2022屆寧夏銀川市高三質(zhì)量檢測(cè)（一模）數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．已知集合，，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出集合后可求.【詳解】因?yàn)?，，所?故選：C.2．||=（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)，再利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式即得解【詳解】由題意，故選：B3．已知，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用兩角和的余弦公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得到，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將弦化切，最后代入計(jì)算可得；【詳解】解：由，即，即，則，所以.故選：D4．已知雙曲線的兩條漸近線互相垂直，則離心率（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知條件求得，然后利用公式可求得該雙曲線的離心率的值.【詳解】由題設(shè)，所以，，則.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的計(jì)算，在涉及漸近線的問(wèn)題時(shí)，利用公式計(jì)算較為方便，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.5．交通錐，又稱雪糕筒，是一種交通隔離警戒設(shè)施.如圖，某圓錐體交通錐的高為12，側(cè)面積為65π，則該圓錐體交通錐的體積為（）A．25π B．75π C．100π D．300π【答案】C【分析】設(shè)出底面半徑，利用側(cè)面積求出半徑，進(jìn)而利用圓錐體積公式進(jìn)行所求解.【詳解】設(shè)該圓錐體交通錐的底面半徑為r，則，解得：，所以該圓錐體交通錐的體積為故選：C6．已知函數(shù)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】依題意根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得到，即可得到，代入函數(shù)解析求出，最后根據(jù)計(jì)算可得；【詳解】解：依題意得，，由，即，得，所以當(dāng)時(shí)，所以.故選：D7．我國(guó)18歲的滑雪運(yùn)動(dòng)員谷愛凌在第24屆北京冬奧會(huì)上勇奪“兩金一銀”，取得了優(yōu)異的成績(jī).在某項(xiàng)決賽中選手可以滑跳三次，然后取三次中最高的分?jǐn)?shù)作為該選手的得分，谷愛凌為了取得佳績(jī)，準(zhǔn)備采用目前女運(yùn)動(dòng)員中最難的動(dòng)作進(jìn)行滑跳，設(shè)每輪滑跳的成功率為0.4，利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0~9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，我們用0，1，2，3表示滑跳成功，4，5，6，7，8，9表示滑跳不成功，現(xiàn)以每3個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，作為3輪滑跳的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生如下10組隨機(jī)數(shù)：813，502，659，491，275，937，740，632，845，936.由此估計(jì)谷愛凌“3輪滑跳中至少有1輪成功”的概率為（）A．0.9 B．0.8 C．0.7 D．0.6【答案】B【分析】由題意，10組隨機(jī)數(shù)中，表示“3輪滑跳全都不成功”的有659，845，利用對(duì)立事件，即可得到答案；【詳解】由題意，10組隨機(jī)數(shù)中，表示“3輪滑跳全都不成功”的有659，845，共2個(gè)，所以估計(jì)谷愛凌“3輪滑跳中至少有1輪成功”的概率為.故選：B8．如圖所示的是一個(gè)程序框圖，執(zhí)行該程序框圖，則輸出的值是（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】模擬執(zhí)行程序，即可得到輸出結(jié)果；【詳解】解：模擬執(zhí)行程序可知：第1循環(huán)，，，不滿足，第2次循環(huán)，，，不滿足，第3次循環(huán)，，，不滿足，第4次循環(huán)，，，不滿足，第5次循環(huán)，，，不滿足，第6次循環(huán)，，，不滿足，第7次循環(huán)，，，不滿足，第8次循環(huán)，，，不滿足，第9次循環(huán)，，，滿足，故輸出的值是9.故選：C9．在流行病學(xué)中，基本傳染數(shù)是指在沒有外力介入，同時(shí)所有人都沒有免疫力的情況下，一個(gè)感染者平均傳染的人數(shù).一般由疾病的感染周期?感染者與其他人的接觸頻率?每次接觸過(guò)程中傳染的概率決定，假設(shè)某種傳染病的基本傳染數(shù)，平均感染周期為7天，那么感染人數(shù)由1（初始感染者）增加到999大約需要的天數(shù)為（）（初始感染者傳染個(gè)人為第一輪傳染，這個(gè)人每人再傳染個(gè)人為第二輪傳染……參考數(shù)據(jù)：）A．42 B．56 C．63 D．70【答案】C【分析】設(shè)第n輪感染的人數(shù)為，則數(shù)列是，公比的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列求和公式，結(jié)合，即可得到答案；【詳解】設(shè)第n輪感染的人數(shù)為，則數(shù)列是，公比的等比數(shù)列，由，可得，解得，兩邊取對(duì)數(shù)得，則，所以，故需要的天數(shù)約為.故選：C10．如圖，在四面體中，分別為的中點(diǎn)，分別在上，且.給出下列四個(gè)命題：①平面；②平面；③平面；④直線交于一點(diǎn).其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】依題意可得且，且，即可得到平面，再判斷與為相交直線，即可判斷②③，由四邊形為梯形，所以與必相交，設(shè)交點(diǎn)為，即可得到，從而判斷④；【詳解】解：因?yàn)?，所以且，又分別為的中點(diǎn)，所以且，則，又平面，平面，所以平面，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的一個(gè)三等分點(diǎn)，所以與為相交直線，故與平面必不平行，也不平行平面，因?yàn)闉樘菪?