線性代數(shù) 主要內(nèi)容有：n階行列式的定義和性質(zhì)；行列式按行（列）展開的方法；行列式的計算；用克拉默（Cramer）法則求解一類非齊次線性方程組 及由此得到的方程個數(shù)與未知量個數(shù)相等的齊次 線性方程組有非零解的必要條件。第1章 行列式2階行列式用于解二元一次聯(lián)立方程組1.1 n

階行列式的定義和性質(zhì)利用消元法可得：1.1.1

二、三階行列式記作例1.1

求解二元線性方程組三元一次聯(lián)立方程組若其解為其中Dj(j=1,2,3)是三階行列式D1=D2=D3=3階行列式可以用下列方法記住（稱為沙路法）其中M11=,M12=

,M13=

D==(1.4)D=a11M11?a12M12+a13M13=a11A11+a12A12+a13A13.例1.2

計算三階行列式

解對n(n>3)階行列式,不能用上圖所示的沙路法來定義定義1.1

由n2個數(shù)aij(i,j=1,2,

,n)組成的n

階行列式是一個算式. 其中：aij稱為行列式的第i行，第j列的元素;當(dāng)n=1時，D＝a11,當(dāng)n

2時1.1.2n

階行列式的定義（遞歸法）D=

M1j稱為a1j的余子式，Mij是劃去D的第i行第j列后的n

1階行列式A1j=(-1)1+j

M1j稱為a1j的代數(shù)余子式,

M1j稱為a1j的余子式，A1j=(-1)1+j

M1j稱為a1j的代數(shù)余子式.n階行列式是由n2個元素aij

(i,j=1,2,…,n)構(gòu)成的n次齊次多項式（稱為展開式），二階行列式的展開式含2！項，三階行列式的展開式含3！項，n階行列式的展開式含n！項，其中每項都是不同行，不同列的n個元素的乘積，全部的n！項中帶正號的項和帶負(fù)號的項各占一半。

例1.3n階對角行列式，上、下三角行式例1.4

計算Dn=Dn=(

1)n

1

a1

Dn-1=按定義再遞推之=(

1)n

1a1

(

1)n

2

a2

Dn-2=(

1)n(n

1)/2a1a2

an

1an1.2

n階行列式的性質(zhì)行列式對行和列有相同的性質(zhì)(下面主要用行講)。性質(zhì)1行列式D的行與列依次互換，則行列式的值不變.性質(zhì)2行列式對任一行(或列)按下式展開，其值相等，即 性質(zhì)3 （線性性質(zhì)）推論：若行列式有一行元素全為零，則行列式的值=0.（k=0）性質(zhì)4若行列式有兩行元素相同，則行列式的值=0用歸納法證明：n=2成立。設(shè)命題對n-1階行列式成立，對第i,j

行相同的n

階行列式D，對第k（ki,j）行展開,得推論：若行列式有兩行元素成比例，則行列式的值=0。性質(zhì)5將行列式的某一行乘以常數(shù)加到另一行(對行列式作倍加行變換),則行列式的值不變。性質(zhì)6 若行列式兩

行對換，行列式的值反號，即證：將左邊第j行加到第i行；再將第i行乘(

1)加到第j行.于是，將上式第j行加到第i行,再提出第j行的公因子(

1)，即得左邊=右邊.性質(zhì)7

行列式某一行元素與另一行相應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積之和等于零，即證明：把行列式D的第i行換成第j行=0是克羅內(nèi)克(Kronecker)符號。兩式可合寫為：同理，對列展開，有計算方法：利用定義或性質(zhì)。上、下三角行列式均等于其主對角元素的乘積。

例1.51.3n

階行列式的計算解法1解法2

因為第1行只有2個非0元素，所以對第1行展開，再計算兩個3階行列式（3階行列式可以化為上三角行列式或用沙路法計算），得例1.6

計算4階行列式.第4列化為只有一個非0元素，再對第4列展開得第1列乘2、(?1)分別加到第2、3列，對第1行展開，得例1.7 計算n階行列式解 對第n列（或第n行）展開定義：(i,j=1,2,…,n)，則稱其為反對稱行列式，其中

例1.8證明:奇數(shù)階（n為奇數(shù)）反對稱行列式的值為0.證 設(shè)利用D=DT,再每行提出一個公因子（?1），n是奇數(shù)，由D=?D,得D=0. 例1.9 證明把左端行列式的第2,3列加到第一列，提出公因子2。證法一:將第2,3列加到第一列，提出第2,3列的公因數(shù)(

1),

再作兩次列對換把第一列乘(

1)加到第2,3列。法二:用性質(zhì)3，將左式表示成23個行列式之和(n階可以表示成2n個)，=右式對換2次拆成8個，其中有6個行列式各有兩列相等而等于零例1.10計算n階行列式Dn的每行元素之和均為a+(n

1)b，把各列加到第一列，提出公因子a+(n

1)b，將第一行乘(

1)加到其余各行，化為上三角行列式,解例1.11計算n階行列式把第2，3，…，n列的元素都加到第1列，再對第1列展開，最后利用下三角行列式的結(jié)果，得到例1.12證明n階范德蒙(Vandermonde)行列式。(i

j

時，

xi

xj)證明用數(shù)學(xué)歸納法。n=2成立.假設(shè)對n-1階命題成立.從第n行起,依次將前一行乘(

x1)加到后一行對第1列展開提出公因子是x2,

,xn的n

1階范德蒙行列式，由歸納假設(shè)得例1.13AB

CABkkmm證明：證明：對k歸納.k=1,對第一行展開假設(shè)

A

為k1階時命題成立。對k階A

的第一行展開。歸納假設(shè)將A和C所在的每一列依次與其前面的m列逐列對換(共對換k

m次)。使之化為主對角線的形式.例1.13

可以簡記為例1.14計算n階行列式解第2行與第n行互換，第2列與第n列互換。例1.15

計算n階三對角行列式解 按Dn的第1行展開，M12再對第1列展開得反復(fù)利用遞推公式

Dn=

Dn

1+

n

Dn

1

=

Dn

2+

n

1

Dn

2

=

Dn

3+

n

2

D2

=

D1+

2

2

n-2

+)

