第八章立體幾何初步8.1基本立體圖形第1課時棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征人教A版

數(shù)學(xué)

必修第二冊課程標(biāo)準(zhǔn)1.了解空間幾何體的分類及其相關(guān)概念.2.理解棱柱、棱錐、棱臺的定義,知道這三種幾何體的結(jié)構(gòu)特征,能夠識別和區(qū)分這些幾何體.3.理解直棱柱、正棱柱、平行六面體、正棱錐、正棱臺的結(jié)構(gòu)特征.基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)知識點1

空間幾何體的定義、分類與相關(guān)概念1.空間幾何體:如果只考慮物體的

和

,而不考慮其他因素,那么由這些

物體抽象出來的

就叫做空間幾何體.

2.分類:常見的空間幾何體有多面體和旋轉(zhuǎn)體兩類.形狀大小空間圖形3.多面體和旋轉(zhuǎn)體

類別多面體旋轉(zhuǎn)體定義一般地,由若干個平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體

多面體至少由四個面圍成④一條

(包括直線)繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的

叫做旋轉(zhuǎn)面.

⑤

的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫做旋轉(zhuǎn)體

多邊形公共邊公共點類別多面體旋轉(zhuǎn)體相關(guān)概念①面:圍成多面體的各個

叫做多面體的面.

多面體有幾個面一般稱為幾面體②棱:兩個面的

叫做多面體的棱.

③頂點:棱與棱的

叫做多面體的頂點

⑥軸:形成旋轉(zhuǎn)面所繞的

叫做旋轉(zhuǎn)體的軸

圖形

平面曲線曲面封閉定直線過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)長方體是多面體.(

)(2)圓柱、球是旋轉(zhuǎn)體.(

)(3)長方體有6個面,8個頂點,12條棱.(

)√√√2.面數(shù)最少的多面體是什么?提示

圍成一個多面體至少要四個面,所以面數(shù)最少的多面體是四面體,如三棱錐就是四面體.3.觀察下列圖片,這些都是我們?nèi)粘Ｊ熘囊恍┪矬w:(1)哪些物體圍成它們的每個面都是平面圖形,并且都是平面多邊形?(2)哪些物體圍成它們的面中既有平面圖形,又有曲面圖形?(3)哪些物體圍成它們的面都是曲面圖形?提示

②④.提示

①③⑤.提示

⑥.知識點2

棱柱的結(jié)構(gòu)特征1.定義一般地,有兩個面

,其余各面都是

,并且相鄰兩個四邊形的公共邊都

,由這些面所圍成的多面體叫做棱柱

用表示底面各頂點的字母表示.

如圖棱柱可記作:棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'互相平行四邊形互相平行相關(guān)概念底面:兩個互相

的面叫做棱柱的底面;

側(cè)面:

叫做棱柱的側(cè)面;

側(cè)棱:相鄰側(cè)面的

叫做棱柱的側(cè)棱;

頂點:

的公共頂點叫做棱柱的頂點

分類①依據(jù):底面多邊形的邊數(shù);②舉例:

(底面是三角形)、

(底面是四邊形)……

平行其余各面公共邊側(cè)面與底面三棱柱四棱柱2.棱柱的分類

3.常見的幾種四棱柱之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系

名師點睛棱柱的結(jié)構(gòu)特征包括兩個方面:一是面,二是棱.棱柱的面共有兩種:第一種是底面,上、下共兩個底面而且是平行且全等的;第二種是側(cè)面,幾棱柱就有幾個側(cè)面,相鄰側(cè)面的公共邊即側(cè)棱都是平行的.它的棱也有兩種,一種是側(cè)棱,另一種就是底面上的邊.過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)棱柱的底面互相平行.(

)(2)棱柱的各個側(cè)面是平行四邊形.(

)(3)平行六面體是四棱柱.(

)√√√2.有兩個面平行,其余各面都是平行四邊形,這樣的幾何體一定是棱柱嗎?舉例說明.提示

不一定.下圖的幾何體符合要求但不是棱柱.知識點3

棱錐的結(jié)構(gòu)特征1.棱錐圖形及表示定義一般地,有一個面是

,其余各面都是

的三角形,由這些面所圍成的多面體叫做棱錐

用表示頂點和底面各頂點的字母表示.

如圖棱錐可記作:棱錐S-ABCD多邊形有一個公共頂點棱錐圖形及表示相關(guān)概念底面:

面叫做棱錐的底面;

側(cè)面:有

的各個三角形面叫做棱錐的側(cè)面;

側(cè)棱:相鄰側(cè)面的

叫做棱錐的側(cè)棱;

頂點:各側(cè)面的公共頂點叫做棱錐的頂點

分類①依據(jù):底面多邊形的邊數(shù);②舉例:

(底面是三角形)、四棱錐(底面是四邊形)……

2.正棱錐:底面是

,并且頂點與底面中心的連線

于底面的棱錐叫做正棱錐.

