專題12.15兩數(shù)和乘以這兩數(shù)的差—平方差公式（基礎檢測）一、單選題1．計算：的結(jié)果，正確的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平方差公式進行計算，即可得出結(jié)果．【詳解】解：=故選：A．【點睛】本題考查了平方差公式；熟練掌握平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2是解決問題的關(guān)鍵．2．已知a﹣b＝3，a+b＝2，則a2﹣b2的值為（）A．6 B．?6 C．5 D．?5【答案】A【分析】利用平方差公式計算即可．平方差公式：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差相乘，等于這兩個數(shù)的平方差．（a+b）（a﹣b）＝a2?b2．【詳解】解：∵a﹣b＝3，a+b＝2，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝2×3＝6．故選：A．【點睛】本題考查了平方差公式，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特點是解答本題的關(guān)鍵．3．若，，則的值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】已知第一個等式利用平方差公式化簡，將第二個等式代入計算即可求出a+b的值．【詳解】解：∵a2-b2=（a+b）（a-b）=，a-b=，∴a+b=÷=，故選B．【點睛】此題考查了平方差公式，熟練掌握平方差公式是解本題的關(guān)鍵．4．若，則（）A．12 B．11 C．10 D．9【答案】B【分析】根據(jù)平方差公式計算即可；【詳解】解：∵，∴，∴，∴，故選：B【點睛】本題考查了平方差公式，熟練掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵5．如圖，在邊長為（m+4）的正方形紙片上剪出一個邊長為m的小正方形后，將剩余部分剪拼成一個矩形（不重疊無縫隙），若這個矩形的一邊長為4，則另一邊長是（）A．m+2 B．m+4 C．2m+2 D．2m+4【答案】D【分析】根據(jù)面積之間的關(guān)系可求出答案．【詳解】，故選：D．【點睛】本題考查了平方差公式的幾何背景，掌握各個部分的面積之間的關(guān)系是得出答案的關(guān)鍵．6．一個正整數(shù)若能表示為兩個正整數(shù)的平方差，則稱這個正整數(shù)為“創(chuàng)新數(shù)”，例如27＝62﹣32，63＝82﹣12，故27，63都是“創(chuàng)新數(shù)”，下列各數(shù)中，不是“創(chuàng)新數(shù)”的是（）A．31 B．41 C．16 D．54【答案】D【分析】根據(jù)數(shù)字的特點，分別將31、41和16寫成兩個正整數(shù)的平方差的形式，而54不能寫成兩個正整數(shù)數(shù)的平方差的形式，則問題得解．【詳解】解：∵31＝（16+15）（16﹣15）＝162﹣152，41＝（21+20）（21﹣20）＝212﹣202，16＝（5+3）（5﹣3）＝52﹣32，54不能表示成兩個正整數(shù)的平方差．∴31、41和16是“創(chuàng)新數(shù)”，而54不是“創(chuàng)新數(shù)”．故選：D．【點睛】本題考查了平方差公式在新定義類計算中的簡單應用，正確將所給的數(shù)字拆成平方差的形式是解題的關(guān)鍵．二、填空題7．已知a+b＝2，a﹣b＝3．則a2﹣b2的值為___．【答案】6【分析】根據(jù)平方差公式即可求出答案．【詳解】解：當a+b=2，a-b=3時，a2-b2=（a+b）（a-b）=2×3=6．故選：6．【點睛】本題考查平方差公式，解題的關(guān)鍵是熟練運用平方差公式，本題屬于基礎題型．8．已知|x﹣1|+|y+2|＝0，則（2x+y）（2x﹣y）＝___．【答案】0【分析】運用絕對值的非負性可知兩個絕對值下的數(shù)都為0，代入即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得，x﹣1＝0，y+2＝0，解答：x＝1，y＝﹣2，∴（2x+y）（2x﹣y）＝4x2﹣y2＝4﹣4＝0，故答案為：0．【點睛】本題考查了絕對值的運算，巧用非負性是解題關(guān)鍵．9．已知，，則______．【答案】3【分析】利用平方差公式的逆運算即可計算求解．【詳解】解：∵，∴，故答案為：3.【點睛】此題考查了平方差公式的逆運算，熟練掌握平方差公式是解本題的關(guān)鍵．10．已知，，則__．【答案】2【詳解】解：，又，，，故答案為：2．11．在一個邊長為的正方形中間挖出一個邊長為的正方形后，剩下的面積是__________．【答案】130cm2【分析】剩下部分的面積=大正方形的面積-小正方形的面積．【詳解】解：設剩下部分的面積為S，則S=13.252-6.752=（13.25+6.75）×（13.25-6.75）=20×6.5=130cm2，故答案為：130cm2．【點睛】此題主要考查用平方差公式在實際生活中的應用，比較容易．12．定義：如果一個數(shù)的平方等于﹣1，記為i2＝﹣1，這個數(shù)i叫做虛數(shù)單位，那么：（1+2i）（1﹣2i）＝___．