D1=

+

n-1

D1

=

n

1

+

n

11.4克拉默(Cramer)法則

若所有的常數(shù)項均為零，稱為齊次線性方程組，否則稱為非齊次線性方程組。當(dāng)m=n時，稱為n元線性方程組。滿足方程的有序數(shù)組是方程組的一個解。方程組的解的全體稱為它的解集合。兩個方程組有相同的解集合，就稱它們?yōu)橥夥匠探M。其中 稱為方程組的系數(shù)， 稱為常數(shù)項。下標(biāo)i，j表示它是第i個方程，第j個未知量xj的系數(shù)定理1.1：設(shè)線性齊次方程組其系數(shù)行列式方程組有唯一解,

0時，j=1,2,

,n

其中證：其中Akj是D中akj的代數(shù)余子式(1)驗證滿足方程組i=1,2,

,n

交換兩個和號的順序=bi(i=1,2,

,n)(2)證解唯一(2)證解唯一.設(shè)（c1,c2,,cn）是滿足方程組的解。

A1j+)

A2j

Anj

若齊次線性方程組其逆否命題是：若方程組有非零，則D=0。的系數(shù)行列式D0,則

x1=x2

==xn=0.即解唯一。定理1.2

例1.16求一個二次多項式f(x)，使得

f(1)=0,f(2)=3,f(?3)=28.解設(shè)所求多項式為f(x)=ax2+bx+c.則以a,b,c為未知量的非齊次線性方程組，其系數(shù)行列式有唯一解，計算故f(x)=2x2?3x+1.

*例1.17證明：平面上三條不同的直線交于一點的充分必要條件是a+b+c=0.證必要性。設(shè)所給三條直線交于點（x0,y0）,則（x0,y0，1）是方程組的一個非零解所以，a+b+c=0.

充分性，設(shè)a+b+c=0，得到方程組存在非零解，即三條直線交于一點。*例1.18求四個平面aix+biy

+ciz+di=0(i=1,2,3,4)相交于一點(x0,y0,z0)的充分必要條件。解將平面方程寫成aix+biy

+ciz+dit=0其中

t=1四平面交于一點，即4元(x,y,z，t)的線性方程組有非零解(x0,y0,z0,1)其充分必要條件是：系數(shù)行列式第一列乘(1)分別加到第2,3,4列,*例1.19解：再將第2列加到第4列.

本章主要內(nèi)容有：n階行列式的定義和性質(zhì)；行列式按行（列）展開的方法；行列式的計算；用克拉默（Cramer）法則求解一類非齊次線性方程組 及由此得到的方程個數(shù)與未知量個數(shù)相等的齊次 線性方程組有非零解的必要條件。第2章 矩陣2.1高斯消元法求解n

個未知元,m個方程的線性方程組（m

n）一般用代入消元法或加減消元法，化為容易求解的同解方程組.由高斯消元法引出矩陣概念,特殊矩陣及其基本性質(zhì).重點是矩陣的運算：加法，數(shù)量乘法，乘法，轉(zhuǎn)置及其運算性質(zhì)，還有可逆矩陣的逆矩陣和矩陣的初等變換，最后是分塊矩陣及其運算。④+⑤（消去x2）得

x3=2 ⑥例1用加減消元法解三元一次方程組

?x1

2x2

5x3

2 ①

?

2x1

3x2

4x3

11 ②

4x1

7x2

17x3

7 ③

解:(

2)

①+②;4

①+③（消去x1）得

7x2

14x3

7 ④

x2

3x3

1 ⑤ 將x3=

2代入④得x2=

5,將它們代入①得x1=

2。所以原方程組的解為x1=

2，x2=

5，x3=

2。(階梯形)方程組①，④,⑥與原方程組是同解方程組。

x1

2x2

5x3

2①

7x2

14x3

7 ④

x3=2⑥方程組的系數(shù)排成的數(shù)表：定義2.1數(shù)域F中的m

n個數(shù)aij(i=1,

,m;j=1,

,n）排成m行n列的數(shù)表，稱為數(shù)域F上的一個m

n

矩陣。簡記為(aij)m

n，其中aij叫做矩陣第i行，第j列的元素。aij都是零的矩陣稱為零矩陣。記作0。當(dāng)m=n時，稱為方陣（或n階矩陣）。a11,a22,

,ann叫做方陣的主對角元，n

個未知元m個方程的線性方程組(A,b)=A稱為方程組的系數(shù)矩陣，（A,b）稱為增廣矩陣。例2.2

求解線性方程組①

c

:第①行乘常數(shù)c，③+②

k第②行乘k加到第③行,③

⑤第③行與第⑤行對換。對增廣矩陣（A,b）作：(A,b)=---②+①

(

2)

③+①

(

3)

④+①

(

1)

③+②

(

2)

--------④+②

(

2)

④

(

1/3)---③

④①+②--------②+(

2)

③--------代入（*）可解出全部解：x1=1+k1

7k2,x2=k1,x3=2

4k2,x4=

1+3k2,x5=k2

(k1,k2為任意常數(shù))(行簡化階梯形矩陣)對應(yīng)的同解方程組（*）三個方程，五個未知數(shù)，任取x2=k1,x5

=k2x=(x1,x2,x3,x4,x5

)T=(1+k1

7k2,k1,2

4k2,

1+3k2,k2

)T。當(dāng)方程組中常數(shù)項b1=b2=

=bm=0時，稱為齊次線性方程組，否則叫非齊次線性方程組。=(k1

7

k2,k1,

4

k2,3k2,k2)（k1,k2為任意常數(shù)）。把例2的右邊改為零得到的齊次線性方程組的行簡化階梯形矩陣和同解方程組為：x=(x1,x2,x3,x4,x5)T

其中(k1,k2為任意常數(shù))。和其全部解為：方程組的解也可以寫成向量形式(稱為解向量)組無解(稱為不相容方程組)；有解的方程組稱為相容方程組。x1

x2

x3

1 ①x1

2x2

5x3

3 ②2x1

3x2

4x3

7 ③例2.3

判斷下列線性方程組是否有解？解：③+②(1)①+②(1)③+①(2)

②+①(1)最后一行表示的方程是0x1

0x2

+0x3

3,顯然無解，故原方程高斯消元法在消元過程中，會揭示出多余方程和矛盾方程。三種初等行變換: 倍乘變換:以非零常數(shù)c乘某一行（或某一個方程） 倍加變換:將某一行乘以常數(shù)k加到另一行 對換變換將某兩行對換位置.

