5也可聯(lián)系磨尖課08焦比體系一、焦比體系之橢圓【4a體周長(zhǎng)】過(guò)橢圓x2a2+y2b2=1a【4a體面積】S△ABF2=AB?2=12?2ab2a2?c2cos【焦長(zhǎng)公式】如圖，A是橢圓x2a2+y2b2=1a>b>01A2B3AB【焦比定理】已知過(guò)橢圓x2a2+y2b2=1的左焦點(diǎn)F1的弦為AB二、焦比體系之雙曲線【周長(zhǎng)問(wèn)題】若雙曲線x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點(diǎn)分別為F5也可聯(lián)系【焦長(zhǎng)公式】（1）當(dāng)AB交雙曲線于一支時(shí)，AB=2ab（2）當(dāng)AB交雙曲線于兩支時(shí)，AB=2ab【焦比定理】雙曲線焦比定理和橢圓的焦比定理一致：當(dāng)AB交雙曲線于一支時(shí)，令A(yù)F1=λF當(dāng)AB交雙曲線于兩支時(shí)，b2ccos三、焦比體系之拋物線已知拋物線y2=2pxp>0,焦點(diǎn)為【焦半徑傾斜角式】AF=p1【焦點(diǎn)弦傾斜角式】AB=【焦點(diǎn)三角形面積】S△【焦比定理】設(shè)AFBF=λ,則cos【幾何結(jié)論】設(shè)AB交準(zhǔn)線于點(diǎn)P，則AFPA=cosα典例（1）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0，F(xiàn)1,F2分別是其左、右焦點(diǎn)，過(guò)右焦點(diǎn)F233,（2）已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C：x2a2?y2b2=1a>0（3）（2024·河南?？迹┮阎獟佄锞€y2=2pxp>0的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若AF，AB4，F(xiàn)B[解析]（1）當(dāng)AF2⊥x軸時(shí)，AB=2b整理得ccosα=又AF2=b2a，所以AF1+AF2=（2）因?yàn)镕2A=F2B，所以BF1?由雙曲線的焦比體系結(jié)論，得BF1=由BF1?AF1=4a得b2（3）設(shè)直線l的傾斜角為θθ過(guò)點(diǎn)A和B分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為A′和B′，過(guò)F作FC⊥由拋物線的定義可得AF=即p+AFcos同理，可得BF+BFcos所以AF?又AB=AF+因?yàn)锳F，AB4，BF成等比數(shù)列，所以AB所以AB2=16AF?所以sinθ=1因?yàn)榫€段AB在y軸上的射影長(zhǎng)為ABsin所以ABsin1.利用焦長(zhǎng)焦比體系要非常熟悉推導(dǎo)過(guò)程（定義+余弦定理），在處理解答題的時(shí)候，若用本模塊公式則必須給出必要證明.2.公式ecos1.已知F1,F2分別為橢圓C:x2a2+y2b2=A.13 B.12 C.33[解析]由焦長(zhǎng)公式MF1=λ+1b22a2.（多選題）已知拋物線C：y2=2pxp>0的焦點(diǎn)為F1,0，過(guò)點(diǎn)F的直線l與CA.MN的最小值為4 B.MF?C.當(dāng)PF=NF時(shí)，MN=8 [解析]設(shè)直線l的傾斜角為α，不妨設(shè)點(diǎn)M在第一象限.對(duì)于A，MN=2psin2α對(duì)于B，MF?NF=p1?cosα對(duì)于C，PF=MN2由焦比公式得，p1?cosα所以MN=2psin對(duì)于D，PF=MN2?NF=MF+NF3.[2024·黃岡