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數學訓練的重要性在于它可以使各種關系的表達和經濟學的推理變得更加簡捷、嚴謹和清晰?！?/p>

阿爾弗里德.馬歇爾高級微觀經濟學數理基礎知識22024/9/26參考文獻1、羅納德·肖恩著：《動態(tài)經濟學》，中國人民大學出版社。2、蔣中一著：《數理經濟學的基本方法》，商務印書館。3、蔣中一著：《動態(tài)最優(yōu)化基礎》，商務印書館。4、迪克西特著：《經濟理論中的最優(yōu)化方法》，上海三聯(lián)書店。2024/9/263

本部分內容來自杰里和瑞尼所著的《高級微觀經濟理論》的數學附錄。A1集合與映射42024/9/261邏輯要素定理是由其他命題演繹出的一個命題。定理給長篇論述所提出的假設和重要結論提供了一個緊湊而精確的表達式，并且有助于立即確認所提出的結論的適用范圍及其相應限制。定理必須被證明，證明由構成定理中的命題的可靠性組成，而進行構造的方法必須與邏輯規(guī)則相一致。62024/9/26命題的形式命題：逆命題：反命題：逆否命題：當一個命題成立時，其逆否命題也是成立的。72024/9/261.2定理與證明在給定前提為真的情況下，定理的證明就是確立其結論的可靠性。證明方法：直接證明：由前提A得到結論B。否證性證明：A成立則B成立，等價于B不成立則A不成立。反證法：通過假設A是真的，B不是真的，推導出一種邏輯的矛盾。注意：用例子“論證”不是證明。82024/9/262集合論的要素2.1表達式與基本概念集合論的語言與方法滲透于整個微觀經濟理論中。一個集合是元素的總體，是指具有某種特定性質的具體或抽象的對象匯集成的總體。集合可用元素列舉法或元素描述法來定義。如果兩個集合正好包含了相同的元素，那么，這兩個集合是相等的。例：S=T。如果S包含于U，那么，S的補集SC是不屬于S但包含在U中的所有元素的集合。92024/9/26集合差表示為S\T或S-T，指包含在S中但不包含在T中的所有元素。可以將U中的S集的補集視為集合差：SC=U\S=U-S。集合的基本運算是交（和、且）與并（或者）。多個集合的表示方法：直接寫出：{S1,S2,S3,...}更普遍的表示方法是：{Si}i∈I，其中，I為指標集，I≡{1,2,3,…}。多個集合的并集表示為∪i∈ISi，交集為∩i∈ISi。102024/9/26兩個集合S與T的乘積是以(s,t)形式表示的有序對的集合。S×T≡{(s,t)︱s∈S,t∈T}一個常用的集合的乘積是笛卡爾平面，由實數集形成的乘積。實數集定義為：R≡{x︱-∞<x<∞}R×R={(x1,x2)︱x1∈R,x2∈R}集合內的任何點可以表示為笛卡爾平面內的點。該集合也被稱為兩維歐幾里德空間，表示成R2。一般，任何n維向量x≡(x1,x2,…,xn)可被視為n維歐幾里德空間或n維空間的一個點。表示為：Rn≡R×R×…×R≡{(x1,…,xn)︱xi∈R,i=1,…,n}R+n是Rn中非負的象限，它所含的向量x≥0。區(qū)分符號≥,>和>>。x≥0表示每個分量都不小于0，x>0表示至少有一個分量嚴格大于0，x>>0表示每個分量都嚴格大于0。112024/9/262.2凸集凸集是微觀經濟理論中每個領域內的基本構造材料。在理論分析中，凸性常被假設，以保證分析在數學上是易處理的，并且結論是清楚的和運行良好的。定義Rn上的凸集對于所有x1∈S，x2∈S，如果下式成立，則SRn是一個凸集。tx1+(1-t)x2∈S對于所有t，0≤t≤1，該式成立。解釋：集合內的任意兩個點的所有加權平均數也是同一集合的點，那么，該集合是凸的。在定義中所采用的加權平均數被稱為凸組合。凸組合在一定意義上是“介于”x1與x2之間的一個點。122024/9/26凸集的例子考慮兩點：x1=8∈R，x2=2∈R。對于介于0與1之間的任意t，凸組合：z=tx1+(1-t)x2=x2+t(x1-x2)。若將x2視為起點，則z位于x2與x1之間的距離的t倍處。即總會位點x1與x2之間，或與其重合。點x1與x2的所有凸組合是它們之間的線段，包括端點。x2=2x1=8考慮兩維空間的凸組合，即x1=(x11,x21)與x2=(x12,x22)。凸組合為：z=tx1+(1-t)x2=(tx11+(1-t)x12,tx21+(1-t)x22)x1x2x12x22x11x21tx11+(1-t)x12tx21+(1-t)x22zx2x1R中的凸組合R2中的一些凸組合由于z的每個坐標是各自橫坐標與縱坐標之間距離的t倍，故點z位于連接x1與x2的弦的距離的t倍。向量x1與x2的所有凸組合的集合是一切處于連接x1與x2的弦上的一切點的集合，且含端點。結論：如果一個集合包含了集合中每對點的所有凸組合，它才是凸的。簡單地，當且僅當集合內任兩點的連線完全處在集合內，集合是凸的。凸集運行良好。沒有洞和斷點。132024/9/26函數是一種將一個集合內的每一個元素與另一個集合內的單個且惟一的元素聯(lián)系起來的一種關系。函數f是一種從一個集合D（定義域）到另一個集合R（值域）的映射。函數表示為f:D→R。f的象是值域的子集。例S={y︱y=f(x)，對于一些x∈D}屬于R。正弦函數y=sin(x)的象是區(qū)間[1，－1]的子集。點集S的逆象定義為f-1(S)={x︱x∈D，f(x)∈S}。142024/9/263拓撲學基礎3.1度量空間拓撲學是研究集合與映射的基本性質的學科。本節(jié)利用基本的拓撲學知識建立一些有關集合，并分析從一個集合到另一個集合的連續(xù)函數。首先分析度量和度量空間。度量：對距離的測量。度量空間：若S是一個集合，d是定義在S上的度量，那么，稱（S，d）為度量空間。例1：實線R與度量距離的適宜函數是一個度量空間。實線上距離函數或度量函數是絕對值函數。任意兩點的距離為：d(x1,x2)=︱x1-x2︱練習：計算笛卡爾平面R2的度量函數。152024/9/26選擇R2上的任意兩點x1=(x11,x21)和x2=(x12,x22)，構造一個直角三角形。根據畢達哥拉斯定理，兩點的距離為：

