專(zhuān)題10模型構(gòu)建專(zhuān)題：“手拉手”模型——共頂點(diǎn)的等腰三角形壓軸題三種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類(lèi)型一共頂點(diǎn)的等邊三角形】 1【類(lèi)型二共頂點(diǎn)的等腰直角三角形】 11【類(lèi)型三共頂點(diǎn)的一般等腰三角形】 18【典型例題】【類(lèi)型一共頂點(diǎn)的等邊三角形】例題：（2023·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖所示，△ABC和△ADE都是等邊三角形，且點(diǎn)B、A、E在同一直線上，連接BD交AC于M，連接CE交AD于N，連接MN．

(1)求證：BD=CE；(2)求證：△ABM≌△ACN；(3)求證：△AMN是等邊三角形．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·山西運(yùn)城·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)C為線段上一點(diǎn)，、都是等邊三角形，、交于點(diǎn)M，、交于點(diǎn)，、交于點(diǎn)，連接，下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)有個(gè)．①；②；③；④；⑤若，則．

2．（2023秋·四川涼山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，C為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，E重合），在同側(cè)分別作等邊和等邊，與交于點(diǎn)O，與交于點(diǎn)P，與交于點(diǎn)Q，連結(jié)．

求證：(1)；(2)為等邊三角形；3．（2021春·廣東佛山·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知圖1是邊長(zhǎng)分別為a和b的兩個(gè)等邊三角形紙片和三角形疊放在一起（C與重合）的圖形．

(1)將繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，連接，．如圖2：在圖2中，線段與之間具有怎樣的大小關(guān)系？證明你的結(jié)論；(2)若將上圖中的，繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛉我庑D(zhuǎn)一個(gè)角度，連接、，如圖3：在圖3中，線段與之間具有怎樣的大小關(guān)系？證明你的結(jié)論：(3)根據(jù)上面的操作過(guò)程，請(qǐng)你猜想當(dāng)為多少度時(shí)，線段的長(zhǎng)度最大，最大是多少？當(dāng)為多少度時(shí)，線段的長(zhǎng)度最小，最小是多少？請(qǐng)直接寫(xiě)出答案．4．（2023春·廣東梅州·七年級(jí)校考期末）【初步感知】(1)如圖1，已知為等邊三角形，點(diǎn)D為邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B，點(diǎn)C重合）．以為邊向右側(cè)作等邊，連接．求證：；【類(lèi)比探究】(2)如圖2，若點(diǎn)D在邊的延長(zhǎng)線上，隨著動(dòng)點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)位置不同，猜想并證明：①與的位置關(guān)系為：；②線段、、之間的數(shù)量關(guān)系為：；【拓展應(yīng)用】(3)如圖3，在等邊中，，點(diǎn)P是邊上一定點(diǎn)且，若點(diǎn)D為射線上動(dòng)點(diǎn)，以為邊向右側(cè)作等邊，連接、．請(qǐng)問(wèn)：是否有最小值？若有，請(qǐng)直接寫(xiě)出其最小值；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【類(lèi)型二共頂點(diǎn)的等腰直角三角形】例題：（2023春·湖北黃岡·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，和都是等腰直角三角形，．

(1)【猜想】：如圖1，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，線段與的數(shù)量關(guān)系是________，位置關(guān)系是________．(2)【探究】：把繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置，連接，，（1）中的結(jié)論還成立嗎？說(shuō)明理由；(3)【拓展】：把繞點(diǎn)在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，，當(dāng)，，三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，則的長(zhǎng)是________．【變式訓(xùn)練】1．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在等腰直角三角形和中，，點(diǎn)E在邊上，與交于點(diǎn)F，連接．(1)求證：；(2)求證：．2．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1，與均為等腰直角三角形，，則線段、的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)______，、所在直線的位置關(guān)系為_(kāi)_______；（2）深入探究：在（1）的條件下，若點(diǎn)A，E，D在同一直線上，為中邊上的高，請(qǐng)判斷的度數(shù)及線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．3．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考二模）感知：如圖①，和△ADE都是等腰直角三角形，，點(diǎn)B在線段上，點(diǎn)C在線段上，我們很容易得到，不需證明．(1)探究：如圖②，將△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（），連接和，此時(shí)是否依然成立？若成立，寫(xiě)出證明過(guò)程；若不成立，說(shuō)明理由．(2)應(yīng)用：如圖③，當(dāng)△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)D落在的延長(zhǎng)線上，連接．求：①的度數(shù)；②若，，則線段的長(zhǎng)是多少？【類(lèi)型三共頂點(diǎn)的一般等腰三角形】例題：（2023春·山東泰安·七年級(jí)校考開(kāi)學(xué)考試）如圖，與都是等腰三角形，相交于點(diǎn)．

(1)試說(shuō)明：；(2)求的度數(shù)．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·遼寧撫順·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知中，．分別以、為腰在左側(cè)、右側(cè)作等腰三角形．等腰三角形，連接、．

(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，①、的形狀是____________；②求證：．(2)若，①如圖2，當(dāng)時(shí)，是否仍然成立？請(qǐng)寫(xiě)出你的結(jié)論并說(shuō)明理由；②如圖3，當(dāng)時(shí)，是否仍然成立？請(qǐng)寫(xiě)出你的結(jié)論并說(shuō)明理由．2．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）定義：頂角相等且頂點(diǎn)重合的兩個(gè)等腰三角形叫做“同源三角形”，我們稱(chēng)這兩個(gè)頂角為“同源角”．如圖，和為“同源三角形”，，，與為“同源角”．(1)如圖1，和為“同源三角形”，試判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．(2)如圖2，若“同源三角形”和上的點(diǎn)，，在同一條直線上，且，則______°．(3)如圖3，和為“同源三角形”，且“同源角”的度數(shù)為90°時(shí)，分別取，的中點(diǎn)，，連接，，，試說(shuō)明是等腰直角三角形．3．（2023春·遼寧丹東·七年級(jí)統(tǒng)考期末）

（1）如圖1，兩個(gè)等腰三角形和△ADE中，，，，連接，．則_______________，此時(shí)線段和線段的數(shù)量關(guān)系式____________________