多邊形公共頂點公共邊三棱錐正多邊形垂直過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)棱錐的側(cè)面都是三角形.(

)(2)正棱錐頂點與底面中心的連線垂直于底面.(

)2.有一個面是多邊形,其余各面是三角形的多面體一定是棱錐嗎?√√提示

不一定,其余各面必須要有一個公共頂點.如圖所示的幾何體符合問題中的條件,但不是棱錐.3.[蘇教版教材習(xí)題]畫一個三棱錐.解

知識點4

棱臺的結(jié)構(gòu)特征

棱臺圖形及表示定義用一個

棱錐底面的平面去截棱錐,我們把底面和截面之間那部分多面體叫做棱臺

用表示底面各頂點的字母表示.

如圖棱臺可記作:棱臺ABCD-A'B'C'D'平行于棱臺圖形及表示相關(guān)概念上底面:原棱錐的截面叫做棱臺的上底面;下底面:原棱錐的底面叫做棱臺的下底面;側(cè)面:其余各面叫做棱臺的側(cè)面;側(cè)棱:相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱臺的側(cè)棱;頂點:側(cè)面與上(下)底面的公共頂點叫做棱臺的頂點

分類①依據(jù):由幾棱錐截得;②舉例:三棱臺(由三棱錐所截得)、

(由四棱錐所截得)……

四棱臺名師點睛1.棱臺上、下底面互相平行,且是兩個相似的多邊形,它們的面積之比等于截去的小棱錐的高與原棱錐的高的比的平方.2.棱臺的側(cè)面均為梯形.3.棱臺各側(cè)棱延長線交于一點,棱臺問題可還原為棱錐問題解決.過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)有兩個面互相平行,其余各面都是梯形的多面體是棱臺.(

)(2)用一個平面去截棱錐,底面和截面之間的部分叫棱臺.(

)(3)棱臺的各條側(cè)棱延長后必交于一點.(

)××√2.下列幾何體中,

是棱柱,

是棱錐,

是棱臺.(填序號)

①③④⑥

⑤

解析

結(jié)合棱柱、棱錐和棱臺的定義可知①③④是棱柱,⑥是棱錐,⑤是棱臺.重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點一棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征角度1

棱柱的結(jié)構(gòu)特征【例1】

下列關(guān)于棱柱的說法:①所有的面都是平行四邊形;②每一個面都不會是三角形;③兩底面平行,并且各側(cè)棱也平行.其中正確說法的序號是

.

③

解析

①錯誤,底面可以是其他多邊形而不光是平行四邊形;②錯誤,底面可以是三角形;③正確,由棱柱的定義可知.規(guī)律方法

關(guān)于棱柱的辨析(1)緊扣棱柱的結(jié)構(gòu)特征進行有關(guān)概念辨析.①兩個面互相平行;②其余各面是平行四邊形;③相鄰兩個四邊形的公共邊互相平行.(2)多注意觀察一些實物模型和圖片便于反例排除.特別提醒:求解與棱柱相關(guān)的問題時,首先看是否有兩個平行的面作為底面,再看是否滿足其他特征.變式訓(xùn)練1關(guān)于棱柱,下列說法正確的有

.(填序號)

①被平行于底面的平面截成的兩部分可以都是棱柱;②棱柱的側(cè)棱長相等,側(cè)面都是平行四邊形;③各側(cè)面都是正方形的四棱柱一定是正方體.①②解析

①正確,被平行于底面的平面截成的兩部分可以都是棱柱;②正確,由棱柱定義可知,棱柱的側(cè)棱相互平行且相等,所以側(cè)面均為平行四邊形;③不正確,上、下底面是菱形,各側(cè)面是全等的正方形的四棱柱不一定是正方體.角度2

棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征【例2】

(1)判斷如圖所示的物體是不是棱錐,為什么?解

該物體不是棱錐.因為棱錐的定義中要求:各側(cè)面都是有一個公共頂點的三角形,但側(cè)面ABC與側(cè)面CDE沒有公共頂點,所以該物體不是棱錐.(2)如圖所示的多面體是不是棱臺?解

