預習09直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系一、直線與圓的位置關(guān)系位置關(guān)系相交相切相離公共點個數(shù)2個1個0個判定方法幾何法：設(shè)圓心到直線的距離代數(shù)法：由消元得到一元二次方程，判別式為圖形二、圓與圓的位置關(guān)系圓與圓的位置關(guān)系的判定方法有幾何法和代數(shù)法兩種，如下表：位置關(guān)系幾何法代數(shù)法圖示外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含考點01 直線與圓的位置關(guān)系【方法點撥】判斷直線與圓位置關(guān)系的三種方法：（1）幾何法：由圓心到直線的距離與圓的半徑的大小關(guān)系判斷；（2）代數(shù)法：根據(jù)直線與圓的方程組成的方程組解的個數(shù)來判斷．【例1】直線與圓的位置關(guān)系為（

）A．相離 B．相交 C．相切 D．無法確定【例2】已知直線，圓，則“與有公共點”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式11】圓與直線的交點個數(shù)為（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．與k的取值有關(guān)【變式12】“”是直線和圓相交的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式13】在平面直角坐標系xOy中，直線與圓C：相交于點A，B，若，則（

）A．或 B．－1或－6 C．或 D．－2或－7考點02 直線與圓的相切問題【方法點撥】（1）求過圓上一點的圓的切線方程的方法：先求切點與圓心的連線所在直線的斜率，再由垂直關(guān)系知切線的斜率為，由點斜式方程可得切線方程．若或不存在，則切線的斜率不存在或為0，從而可直接得切線方程為或；（2）求過圓外一點的圓的切線方程一般采取幾何法：設(shè)切線方程為，即，由圓心到直線的距離等于半徑長，可求得，切線方程即可求出．【例3】圓在點處的切線方程為．【例4】設(shè)過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（

）A． B． C． D．【變式21】已知圓經(jīng)過兩點，，且圓心在直線上.(1)求圓的標準方程；(2)求過點且與圓相切的直線方程.【變式22】已知和點，則過點的的所有切線方程為.【變式23】過點向圓作兩條切線，切點分別為，若，則（

）A．或 B．或 C．或 D．或考點03 圓的弦長問題【方法點撥】一般用幾何法：由于半徑、弦長距、弦長的一半構(gòu)成直角三角形，所以利用求解【例5】直線被圓所截得的弦長為.【例6】過點的直線與圓交于兩點，則的最小值為（

）A． B． C．4 D．2【變式31】已知直線被圓心為的圓截得的弦長為，則該圓的方程為（

）A． B．C． D．【變式32】已知直線與圓相交于A，B兩點，若，則（）A． B．1 C． D．﹣2【變式33】過坐標原點O作兩條互相垂直的直線OA，OB，點A，B（異于點O）均在圓上，則面積的最大值為（

）A．26 B． C．13 D．考點04 直線與圓的實際應用【方法點撥】①認真審題，明確題意，從題目中抽象出兒何模型，明確已知量和未知量；②建立平面直角坐標系，求出相關(guān)各點的坐標，從而在實際問題中求出直線與圓的方程；③利用直線與圓的方程的有關(guān)知識求解問題；④將運算結(jié)果還原到實際問題中【例7】如圖，圓弧形拱橋的跨度米，拱高|米，則拱橋的直徑為（）A．15米 B．13米 C．9米 D．6.5米【例8】如圖，第25屆中國機器人及人工智能大賽總決賽中，主辦方設(shè)計了一個矩形坐標場地（包含地界和內(nèi)部），長為12米，在邊上距離B點5米的E處放置一只機器犬，在距離B點2米的F處放置一個機器人，機器人行走的速度為v，機器犬行走的速度為，若機器犬和機器人在場地內(nèi)沿著直線方向同時到達場地內(nèi)某點P，則機器犬將被機器人捕獲，點P叫成功點．(1)求在這個矩形場地內(nèi)成功點P的軌跡方程；(2)若N為矩形場地邊上的一點，若機器犬在線段上都能逃脫，問N點應在何處？【變式41】（多選）某市為了改善城市中心環(huán)境，計劃將市區(qū)某工廠向城市外圍遷移，需要拆除工廠內(nèi)一個高塔，施工單位在某平臺的北偏東方向處設(shè)立觀測點，在平臺的正西方向處設(shè)立觀測點，已知經(jīng)過三點的圓為圓，規(guī)定圓及其內(nèi)部區(qū)域為安全預警區(qū).以為坐標原點，的正東方向為軸正方向，建立如圖所示的平面直角坐標系.經(jīng)觀測發(fā)現(xiàn)，在平臺的正南方向的處，有一輛小汽車沿北偏西方向行駛，則（

）

A．觀測點之間的距離是B．圓的方程為C．小汽車行駛路線所在直線的方程為D．小汽車會進入安全預警區(qū)【變式42】為了保證海上平臺的生產(chǎn)安全，海事部門在某平臺的正東方向設(shè)立了觀測站，在平臺的正北方向設(shè)立了觀測站，它們到平臺的距離分別為12海里和海里，記海平面上到觀測站和平臺的距離之比為2的點的軌跡為曲線，規(guī)定曲線及其內(nèi)部區(qū)域為安全預警區(qū)．