矩陣A經(jīng)過初等行變換化為矩陣B，記作A

B.階梯形矩陣是： 矩陣A的前r行為非零，其余行全為零，且第i行（i=1,2，…,r）的第一個非零元所在的列為ji,滿足 j1<j2<…<jr

,行簡化階梯陣是： 階梯形矩陣A中，每一個非零行的第一個非零元 均為1，其所在列的其余元素都等于零.一般線性方程組的增廣矩陣經(jīng)消元變換可化為階梯形矩陣。為便于討論，不妨設(shè)化為行簡化階梯形矩陣：

其中cii=1,(i=1,

,r)。在有解的情況下,：

(1)當(dāng)r=n時，有唯一解：x1=d1,

x2

=d2

,

,

xn=dn;

(2)

當(dāng)r<n時，有無窮多個解.

方程組(*)有解的充要條件是dr+1=0。其余的xr+1,

xr+2,

,xn

取作自由未知量。,代入(*)式所對應(yīng)的方程組即可求得全部解 x=(x1,

x2,

,xn.)。齊次線性方程組總是有解的.r=n時，只有零解，即x1=

=xn=0;當(dāng)r

n時，有無窮多解，求解的方法同上。(*)式中每行第一個非零元cii(i=1,

,r)所在列對應(yīng)的未知量x1,

x2,

,xr

設(shè)為基本未知量;令

xr+1=k1,xr+2=k2,,

,xn=kn-r

為任意常數(shù)例2.4求齊次線性方程組的一般解。解： A=自由未知量分別取x2=k1，x5=k2,代入同解方程組得到x1=k1

7k2,x3=-4k2,x4=3k2,一般解為線性方程組的解的基本問題是：有解的條件（對于齊次方程組則是有非零解的條件）以及解的結(jié)構(gòu)。如果齊次線性方程組中m<n

(即方程個數(shù)小于未知量個數(shù))

，則必有無窮多個非零解。解的表達(dá)式不是唯一的，但無窮多個解的集合是相同的。

用不同的消元消元步驟將增廣矩陣化為階梯形矩陣時，其形式不是唯一的，但階梯形矩陣非零行的行數(shù)是唯一的.若方程組有解，解中任意常數(shù)的個數(shù)是相同的；這些結(jié)論要用到矩陣的秩和 向量組的線性相關(guān)性的理論。2.2矩陣的加法數(shù)量乘法乘法定義2.4設(shè)

F,

與A的數(shù)量乘積為：

A=(

aij)

m

n，

B=(

bij)

m

n.，A

B=A+(

B)2.2.1 矩陣的加法與數(shù)量乘法定義2.3(1)設(shè)A=(aij)m

n,B=(bij)m

n,

則A與B之和為：

A+B=(aij+bij)

m

n，A,B必須同型，都是m行，n列加法滿足：A+B=B+A(交換律); (A+B)+C=A+(B+C)(結(jié)合律);

A+0=A(0為零矩陣);

A+(

A)=0數(shù)乘滿足:1A=A;

(

A)=(

)A; (

+

)A=

A+

A;

(A+B)=

A+

B（

,

為數(shù)）.矩陣的加法與數(shù)乘滿足以下規(guī)則：例2.5求矩陣X,使解

定義2.5

設(shè)A=(aij)p

m,B=(bij)m

n,乘積A

B=C=(cij)是一個p

n型矩陣，它的第i行，第j列元素為：

當(dāng)且僅當(dāng)A

的列數(shù)等于B

的行數(shù)時，乘積A

B

才有意義，否則A不能左乘B。2.2.2矩陣的乘法這是A的第i

行和B

的第j

列中對應(yīng)的m個元素的乘積之和。例2.6例2.7

線性方程組

用矩陣等式表示為其第i個方程：線性方程組可以Ax=b如果又已知y與x的關(guān)系為記作Bn

sys

1=xn

1

其中B=(bij)

ns,得到把y與b的關(guān)系式:其中Ax=A(By)=b,

得(AB)y=b,記C=(Am

n

Bns),.即矩陣表示式：Cmsys

1=b

m

1,這里C=

(cij)ms,其中計算AB，AC和BA，其中例2.8

解：注意（1）矩陣的乘法不滿足交換律，一般AB

BA。AB有意義，BA不一定有意義， （例如，A1

2，B23

，BA沒有意義）。即使AB，BA都有意義，也可能不等.也有相等的，如當(dāng)AB≠BA時，稱AB不可交換；當(dāng)AB=BA時，稱AB可交換。顯然，AB=BA時，A，B必須是同階方陣。由AB=AC

和A

0，不能推出B=C。因為AB=AC

AB

AC=0分配律

===A(B

C)=0由此，不能由A

0，推出B=C。注意（2）矩陣的乘法不滿足消去律A

0，B

0，也有可能AB

=

0。矩陣乘法滿足以下運算律：(1)

(AB)=(

A)B=A(

B);(

是數(shù)量)(3)A(B+C)=AB+AC(左分配律);(4)(B+C)P=BP+CP(右分配律);(2)(AB)C=A(BC); (結(jié)合律)(5)若A，B均為n階方陣,則

AB

=

A

B（證明見后面的定理2.1）證明(2)：(AB)C=A(BC) 設(shè)A=(aij)m

n，B=(bij)n

p，C=(cij)p

r，則(AB)C與A(BC)都是m

r矩陣。所以(AB)C=A(BC)。交換和號順序只須證明：

i=1,

,m,

j=1,

,r,有2.2.3幾個特殊的n階矩陣及其乘法運算。n階單位陣I(或E)

數(shù)量陣

I(

是數(shù)量)n階單位陣I,及數(shù)量矩陣

I與任意n階矩陣A相乘可交換，即(

E)A=A(

E)=

A.