x1x2x11x12x21x22x1x2X12-x11X22-x21d(x1,x2)實線和平面中的距離公式是Rn中距離公式的兩個特例。一般地，Rn中任意兩點的距離為：可用d(x1,x2)≡‖x1-x2‖來表示距離。這個公式被稱為歐幾里德度量或歐幾里德范數。利用這個公式來度量距離的Rn空間被稱為歐幾里德空間。162024/9/263.2開球與閉球定義開球與閉球以x0為中心，以ε>0（一個實數）為半徑的開球是Rn上點的子集：Bε(x0)≡｛x∈Rn︱d(x0,x)<ε｝以x0為中心，以ε>0（一個實數）為半徑的閉球是Rn上點的子集：Bε*(x0)≡｛x∈Rn︱d(x0,x)≤ε｝172024/9/26在實線上，以x0為中心，以ε為半徑的開球正好是開區(qū)間Bε(x0)=(x0-ε,x0+ε)。閉球是閉區(qū)間Bε*(x0)=[x0-ε,x0+ε]。在R2上，一個開球是一個以x0為中心，以ε為半徑的圓盤，閉球是由圓盤內與圓環(huán)上的點組成。x0x0εεR2上的開球Bε(x0)R2上的閉球Bε*(x0)182024/9/26實線上的開區(qū)間就是開集。開區(qū)間(a,b)包括了a與b之間的每個點，但是不包括a與b自身。我們可以選擇區(qū)間內的任何點x，無論它如何接近a或b，總會存在一些小而正的ε，使得開球（開區(qū)間）Bε(x)=(x-ε,x+ε)完全包含在(a,b)區(qū)間內。同理，開圓盤和開球體也是開集。更為一般地，任何開球都是開集。εx0S=Bε(x0)ε’定理Rn上的開集1.空集Φ是一個開集。2.整個空間Rn是一個開集。3.開集的并集是一個開集。4.任何有限個開集的交集是一個開集。3.3開集與閉集192024/9/26定義Rn上的閉集如果S的補集SC是個開集，那么，S是一個閉集。例子：閉區(qū)間[a,b]的補集{x︱x∈R,-∞<x<a或b<x<+∞}是個開集，因此，[a,b]是一個閉集。如果以x為中心，以ε為半徑的每個球，包含了S內的點以及不在S內的點，那么，x點被稱為一個邊界點。如果以x為中心，以ε為半徑的每個球完全包含在S內，那么，x點被稱為S的內部點。如果集合除了內點外不包含任何元素，那么集合是開集。如果集合包含了所有內部點及邊界點，那么集合是閉集。202024/9/26定理Rn上的閉集1.空集Φ是一個閉集。2.Rn上的整個空間是閉集3.閉集的任何有限集合的并集是一個閉集。4.閉集的交集是一個閉集。定義有界集如果Rn上的一個集合S完全包含在一些半徑為ε的球內（開球或閉球），則稱S是有界的。例如，開球Bε(x0)是一個有界集，因為它整個都包含在以x0為中心，半徑為ε+1的球內。定義（海涅－鮑瑞爾）緊集如果一個集合S是閉而有界的，那么S在Rn上被稱為緊集。212024/9/26設S是任何非空的實數集。任何實數l（無論l是否屬于S），對于所有x∈S，總有l(wèi)≤x，那么，l是集合S的下界。例子：S={4,6,8}，4是S的下界，2也是下界。實數集有許多個下界。下界中的最大數被稱為S的最大下界（g.l.b），或下確界。任何實數u（無論u是否屬于S），對于所有x∈S，總有x≤u，那么，u是集合S的上界。上界中的最小數被稱為最小上界（l.u.b），或上確界。一個實數集S如果有下界，那么，該集合從下有界。有上界則稱從上有界。例子：區(qū)間（-∞，4）是從上而非從下有界。定理實數子集的上界與下界1.設S是R內的一個有界開集，并設a與b分別是S的最大下界與最小上界，那么，a和b不屬于S。2.設S是R內的一個有界閉集，并設a與b分別是S的最大下界與最小上界，那么，a∈S和b∈S。222024/9/263.4連續(xù)性在分析函數時，需要了解函數的連續(xù)性。連續(xù)性意味著定義域內的一個微小運動并不引致值域內的大跳躍。

