2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊(cè)

6.4.3余弦定理、正弦定理的綜合應(yīng)用同步練習(xí)

學(xué)校:姓名：班級(jí)：學(xué)號(hào)：

一.選擇題

1.在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知（sinB—s譏C）2=siMa—

sinBsinC,a=2百，6=2,貝必ABC的面積為（）

A.2B.2V3C.4D.4V3

2.有一長為10zn的斜坡，傾斜角為75。，在不改變坡高和坡頂?shù)那疤嵯?，通過加長坡

面的方法將它的傾斜角改為30。，則坡底要延長的長度（單位：M）是（）

A.5B.10C.10V2D.10V3

3.某人在C點(diǎn)測(cè)得某塔在南偏西80。方向上,塔頂A的仰角為45。,此人沿南偏東40。方

向前進(jìn)10zn到Z）,測(cè)得塔頂A的仰角為30。，則塔高為（）

A.15mB.5mC.10mD.12m

4.如圖所示，隔河可以看到對(duì)岸兩目標(biāo)A,S但不能到達(dá)，

、、、、、」;

現(xiàn)在岸邊取相距4km的C,。兩點(diǎn)，測(cè)得N4CB=75°,''、75；；J45；、

'泡5。3旃4

ZBCD=45°,/.ADC=30°,^ADB=45°（X,B,C,D在C4kmD

同一平面內(nèi)），則兩目標(biāo)A,B間的距離為（）

A.—kmB.C.D.2V5km

333

5.已知銳角三角形ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,6,c,23cos2&+cos24=0,

a=7,c=6,則6等于（）

A.10B.9C.8D.5

6.如圖，飛機(jī)的航線和山頂在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)，已知飛機(jī)的高度為海拔20000處

速度為900kzn",飛行員先看到山頂?shù)母┙菫?0。，經(jīng)過80s后又看到山頂?shù)母┙?/p>

為75。，則山頂?shù)暮０胃叨葹椋ǎ?/p>

A.5000(73+l)mB.5000(73-l)mC.5000(3-V3)mD.5000(5-V3)m

7.如圖，從氣球A上測(cè)得其正前下方的河流兩岸B,C的俯角分別為75。，30°,此時(shí)

氣球的高度AD是60m，則河流的寬度3。是（）

A.240（73-l）mB.180（V2-l）mC.120（V3-l）mD.30（V3+l）m

8.如圖所示，位于東海某島的雷達(dá)觀測(cè)站4發(fā)現(xiàn)其北偏東45。方北],

向，距離20近海里的B處有一貨船正勻速直線行駛，半小時(shí)后，45。/^

又測(cè)得該貨船位于觀測(cè)站A東偏北火0°＜。＜45。）方向的C處，42卷一----

且cos。=[.已知A,C之間的距離為10海里，則該貨船的速度

大小為（）

A.4座海里/小時(shí)B.3扇海里/小時(shí)

C.2夕海里/小時(shí)D.4泥海里/小時(shí)

9.在2L4BC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若a=1,B=45°,ShABC=2,則

△4BC外接圓的直徑為（）

A.5B.4V3C.5V2D.6V2

10.如圖,兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，

燈塔A在觀察站C的南偏西40。,燈塔B在觀察站C

的南偏東60。，則燈塔A在燈塔2的（）

A.北偏東10。B.北偏西10。

C.南偏東80。D.南偏西80。

11.如圖，兩座相距60m的建筑物AB,C。的高度分別

為20/”,50/71,8。為水平線，則從建筑物AB的頂

端A看建筑物CD的視角NC4D的大小是（）

A.30°B.45°

C.60°D.75°

12.如圖，為測(cè)塔的高度，某人在與塔底A同一水

平線上的C點(diǎn)測(cè)得NACB=45°,再沿AC方向前行

20（舊—1）米到達(dá)D點(diǎn)，測(cè)得乙4DB=30。，則塔

高為（）

A.40百米B.20百米C40米D.20米

二.填空題

1

13.在A4BC中，已知a=3近，cosC=S^ABC=4百，則6=.