1=diag(a1,a2,

,an),

2=diag(b1,b2,

,bn),

1

2=

2

1=diag(a1b1,a2b2,

,anbn).常見的特殊矩陣（方陣）對角陣

兩個對角陣

1,

2乘積仍為對角陣，即簡記為diag(

1,2,…,n)對角陣diag(a1,a2,…，an)左乘矩陣A=(aij)，等于A的第i行每個元素都乘以ai右乘A=(aij)等于A的第i列乘以ai（i=1,2,…，n），即==上(下)三角矩陣A（B）的定義:在主對角線之下(上)的所有元素都是零，即當(dāng)i>j

時,

aij=0(i<j時,aij=0)的矩陣,稱為上(下)三角矩陣.例2.9

兩個上(下)三角陣A與B的乘積AB仍是上(下) 三角陣，且其主對角元(AB)ii=aiibii

.C=AB=(cij)n×nC為上三角陣=0+aiibii=aiibii當(dāng)k,m,n為正整數(shù)時，

AkAm=Ak+m；(Ak

)m=Akm;2.2.4

方陣的冪和方陣的多項式Ak=AA…Ak個p(A)=amAm+am

1Am

1+

+a1A+a0E稱為矩陣A的多項式，其中：ak

R(實數(shù)集),(k=0,1,2,

,m),A0=E.若p(x)是x的m次多項式:

p(x)=amxm+am

1xm

1+

+a1x+a0,

R時，有二項式定理：當(dāng)A,B為同階方陣時，若AB

BA,則若AB

BA,則(AB)k

AkBk;若AB

=BA,則(AB)k

=

AkBk.若f(x),g(x)都是多項式，則f(A)g(A)=g(A)f(A)為組合數(shù).(A+B)2=(A+B)(A+B)=A2+AB+BA+B2(A+B)(A

B)=A2

AB+BA

B2A2+2AB+B2

A2

B2但其逆不真。但也有可能(AB)k

=

AkBk.定理2.1設(shè)A=(aij)n

n,B=(bij)n

n,則|AB|=|A||B||A||B|=證

a11

a12

a1nj=1,2,…,n照此，將A的各行都化為0。2.2.5方陣乘積的行列式|A||B|定義2.11 把矩陣A=(aij)m

n的行列依次互換得到n

m矩陣,稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣,記作AT=(aTji)n

m

,其中 aTji=aij

,(i=1,2,

,m;j=1,2,

,n),即例2.10求AT和BT，其中2.3矩陣的轉(zhuǎn)置對稱矩陣

解

2．矩陣的轉(zhuǎn)置運算滿足以下運算律:(1)(A

T)T=A;(2)(A+B)T=A

T+B

T;(3)(k

A)T=k

A

T(k是數(shù)量);(4)

(A

B)T=B

TA

T;(5)AT

=

A

.(A1A2

An)T=AnT

A2TA1證明：(4)(AB)T=BTATj=1,

,s;i=1,

,m.設(shè)A=(aij)m

n

,AT=(aTji)n

m

,B=(bij)n

s

,BT=(bTji)s

n則(A

B)T與BTA

T都是s

m矩陣，且故(A

B)T=BTAT。定義2.12

設(shè)A=(aij)n

n

,如果

i,j=1,

,n,

aji=

aij

,則A稱為反對稱矩陣。aji=aij

,則A稱為對稱矩陣;n階為反對稱矩陣A的主對角元都為零，因為由aii=

aii即得

aii=0(i=1,2,

,n).必須注意，兩個對稱矩陣A和B的乘積不一定是對稱矩陣。因為，(A

B)T=BTAT=B

A而B

A不一定等于AB

.例2.11設(shè)A,B為n階方陣，且A

是對稱矩陣。證明BTAB

也是對稱矩陣因為ATA是n階矩陣,且(ATA)T=AT(AT)T=ATA;

同理AAT是m階對稱矩陣。例2.12若A為m

n矩陣,則ATA和AAT都是對稱矩陣。A為對稱矩陣的充要條件是AT=A;

A為反對稱矩陣的充要條件是AT=

A

證

因為A

是對稱矩陣，即AT=A

，于是，(BTAB)T=BTAT(BT)T=BTATB=BTAB 所以，BTAB

為對稱矩陣。

定義2.13 設(shè)A為n階方陣，若存在n階方陣B使得

BA=AB=I,則稱矩陣A是可逆的（非奇異的，或非退化的）,

稱B

為A的逆矩陣。如單位矩陣I是可逆的，且I

1=I,因為I·I=I。2.4可逆矩陣2.4.1逆矩陣的定義定理2.2

若A是可逆矩陣，則A的逆矩陣是唯一的。證即BA=AB=CA=AC=I，則B=BI=B(AC)設(shè)B,C都是A的逆矩陣，=(BA)C=IC=C.B

為A的逆矩陣，記作B=A

1。定義2.14設(shè)A=(aij)n

n,

Aij是detA

中aij的代數(shù)余子式,稱cof

A=(Aij)n

n

為A的代數(shù)余子式矩陣，其轉(zhuǎn)置矩陣A*稱為A的伴隨矩陣。即A*=(cofA)TAA*=A*A=|A|I注意：2.4.2矩陣可逆的充要條件和求逆公式充分性:用構(gòu)造性證法。若