【定義】實數上函數的連續(xù)性如果對于所有的ε>0，總會存在一個δ>0，使得d(x,x0)<δ蘊含著d(f(x),f(x0))<ε，那么，函數f:R→R是在點x0處連續(xù)。如果函數在其定義域的每個點上連續(xù)，那么，該函數被稱為一個連續(xù)函數。或者表述為：如果對于所有ε>0，總會存在一個δ>0，使得與x0的距離小于δ的任何點由f映射到與f(x0)的距離小于ε的值域內的一些點上，那么f(x)在x0處連續(xù)。232024/9/26可以用集合來表示函數的連續(xù)性。將由Bδ(x0)內的點映射進值域內的點集表示為f(Bδ(x0))。同理，把與f(x0)的距離小于ε的值域內的點集表示成以f(x0)為中心，以ε為半徑的開球Bε(f(x0))。稱Bδ(x0)內的每個點由f映射到與f(x0)的距離不大于ε的一些點，等價于稱f(Bδ(x0))內的每個點屬于集合Bε(f(x0))，即：x0

Bδ(x0)f(Bδ(x0))f(x0)Bε(f(x0))定義柯西連續(xù)性設D是Rm的一個子集，并且設f:D→Rn。如果對于每個ε>0，存在一個δ>0，使得下式成立，那么，f在x0點連續(xù)。如果f在每個點x∈D上連續(xù)，那么它是一個連續(xù)函數。242024/9/26【定理】

連續(xù)性與其逆象設D是Rm的一個子集，如下的條件是等價的。1.f:D→Rn是連續(xù)的。2.對于Rn內的每個開球B，f-1(B)在D內也是開的。3.對于Rn內的每個開集S，f-1(S)在D內也是開的?！径ɡ怼烤o集的連續(xù)的象是一個緊集設D是一個Rm的一個子集，并且設f:D→Rn是一個連續(xù)函數。如果S是D內的一個緊集，那么，其象f(S)在Rn內是緊的。252024/9/263.5一些存在性定理【定理】威爾斯拉斯（Weierstrass）極值存在性定理設f:S→R是一個連續(xù)實值映射。S是Rn的一個非空的緊子集，那么，存在一個向量x1∈S與一個向量x2∈S，使得：f(x1)≤f(x)≤f(x2)對所有x∈S都成立。262024/9/26考慮一類特殊的函數，即從Rn的一個子集映射回Rn的同一個子集的函數。方程組將（x1,…,xn）∈Rn映射進點（y1,…,yn）∈Rn中。在特殊情形下，yi=xi，方程組的解為（x1*,…,xn*）∈Rn。方程組的解向量x*被稱為映射f:Rn→Rn的一個不動點。即該點是一個不受由定義域向值域映射所擾動的點，映射只是將該點映射回自身中。272024/9/26設是Rn的一個非空的緊且凸的集合，f:S→S是一個連續(xù)映射，那么，在S中至少存在一個f的不動點。即至少存在一個x*∈S使得x*=f(x*)。布勞威定理只是說明了不動點的存在性，但沒有說明不動點的唯一性。ababx*f(x*)例子：f是從一個閉區(qū)間[a,b]到同一區(qū)間的連續(xù)映射。布勞威定理保證f的圖像將在[a,b]×[a,b]的平方區(qū)域內至少穿過45°線一次。布勞威不動點定理f(x)xf(x)xg(x)x*g(x)=x-f(x)由于a≤f(x)≤b，所以a-f(x)≤0，b-f(x)≥0?？隙ù嬖谝稽c，使得g(x*)=0，即x*=f(x*)。282024/9/264實值函數【定義】

