專題5-1等差等比性質綜合目錄TOC\o"1-1"\h\u題型01等差數(shù)列單調性 1題型02等比數(shù)列單調性 2題型03等差數(shù)列不等式正負分界 3題型04等比數(shù)列“1”比較型不等式 3題型05等差數(shù)列“高斯”性質 4題型06等比數(shù)列“高斯”性質 5題型07等差中項比值型 6題型08等比中項比值型 7題型09整數(shù)型比值 7題型10等差等比函數(shù)性質：恒成立求參 8題型11等差等比函數(shù)性質：奇偶型討論 9題型12等差等比函數(shù)性質：三角函數(shù)型 9題型13等差等比插入數(shù)型 10題型14等差等比分段型數(shù)列 11高考練場 12題型01等差數(shù)列單調性【解題攻略】判斷數(shù)列的單調性，常用的方法有作差比較法、作商比較法和函數(shù)圖象法：（1）作差比較法：當時，遞增；當時，遞減.（2）作商比較法：若，則當時，遞增；當時，遞減.（3）函數(shù)圖象法：設，則可用函數(shù)的圖象來研究數(shù)列的單調性【典例1-1】（2023春·廣東佛山·高二佛山市三水區(qū)三水中學?？茧A段練習）設是等差數(shù)列的前項和，若，且，則下列選項中正確的是（

）A． B．和均為的最大值C．存在正整數(shù)，使得 D．存在正整數(shù)，使得【典例1-2】（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，函數(shù)是定義在上的單調遞增的奇函數(shù)，數(shù)列的前項和為，對于命題：①若數(shù)列為遞增數(shù)列，則對一切，；②若對一切，，則數(shù)列為遞增數(shù)列；③若存在，使得，則存在，使得；④若存在，使得，則存在，使得；其中正確命題的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式1-1】（2019秋·河南洛陽·高三統(tǒng)考）已知數(shù)列為等差數(shù)列，其前項和為，若（且），有以下結論：①；②；③為遞增數(shù)列；④．則正確的結論的個數(shù)為A． B． C． D．【變式1-2】（2019春·上海楊浦·高三復旦附中?？迹┮阎獢?shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，函數(shù)是定義在上的單調遞增的奇函數(shù)，數(shù)列的前項和為，對于命題：①若數(shù)列為遞增數(shù)列，則對一切，②若對一切，，則數(shù)列為遞增數(shù)列③若存在，使得，則存在，使得④若存在，使得，則存在，使得其中正確命題的個數(shù)為A．0 B．1 C．2 D．3【變式1-3】（2022·全國·高三專題練習）已知數(shù)列是首項為，公差為1的等差數(shù)列，數(shù)列滿足若對任意的，都有成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型02等比數(shù)列單調性【解題攻略】函數(shù)圖象法：求出數(shù)列的前n項和，利用函數(shù)的圖象性質來研究的最大最小值問題.【典例1-1】無窮數(shù)列的前項和為，滿足，則下列結論中正確的有（

）A．為等比數(shù)列 B．為遞增數(shù)列【典例1-2】等比數(shù)列的公比為，則“”是“對于任意正整數(shù)n，都有”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【變式1-1】已知數(shù)列滿足，，設，且數(shù)列是單調遞增數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【變式1-2】.數(shù)列是等比數(shù)列，首項為，公比為q，則是“數(shù)列遞減”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【變式1-3】數(shù)列{an}滿足an+1＝2an+1，a1＝1，若bn＝an﹣n2+4n為單調遞增數(shù)列，則的取值范圍為（）A． B． C． D．題型03等差數(shù)列不等式正負分界【解題攻略】鄰項變號法：若當時，，當時，，則數(shù)列中，最大；若當時，，當時，，則數(shù)列中，最小.【典例1-1】（2023·全國·高三專題練習）已知等差數(shù)列的前n項和為，且滿足，，則下列結論正確的是（

）A．，且 B．，且C．，且 D．，且【典例1-2】（2022·全國·高三專題練習）設等差數(shù)列的前項和為，公差為．已知，，，則選項不正確的是（

）A．數(shù)列的最小項為第項 B．C． D．時，的最大值為【變式1-1】（2021·全國·高三專題練習）設數(shù)列為等差數(shù)列，為其前項和，若，，，則的最大值為A．3 B．4 C． D．【變式1-2】（2022·全國·高三專題練習）已知公差非零的等差數(shù)列滿足，則下列結論正確的是（

