經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)輔導(dǎo)第12講顧靜相3.3函數(shù)的單調(diào)性教學(xué)要求

掌握利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性方法．函數(shù)的單調(diào)性

從幾何直觀上分析，容易看到，下圖中的曲線是上升的，其上每一點(diǎn)處的切線與

x軸正向的夾角都是銳角，切線的斜率大于零，即f(x)

在相應(yīng)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)大于零；函數(shù)的單調(diào)性相反地，下圖中的曲線是下降的，其上每一點(diǎn)處的切線與

x軸正向的夾角都是鈍角，切線的斜率小于零，即

f(x)在相應(yīng)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)小于零．函數(shù)單調(diào)性的判別定理

定理3.4設(shè)函數(shù)

y=f(x)

在區(qū)間

(a,b)

內(nèi)可導(dǎo)．

（1）如果在區(qū)間

(a,b)

內(nèi)，f

(x)>0，則函數(shù)

f(x)在

(a,b)

內(nèi)單調(diào)增加；

（2）如果在區(qū)間

(a,b)

內(nèi)，f

(x)<0，則函數(shù)

f(x)在

(a,b)

內(nèi)單調(diào)減少．函數(shù)單調(diào)性的判別定理

定理3.4設(shè)函數(shù)

y=f(x)

在區(qū)間

(a,b)

內(nèi)可導(dǎo)．

（1）如果在區(qū)間

(a,b)

內(nèi)，f

(x)>0，則函數(shù)

f(x)在

(a,b)

內(nèi)單調(diào)增加；

（2）如果在區(qū)間

(a,b)

內(nèi)，f

(x)<0，則函數(shù)

f(x)在

(a,b)

內(nèi)單調(diào)減少．

如果將定理中的開區(qū)間換成其它各種區(qū)間（包括無限區(qū)間），定理的結(jié)論仍成立．

保持

f

(x)不變號(hào)的區(qū)間，就是函數(shù)

y=f(x)

的單調(diào)區(qū)間．函數(shù)單調(diào)性的判別例1求函數(shù)

的單調(diào)區(qū)間．函數(shù)單調(diào)性的判別例1求函數(shù)

的單調(diào)區(qū)間．解

函數(shù)的定義域?yàn)?-∞,+∞)；因?yàn)?/p>

，令

，得

x1=1，x2=2；

函數(shù)單調(diào)性的判別例1求函數(shù)

的單調(diào)區(qū)間．解

函數(shù)的定義域?yàn)?-∞,+∞)；因?yàn)?/p>

，令

，得

x1=1，x2=2；

以點(diǎn)

x1=1，x2=2為分點(diǎn)，將函數(shù)定義域分為三個(gè)子區(qū)間：(-∞,1)，(1,2)，(2,+∞)；當(dāng)

x∈(-∞,1)時(shí)，f

(x)>0；當(dāng)

x∈(1,2)時(shí)，f

(x)<0；當(dāng)

x∈(2,+∞)時(shí)，f

(x)>0；函數(shù)單調(diào)性的判別當(dāng)

x∈(-∞,1)時(shí)，f

(x)>0；當(dāng)

x∈(1,2)時(shí)，f

(x)<0；當(dāng)

x∈(2,+∞)時(shí)，f

(x)>0；所以該函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間為(-∞,1)

和

(2,+∞)，單調(diào)減少區(qū)間為(1,2)．函數(shù)單調(diào)性的判別例2求函數(shù)

的單調(diào)區(qū)間．函數(shù)單調(diào)性的判別例2求函數(shù)

的單調(diào)區(qū)間．解

函數(shù)的定義域?yàn)?-∞,-1)∪(-1,+∞)；因?yàn)?/p>

，

(x

≠

-1)；所以函數(shù)在

(-∞,-1)∪(-1,+∞)內(nèi)單調(diào)增加．函數(shù)單調(diào)性的判別例3

試證當(dāng)

x>0

時(shí)，

．函數(shù)單調(diào)性的判別例3

試證當(dāng)

x>0

時(shí)，

．證

只需證明當(dāng)

x>0

時(shí)，有

．因?yàn)?/p>

f(x)在

[0,+∞)連續(xù)，在

(0,+∞)

可導(dǎo)，且

，函數(shù)單調(diào)性的判別當(dāng)

x>0

時(shí)，

，f(