(1)如圖，以為坐標原點，，為，軸的正方向，建立平面直角坐標系，求曲線的方程；(2)海平面上有漁船從出發(fā)，沿方向直線行駛，為使?jié)O船不進入預警區(qū)，求的取值范圍．【變式43】如圖，某海面有O，A，B三個小島（小島可視為質(zhì)點，不計大?。?，A島在O島正東方向距O島20千米處，B島在O島北偏東45°方向距O島千米處．以O(shè)為坐標原點，O的正東方向為x軸的正方向，10千米為一個單位長度，建立平面直角坐標系．圓C經(jīng)過O，A，B三點．

(1)求圓C的方程；(2)若圓C區(qū)域內(nèi)有未知暗礁，現(xiàn)有一漁船D在O島的南偏東30°方向距O島40千米處，正沿著北偏東30°方向行駛，若不改變方向，試問該漁船是否有觸礁的危險？請說明理由．考點05 圓與圓位置關(guān)系的判斷【方法點撥】判斷圓與圓的位置關(guān)系的一般步驟：①將兩圓的方程化為標準方程；②分別求出兩圓的圓心坐標和半徑；③求兩圓的圓心距；④比較與的大?。虎莞鶕?jù)大小關(guān)系確定圓與圓的位置關(guān)系．【例9】如果兩個圓沒有公共點，那么它們一定外離；如果兩個圓只有一個公共點，那么它們一定外切，這種說法是否正確？【例10】（多選）已知圓，圓，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若和外離，則或B．若和外切，則C．當時，有且僅有一條直線與和均相切D．當時，和內(nèi)含【變式51】已知圓，圓，則這兩圓的位置關(guān)系為（

）A．內(nèi)含 B．相切 C．相交 D．外離【變式52】（多選）已知圓，若圓上僅存在一點使，則正實數(shù)的取值可以是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【變式53】已知圓．(1)求直線被圓截得弦長；(2)已知圓過點且與圓相切于原點，求圓的方程．考點06 兩圓相切問題【方法點撥】將兩圓相切的問題轉(zhuǎn)化為兩圓的圓心距等于兩圓半徑之差的絕對值（內(nèi)切時）或兩圓半徑之和（外切時）【例11】已知圓和圓，則兩圓公切線的條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【例12】曲線關(guān)于對稱后的曲線為，則公切線為（

）A． B．C． D．【變式61】圓與圓的公切線長為.【變式62】平面上有兩個圓，它們的方程分別是和，求這兩個圓的內(nèi)公切線方程．【變式63】已知圓和，則圓與圓的所有公切線中斜率的最大值為.考點07 兩圓公共弦長問題【方法點撥】方法一，聯(lián)立兩圓方程求出交點坐標，再用距離公式求解；方法二，先求出兩圓公共弦所在的直線方程，再利用半徑長、弦心距和弦長的一半構(gòu)成的直角三角形求解．【例13】圓與圓的公共弦長為（

）A． B． C． D．【例14】已知是圓與圓的公共點，則的面積為（

）A．3 B． C． D．【變式71】圓和圓的公共弦所在的直線方程是（

）A． B．C． D．【變式72】古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》是古代數(shù)學的重要成果．其中有這樣一個結(jié)論：平面內(nèi)與兩定點距離的比為常數(shù)的點的軌跡是圓，后人稱這個圓為阿波羅尼斯圓．已知點，動點滿足，則點的軌跡與圓的公共弦長為（

）A． B． C． D．【變式73】圓與圓的公共弦長為，則過點且與圓相切的直線方程為．考點08 過兩圓的交點的圓問題【方法點撥】已知圓與圓相交，則過兩圓交點的圓的方程可設(shè)為注意：此方程不包括圓的方程【例15】已知圓，圓，則過圓與圓的交點且圓心在直線上的圓的方程為.【例16】已知點M到點的距離與點M到點的距離之比為.(1)求M點的軌跡C的方程；(2)求過軌跡C和的交點，且與直線相切的圓的方程；【變式81】圓心在直線上，且經(jīng)過圓與圓的交點的圓的方程為.【變式82】已知圓C：．(1)求過點且與圓C相切的直線方程；(2)求圓心在直線上，并且經(jīng)過圓C與圓Q：的交點的圓的方程．【變式83】已知圓與圓的相交于兩點.(1)求線段的長度；(2)若圓經(jīng)過圓與圓的交點，且圓心在直線上，求圓的方程.一、單選題1．已知點，圓，若圓上存在點使得，則實數(shù)的最小值是（

）A．－1 B．1 C．0 D．22．已知直線被圓截得的弦長為整數(shù)，則滿足條件的直線共有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條3．過點作圓：的兩條切線，切點分別為，，則原點到直線的距離為（

）A． B． C． D．4．已知圓和圓相交于兩點，點是圓上任意一點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．5．已知動點到原點與到點的距離之比為，記的軌跡為，直線，則（

）A．是一個半徑為的圓B．上的點到的距離的取值范圍為C．被截得的弦長為D．上存在四個點到的距離為二、多選題6．已知直線與圓交于A，B兩點，則的值可以為（

）A．3 B．4 C．5 D．67．已知直線與圓相交于兩點，下列說法正確的是（

）A．若圓關(guān)于直線對稱，則B．的最小值為C．當時，對任意，曲線恒過直線與圓的交點D．若（為坐標原點）四點共圓，則三、填空題8．已知圓，圓，若兩圓相交，則正實數(shù)的取值范圍是.9．已知圓以點為圓心，且與直線相切，則滿足以上條件的圓的半徑最大時，圓的標準方程為．四、解答題10．求滿足下列條件的曲線方程：(1)求過點且與圓相切的直線方程；