第一章數(shù)列3.2等比數(shù)列前n項(xiàng)和第2課時等比數(shù)列前n項(xiàng)和的綜合應(yīng)用北師大版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第二冊目錄索引基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)課程標(biāo)準(zhǔn)1.掌握等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)及其應(yīng)用.2.能夠運(yùn)用學(xué)過的數(shù)列知識解決等差與等比數(shù)列的綜合問題.3.能夠運(yùn)用等比數(shù)列的知識解決有關(guān)實(shí)際問題.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識一遍過知識點(diǎn)

等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)公比為q的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,關(guān)于Sn的性質(zhì)?？嫉挠幸韵滤念?(1)數(shù)列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍是等比數(shù)列(此時{an}的公比q≠-1).限制q≠-1是因?yàn)楫?dāng)q=-1且m是偶數(shù)時,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m都等于0,不是等比數(shù)列(2)當(dāng)n是偶數(shù)時,S偶=S奇·q;當(dāng)n是奇數(shù)時,S奇=a1+S偶·q.(3)Sn+m=Sm+qmSn=Sn+qnSm.(4)數(shù)列{an}為公比不為1的等比數(shù)列?Sn=A-Aqn,A≠0,q≠0且q≠1;當(dāng)公比q=1時,因?yàn)閍1≠0,所以Sn=na1,Sn是n的正比例函數(shù).思考辨析1.在公比q≠1的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式中,qn的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)有何關(guān)系?提示

互為相反數(shù).2.若{an}是公比為q≠-1的等比數(shù)列,S偶,S奇分別是數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)和與奇數(shù)項(xiàng)和,在其前2n+1項(xiàng)中,你能得出S奇與S偶有何內(nèi)在關(guān)系?自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn不可能等于2n.(

)(2)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若Sn=2n-1,則數(shù)列{an}為等比數(shù)列.(

)(3)若{an}的公比為q,則a1+a2+a3,a2+a3+a4,a3+a4+a5的公比也為q.(

)(4)等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,前n項(xiàng)和為Sn,則{Sn}也是遞增數(shù)列.(

)√√√×2.[人教B版教材例題]某工廠去年1月份的產(chǎn)值為a元,且月平均增長率為p(p>0),求這個工廠去年全年產(chǎn)值的總和.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)的應(yīng)用角度1.連續(xù)n項(xiàng)之和問題【例1】

(1)設(shè)等比數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn,若S3=8,S6=24,則a10+a11+a12=(

)A.32 B.64 C.72 D.216B解析

由于S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9成等比數(shù)列,S3=8,S6-S3=16,故其公比為2,所以S9-S6=32,S12-S9=64,即a10+a11+a12=S12-S9=64.(2)已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng),前2n項(xiàng),前3n項(xiàng)的和分別為Sn,S2n,S3n,(方法二)根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)有S2n=Sn+qnSn=Sn(1+qn),S3n=Sn+qnSn+q2nSn,規(guī)律方法

處理等比數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)問題的常用方法(1)運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,要注意公比q=1和q≠1兩種情形,在解有關(guān)的方程(組)時,通常用約分或兩式相除的方法進(jìn)行消元.(2)靈活運(yùn)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和的有關(guān)性質(zhì).變式訓(xùn)練1在等比數(shù)列{an}中,已知Sn=48,S2n=60,求S3n.解

∵S2n=60≠0,∴數(shù)列{an}的公比q≠-1.∵數(shù)列Sn,S2n-Sn,S3n-S2n是等比數(shù)列,∴(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n).又Sn=48,S2n=60,∴(60-48)2=48(S3n-60),解得S3n=63.【例2】

數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=3n-2,求{an}的通項(xiàng)公式,并判斷{an}是不是等比數(shù)列.解

當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=(3n-2)-(3n-1-2)=2·3n-1.當(dāng)n=1時,a1=S1=31-2=1不適合上式.(方法一)由于a1=1,a2=6,a3=18,顯然a1,a2,a3不是等比數(shù)列,即{an}不是等比數(shù)列.(方法二)當(dāng)?shù)缺葦?shù)列{an}的公比q≠1時的前n項(xiàng)和Sn=A·qn+B滿足的條件為A=-B,對比可知Sn=3n-2,-2≠-1,故{an}不是等比數(shù)列.角度2.對數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=A(qn-1)(A≠0,q≠0,q≠1)的應(yīng)用

規(guī)律方法

1.已知Sn,通過求通項(xiàng)公式an,應(yīng)特別注意當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1.2.若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=A(qn-1),其中A≠0,q≠0且q≠1,則{an}是等比數(shù)列.變式訓(xùn)練2若{an}是等比數(shù)列,且前n項(xiàng)和為Sn=3n-1+t,則t=

.