A

0,由定理2.3矩陣A可逆的充要條件是

A

0.證:必要性若A可逆，則存在B使得AB=I,于是，

AB

=

A

B

=

I

=1,故

A

0。AA*=A*A=|A|I，得所以，推論1設(shè)A，B都是n階矩陣,且AB=I,

則BA=I,即A，B

都可逆，并互為逆矩陣。證：由AB=I,得

AB

=

A

B

=

I

=1,即A，B

都可逆。AB=IA1(AB)A=A1IA=I,即BA=I。故

A

0，

B

0,上（下）三角陣可逆的充要條件是主對角元全部不為零。推論2A是主對角元都是非零數(shù)的對角陣，即注意：又如A=diag(a1,a2,…,an),其中a1a2…an≠0.由得例2.13

其中Aij是|A|中aij的代數(shù)余子式證明：|A|0時,|A*|=|A|n-1.證:設(shè)A

A*=C=(cij),其中

|A|

|A*|=

|A

A*|=

|A|n由|A|0，得,|A*|=|A|n-1設(shè)A=(aij)n

n,A*是的伴隨矩陣二階矩陣A=可逆的充要條件，

是

A

=adbc

0。例2.14由A11

=(

1)1+1d,

A12

=(

1)1+2c,

A21

=(

1)2+1b,

A22

=(

1)2+2a,及A*=得例2.15

矩陣

是否可逆？若可逆,求其逆矩陣。解：A11=

3,A12=

4,A13=5,A21=3,A22=0, A23=

1,A31=1,A32=4, A33=

3,

A

=4

0,A可逆(非奇異)。

C

=0,故C不可逆;例2.16

線性方程組AX=b。其中b=(1,2,0)T.問方程組是否有解？若有解，求其解。解由例2.15知，A可逆，又逆矩陣唯一。在方程組AX=b兩邊都左乘A

1,即A

1

(AX)=A

1

b2.4.3可逆矩陣的運算性質(zhì)（A,B

為n階可逆矩陣，數(shù)k

0)

A*

=

A

n-1

(A

1)

1=A

(k

A)

1=k

1A

1

(A

B)

1=B

1A

1

(AT)

1=(A

1)T

A

1

=

A

1(A1A2

Ak)

1=Ak

1

A2

1

A1

1.

′(Ak)

1=(A

1)k＝A

k

′′(A1,A2

,

,Ak均可逆);證：(kA)(k

1A

1)=(kk

1)(AA

1)=1I=I證：(AB)(B

1A

1)=A(BB

1)A

1=AIA

1=AA

1=I證：因為

AA*

=

A

I

,

A

A*

=

A

n,

A*

=

A

n-1

證：由AA

1=I,得(AA

1)T=(A

1)TAT=I.(AT)

1=(A

1)T證

：由AA

1=I,得|A||A

1|

=1,|A|0,

A

1

=

A

1

證：設(shè)AT=A;，則 ((

A)

1)T同理，證明反對稱的情況。因為AT=

A,所以

A

=

AT

=

A

例2.17

．設(shè)A為n階可逆對稱(反對稱)矩陣，

R(

0),則(

A)

1也是對稱(反對稱)的。=(

AT)

1=(

A

)–1，=((

A)T)

1即 (

A)

1也是對稱矩陣。注意：若A是n階反對稱矩陣,n為奇數(shù).則

A不可逆。=(

1)n

A

=

A

.當(dāng)n為奇數(shù)時,有

A

=0，A不可逆。2.4.4若干例子(其中*號題為研究生入學(xué)考試題)所以 A2

3A=A

(A

3I)=

2I,即

A[(3I

A)/2]=I證：由B=A

I,B2=(A

I)2=A2

2A+I及B2=B=A

I

得A2

2A+I=A

I即使A+B可逆,(A+B)

1

A

1+B

1.注意:

A,B都可逆，而A+B不一定可逆，據(jù)定理2.3推論：A可逆，且A

1=例2.18

.設(shè)方陣B為冪等矩陣(即B2=B),A=I+B,證明:A是可逆陣，且A

1=。解因為

BX－2IX=AT,所以(B－2I)X=AT，。例2.19*例2.20設(shè)

且B,C,A滿足：(I－C–1B)TCTA=I.求A,A–1.解：左=(I－C–1B)T

C

TA＝(C(I－C–1B))TA =(C

B)TA=(C

T－BT)A=I=右邊,

由(C

T－BT)A=I,

得A–1=(C

T－BT)=(C－B)

T，=4(I+A)–1=4[diag(2,

1,2)]–1

*例2.21已知A=diag(1,

2,1),且A*BA=2BA

8I, 求B.解：先化簡，由 A*BA

2BA=

8I,得 (A*

2I)BA=

8I,B=

8(A*

2I)–1A–1

=

8(A(A*

2I))–1=

8(AA*

2A)–1=

8(

2I

2A)–1

=

8(

2-1)(I+A)–1(因

A+I

=

4)=4diag(2–1,

1,2–1).所以，B=diag(2,

4,2).

證:證A可逆，即證

A

0。當(dāng)A*=A

T時，由

ATA=A*A=

A

I，知：*例2.22

已知A為非零n階實矩陣，當(dāng)A*=AT時，證明:

A為可逆矩陣.

