第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年上海市金山區(qū)華東師大三附中高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共4小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.“n=6”是“(x2+1A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.既非充分也非必要條件2.已知復(fù)數(shù)z滿足z2=z?，則復(fù)數(shù)zA.1 B.2 C.3 D.43.已知M(x0,y0)是圓xA.相交 B.相切 C.相離 D.不確定4.已知橢圓x24+y2=1，作垂直于x軸的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，作垂直于y軸的直線交橢圓于C，D兩點(diǎn)，且|AB|=|CD|，兩垂線相交于點(diǎn)P，若點(diǎn)P的軌跡是某種曲線(A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線二、填空題：本題共12小題，共54分。5.在等差數(shù)列{an}中，a1=1，公差d=2，則6.已知函數(shù)f(x)=(m?1)xm2?3m?5是冪函數(shù)，則實(shí)數(shù)m=7.已知向量a=(?1,2),b=(x,4)，且a⊥b，則8.拋物線y=x2的準(zhǔn)線方程為________．9.已知直線x+2y?3=0和2x+my+1=0互相平行，則它們之間的距離是______．10.已知隨機(jī)變量X的分布為?2130.160.440.40，則11.方程x23?m+y2m?1=112.直線l的斜率的取值范圍為[?1,1]，則其傾斜角的取值范圍是______．13.已知橢圓x216+y27=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F214.已知m∈R，動(dòng)直線l1：x+my?1=0過定點(diǎn)A，動(dòng)直線l2：mx?y?2m+3=0過定點(diǎn)B，若l1與l2交于點(diǎn)P(異于點(diǎn)A，B)，則|PA|+|PB|15.數(shù)學(xué)中有許多寓意美好的曲線，曲線C：(x2+y2)3=4x2y2被稱為“四葉玫瑰線”(如圖所示).給出下列三個(gè)結(jié)論：

①曲線C關(guān)于直線y=x對(duì)稱；

②曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過1；

③存在一個(gè)以原點(diǎn)為中心、邊長為216.定義兩個(gè)點(diǎn)集S、T之間的距離集為d(S,T)={|PQ||P∈S，Q∈T}，其中|PQ|表示兩點(diǎn)P、Q之間的距離，已知k、t∈R，S={(x,y)|y=kx+t，x∈R}，T={(x,y)|y=4x2+1,x∈R}，若d(S,T)=(1,+∞)，則t的值為三、解答題：本題共5小題，共78分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題14分)

在長方體ABCD?A1B1C1D1中(如圖)，AD=AA1=1，AB=2，點(diǎn)E是棱AB的中點(diǎn)．

(1)在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑.18.(本小題14分)

已知向量a=(3sinx,1)，b=(cosx,?1)．

(1)若a//b，求tan2x的值；

(2)若f(x)=(19.(本小題14分)

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A(0,0),B(3,3),C(1,?5)，記△ABC外接圓為圓M．

(1)求圓M的方程；

(2)在圓M上是否存在點(diǎn)P，使得|PB|220.(本小題18分)

已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，直線l過右焦點(diǎn)F2且與雙曲線C交于A、B兩點(diǎn)．

(1)若雙曲線C的離心率為3，虛軸長為22，求雙曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)設(shè)a=1，b=3，若21.(本小題18分)

已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為32，左、右頂點(diǎn)分別為A、B，過點(diǎn)M(?12,0)的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)P、Q(異于A、B)，且AM=35MB．

(1)求橢圓C的方程；

(2)若直線AP、QB的斜率分別為k1、k2，且參考答案1.A

2.D

3.C

4.C

5.5

6.2

7.8

8.y=?19.710.7.64

11.(1,2)

12.[0,π13.7

14.215.①②

16.?17.解：(1)在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，

點(diǎn)E是棱AB的中點(diǎn)，

∴DE=EC=2，CD=2，

∴DE2+CE2=DC2，∴DE⊥CE，

∵DD1⊥平面DEC，CE?平面DEC，∴DD1⊥CE，

∵DE∩DD1=D，∴CE⊥平面D1DE，

∵D1E?平面D1DE，∴CE⊥D1E，

∴18.解：(1)∵向量a=(3sinx,1)，b=(cosx,?1)，

又a//b，

∴1×cosx=?1×3sinx，cosx不為0，否則sinx也為0，

∴tanx=?33，

∴tan2x=2tanx1?tan2x=?3．

(2)∵f(x)=(a+b)?b，

∴f(x)=3sinxcosx+cos2x

=32sin2x+19.解：(1)設(shè)△ABC外接圓M的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0．

將A(0,0),B(3,3),C(1,?5)代入，

得F=0D+E+6=0D?5E+6=0，解得D=?6E=0F=0．

∴圓M的方程為x2+y2?6x=0；

(2)設(shè)點(diǎn)P(x,y)，

∵|PB|2?|PA|2=12，∴(x?3)2+(y?3)2?x2?y2=12，

20.解：(1)由題意可得：e=ca=1+b2a2=3，2b=22，

解得b=2，a=1，c=3，

∴雙曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±3,0)；

(2)a=1，b=3，∴雙曲線C的方程為x2?y23=1，c=a2+b2=2．

設(shè)直線l的方程為y=k(x?2)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

把y=k(x?2)代入雙曲線C的方程可得：(3?k2)x2+4k2x?4k2?3=0，

則x1+x2=?4k23?k2，x1x2=?4k2?33?k2，

∵(F1A+F1B)?AB=0，

∴(x1+x2+4,y21.解：(1)因?yàn)锳(?a,0)，B(a,0)，所以AM=(?12+a,0),MB=(a+12,0)，

由AM=35MB可得?12+a=35(a+12)，解得a=2，

因?yàn)殡x心率為32，則c2a2=34，又a2=b2+c2，則b2=