）A． B．C．當時， D．當時，【變式1-3】（2023·全國·高三專題練習）在等差數(shù)列中，為其前n項和.若，，則下列判斷錯誤的是（

）A．數(shù)列遞增 B． C．數(shù)列前2020項和最小 D．題型04等比數(shù)列“1”比較型不等式【解題攻略】等比數(shù)列“平衡點”型不等式，主要從以下幾個性質思考：1.若p＋q＝m＋n，則ap·aq＝am·an，特別地，若p＋q＝2k，則ap·aq＝ak22.如果等比數(shù)列是正項遞增數(shù)列，則若p＋q>m＋n，則ap·aq>am·an.【典例1-1】（2023·全國·高三專題練習）設等比數(shù)列的公比為，其前項之積為，并且滿足條件：，，，給出下列結論：①；②；③是數(shù)列中的最大項；④使成立的最大自然數(shù)等于4039；其中正確結論的序號為（

）A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④【典例1-2】（2022秋·江西贛州·高三校聯(lián)考階段練習）設公比為的等比數(shù)列的前項和為，前項積為，且，，，則下列結論正確的是（

）A． B．C．是數(shù)列中的最大值 D．數(shù)列無最大值【變式1-1】（2023秋·高三課時練習）設等比數(shù)列的公比為，其前項和為，前項積為，且滿足條件，，，則下列選項錯誤的是（

）A． B．C．是數(shù)列中的最大項 D．【變式1-2】（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·高三齊齊哈爾市恒昌中學校?？计谀┰O等比數(shù)列的公比為q，前n項積為，并且滿足條件，，，則下列結論正確的是（

）A． B． C． D．沒有最大值【變式1-3】（2023·全國·高三專題練習）設等比數(shù)列的公比為q，其前n項和為，并且滿足條件，則下列結論正確的是（

）A． B． C． D．的最大值為題型05等差數(shù)列“高斯”性質【解題攻略】.一般地，如果為等差數(shù)列，為其前項和，則有性質：（1）若，則；（2）且；（3）且為等差數(shù)列；（4）為等差數(shù)列.【典例1-1】（2021·江蘇·高三專題練習）已知等差數(shù)列滿足，則的最大值為（

）A． B．20 C．25 D．100【典例1-2】（2022·全國·高三專題練習）已知數(shù)列是公差不為零且各項均為正數(shù)的無窮等差數(shù)列，其前項和為.若且，則下列判斷正確的是（

）A． B．C． D．【變式1-1】（2022秋·山東臨沂·高三?？计谥校┮阎炔顢?shù)列的前項和為，若，則（

）A．22 B．33 C．44 D．55【變式1-2】（2023秋·高三課時練習）在等差數(shù)列中，，則數(shù)列的前19項之和為（

）A．98 B．95 C．93 D．90【變式1-3】（2023秋·重慶沙坪壩·高三重慶南開中學?？迹┰诘炔顢?shù)列中，若，則（

）A．30 B．40 C．45 D．60.題型06等比數(shù)列“高斯”性質【解題攻略】等比數(shù)列“高斯技巧”（1)“高斯”技巧：若p＋q＝m＋n，則ap·aq＝am·an，特別地，若p＋q＝2k，則ap·aq＝ak2；(2)“跳項”等比：數(shù)列an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…為等比數(shù)列，公比為qk.(3)“和項”等比：數(shù)列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數(shù)列，其公比為__qn__.【典例1-1】（2023秋·山西太原·高三統(tǒng)考）已知數(shù)列為等比數(shù)列，且，設等差數(shù)列的前項和為，若，則（

）A．7 B．14 C． D．【典例1-2】（2023春·內蒙古通遼·高三校聯(lián)考開學考試）已知等比數(shù)列滿足：，則的值為（

）A．20 B．10 C．5 D．【變式1-1】（2023春·河南鄭州·高三河南省實驗中學?？迹┮阎缺葦?shù)列的各項均為正數(shù)，且，則（

）A．3 B．4 C．5 D．6【變式1-2】（2022秋·湖南常德·高三臨澧縣第一中學校考階段練習）已知方程的四個根組成以1為首項的等比數(shù)列，則（

）A． B．或 C． D．【變式1-3】（2023秋·甘肅·高三?？茧A段練習）若等比數(shù)列中的，是方程的兩個根，則等于（

）A． B．1011C． D．1012題型07等差中項比值型【解題攻略】雙數(shù)列等差中項比值轉化型、均為等差數(shù)列且其前項和為、則【典例1-1】（2023春·新疆伊犁·高三校考）設等差數(shù)列、的前n項和分別是，，若，則=（