14.如圖，為測(cè)量塔的高度，在塔底所在的水平面內(nèi)取一點(diǎn)C,測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?,

由C向塔前進(jìn)30米后到達(dá)點(diǎn)D,測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?仇再由。向塔前進(jìn)10g米

后到達(dá)點(diǎn)E,測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?0,則塔高為米.

15.在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知爐=ac且cosB=-.

4

(1)則白++的值為?

(2)設(shè)瓦I?就=|，則a+c的值為

16.臺(tái)風(fēng)中心從A地以每小時(shí)20千米的速度向東北方向移動(dòng)，離臺(tái)風(fēng)中心30千米內(nèi)的

地區(qū)為危險(xiǎn)區(qū)，城市B在A的正東方向40千米處，則B城市處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的時(shí)間

為小時(shí).

17.如圖，為測(cè)量山高M(jìn)N,選擇A和另一座山的山頂

C為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)，從A點(diǎn)測(cè)得M點(diǎn)的仰角乙M4V=

60°,C點(diǎn)的仰角NC4B=45。，/.MAC=75°,從C

點(diǎn)測(cè)得NMC4=60。.已知山高BC=100m,則

MN=m.

18.在A4BC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,6,c,已知A4BC的面積為3咫,6-c=2,

COST!=-i則a的值為__________.

4

三.解答題

19.在A4BC中，a,b,c分別為角A,B,C所對(duì)的邊，角C是鈍角，且sMB=*

(I)求角C的值；

(11)若6=2,448。的面積為百，求c的值.

20.某校運(yùn)動(dòng)會(huì)開幕式上舉行升旗儀式，旗桿正好處在

坡角為15。的觀禮臺(tái)的某一列的正前方，從這一列

的第一排和最后一排測(cè)得旗桿頂部B的仰角分別

為60。和30。，第一排和最后一排的距離為10痣米（

如圖所示），旗桿底部與第一排在同一水平面上，

若國歌播放的時(shí)間約為50秒，升旗手應(yīng)以約多大的速度勻速升旗?

21.如圖，經(jīng)過村莊A有兩條夾角為60。的公路AB,AC,

根據(jù)規(guī)劃擬在兩條公路之間的區(qū)域內(nèi)建一工廠P,分

別在兩條公路邊上建兩個(gè)倉庫M、N（異于村莊4）,

要求PM=PN=MN=2（單位：千米）.如何設(shè)計(jì)，使

得工廠產(chǎn)生的噪聲對(duì)居民的影響最?。垂S與村莊B

的距離最遠(yuǎn)）.

答案和解析

一.選擇題

1.【答案】B

【解析】解：???(sinB—sinC)2=sin2i4—sinBsinC,

???sin2i?+sin2c—IsinBsinC=sin2i4—sinBsinC,

??.由正弦定理可得從+c2—2bc=a2—be,可得廬+c2—a2=be,

???由余弦定理可得cosa="+c2-az=生=方由ae(o,7r),可得a=￡

2bc2bc23

.dV3，

sinA=——2

a=2V3,b=2,

???由正弦定理可得S譏B="好=型=工，由b<a，2為銳角，可得Be，

a2V32

7T

C=7i—A—B=-

2f

??.△ABC的面積S=Iah=Ix2V3x2=2A/3.

故選：B.

由已知利用平方差公式，正弦定理，余弦定理可求cosA=p由4e(0,71),可得4=p

由正弦定理可得sinB=g由b<a,B為銳角,可得B=±利用三角形內(nèi)角和定理可

26

求c=T，根據(jù)三角形的面積公式即可求解.

本題主要考查了平方差公式，正弦定理，余弦定理，三角形內(nèi)角和定理，三角形的面積

公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】C

【解析】

【分析】

本題的考點(diǎn)是解三角形的實(shí)際應(yīng)用，主要考查正弦定理的應(yīng)用，考查三角形模型的構(gòu)建,

屬于中檔題.

