行反思，提出改進建議。

-教學方法/手段/資源：

自主學習法：鼓勵學生自主完成作業(yè)和拓展學習。

反思總結(jié)法：引導學生進行自我反思和總結(jié)。

-作用與目的：

鞏固學生對正弦、余弦函數(shù)單調(diào)性與最值的知識。

通過拓展學習，拓寬學生的知識面。

通過反思總結(jié)，幫助學生發(fā)現(xiàn)不足，促進自我提升。六、教學資源拓展1.拓展資源：

-相關教材章節(jié)：高中數(shù)學教材必修4第1章三角函數(shù)相關章節(jié)，深入理解三角函數(shù)的性質(zhì)和應用。

-學術論文：選擇一些關于三角函數(shù)在工程、物理等領域應用的學術論文，幫助學生了解三角函數(shù)在實際問題中的運用。

-數(shù)學競賽題目：收集一些包含正弦、余弦函數(shù)單調(diào)性與最值問題的數(shù)學競賽題目，提升學生的解題能力和思維水平。

-歷年高考題型：整理近幾年的高考數(shù)學題型中與三角函數(shù)相關的問題，讓學生熟悉考試的熱點和難點。

-多媒體資源：尋找一些視頻講座或動畫，直觀展示正弦、余弦函數(shù)的圖像變化和單調(diào)性、最值的概念。

2.拓展建議：

-鼓勵學生閱讀教材相關章節(jié)，鞏固基礎知識，特別是三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)。

-引導學生閱讀學術論文，了解三角函數(shù)在現(xiàn)實生活中的應用，如信號處理、機械振動等領域。

-組織學生參加數(shù)學競賽，通過解決具有挑戰(zhàn)性的問題，提高他們對三角函數(shù)單調(diào)性與最值的理解和應用能力。

-安排學生對歷年高考題型進行練習，幫助他們掌握考試技巧和解題方法。

-推薦學生觀看多媒體資源，如視頻講座和動畫，以便更直觀地理解抽象的數(shù)學概念。七、課后作業(yè)為了鞏固本節(jié)課關于正弦、余弦函數(shù)單調(diào)性與最值的知識，特布置以下課后作業(yè)：

1.計算題：

求解以下函數(shù)在給定區(qū)間上的最值。

（1）f(x)=sin(x)，區(qū)間為[0,π]；

（2）f(x)=cos(x)，區(qū)間為[π/2,3π/2]；

（3）f(x)=2sin(x)+cos(x)，區(qū)間為[0,2π]。

答案：

（1）最大值為sin(π/2)=1，最小值為sin(π)=0；

（2）最大值為cos(π/2)=0，最小值為cos(3π/2)=0；

（3）最大值為3，最小值為-3。

2.分析題：

判斷以下函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，并說明原因。

（1）f(x)=sin(x)，區(qū)間為[π/2,3π/2]；

（2）f(x)=cos(x)，區(qū)間為[0,π]；

（3）f(x)=2sin(x)+cos(x)，區(qū)間為[π/4,5π/4]。

答案：

（1）在[π/2,3π/2]上，sin(x)是減函數(shù)，因為在這個區(qū)間內(nèi)，隨著x的增大，sin(x)的值逐漸減?。?/p>

（2）在[0,π]上，cos(x)是減函數(shù)，因為在這個區(qū)間內(nèi)，隨著x的增大，cos(x)的值逐漸減??；

（3）在[π/4,5π/4]上，2sin(x)+cos(x)是增函數(shù)，因為在這個區(qū)間內(nèi)，隨著x的增大，函數(shù)的值逐漸增大。

3.應用題：

某物體做簡諧運動，其位移x（單位：米）隨時間t（單位：秒）的變化規(guī)律為x=sin(πt/2)。求：

（1）物體在前3秒內(nèi)的最大位移和最小位移；

（2）物體在前3秒內(nèi)位移單調(diào)遞增的時段；

（3）物體在前3秒內(nèi)位移單調(diào)遞減的時段。

答案：

（1）最大位移為sin(3π/2)=1，最小位移為sin(π/2)=0；

（2）物體在前3秒內(nèi)位移單調(diào)遞增的時段為[0,1]秒；

（3）物體在前3秒內(nèi)位移單調(diào)遞減的時段為[1,3]秒。

4.綜合題：

已知f(x)=2sin(x)+cos(x)，求：

（1）函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；

（3）函數(shù)f(x)在[0,2π]上的最大值和最小值。

答案：

（1）函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ-5π/6,2kπ+π/6]，其中k為整數(shù)；

（2）函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[2kπ+π/6,2kπ+7π/6]，其中k為整數(shù)；

（3）函數(shù)f(x)在[0,2π]上的最大值為3，最小值為-3。

5.探究題：

探究以下函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性和最值。

f(x)=sin(x)+cos(x)，區(qū)間為[0,π/2]和[π/2,π]。

答案：

在區(qū)間[0,π/2]上，f(x)是增函數(shù)，最大值為f(π/2)=1；在區(qū)間[π/2,π]上，f(x)是減函數(shù)，最小值為f(π)=-1。八、內(nèi)容邏輯關系①單調(diào)性

-正弦函數(shù)在[0,π]上單調(diào)遞增，在[π,2π]上單調(diào)遞減。

-余弦函數(shù)在[0,π/2]上單調(diào)遞減，在[π/2,π]上單調(diào)遞增，在[π,3π/2]上單調(diào)遞減，在[3π/2,2π]上單調(diào)遞增。

②最值

-正弦函數(shù)在x=π/2時取得最大值1，在x=3π/2時取得最小值-1。

-余弦函數(shù)在x=0時取得最大值1，在x=π時取得最小值-1。

③應用

-利用正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)性和最值，分析實際問題，如簡諧振動、信號處理等。

板書設計：

正弦函數(shù)單調(diào)性：

0→π：增

π→2π：減

余弦函數(shù)單調(diào)性：

0→π/2：減

π/2→π：增

π→3π/2：減

3π/2→2π：增

正弦函數(shù)最值：

π/2：1（最大值）

3π/2：-1（最小值）

余弦函數(shù)最值：

0：1（最大值）

π：-1（最小值）

應用：

簡諧振動、信號處理等。教學反思與總結(jié)在本節(jié)課的教學過程中，我采用了講授與討論相結(jié)合的教學方法，旨在激發(fā)學生的學習興趣，幫助他們深入理解正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)性與最值。我首先通過實際生活中的例子引入新課，讓學生感受到所學知識的實際意義。接著，我詳細講解了正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)性判定和最值求解方法，并配合圖像和實例進行分析。為了讓學生更好地掌握這些知識點，我組織了小組討論，讓學生在實踐中應用所學知識。此外，我還設計了課后作業(yè)，以鞏固學生的學習效果。

在教學過程中，我發(fā)現(xiàn)學生在理解正弦、余弦函數(shù)單調(diào)性