《工科數(shù)學(xué)分析》2021-2022學(xué)年第一學(xué)期期末考試試卷第10頁(yè)共10頁(yè)《工科數(shù)學(xué)分析》2021-2022學(xué)年第一學(xué)期期末考試試卷一、填空題（每小題3分，共15分）函數(shù)的間斷點(diǎn)及其類(lèi)型為是跳躍間斷點(diǎn)，是無(wú)窮間斷點(diǎn)；已知函數(shù)由方程所確定，則曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為；設(shè)，則；；反常積分．二、計(jì)算下列各題（每小題8分，共16分）1.求極限解：或2.計(jì)算定積分解：三、解答下列各題（每小題10分，共40分）1.設(shè)試證明數(shù)列收斂，并求證明：（1），即數(shù)列有下界；3分（2）即，數(shù)列單調(diào)減少。6分利用單調(diào)有界收斂性定理可知，數(shù)列收斂。7分（3）10分2.設(shè)其中存在且不為零，求解：3.求不定積分解：所以4.求擺線(xiàn)的一拱與軸所圍成的平面圖形繞旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。解：四、證明題（每小題10分，共20分）1.設(shè)函數(shù)在上滿(mǎn)足李普希茲條件：其中為常數(shù)，證明在上一致連續(xù)。證明：所以在上一致連續(xù)。10分2.設(shè)在上二階可導(dǎo)，且滿(mǎn)足條件其中為非負(fù)常數(shù)，設(shè)為內(nèi)任意一點(diǎn)，證明：證明：將和在任意點(diǎn)作二階Taylor展開(kāi)，兩式相減得，五、應(yīng)用題（本題9分）問(wèn)當(dāng)在內(nèi)取何值時(shí)，曲線(xiàn)與軸，軸及直線(xiàn)所圍圖形的面積最小，并求此最小面積。解：又根據(jù)實(shí)際意義，所求的最小值存在，故姓名學(xué)號(hào)姓名學(xué)號(hào)學(xué)院專(zhuān)業(yè)座位號(hào)(密封線(xiàn)內(nèi)不答題)……………………密………………封………線(xiàn)……線(xiàn)………_____________________…華南理工大學(xué)本科生期末考試《工科數(shù)學(xué)分析》2021-2022學(xué)年第一學(xué)期期末考試試卷（B）卷注意事項(xiàng)：1.開(kāi)考前請(qǐng)將密封線(xiàn)內(nèi)各項(xiàng)信息填寫(xiě)清楚；2.所有答案請(qǐng)直接答在試卷上(或答題紙上)；3．考試形式：閉卷；4.本試卷共5個(gè)大題，滿(mǎn)分100分， 考試時(shí)間120分鐘。題號(hào)一二三四五總分得分一、填空題（每小題3分，共15分）函數(shù)的間斷點(diǎn)及其類(lèi)型為是可去間斷點(diǎn)；已知函數(shù)由方程所確定，則曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為；設(shè)，則；；反常積分．二、計(jì)算下列各題（每小題8分，共16分）1.求極限解：2.計(jì)算定積分解：三、解答下列各題（每小題10分，共40分）1.設(shè)試證明數(shù)列收斂，并求證明：（1），即數(shù)列有上界；3分（2）即，數(shù)列單調(diào)增加。6分利用單調(diào)有界收斂性定理可知，數(shù)列收斂。7分（3）10分2.設(shè)求解：3.求不定積分解：4.求由曲線(xiàn)及所圍平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積。解四、證明題（每小題10分，共20分）1.設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且與都存在，證明在上一致連續(xù)。證明：令則設(shè)和在上二階可導(dǎo)，且滿(mǎn)足條件證明：在開(kāi)區(qū)間內(nèi)，至少有一點(diǎn)使得證明：（1）反證，設(shè)則由所以在開(kāi)區(qū)間內(nèi)，4分則，至少有一點(diǎn)使得10分