A

0

ATA

0.即A可逆。例2.23

(2)(A

1)*=

A

1

(A

1)

1已知n階矩陣A，B均可逆(A*是A的伴隨陣),證明：(1)(AB)*=B*A*;(2)(A?1)*

=(A*)

?1

(3)(AT)*

=(A*)T.證：由當(dāng)公式用(1) (AB)*=

AB

(AB)

1=

B

B

1·

A

A

1=B*A*。=(

A

A

1)

1(3)(AT)*=

AT

(AT)

1=

A

(A

1)T=(

A

A

1)T=(A*)T.=

A

B

B

1

A

1

=

A

1

A=(A*)

1例2.24

設(shè)A可逆，且A*B=A

1+B，證明B可逆，當(dāng)時，求B.解：由A*B=A

1+B=A

1+IB

得

(A*

I)B=A

1因為|A*

I

||

B|=|A1|0所以，|B|0，B可逆B=(A*

I)

1A1=(A(A*

I))1

=(|A

|

I

A)

1例2.25．設(shè)A為n階可逆矩陣，A的每行各元素之和都等于k，證明：k

0,且A

1的每行各元素之和都等于k

1。=kI,因為A為可逆矩陣，

A

1證法1

將A的行和用矩陣乘積來表示，令，則AI=I=故k

0。于是k

1

I=A

1I，即

所以，I=k

A

1I，其中A

1I

是元素均為A

1的行和的n元列向量，所以A

1的每行各元素之和都等于k

1。證法2令J是元素均為1的n階方陣。因為A的每行各元 素之和都等于k，所以,因為A可逆，所以J=kA

1J,故k

0。于是k

1

J=A

1

J其中A

1

J

是元素均為A

1的行和的n階方陣，所以A

1的每行各元素之和都等于k

1。=k

JAJ=倍乘行(列)變換:以非零常數(shù)c乘矩陣的某一行（列）；(2)倍加行(列)變換:將矩陣的某一行(列)乘以非零常 數(shù)k加到另一行（列）；(3）對換行(列)變換:將矩陣的某兩行(列)位置對換。統(tǒng)稱為矩陣的初等變換.(3)初等對換矩陣Eij：將單位矩陣的第i,j行(或列)對換;將單位矩陣作一次初等變換所得到的矩陣稱為初等矩陣，三類初等矩陣為:(1)初等倍乘矩陣Ei(c)；將單位矩陣第i行(或列)乘c;

Ei(C)=diag(1,…,1,c,1,…1)(2)初等倍加矩陣Eij(k)：將單位矩陣第i行乘k加到第j行，或?qū)⒌趈列乘k加i列;2.5矩陣的初等變換和初等矩陣三種初等矩陣左乘矩陣A是對A作相應(yīng)的初等行變換,三種初等矩陣右乘矩陣B是對B作相應(yīng)的初等列變換.例2.26

Eij

1=Eij.初等矩陣都是可逆矩陣,且逆矩陣都是同類初等矩陣因為對初等矩陣再作一次同類型的初等變換 都可化為單位矩陣Ei(1/c)Ei(c)=EEijEij=E.Ei

1(c)=Ei(1/c)；Eij(

k)Eij(k)=E

Eij

1(k)=Eij(k)；*例2.27.設(shè)(A)

A?1P1P2；(B)

P1A?1

P2；(C)

P1P2A?1；

(D)

P2A?1P1.其中A可逆，則B?1等于（）。將A的第2，3列互換，再將第1，4列互換就得到矩陣B，即B=AP1P2或B=AP2P1，又P1?1=

P1，P2?1=P2，所以， B?1=P1P2A?1或B?1=P2P1A?1。解：選（C）。定理2.4可逆矩陣可以經(jīng)過若干次初等行變換化為單位矩陣。2.5.2用初等變換求逆矩陣第1行乘以(1/a11),將a11化為1，對此矩陣再做倍加行變換:第1行乘以(?aj1)加到第j行（j=2,3,…,n），A就變?yōu)樽C因為

A

0，A的第一列不全為零，不妨設(shè)a11

0其中A1是n?1階可逆陣.對A1重復(fù)以上步驟，繼續(xù)變換下去，就得到主對角元全部都是1的上三角矩陣，即對B再做變換：第n行乘以(?bjn)加到第j行（j=

1,2,…,n?1），將第n列除數(shù)1以外的元素化為零，對第n?1，n?2，…，2各行繼續(xù)以上步驟。就將B變換單位陣I，命題得證.由PsP2

P1

A=I

得A=(Ps

P2P1)?1=P1?1P2?1

Ps?1.推論2對A作若干初等變換，將A化為單位矩陣I時，同樣的這些初等變換將單位矩陣I化為A

1。初等列變換求A的逆矩陣

用初等行變換推論1可逆矩陣A可以表示為若干初等矩陣的乘積。初等陣的逆還是初等陣。設(shè)PsP2

P1

A=I

則A?1

=Ps

P2

P1=Ps

P2

P1I

求A的逆矩陣?yán)?.28用初等行變換求矩陣A

的逆矩陣。解=例2.29已知A,B

滿足矩陣方程AX=B，且A可逆,求得X=A

1B。若對矩陣A和B

作同樣的初等行變換，.當(dāng)A

化為I時，B就化為X=A

1

B,即若存在初等矩陣P1,P2,

,Pk，使Pk

P2P1A=I，則

Pk

P2P1=A

1，所

Pk

P2P1B=A

1

B=X.