由題意畫出圖形，利用正弦定理求出坡底要延長的距離即可.

【解答】

解：由題意可知P4=10,^PAO=75°,

乙B=30°,乙BPA=45°,

如圖：^PAB=180°-75°=105°,

由正弦定理與=飛

sm45sin30

可得43=衛(wèi)等二=10夜.

2

即坡底要延長10夜孤

故選C.

3.【答案】C

【解析】

【分析】本題考查解三角形的實(shí)際應(yīng)用以及余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題.

作出圖形，設(shè)塔高為hm.在RtAAOC中，乙4CO=45。，則。C=。4=h.

在RtAAOD中，NAD。=30。，則OD=舊兒在△OCD中，運(yùn)用余弦定理，建立力的方程,

解得//的值，即可得到答案.

【解答】

解：如圖所示，設(shè)塔高為/17n.

在RN40C中，^ACO=45°,則。C=。2=h.

在RtAAOD中，ZXDO=30°,則0。=次兒

在AOCD中，ZOCD=120°,CD=10.

由余弦定理，得OD2=OC2+CD2-2OC-CDcos^OCD,

即（⑺/產(chǎn)=ft2+102-2/ix10xcosl20。，

所以/z2-5h-50=0

解得八=10或%=—5（舍）.

故選C.

4.【答案】B

【解析】

【分析】

本題主要考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用問題，也考查了計(jì)算求解能力

和轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.

在ZL4CD中由正弦定理可求AD的值，在ABCD中由正弦定理可求8。的值，再在AABD中

由余弦定理可求A3的值.

【解答】

解：由已知，A4CD中，^ADC=30°,AACD=120°,可得々CAD=30。,

CDAD

由正弦定理，得

sinZ.CADsinNAC。

所以.AD=

sinZ.CAD

2

△BCD中，4CDB=75°,^BCD=45°,可得NCBD=60°,

CDBD

由正弦定理，得

sinZ.CBDsin/.BCD

,6

CQsinNBCD_4*E_兇

所以3。

siuZ.CBD^/33

△ABD中，由余弦定理，得

讓=加+加一2的9.3〃即=48+卜2><4舊><竽/=拳

解得：4B=等,

則兩目標(biāo)A,2間的距離為史至km.

3

故選：B.

5.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查余弦定理，二倍角的余弦函數(shù)公式，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵.

利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡已知的等式，求出cosA的值，再由。與c的值，利用

余弦定理即可求出6的值.

【解答】

解：23cos2A+cos2A=23cos2a+2cos2A—1=0,

?1?cos2A=A為銳角，

A1

???cosA=

又??,a=7,c=6,

根據(jù)余弦定理得：a2=b2+c2-2bc-cosA,

r12

49=b2+36-y&,

二解得：b=5或b=（舍去），

Z7—5.

故選o.

6.【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了正弦定理與直角三角形的邊角關(guān)系應(yīng)用問題，屬于中檔題.

根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形利用正弦定理和直角三角形的邊角關(guān)系，即可求出山頂?shù)?/p>

海拔高度.

【解答】

解：如圖，過點(diǎn)C作CD14B于點(diǎn)D

C

由題意知乙4=30°,4CBD=75",

1

則N4CB=45",AB=900X80X—=20(fcm).

.?.在AABC中，由正弦定理，得BC=10&(km).

CD1AD,

???CD=BCsin/CBD=BCXsin75°=10V2sin75°=5+5V3(fcm).

山頂?shù)暮０胃叨葹閇20-(5+5V3)]fcm=5000(3-V3)m.

故選C.

7.【答案】C

【解析】

【分析】

本題給出實(shí)際應(yīng)用問題，求河流在8、C兩地的寬度，著重考查了三角函數(shù)的定義、正

余弦定理解三角形的知識(shí)，屬于中檔題.

【解答】

解：如圖，4DAB=15°,

???tanl50=tan(45°-30°)=2-技

在RtAADB中，又4。=60,DB=AD-tanl5°=120-6073.