）A． B． C． D．【典例1-2】（2023春·江西吉安·高三永豐縣永豐中學?？迹┑炔顢?shù)列和的前項和分別記為與，若，則（

）A． B． C． D．【變式1-1】（2023·全國·高三專題練習）已知等差數(shù)列的前項和分別為，若對于任意的自然數(shù)，都有，則（

）A． B． C． D．【變式1-2】（2023春·新疆·高三八一中學?？迹┤魞蓚€等差數(shù)列，的前n項和滿足，則（

）A． B． C． D．【變式1-3】（2023·全國·高三專題練習）已知等差數(shù)列和的前項和分別為，，且，則的值為（

）A． B． C． D．題型08等比中項比值型【典例1-1】已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，，成等差數(shù)列，則（

）A．27 B．3 C．1或3 D．1或27【典例1-2】已知等比數(shù)列中，，，成等差數(shù)列．則=（

）A．4或 B．4 C． D．【變式1-1】設等比數(shù)列的前項和為，且，則（

）A． B． C． D．【變式1-2】已知等比數(shù)列的前項和為，且，，成等差數(shù)列，則（

）A． B． C．3 D．4【變式1-3】已知等比數(shù)列中，各項都是正數(shù)，且，，成等差數(shù)列，則（

）A． B． C． D．題型09整數(shù)型比值【解題攻略】整數(shù)型比值，可以通過分離常數(shù)，因式分解，整除等知識點來構造求解【典例1-1】已知等差數(shù)列的公差不為0，等比數(shù)列的公比，若，且是正整數(shù)，則實數(shù)（

）A．4 B．2 C． D．【典例1-2】（2023春·江西撫州·高三江西省樂安縣第二中學校考）已知兩個等差數(shù)列和的前n項和分別為Sn和Tn，且=，則使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個數(shù)為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【變式1-1】（2022春·安徽安慶·高三安慶市第七中學?？茧A段練習）已知等差數(shù)列和等差數(shù)列的前n項和分別為，且，則使為整數(shù)的正整數(shù)n的個數(shù)是（

）A．2 B．6 C．4 D．5【變式1-2】（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列，均為等差數(shù)列，其前項和分別為，，且，則使恒成立的實數(shù)的最大值為（

）A． B． C．1 D．2題型10等差等比函數(shù)性質：恒成立求參【典例1-1】（2020·江蘇·高三專題練習）已知是公比不為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足：，，成等比數(shù)列，，若數(shù)列的前項和對任意的恒成立，則的最大值為A． B．C． D．【典例1-2】（2020·全國·高三專題練習）已知為遞增的等差數(shù)列，且構成等比數(shù)列.若，數(shù)列的前項和恒成立，則的最小值為A． B． C． D．【變式1-1】（2021秋·山西朔州·高三?？茧A段練習）等比數(shù)列的前項和（為常數(shù)），若恒成立，則實數(shù)的最大值是A． B． C． D．【變式1-2】（2023秋·遼寧·高三?？茧A段練習）已知數(shù)列滿足：，.設，若對于任意的，恒成立，則實數(shù)的取值范圍為【變式1-3】（2023秋·甘肅定西·高三甘肅省臨洮中學?？茧A段練習）在數(shù)列中，，，若對于任意的，恒成立，則實數(shù)的最小值為．題型11等差等比函數(shù)性質：奇偶型討論【解題攻略】奇偶型討論：1.奇偶項正負相間型求和，可以兩項結合構成“常數(shù)數(shù)列”。2.如果需要討論奇偶，一般情況下，先求偶，再求奇。求奇時候，直接代入偶數(shù)項公式，再加上最后的奇數(shù)項通項?！镜淅?-1】數(shù)列滿足，則的80項和為________.【典例1-2】數(shù)列{}中，，前和為，則為（

）A．-12 B．16 C．-10 D．12【變式1-1】已知數(shù)列滿足，令，設的前項和為，則（

）.A．5049 B．5050 C．5051 D．5052【變式1-2】數(shù)列滿足，則數(shù)列的前48項和為（

）A．1006 B．1176 C．1228 D．2368題型12等差等比函數(shù)性質：三角函數(shù)型【典例1-1】（2021上·河南商丘·高三睢縣高級中學?？茧A段練習）設數(shù)列的通項公式為，其前項和為，則（

）A． B． C．180 D．240【典例1-2】（2022·浙江寧波·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列滿足，.若對恒成立，則正實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式1-1】（2021上·河南南陽·高三南陽中學?？茧A段練習）數(shù)列的通項，其前項和為，則S18為（