探究點(diǎn)二等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用【例3】

王某2017年12月31日向銀行貸款100000元,銀行貸款年利率為5%,若此貸款分十年還清(2027年12月31日還清),每年年底等額還款(每次還款金額相同),設(shè)第n年末還款后此人在銀行的欠款額為an元.(1)設(shè)每年的還款額為m元,請用m表示出a2;(2)求每年的還款額(精確到1元).解

(1)由題意得,a2=100

000×(1+5%)2-m(1+5%)-m=110

250-2.05m.(2)因?yàn)?00

000×(1+5%)10=1.059m+1.058m+…+m,所以100

000×1.0510=,解得m≈12

950.規(guī)律方法

分期付款問題的求解策略分期付款問題是典型的求等比數(shù)列前n項(xiàng)和的應(yīng)用題,此類題目的特點(diǎn)是:每期付款數(shù)相同,且每期間距相同.解決這類問題通常有兩種處理方法,一是按欠款數(shù)計(jì)算,由最后欠款為0列出方程求解;二是按付款數(shù)計(jì)算,由最后付清全部欠款列方程求解.變式訓(xùn)練3某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè),并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè).據(jù)規(guī)劃,本年度投入800萬元,以后每年投入將比上一年減少

.本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計(jì)為400萬元,由于該項(xiàng)建設(shè)對旅游業(yè)的促進(jìn)作用,預(yù)計(jì)今后的旅游業(yè)收入每年會比上一年增長

.求n年內(nèi)的總投入與n年內(nèi)旅游業(yè)的總收入.本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識清單:(1)等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)的應(yīng)用.(2)等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用.2.方法歸納:整體代換的方法.3.常見誤區(qū):等比數(shù)列的性質(zhì)混用;不能正確的建立數(shù)列模型.學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)1234567891011121314151617A級必備知識基礎(chǔ)練181.[探究點(diǎn)一]已知數(shù)列{an}是遞減的等比數(shù)列,{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a3+a4=9,a2a5=18,則S2·a6=(

)A.54 B.36

C.27

D.18C1234567891011121314151617182.[探究點(diǎn)一]已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,S4=1,S8=3,則a9+a10+a11+a12等于(

)A.8 B.6 C.4 D.2C解析

顯然{an}的公比不是-1.由S4,S8-S4,S12-S8成等比數(shù)列,即1,2,a9+a10+a11+a12成等比數(shù)列,∴a9+a10+a11+a12=4.1234567891011121314151617183.[探究點(diǎn)一]一個項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列,它的偶數(shù)項(xiàng)和是奇數(shù)項(xiàng)和的2倍,又它的首項(xiàng)為1,且中間兩項(xiàng)的和為24,則此等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為(

)A.6 B.8 C.10 D.12B解析

設(shè)等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2n項(xiàng),所有奇數(shù)項(xiàng)之和為S奇,所有偶數(shù)項(xiàng)之和為S偶,則q==2,又它的首項(xiàng)為1,所以通項(xiàng)為an=2n-1,中間兩項(xiàng)的和為an+an+1=2n-1+2n=24,解得n=4,所以項(xiàng)數(shù)為8.1234567891011121314151617184.[探究點(diǎn)一]設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,a2-8a5=0,則

的值為(

)C123456789101112131415161718B1234567891011121314151617186.[探究點(diǎn)一]已知等比數(shù)列{an}共有2n項(xiàng),其和為-240,且(a1+a3+…+a2n-1)-(a2+a4+…+a2n)=80,則公比q=

.