在RZA4DC中，ADAC=60°,AD=60,DC=AD-tan60°=60V3.

???BC=DC-DB=60V3-(120-60V3)=120(73-l)(m),

?,?河流的寬度8c等于120(W-l)m.

故選C.

8.【答案】A

【解析】

【分析】

本題主要考查解三角形的應(yīng)用，余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題.

根據(jù)條件求出cosNBAC,以及利用余弦定理求出BC的長度是解決本題的關(guān)鍵.

【解答】

4

解：vcos9=

sind=由題意得NBAC=45°-。，

即cosNBAC=cos(45°一。)=?x《+|)=皆，

???AB=20V2>AC=10,

???由余弦定理得BO?=AB2+AC2-2AB-ACcosAC,

即B(72=(20/)2+io2_2x20V2x10x苦=800+100-560=340,

即8c=V340=2V85,

設(shè)船速為x,

則六=2V85,

.-.x=4候(海里/小時(shí))，

故選A.

9【答案】C

【解析】

【分析】本題考查正余弦定理的應(yīng)用，三角形面積公式，考查運(yùn)算化簡的能力，屬于基

礎(chǔ)題，先由三角形面積公式求得c=4a,由余弦定理求得b=5,利用正弦定理可得.

【解答】

解：■■■SAABC=2,

?ocsinf?2.

2

-xlxcx—=2,

22

???c=4V2.

*/b1=a2+c1-2accosB

：.b2=12+（4V2）2-2x1x4V2Xy=25,

—5.

設(shè)4ABC的外接圓半徑為R.

一」U=2/?,

.-.27?=--=5^.

sin4o

故選c.

10.【答案】D

【解析】

【分析】本題考查解三角形的實(shí)際應(yīng)用，解答此類題需要正確畫出方位角.

根據(jù)圖正確表示出方位角，即可求解.

【解答】解：由條件及題圖可知，乙4=48=40。，

又「BCD=60°,所以NCBD=30°,所以NDBA=10°,

因此燈塔A在燈塔B南偏西80。.

11.【答案】B

【解析】

【分析】本題為解三角形的題目，考查利用余弦定理解三角形，題目基礎(chǔ).

首先分別求得=4000,AC2=4500,進(jìn)而利用余弦定理求得cos/CAD的值，即可

求解.

【解答】

解:AD2=602+202=4000,

AC2=602+302=4500.

在△C4D中，由余弦定理，得cosNCAD=絲位空=叱，

2ADAC2

i^CAD=45°.

故選反

12.【答案】D

【解析】

【分析】本題為解三角形實(shí)際應(yīng)用問題，題目基礎(chǔ).

首先設(shè)出關(guān)鍵量4B=%,在直角三角形中利用30。角的正切值求解即可.

【解答】

解：RtAABC中，設(shè)4B=x,

則由乙4cB=45°可知AC=x,

在RtAABD中，AD=x+20(V3-1),^ADB=30",

W^=tan30。，即日＞=遮,

解得％=20.

則塔高為20米.

故選D

13.【答案】2V3

【解析】

【分析】

此題考查了三角形面積公式，以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，熟練掌握公式是解本題的

關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

由cosC的值，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出sinC的值，利用三角形面積公式列出

關(guān)系式，把a(bǔ),sinC以及已知面積代入求出6的值即可.

【解答】

-1

解：vA4BC中，cosC=

???sinC=dl—cos2c=—?

3

a=3A/2,S^ABC=4B，

???^absinC=4A/3,

即工x3&6x—=4A/3,

23

解得：b=2V3,

故答案為：2?

14.【答案】15

【解析】

【分析】

本題考查余弦定理、解三角形的實(shí)際應(yīng)用，屬于中檔題.

根據(jù)題意求出PE=DE=10V3,在三角形PDE中，由余弦定理得cos28=

2PDDE

求出1。1利用S譏4。=*即可求出結(jié)果.