）A．173 B．174 C．175 D．176【變式1-2】（2020下·四川成都·高三樹德中學?？迹┰O數(shù)列{an}的前n項和為Sn，對任意n∈N*總有2Sn＝an2+n，且an＜an+1.若對任意n∈N*，θ∈R，不等式λ（n+2）恒成立，求實數(shù)λ的最小值A．1 B．2 C．1 D．【變式1-3】（2022·浙江·浙江省江山中學校聯(lián)考模擬預測）已知依次組成嚴格遞增的等差數(shù)列，則下列結論錯誤的是（

）A．依次可組成等差數(shù)列 B．依次可組成等差數(shù)列C．依次可組成等差數(shù)列 D．依次可組成等差數(shù)列題型13等差等比插入數(shù)型【解題攻略】插入數(shù)型1.插入數(shù)構成等差數(shù)列在和之間插入個數(shù)，使這個數(shù)構成等差數(shù)列，可通過構造新數(shù)列來求解個數(shù)構成等差數(shù)列，公差記為，所以：插入數(shù)構成等比數(shù)列在和之間插入個數(shù)，使這個數(shù)構成等比數(shù)列，可通過構造新數(shù)列來求解個數(shù)構成等比數(shù)列，公差記為，所以：插入數(shù)混合型混合型插入數(shù)列，其突破口在于：在插入這些數(shù)中，數(shù)列提供了多少項，其余都是插入進來的?！镜淅?-1】（2023·江西南昌·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列的通項公式為，保持數(shù)列中各項順序不變，對任意的，在數(shù)列的與項之間，都插入個相同的數(shù)，組成數(shù)列，記數(shù)列的前n項的和為，則（

）A．4056 B．4096 C．8152 D．8192【典例1-2】（2022上·浙江·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）通過以下操作得到一系列數(shù)列：第1次，在2，3之間插入2與3的積6，得到數(shù)列2，6，3；第2次，在2，6，3每兩個相鄰數(shù)之間插入它們的積，得到數(shù)列2，12，6，18，3；類似地，第3次操作后，得到數(shù)列：2，24，12，72，6，108，18，54，3.按上述這樣操作11次后，得到的數(shù)列記為，則的值是（

）A．6 B．12 C．18 D．108【變式1-1】（2019下·貴州遵義·高三統(tǒng)考）在1和19之間插入個數(shù)，使這個數(shù)成等差數(shù)列，若這個數(shù)中第一個為，第個為，當取最小值時，的值是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【變式1-2】（2018·全國·高三競賽）已知、是不相等的正數(shù)，在、之間插入兩組數(shù)，，…，，，，…，，使，，，…，，成等差數(shù)列，，，，…，，成等比數(shù)列．則下列不等式（1），（2），（3），（4）中，為真命題的是（

）．A．（1）、（3） B．（1）、（4）C．（2）、（3） D．（2）、（4）【變式1-3】（2021下·高三課時練習）在數(shù)列、、、、的每相鄰兩項中插入個數(shù)，使它們與原數(shù)構成一個新數(shù)列，則新數(shù)列的第項（

）A．不是原數(shù)列的項 B．是原數(shù)列的第項C．是原數(shù)列的第項 D．是原數(shù)列的第項題型14等差等比分段型數(shù)列【典例1-1】已知數(shù)列，，數(shù)列滿足.若，且對任意，恒成立，則可能為（

）A． B． C． D．【典例1-2】數(shù)列滿足，，若為等比數(shù)列，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式1-1】數(shù)學史上著名的“冰雹猜想”的遞推關系如下：已知數(shù)列中，（m是正整數(shù)），若，則m所有可能的取值集合是（

）A． B． C． D．【變式1-2】已知數(shù)列的通項公式為，是數(shù)列的前n項和，若，使，則（

）A．1 B．2 C．1或3 D．2或3【變式1-3】已知數(shù)列滿足，且，則中整數(shù)項的個數(shù)為（

）A．20 B．21 C．22 D．23高考練場1.（2022·全國·高三專題練習）在各項均為正數(shù)的等差數(shù)列中，為其前項和，，則的最小值為（

）A．9 B． C． D．22.設是等比數(shù)列，則“對于任意的正整數(shù)n，都有”是“是嚴格遞增數(shù)列”（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3.（2018春·江西撫州·高三臨川一中?？迹┰O等差數(shù)列滿足，，數(shù)列的前項和記為，則A．， B．，C．， D．，4.（2022·全國·高三專題