【答案】5【分析】直接利用平方差公式將原式變形，再利用新定義把i2=-1代入得出答案．【詳解】解：（1+2i）（1-2i）=1-4i2=1-4×（-1）=1+4=5．故答案為：5．【點睛】此題主要考查了新定義運算，正確運用平方差公式是解題關(guān)鍵．13．下圖是從一個正方形中剪下一個小正方形后，拼成一個矩形的過程．根據(jù)下圖，寫出一個正確的等式：__________．【答案】【分析】裁剪前，第二圖的面積等于大正方形面積減去小正方形面積，裁剪拼湊后面積等于長×寬，它們面積相等，據(jù)此可列出等式．【詳解】解：如下圖的面積在裁剪前＝，裁剪拼湊后＝，裁剪前后面積相等，故：故答案為：．【點睛】本題考查了平方差公式的幾何背景．掌握等面積法是解題關(guān)鍵．14．若，則的值為__________．【答案】【分析】根據(jù)平方差公式求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查平方差公式，利用平方差公式進行計算是解題的關(guān)鍵．三、解答題15．利用乘法公式計算：【答案】【分析】首先把化成，然后利用平方差公式計算即可．【詳解】解：原式．故答案為：．【點睛】本題考查了平方差公式，解題的關(guān)鍵是準確運用平方差公式：．16．先化簡，再求值，其中【答案】x2-6x+4，11【分析】根據(jù)整式乘法公式計算即可．【詳解】原式==當時，原式=【點睛】本題考查了整式乘法化簡計算，熟記乘法公式，注意計算過程中符號變化是解題關(guān)鍵．17．先化簡，再求值：，其中，．【答案】化簡的結(jié)果：，代數(shù)式的值：【分析】先按照平方根公式，單項式乘以多項式計算整式的乘法，再合并同類項得到化簡的結(jié)果，再把，代入求值即可得到答案．【詳解】解：當，，上式【點睛】本題考查的是整式的化簡求值，掌握利用平方差公式，單項式乘以多項式的運算是解題的關(guān)鍵．18．已知3x2＋2x﹣5＝0，求代數(shù)式（2x＋1）（2x﹣1）﹣x（x﹣2）的值．【答案】3x2+2x-1，4【分析】根據(jù)平方差公式和單項式乘多項式可以化簡題目中的式子，然后將3x2+2x-5=0代入化簡后的式子即可解答本題．【詳解】解：（2x+1）（2x-1）-x（x-2）=4x2-1-x2+2x=3x2+2x-1，當3x2+2x-5=0時，原式=（3x2+2x-5）+4=0+4=4．【點睛】本題考查整式的混合運算—化簡求值，解答本題的關(guān)鍵是明確整式化簡求值的方法．19．如圖，四邊形與四邊形都是正方形，，．（1）觀察圖形，用兩種不同的方法表示圖中陰影部分的面積，可以得到公式，請寫出這個公式的推導過程；（2）如果正方形的邊長比正方形的邊長多16，它們的面積相差960，利用（1）中的公式，求，的值．【答案】（1）見解析；（2），【分析】（1）圖中陰影部分的面積=大正方形的面積-小正方形的面積；或者把陰影部分分割為兩個矩形的面積進行計算；（2）利用（1）中的平方差公式計算．【詳解】（1）如圖所示，，圖中陰影部分的面積或圖中陰影部分的面積所以，即：；（2）由題意得：①，，②由①、②方程組解得：，．故的長為38，的長為22．【點睛】本題考查了因式分解的應用．利用不同的方法表示同一個圖形的面積也是證明公式的一種常用方法，熟練掌握是關(guān)鍵．20．如圖1的兩個長方形可以按不同的形式拼成圖2和圖3兩個圖形．（1）在圖2中的陰影部分的面積S1可表示為；（寫成多項式乘法的形式）；在圖3中的陰影部分的面積S2可表示為；（寫成兩數(shù)平方差的形式）；（2）比較圖2與圖3的陰影部分面積，可以得到的等式是；A．（a+b）2＝a2+2ab+b2B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2（3）請利用所得等式解決下面的問題：①已知4m2﹣n2＝12，2m+n＝4，則2m﹣n＝；②計算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+…+（232+1）+1的值，并直接寫出該值的個位數(shù)字是多少．【答案】（1）（a+b）（a﹣b），a2﹣b2；（2）B；（3）①3；②264，其結(jié)果的個位數(shù)字為6．【分析】（1）根據(jù)長方形和正方形的面積公式即可求解；（2）根據(jù)兩個陰影部分的面積相等由（1）的結(jié)果即可得到答案.（3）①利用（2）中給的等式求解即可；②可以先把原式乘上一個（2﹣1），這樣可以和（2+1）湊成平方差公式進行求解.【詳解】解：（1）圖2中長方形的長為（a+b），寬為（a﹣b），因此面積為（a+b）（a﹣b），圖3中陰影部分的面積為兩個正方形的面積差，即a2﹣b2，故答案為：（a+b）（a﹣b），a2﹣b2；（2）由（1）得（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；故選B；（3）①因為4m2﹣n2＝12，所以（2m+n）（2m﹣n）＝12，又因為2m+n＝4，所以2m﹣n＝12÷4＝3，故答案為：3；②原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+…+（232+1）+1＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）+…+（232+1）+1＝（24﹣1）（