根據(jù)棱臺的定義,可以得到判斷一個多面體是棱臺的標(biāo)準(zhǔn)有兩個:一是共點,二是平行.即各側(cè)棱延長線要交于一點,上、下底面要平行,二者缺一不可.據(jù)此,圖①中多面體側(cè)棱延長線不相交于同一點,故不是棱臺;圖②中多面體側(cè)棱延長線也不相交于同一點,故不是棱臺;圖③中多面體雖是由棱錐截得的,但截面與底面不平行,因此也不是棱臺.規(guī)律方法

棱錐、棱臺結(jié)構(gòu)特征問題的判斷方法(1)舉反例法結(jié)合棱錐、棱臺的定義舉反例直接說明關(guān)于棱錐、棱臺結(jié)構(gòu)特征的某些說法不正確.(2)直接法類別棱錐棱臺定底面只有一個面是多邊形,此面即底面兩個互相平行的面,即上、下底面看側(cè)棱相交于一點延長后相交于一點變式訓(xùn)練2有下列三個命題:①用一個平面去截棱錐,棱錐底面和截面之間的部分是棱臺;②兩個面平行且相似,其余各面都是梯形的多面體是棱臺;③有兩個面互相平行,其余四個面都是等腰梯形的六面體是棱臺.其中正確的有(

)A.0個 B.1個

C.2個 D.3個A解析

①中的平面不一定平行于底面,故①錯;②③可用反例去檢驗,如圖所示,側(cè)棱延長線不能相交于一點,故②③錯.故選A.探究點二空間幾何體的平面展開圖【例3】

(1)請畫出如圖所示的正方體的平面展開圖.解

展開圖如圖所示.(答案不唯一)(2)如圖是兩個幾何體的平面展開圖,請問各是什么幾何體?①

②

解

根據(jù)平面展開圖,可知①為五棱柱,②為三棱臺.①

②

規(guī)律方法

1.繪制展開圖:繪制多面體的平面展開圖要結(jié)合多面體的幾何特征,發(fā)揮空間想象能力或者是親手制作多面體模型.在解題過程中,常常給多面體的頂點標(biāo)上字母,先把多面體的底面畫出來,然后依次畫出各側(cè)面,便可得到其平面展開圖.2.由展開圖復(fù)原幾何體:若是給出多面體的平面展開圖,來判斷是由哪一個多面體展開的,則可把上述過程逆推.同一個幾何體的平面展開圖可能是不一樣的,也就是說,一個多面體可有多個平面展開圖.變式訓(xùn)練3如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=3,BB1=5,一只螞蟻從點A出發(fā)沿表面爬行到點C1,求螞蟻爬行的最短路線長.解

沿長方體的棱剪開,使點A和點C1在同一平面上,求線段AC1的長即可,有如圖所示的三種剪法:本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)多面體、旋轉(zhuǎn)體的定義.(2)棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征.2.方法歸納:舉反例法,定義法.3.常見誤區(qū):棱臺的結(jié)構(gòu)特征認(rèn)識不清.成果驗收·課堂達標(biāo)檢測1234567891011121314151617A級必備知識基礎(chǔ)練1.[探究點一(角度1)]下列命題正確的是(

)A.棱柱的每個面都是平行四邊形 B.一個棱柱至少有五個面C.棱柱有且只有兩個面互相平行 D.棱柱的側(cè)面都是矩形B解析

對于A,棱柱的上、下底面可以是三角形或者是梯形,故A不正確;對于B,面最少的就是三棱柱,共有五個面,B正確;對于C,長方體是棱柱,但是上下、左右、前后的相對的平面都是互相平行的,C不正確;對于D,斜棱柱的側(cè)面可以不是矩形,D錯誤.12345678910111213141516172.[探究點一(角度1)]下面多面體中,是棱柱的有(

)A.1個

B.2個

C.3個

D.4個

D解析

根據(jù)棱柱的定義進行判定,知這4個圖都滿足.12345678910111213141516173.[探究點一(角度2)]如圖,在三棱臺A'B'C'-ABC中,截去三棱錐A'-ABC,則剩余部分是(

)A.三棱錐

B.四棱錐C.三棱柱

D.三棱臺B解析

剩余部分是四棱錐A'-BCC'B'.12345678910111213141516174.(多選題)[探究點一]關(guān)于簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征,下列說法正確的是(

)A.棱柱的側(cè)棱長都相等B.棱錐的側(cè)棱長都相等C.三棱臺的上、下底面是相似三角形D.有的棱臺的側(cè)棱長都相等ACD解析

根據(jù)棱錐的結(jié)構(gòu)特征知,棱錐的側(cè)棱相交于一點但長度不一定相等.12345678910111213141516175.[探究點二]在下列四個平面圖形中,每個小四邊形皆為正方形,其中可以沿相鄰正方形的公共邊折疊圍成一個正方體的圖形是(

)C解析

動手將四個選項中的平面圖形折疊,看哪一個可以折疊圍成正方體即可.12345678910111213141516176.[探究點一]如圖,將裝有水的長方體水槽固定底面一邊后傾斜一個小角度,則傾斜后水槽中的水形成的幾何體是(

)A.棱柱B.棱臺C.棱柱與棱錐的組合體D.不能確定A12345678910111213141516177.[探究點一(角度1)]一個棱柱有10個頂點,所有的側(cè)棱長的和為60cm,則每條側(cè)棱長為

cm.