2解析

設(shè)數(shù)列{an}的前2n項(xiàng)中,奇數(shù)項(xiàng)的和為S奇,偶數(shù)項(xiàng)的和為S偶.由題意知S奇+S偶=-240,S奇-S偶=80,∴S奇=-80,S偶=-160,∴q==2.1234567891011121314151617187.[探究點(diǎn)二]為迎接國慶節(jié)的到來,某單位要在辦公樓外部掛燈籠進(jìn)行裝飾,此辦公樓高五層,若在樓的頂層掛4盞燈籠,且相鄰的兩層中,下一層的燈籠數(shù)是上一層燈籠數(shù)的兩倍,則五層樓一共需要掛

盞燈籠.

124解析

由題意知,各層燈籠數(shù)從上到下排成一列構(gòu)成等比數(shù)列{an}(n∈N+,n≤5),由題意知a1=4,公比q=2,所以前5項(xiàng)和為S5==4×(25-1)=124,所以五層樓一共需要掛124盞燈籠.1234567891011121314151617188.[探究點(diǎn)一]已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若S3=,S6-S3=14,則a9=

.

641234567891011121314151617189.[探究點(diǎn)一]設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,且數(shù)列{Sn}是以c(c>0)為公比的等比數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)求a2+a4+…+a2n.

123456789101112131415161718(2)①當(dāng)c=1時,a2+a4+…+a2n=0.②當(dāng)c≠1時,數(shù)列是以a2為首項(xiàng),c2為公比的等比數(shù)列,123456789101112131415161718B級關(guān)鍵能力提升練10.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2+bn+c,等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn=3n+d,則向量a=(c,d)的模為(

)A解析

由等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式知,c=0,d=-1,所以向量a=(c,d)的模為1.123456789101112131415161718A12345678910111213141516171812.已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且S10=2,S30=14,則S40=(

)A.20 B.30 C.40 D.50B12345678910111213141516171813.若數(shù)列{xn}滿足lgxn+1=1+lgxn(n∈N+),且x1+x2+…+x100=100,則lg(x101+x102+…+x200)的值等于(

)A.200 B.120

C.110

D.102D12345678910111213141516171814.(多選題)在公比為q的等比數(shù)列{an}中,Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若a1=1,a5=27a2,則下列說法正確的是(

)A.q=3B.數(shù)列{Sn+2}是等比數(shù)列C.S5=121D.2log3an=log3an-2+log3an+2(n≥3)ACD12345678910111213141516171815.

設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.已知,則log2a3+log2a5=

.

212345678910111213141516171816.

在北京冬奧會開幕式上,由所有參賽國家和地區(qū)的引導(dǎo)牌“小雪花”與橄欖枝編織而成的主火炬臺“大雪花”給全世界留下了深刻印象,以獨(dú)特浪漫的方式彰顯了“一起向未來”的北京冬奧主題和“更高、更快、更強(qiáng)、更團(tuán)結(jié)”的奧林匹克格言.1904年,瑞典數(shù)學(xué)家科赫把雪花的六角結(jié)構(gòu)理想化,構(gòu)造出了“雪花曲線”:從一個正三角形開始,把每條邊分成三等份,然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形,再去掉底邊(如圖).反復(fù)進(jìn)行這一過程就可以得到“雪花曲線”.設(shè)原正三角形(圖①)的邊長為1,則圖③中的圖形比圖②中的圖形新增的面積為

,如果這個操作過程可以一直繼續(xù)下去,那么所得圖形的面積將趨近于

.

12345678910111213141516171817.

已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=2an+2.(1)證明數(shù)列{an+2}是等比數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列{an}落入?yún)^(qū)間(10,2023)的所有項(xiàng)的和.

123456789101112131415161718解

(1)由an+1=2an+2,得an+1+2=2(an+2),又因?yàn)閍1+2=3,所以

=2.所以{an+2}是首項(xiàng)為3,公比為2的等比數(shù)列.所以an+2=3×2n-1,an=3×2n-1-2.(2)由題意得10<an<2

023,即10<3×2n-1-2<2

023,解得4<2n-1<675,即3<n≤10,故{an}落入?yún)^(qū)間(10,2

023)的項(xiàng)為a4,a5,a6,a7,a8,a9,a10,所以其和S=a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10=3×(23+24+…+29)-2×7=3×-14=3

034.12345678910111213141516171818.(多選題)如果有