3PE

【解答】

解：乙CPD=乙EDP-/.DCP=26-0=6,

???PD=CD=30,乙DPE=4AEP-乙EDP=4。一2。=20,

???PE=DE=10V3,

在三角形PDE中，由余弦定理得

Q_PD2+DE2-PE2_302+(10V3)2-(10V3)2V3

COSU=~尸—

2PDDE2X30X10732

由圖可以2。為銳角，

“屋，

???PA=PE-sin4d=10A/3x—=15.

2

故答案為15.

15.【答案】⑴手；(2)3

【解析】

【分析】

本題考查正弦定理，余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

先求sinB=Jl-g)2=?，再有正弦定理得si/B=sinAsinC,切化弦得￡+

1cosAcosC1

----------------?-------=------f?

tanCsinAsinCsinB'

由瓦I?就=I，得accosB=|,再利用余弦定理得(a+c)2=9,解得.

【解答】

解：(1)由cosB=|,BG(0,7F),得sinB=J1一(|了=，.

由匕2=ac及正弦定理，得siMB=sinAsinC.

1cosA,cosCsinCcosyi+cosCsinA

于是--------1--------二--------------------------------

tanZ+高sinAsinCsinZsinC

sin(i4+C)_sinB_1_4巾

sin2Bsin2BsinB7

(2)由瓦？-BC=|,有accosB=

CLC=2,

又由爐=ac及余弦定理，得小+c2-62=2accosB,

即Q2+c2-2=3,a2+2ac+c2=2ac+5,

得(a+c)2=9,

a+c=3.

16.【答案】1

【解析】

【分析】

本題考查余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

設(shè)A地東北方向上存在點(diǎn)P到B的距離為30千米，設(shè)4P=x千米，根據(jù)余弦定理得出

PB2=AP2+AB2-2AP-AB-cosA,BPx2-40V2%+700=0,結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系

求出氏-％2|，即可求出結(jié)果.

【解答】

解：設(shè)A地東北方向上存在點(diǎn)尸到B的距離為30千米，設(shè)4P=x千米，

在ATIBP中，PB2=AP2+AB2-2AP-AB-cosA,

即3。2=%2+402-2x-40cos45°,得/_40V2x+700=0,

設(shè)方程一一40&x+700=0的兩根為修，久2，

則刀1+x2=40V2,久2=700,

22=

故％—x2|=(%1+%2)—=400,即%—x2|20,

故2城市處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的時(shí)間為為=1(小時(shí)).

故答案為1.

17.【答案】150

【解析】

【分析】

本題考查了解三角形的實(shí)際應(yīng)用，考查了正弦定理，屬于中檔題.

在三角形4BC中，由正弦定理得」g=壬，解得M2=100^7〃，在三角形腦VA

sin60°sin45°

中，i=sin60°=可得山高M(jìn)N的值.

【解答】

解：在三角形ABC中，AC=100V2m,

在三角形M4c中，懸；=解得MA=100Wm,

在三角形中，=sin60°=y,

故MN=150機(jī)，即山高M(jìn)N為150M.

故答案為150.

18.【答案】8

【解析】

【分析】

本題主要考查利用余弦定理解三角形，首先通過siMa+cos2a=1,以及sinA為正數(shù)求

出sinA,再結(jié)合SMBC=3后，和b-c=2,求出b、c的值，從而解得答案，難度較

易，屬于基礎(chǔ)題.

【解答】

解：因?yàn)锳4BC的面積為36,即沁inA=3?K,

由題意知b-c=2,

又siMa+cos2X=1.

故sin.A=，

4

聯(lián)立解得b=6,c=4（負(fù)數(shù)舍去），

心+,2_,,21

由余弦定理，得CCKA;2-L,

2bc4

解得a=8（負(fù)數(shù)舍去）.

故答案為8.

19.【答案】解：（I）由sinB=白導(dǎo)2cs譏8=b,由正弦定理得：2smesinB=sinB,

所以sin8（2s譏C—1）=0,...（3分）

因?yàn)閟譏BH0,

所