12解析

n棱柱有2n個頂點,因為此棱柱有10個頂點,所以此棱柱為五棱柱.又棱柱的側(cè)棱都相等,五條側(cè)棱長的和為60

cm,可知每條側(cè)棱長為12

cm.12345678910111213141516178.[探究點一(角度2)]若棱臺上、下底面的對應(yīng)邊之比為1∶2,則上、下底面的面積之比是

.

1∶4解析

由棱臺的結(jié)構(gòu)特征知,棱臺上、下底面是相似多邊形,面積之比為對應(yīng)邊之比的平方,即1∶4.12345678910111213141516179.[探究點二]如圖,M是棱長為2cm的正方體ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中點,沿正方體表面從點A到點M的最短路程是

cm.

123456789101112131415161710.[探究點一(角度1)]如圖所示的是一個長方體ABCD-A1B1C1D1.(1)這個長方體是棱柱嗎?如果是,是幾棱柱?為什么?(2)用平面BCNM把這個長方體分成兩部分,各部分形成的幾何體還是棱柱嗎?如果是,是幾棱柱?并用符號表示;如果不是,請說明理由.1234567891011121314151617解

(1)是棱柱,并且是四棱柱,因為長方體相對的兩個面是互相平行的四邊形(作底面),其余各面都是矩形(作側(cè)面),且相鄰側(cè)面的公共邊互相平行,符合棱柱的定義.(2)截面BCNM的上方部分是三棱柱BB1M-CC1N,下方部分是四棱柱ABMA1-DCND1.123456789101112131415161711.[探究點一(角度2)]按下列條件分割三棱臺ABC-A1B1C1(不需要畫圖,各寫出一種分割方法即可).(1)一個三棱柱和一個多面體;(2)三個三棱錐.解

(1)在AC上取點D,使DC=A1C1,在BC上取點E,使EC=B1C1,連接A1D,B1E,DE,則得三棱柱A1B1C1-DEC與一個多面體A1B1BEDA.(答案不唯一)(2)連接AB1,AC1,BC1,則可分割成三棱錐A-A1B1C1,三棱錐A-BCC1,三棱錐A-BB1C1.(答案不唯一)1234567891011121314151617B級關(guān)鍵能力提升練12.(多選題)一個多面體的所有棱長都相等,那么這個多面體一定不可能是(

)A.三棱錐 B.四棱臺 C.六棱錐 D.六面體BC解析

當(dāng)三棱錐是正四面體時,滿足題意,所以A可能.棱臺的上底面與下底面的邊長不相等,所以不滿足題意,所以B不可能.假設(shè)六棱錐的所有棱長都相等,則它的每個側(cè)面均為等邊三角形,每個側(cè)面的頂角均為60°,所以六棱錐的頂點會在底面上,所以C不可能.當(dāng)六面體是正方體時,滿足題意,所以D有可能.故選BC.123456789101112131415161713.設(shè)集合M={正四棱柱},N={長方體},P={直四棱柱},Q={正方體},則這四個集合之間的關(guān)系是(

)A.P?N?M?Q

B.Q?M?N?PC.P?M?N?Q

D.Q?N?M?PB解析

根據(jù)定義知,正方體是特殊的正四棱柱,正四棱柱是特殊的長方體,長方體是特殊的直四棱柱,所以{正方體}?{正四棱柱}?{長方體}?{直四棱柱},故選B.123456789101112131415161714.下圖代表未折疊正方體的展開圖,將其折疊起來,變成正方體后的圖形是(

)B解析

將其折疊起來,變成正方體后的圖形中,相鄰的平面中三條線段是平行線,排除A,C;相鄰平面只有兩個是空白面,排除D;故選B.123456789101112131415161715.下列說法正確的有

個.

①棱臺的側(cè)棱都相等;②正棱錐的側(cè)面是等邊三角形;③底面是等邊三角形,側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐.01234567891011121314151617解析

①錯誤,根據(jù)棱臺的定義可知,棱臺的側(cè)棱不一定都相等,故此說法是錯誤的;②錯誤,正棱錐的側(cè)面都是等腰三角