思考題：若A,B

滿足矩陣方程YA=B，且A可逆, 問如何利用初等變換求Y？[解]因為BX－2IX=AT 即(B－2I)X=AT，或例2.31

.一個5階矩陣可用縱橫垂直的兩條線將其分成4塊，構(gòu)成一個分塊矩陣,即其中:I3為三階單位矩陣， 0為2

3零矩陣。一般，對于m

n矩陣A,

如果在行的方向分成s塊，在列的方向分成t塊，就得到A的一個st分塊矩陣，記作

A=(Akl)st其中Akl

(k=1,

,s;l=1,,t)稱為A的子塊。將A=(aij)m

n按行分塊 或按列分塊為:2.6分塊矩陣2.6.1常用的分塊矩陣

對角塊矩陣（準(zhǔn)對角矩陣)其中Aii是ri(i=1,2,

,m)階方陣;Aij=0(i

j).2.6.2分塊矩陣的運算。分塊矩陣的加法

設(shè)分塊矩陣A=(Akl)s

t，(Bkl)s

t

,

.分塊矩陣的數(shù)量乘法設(shè)分塊矩陣A

=(Akl)s

t,

是一個數(shù)，則

A=(

A

kl)st如果A與B的對應(yīng)子塊Akl和Bkl都是同型矩陣，則A+B=(Akl+Bkl)s

t3.分塊矩陣的乘法設(shè)A

Fm

n,B

Fn

p,如果A分成r

s分塊矩陣;B分成s

t分塊矩陣，即A=(Akl)r

s；B=(Bkl)s

t，且A的列的分塊法和B的行的分塊法完全相同， C是r

t分塊矩陣,且例2.32對例2.31所給的矩陣A，用分塊乘法求A2.解計算代入得例如若Ak

和Bk是同階方陣（k=1,2,

,s），則設(shè)A是m

n矩陣，B是ns矩陣。將B按列分塊為1s分塊矩陣，將A視為11分塊矩陣，則若n階矩陣C和D分塊成同型對角塊矩陣，即C=diag(C1,C2,,Cs), D=diag(D1,D2

,,Ds)其中Ci和Di是同階方陣(i=1,2,,s)。則CD=diag(C1D1,C2D2

,,CsDs).AB=A(B1,B2,,Bs)=(AB1,AB2,

,ABs).若B的每一列都是齊次線性方程組AX=0的解，即

AB=0ms.同型對角塊矩陣的乘積：可逆的充要條件是每一子塊Ai都可逆(i=1,2,

,m),且A

1也是對角塊矩陣。4.可逆對角塊矩陣的逆矩陣s=2注意：證 對n作數(shù)學(xué)歸納法：n=1時，(a)

1=1/a,結(jié)論成立。假設(shè)命題對n

1階可逆的上三角矩陣成立。對n階矩陣A,設(shè)B為A的逆矩陣,并把A,B分塊為同樣的22分塊矩陣,即其中A1是n

1階可逆的上三角矩陣，B1是n

1階矩陣。例2.33證明n階可逆上三角矩陣A的逆矩陣也是 上三角矩陣(利用分塊矩陣的運算).由A1

=0

得

=A1

10=0，由A1B1=In

1,得

B1=A1

1，A

1=B是上三角矩陣。根據(jù)歸納假設(shè)，B1=A1

1是上三角矩陣，所以所以，

分塊矩陣A=(Akl)st的轉(zhuǎn)置AT為ts分塊矩陣，記AT=(Blk)ts，則 Blk=AklT，l=1,2,

,t;k=1,2,,s。4.分塊矩陣的轉(zhuǎn)置#6.分塊矩陣的初等變換和分塊初等矩陣(1)分塊倍乘矩陣(3) 分塊對換矩陣(2)分塊倍加矩陣分塊初等矩陣左乘（或右乘）分塊矩陣其中Ik表示k階單位矩陣，C1,C2是可逆矩陣。是對A作塊初等行（列）變換例2.34

設(shè)A,B,C,D

都是n

階矩陣，證明:證：作初等行變換化矩陣為上三角塊陣，兩邊再取行列式證 利用左乘和右乘塊初等矩陣造出A+B,A

B

和上三角塊陣。如第一行加到第二行；再第二列乘(

1)加到第一列.例2.35已知A,B

為n

階矩陣.證明:上式兩邊取行列式本章主要內(nèi)容：特殊矩陣及其基本性質(zhì)；矩陣的運算：加法，數(shù)量乘法， 乘法，轉(zhuǎn)置及其運算性質(zhì)， 可逆矩陣的逆矩陣和 矩陣的初等變換， 分塊矩陣及其運算。第3章 n維向量秩

線性方程組3.1n

維向量及其線性相關(guān)性本章內(nèi)容：n維向量，向量組的線性相關(guān)性的概念和理論， 向量組的秩和矩陣的秩，向量組的等價和矩陣的等價， 向量組的極大線性無關(guān)組的概念和求法， 齊次線性方程組有非零解的充要條件和基礎(chǔ)解系， 齊次和非齊次線性方程組解的性質(zhì)，通解和解的結(jié)構(gòu)。3.1n

維向量及其線性相關(guān)性如果ai

(i=1,2,,n)是實(復(fù))數(shù)叫做實(復(fù))向量。

行向量是1n

矩陣,記作(a1,a2,,an);列向量是n

1矩陣,記作(a1,a2,,an)T.如果n

個分量全為零，叫做零向量。用0n

或0表示.全體n

元實向量組成的集合記作?n。常用

,

,

等表示n

元向量。3.1.1n維向量及其線性運算定義3.1由n

個數(shù)a1,a2,

,an組成的有序數(shù)組稱為n元向量,記作(a1,a2,,an)，其中ai稱為第i

個分量。因為n元行向量是一個1

n矩陣（列向量是n

1矩陣），所以關(guān)于兩個（行）向量相等、兩向量之和、向量與數(shù)量的數(shù)乘、兩向量的差以及零向量等定義可以參見第二章定義2.2,定義2.3和定義2.4.第二章2.2.1節(jié)所列的矩陣線性運算滿足的8條規(guī)則也適用于向量的線性運算。定義3.2數(shù)域F上的全體n維向量，定義了加法和數(shù)乘運算并滿足8條線性運算規(guī)則，就稱為數(shù)域F上的n維向量空間，記作Fn。當(dāng)F=?時，稱?n為n維實向量空間；當(dāng)F=?時，稱?n為n維復(fù)向量空間。?3就是幾何空間中的全體向量形成的空間。稱為向量

1,2,…,m的線性組合，或

可用{

1,2,…,m}線性表示（或線性表出）

。矩陣A=[

1,2,…,m]，x=[

1,

2,…,

n]T。定義3.3設(shè)

i

Fn,i

F(i=1,2,…,m),則向量

=

1

1+2

2+…+m

m

(1)

