錯解剖析錯解剖析二次根式錯解在線1.忽視隱含條件出錯例1化簡：.錯解：=.剖析：錯解中忽視了＞0這一隱含條件，即＜2，該式的值應(yīng)為負值．正解：=.2.亂套用公式致錯例2化簡：（1）；（2）錯解：（1）=+=5+10=15 .（2）=-=16-12=4.剖析：錯解受=·（a≥0且b≥0）的影響，想當然地認為=+，=-也成立.正解：（1）==5.（2）==.3.應(yīng)用二次根式性質(zhì)出錯例3計算：.錯解：.剖析：錯在不明確的意義，也不明確二次根式乘法的運算步驟．正解：.4.違背運算律例4計算：8÷4×.錯解：8÷4×=8÷4=2.剖析：在二次根式的運算中，同級運算應(yīng)按從左到右的順序進行計算，錯解違背了運算順序.正解：8÷4×=8××=.5.忽視已知條件例5當－2≤x≤3時，化簡+的結(jié)果是（）A．2x－1B．－2x+1C．1D．5錯解：原式＝x+2+x－3＝2x－1.故選A.剖析：當有附加條件時，要注意＝|a|的應(yīng)用．正解：當－2≤x≤3時，x+2≥0，x－3≤0.則+＝|x+2|+|x－3|＝x+2+3－x＝5.故選D．專題講座專題講座二次根式的乘除三注意1.注意運算法則的運用例1計算：（1）；（2）3÷.分析：（1）二次根式的乘法是系數(shù)與系數(shù)相乘，被開方數(shù)與被開方數(shù)相乘，還要注意有負號的先把負號提到前面.（2）二次根式的除法是系數(shù)與系數(shù)相除，被開方數(shù)與被開方數(shù)相除，也可以先將除法化為乘法后再利用乘法的運算法則進行計算.解：（1）=-=-.（2）3÷=（3÷）×=15.2.注意運算順序例2計算：.分析：在二次根式的運算中，同級運算應(yīng)按照從左到右的順序進行計算.本題中應(yīng)該先算除法，再算乘法.解：=2××=.3.注意最后結(jié)果要化成最簡形式例3計算：×÷.分析：在二次根式的運算中，最后結(jié)果要化為最簡形式：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.解：×÷====4.錯解剖析二次根式錯解診斷例1計算：.錯解：原式=.診斷：錯解在于沒有把運算進行到底，半途而廢，本題中的還可以化為，因此作為最后結(jié)果是不對的.正解：原式=.2.化簡出錯例2計算：.錯解：原式=.診斷：因為≠，所以上述解法不正確.正確的應(yīng)為.正解：原式=.3.運算順序出錯例3計算：.錯解：原式=.診斷：錯解在于運算順序出錯，進行加減運算首先要把各根式化簡，然后遵循同級運算法則按從左到右的順序進行.正解：原式=.新題平臺根式也玩小清新1.閱讀理解型例1（2017年瀘州）已知三角形的三邊長分別為a，b，c，求其面積問題，中外數(shù)學家曾經(jīng)進行過深入研究.古希臘的幾何學家海倫（Heron，約公元50年）給出求其面積的海倫公式S=，其中p=；我國南宋時期數(shù)學家秦九韶（約1202-1261）曾提出利用三角形的三邊求其面積的秦九韶公式S=.若一個三角形的三邊長分別為2，3，4，則其面積是（）A．B．C．D．分析：通過閱讀理解題目中的秦九韶公式，然后運用秦九韶公式計算三角形的面積.解：因為一個三角形的三邊長分別為2，3，4，不妨設(shè)a=2，b=3，c=4，所以S==.故選B．點評：本題考查二次根式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出相應(yīng)的三角形的面積.2.定義新運算例2對于實數(shù)a，b作新定義：a@b＝a·b，a*b＝ab．在此定義下，計算：(－)@－(－4)*2．分析：依據(jù)新定義，(－)@＝(－)×，(－4)*2＝(－4)2，從而可得算式(－)×－(－4)2．