實值函數如果D是任何集合，并且R是實數集的子集，那么，f:D→R是一個實值函數。簡言之，實值函數是指將定義域（可能是Rn空間）內的元素映射到實線上。例如，經濟學中的效用、生產和成本函數等都屬于實值函數。Y=F(K,L)292024/9/264.1函數的單調性【定義】

遞增、嚴格遞增與強遞增函數設f:D→R，D是Rn的一個子集。如果每當x0≥x1時，總有f(x0)≥f(x1)，那么，f是遞增的。如果每當x0>>x1時，總有f(x0)>f(x1)，那么，f是嚴格遞增的。如果每當x0≠x1，且x0≥x1時，總有f(x0)>f(x1)，那么，f是強遞增的。x0≥x1意味著向量x=(x1,x2,…xn)的一個或多個分量增加。x0>>x1表示向量x的所有分量都增加。遞減、嚴格遞減與強遞減函數的定義正好與上述定義相反。302024/9/264.2相關集合【定義】

水平集當且僅當L(y0)={x︱x∈D,f(x)=y0}時，這里y0∈R，那么，L(y0)是一個實值函數f:D→R的水平集。簡言之，一個水平集是一個函數的定義域內所有元素的集合，該函數把集合內的所有元素映射進值域內的同一個數或同一“水平”上。如無差異曲線、等產量線等。水平集允許我們在兩維平面中研究三變量的函數。312024/9/26定義相對于某一點的水平集如果L(x0)={x︱x∈D,f(x)=f(x0)}，那么，L(x0)是一個相對于x0的水平集。定義上優(yōu)集與下劣集1.S(y0)={x︱x∈D,f(x)≥y0}被稱為相對于水平y(tǒng)0的上優(yōu)集（thesuperiorset)。2.I(y0)={x︱x∈D,f(x)≤y0}被稱為相對于水平y(tǒng)0的下劣集（theinferiorset)。如果不等式嚴格成立，則稱為嚴格上優(yōu)集和嚴格下劣集。S(y0)I(y0)L(y0)遞增函數S(y0)I(y0)L(y0)遞減函數水平集、上優(yōu)集與下劣集x1x1x2x2322024/9/264.3凹函數在分析凹函數時，經濟學中注重分析那些定義域是凸集的實值函數。假設：f:D→R是一個實值函數，假設D是Rn中的凸集。即對于D中的任意兩點x1和x2，其凸組合xt=tx1+(1-t)x2∈D，t∈[0,1]。【定義】

凹函數如果對于所有x1,x2∈D，存在如下關系時，f:D→R是一個凹函數：f(xt)≥tf(x1)+(1-t)f(x2)t∈[0,1]簡言之，如果f在兩點的凸組合處的取值不小于f在這兩點處函數值的凸組合，則函數是凹的。332024/9/26凹函數的圖示在圖像上任取兩點(x1,y1)和(x2,y2),并且畫出連結這兩點的弦。這兩點凸組合的坐標分別為：xt=tx1+(1-t)x2yt=tf(x1)+(1-t)f(x2)凹函數意味著：f(xt)≥yt=tf(x1)+(1-t)f(x2)對于所有x1≠x2,且t∈(0,1),若上述不等式嚴格成立，則為嚴格凹函數。這排除了圖像上的平坦部分。f(x)x1X

y

x2y1=f(x1)f(xt)xty2=f(x2)yt判斷凹函數的簡單法則函數圖像上任意兩點的連線位于圖像上或其下方時，函數是凹的。342024/9/26【定理】一個凹函數的圖像上及其下方的點總會形成一個凸集設A={(x,y)︱x∈D,f(x)≥y}是f:D→R的圖像上及其下方的點的集合，D是Rn上的凸集，則：f是一個凹函數等價于A是一個凸集352024/9/264.4擬凹函數【定義】

擬凹函數f:D→R是擬凹的，當且僅當對于所有屬于D的x1與x2，有：f(xt)≥min[f(x1),f(x2)]對于所有t∈[0,1]x1x2L(x2)L(x1)L(xt)x1x2xt函數是擬凹且遞增的x1x2L(x1)L(x2)L(xt)x2x1xt函數是擬凹且遞減的擬凹函數的水平集【定理】

擬凹性與上優(yōu)集擬凹函數等價于上優(yōu)集是凸集。362024/9/26【定義】嚴格擬凹函數當且僅當對于D內所有x1≠x2,以及對于所有t∈(0,1)，f(xt)>min[f(x1),f(x2)]，函數f:D→R是嚴格擬凹的。x1xtx2L(x1)=L(x2)=L(xt)x1x2x1x2xtx1x2擬凹性與水平