(1)式可表示為其中

1,2,…,n,

為列向量。例如，在?3中，任一向量=(a1,a2,a3)可由基本向量e1=(1,0,0),e2=(0,1,0),e3=(0,0,1)線性表示為

=a1

e1

+a2

e2+a3

e3在?3中，如果三個向量a1,a2,a3共面，則至少有一個向量可以由另兩個向量線性表示，如圖，即存在不全為0的k1

，

k2，k3

使k1

1+k2

2+

k3

3=0如果三個向量a1,a2,a3不共面，則任意一個向量都不能由其余兩個向量線性表示，如

1=a1

e1

，

2=a2e2

，

3=

a3

e3

3

=k1

1+k2

a2

2

3

1

k2

2k1

1定義3.4設(shè)

1,

2,…,m

?n,如果存在不全為零的

1,

2,…,m

?,使

成立，則稱

1,2,…,m線性相關(guān)，否則，稱線性無關(guān)?！胺駝t”是指：不線性相關(guān)就是線性無關(guān)， “僅當(dāng)

1,

2,…,m全為零時，才使(*)式成立”.這等價于“如果(*)式成立，則

1,2,…,m必須全為零”.

1

1+2

2+…+m

m=0 （*）3.1.2向量的線性相關(guān)性例3.1含零向量的任何向量組{0,1,2,…,m}都線性相。因為 1·0+0

1+0

2+…+0

n

=0.注意:(1)單個向量

線性相關(guān)的充分必要條件是：

為零向量。 因為

0使

=0成立的充要條件是

=0；(2)兩個非零向量

，

線性相關(guān)的充分必要條件是：

，

成比例， 即存在

＝k

或

＝l;(3)?3中三個向量

，

，

線性相關(guān)的充分必要條件是

，

，

共面。證充分性：若

1,2,…,m中的一個向量可由其余向量線性 表示，如

1

1+2

2+…+m

m

=0,定理3.1向量組

1,2,…,m(m

2)線性相關(guān)的充要條件是

1,2,…,m中至少有一個向量可由其余向量線性表示。證必要性：設(shè)

1,2,…,m線性相關(guān)，則存在不全為零 的數(shù)

1,2,…,m,使得不妨設(shè)

1

0,于是其中

1,…,j

1,

1,,

j+1,

…,

m不全為零，充分性得證。

j=

1

1

+…+

j

1

j

1

+j+1

j+1

+…+

m

m則

1

1

+…+

j

1

1

j+

j+1

j+1

+…+

m

m

=0例3.2?n中的e1,e2,…,en

是線性無關(guān)的。其中ei=(0,…,0,1,0,…,0)是第i個分量為1(i=1,2,,…,n其余分量全為零的向量）（稱e1,e2,…,en為n維基本向量），

解：因為，由

1e1+2e2+…+mem

=0即 (

1,2,…,n)=(0,0,…,0)必有

1

=2=…=n

=0.定理3.1的等價命題：

1,2,…,m(m

2) 線性無關(guān)的充要條件是 其中任一個向量都不能由其余向量線性表示。從而有不全為零的

1,2,……k

,0,…0使例如，

1=(1,2,1)T,

2=(2,4,

2)T,

3=(1,1,3)T.因為

1,

2線性相關(guān)（成比例），所以，

1,

2,

3線性相關(guān)。此命題等價命題是：線性無關(guān)向量組的任一子集 （任一部分向量）都線性無關(guān)。總之：向量組部分線性相關(guān)，則整體線性相關(guān)； 整體線性無關(guān)，則任一部分都線性無關(guān)。定理3.2

若向量組{

1,2,…,m}中有一部分向量線性相關(guān)，則整個向量組也線性相關(guān)。證：不妨設(shè){

1,2,…,k}線性相關(guān),于是有不全為零的

1,2,……k,使

1

1

+2

2+…+k

k

=0成立，

1

1

+2

2+…+k

k

+0

k+1+0

k+2+…+0

m

=0成立，所以{

1,2,…,m}線性相關(guān)。則

1,

2,

…，

s線性相關(guān)的充要條件是s

元線性齊次方程組

Ax=0有非零解,其中定理3.3設(shè)

1,

2,

…，

s

Fn,其中

1=(a11

,a21，…，

an1)T,

2=(a12

,

a22

,

…,an2)T,

…,

s=(a1s,a2s,

…ans)T,此定理的等價命題是：

1,

2,

…，

s線性無關(guān)的充要條件是 Ax=0 只有零解。因為s

個未知量,n個方程的齊次線性方程組必有非零 解，即s>n

時An

sx=0必有非零解。推論1.任意s

個n

維向量，當(dāng)s>n

時都線性相關(guān)。推論2?n中任意n+1個向量必線性相關(guān)，或在?n中線 性無關(guān)的向量組最多只能含n個向量。推論3若n維向量

1,2,…,s線性無關(guān)，給

i

(i=1,2,…,s) 添加m

個分量后所得n+m維向量(記作

1*,2*,…,s*) 也線性無關(guān)。證記(在方程組AX=0的n個方程下面再添加m個方程就得到方程組 BX=0。假設(shè)BX=0有非零解，那么這組非零解必滿足前n個方程，即是AX=0的非零解，得出矛盾。)

1,2,…,s

線性無關(guān)?

AX=0只有零解

BX=0只有零解?

1*,2*,…,s*

線性無關(guān).這個命題的逆否命題是：若

1*,

2*,…,

s*是線性相關(guān)的，將

i*(i=1,2,…,s)的最后m

個分量刪去后所得的向量組

1,

2,…,

s也線性相關(guān)。例3.3問a取何值時，

1=(1,3,6,2)T,

2=(2,1,2,

1)T,

3=(1,

1,a,

2)T

線性無關(guān)？解 設(shè)

x1

1+x2

2+x3

3＝0 （1） 定理3.4若向量組{

1,

2,

…，

r

}線性無關(guān),而 向量組{

,

1,

2,

…，

r

}線性相關(guān),則

可由

1,

2,

…，

r線性表示，且表示法唯一。.證由于向量組{

,

1,

2,

…，

r

}線性相關(guān)，所以存在不全為零的數(shù)

,

1

,2