解：依據(jù)新定義，得原式=(－)×－(－4)2＝×－×－(5－4)2＝4－3－()2＝4－3－3＝1－3．活學實用關(guān)注身邊的二次根式例1下面是藍鯨和大象的對話:藍鯨：我們藍鯨是世界上最大的動物，棱長為米的正方體木箱才能容納下我.大象：我可沒你那么龐大，棱長為米的正方體木箱就能容納下我.通過以上信息，容納藍鯨的正方體木箱的棱長是容納大象的正方體木箱棱長的倍．分析：倍數(shù)問題實際上就是求兩個數(shù)或式的商，將問題轉(zhuǎn)化為二次根式的除法運算．解：÷＝××＝×＝×＝4ABCD墻圖1所以容納藍鯨的ABCD墻圖1例2下面是花農(nóng)李大叔和正讀八年級的兒子大勇的對話.李大叔：我想用一段籬笆圍成一個一邊靠墻的長方形花圃ABCD（如圖1），AB的長為m，AD的長為m.你幫我算一下圍成花圃的面積．大勇：這可難不倒我，我是這樣算的……你知道大勇是怎樣算的嗎？寫出計算過程.解：圍成花圃的面積為×＝×3××4＝140（m2）．圖2例3某企業(yè)要新建一個污水處理廠，圖2所示是其中一個長方體的污水池，長為6m，寬為8m，高為5m，則該長方體污水池的體積為m3．圖2解：該長方體污水池的體積為6×8×5＝6×2×8××5×＝（m3）.方法點擊巧構(gòu)公式妙計算1.巧移因式例1計算：（3－）（＋4）.解析：將根號內(nèi)的因式移到根號外或?qū)⒏柾獾囊蚴揭频礁杻?nèi)后再用平方差公式.原式＝（3－4）（3＋4）＝18－48＝－30.2.巧提公因式例2計算：（5＋）（5－2）.解析：將第二個括號中的2用（）2代換后，提出，再利用平方差公式進行計算.原式＝（5＋）［5－（）2×］=（5＋）（5－）＝19.3.巧分組例3計算：（+—）（－—）.解析：將每個括號中的項進行適當分組，使之成為平方差的形式.原式＝［（－）+］［（—）－］＝（—）2－（）2=5－4.4.巧湊整體例4已知x＝（＋），y＝（－），求x2－xy+y2的值.解析：先求出x＋y，xy的值，然后構(gòu)造完全平方公式進行計算.因為xy＝（＋）×（－）＝，x＋y＝（＋）+（－）=，所以原式＝（x＋y）2－3xy＝7－=.5.逆用冪的運用例5計算：.解析：考慮到兩個冪的底數(shù)剛好符合平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，因此只需要將指數(shù)巧妙地變換一下，再把，分別看作一個整體逆用（ab）n=anbn即可.原式===.典例論壇一類根式問題探究【引例】（2017年濟寧）若+1在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x滿足的條件是（）A．x≥ B．x≤ C． D．x≠思路分析：根據(jù)二次根式的概念，兩個被開方數(shù)都應(yīng)該是非負數(shù)，由此得到一個關(guān)于a的不等式組，通過解這個不等式組，即可得到x的取值.解：由二次根式的被開方數(shù)的非負性，得解得x=.故選C.由上面例題發(fā)現(xiàn)：當題目中有兩個二次根式的被開方數(shù)互為相反數(shù)時，利用這兩個被開方數(shù)非負可知這兩個二次根式都為0；當題目中出現(xiàn)幾個非負數(shù)的和為０時，則每個非負數(shù)都為０，進而可以得到方程組來解決問題．下面我們利用上述探究結(jié)論，解決幾種求值問題.例1（2017年鄂州）若，則xy=．解析：觀察已知等式的右邊兩個根式的被開方數(shù)互為相反數(shù)，結(jié)合二次根式的非負性，知解得x=.當x=時，y=﹣6，則xy=×（﹣6）=﹣3.例2已知a，b均為實數(shù)，且滿足，求的值.解析：觀察提供的已知條件，發(fā)現(xiàn)存在“與被開方數(shù)是互為相反數(shù)的一