，所以與必相交，設(shè)交點(diǎn)為，又平面，平面，則是平面與平面的一個(gè)交點(diǎn)，所以，即直線交于一點(diǎn)，故選：B.11．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則△ABC面積的最大值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意得到，利用余弦定理和面積公式，化簡(jiǎn)得到，結(jié)合，得到，即可求解.【詳解】由，可得，由余弦定理可得.因?yàn)榈拿娣e，所以，因?yàn)椋裕十?dāng)時(shí)，取得最大值3，此時(shí).故選：B.12．設(shè)函數(shù)，已知在上單調(diào)遞增，則在上的零點(diǎn)最多有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】A【分析】先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)題意得出參數(shù)的范圍，設(shè)，則，由，得出函數(shù)在上的零點(diǎn)情況出答案.【詳解】由，，得，，取，可得.若在上單詞遞增，則，解得.若，則.設(shè)，則，因?yàn)樗院瘮?shù)在上的零點(diǎn)最多有2個(gè).所以在上的零點(diǎn)最多有2個(gè).故選：A二、填空題13．若滿足約束條件則的最大值為___________.【答案】6【分析】依題意畫出可行域，數(shù)形結(jié)合，即可求出的最大值；【詳解】解：畫出可行域如下所示：由，解得，即，由，則，平移，由圖可知當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最大值，即，即最大值為6.故答案為：614．已知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則m的最小值為___________.【答案】1【分析】根據(jù)題意，由在R上恒成立求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在R上單調(diào)遞增，所以在R上恒成立，即在R上恒成立，所以.故答案為：115．摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以在高處俯瞰四周景色．如圖，某摩天輪的最高點(diǎn)距離地面的高度為12，轉(zhuǎn)盤的直徑為10，A，B為摩天輪在地面上的兩個(gè)底座，，點(diǎn)P為摩天輪的座艙，則的范圍為______．【答案】【分析】由題意可得到P到AB中點(diǎn)距離的最大值和最小值，然后根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算，可得到答案.【詳解】設(shè)C為AB的中點(diǎn)，如圖示：由題意可知：,則，又因?yàn)?，所以的取值范圍?故答案為：16．已知，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若在拋物線上存在點(diǎn)N，使得，則的取值范圍是___________.【答案】【分析】過(guò)M作C的一條切線，切點(diǎn)為Q，設(shè)，根據(jù)在拋物線上存在點(diǎn)N，使得，得到，然后求得當(dāng)時(shí)的即可.【詳解】過(guò)M作C的一條切線，切點(diǎn)為Q，如圖所示：設(shè)，因?yàn)樵趻佄锞€上存在點(diǎn)N，使得，所以，當(dāng)時(shí)，直線MQ的方程為，將代入，可得，由，解得，所以的取值范圍為.故答案為：三、解答題17．已知等差數(shù)列滿足.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，記的前項(xiàng)和為，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得到，即可求出、，從而得到通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，即可得到，利用并項(xiàng)求和法計(jì)算可得；【詳解】(1)解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，所以，所以，所以，解得，則.(2)解：因?yàn)榍遥?，所以，所?18．在一次活動(dòng)課上，老師準(zhǔn)備了4個(gè)大小完全相同的紅包，其中只有一個(gè)紅包里面有100元，其余三個(gè)里面都是白紙.老師邀請(qǐng)甲上臺(tái)隨機(jī)抽取一個(gè)紅包，但不打開紅包，然后老師從剩下的三個(gè)紅包中拿走一個(gè)裝有白紙的紅包，甲此時(shí)可以選擇將自己選中的紅包與剩下的兩個(gè)紅包中的一個(gè)進(jìn)行置換.(1)若以獲得有100元的紅包概率的大小作為評(píng)判的依據(jù)，甲是否需要選擇置換？請(qǐng)說(shuō)明理由.(2)以（1）中的結(jié)果作為置換的依據(jù)，記表示甲獲得的金額，求的分布列與期望.【答案】(1)甲需要選擇置換，理由見解析；(2)分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：.【分析】（1）利用條件概率即求；（2）由題可得的可能取值為0，100，分別求概率，即得.【詳解】(1)甲需要選擇置換.理由如下：若甲同學(xué)不選擇置換，則獲得有100元的紅包的概率為，若甲同學(xué)選擇置換，若甲同學(xué)第一次抽到100元，概率為，置換后概率為0，故為，若甲同學(xué)第一次沒有抽到100元，概率為，置換后概率為，故為；則獲得有100元的紅包的概率為，因?yàn)椋约仔枰x擇置換.(2)由題可知的可能取值為0，100.，，的分布列如下：0100.19．如圖，在四棱錐中，，為平行四邊形，，平面，，分別是，的中點(diǎn).(1)證明：平面平面.(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接，通過(guò)證明和可得答案；（2）以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出面和面的法向量，利用夾角公式求解即可.【詳解】(1)證明：連接.因?yàn)槠矫?，所以又因?yàn)?，且為平行四邊形，，所以為等邊三角?又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以又因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以平面，又平面，所以平面平?(2)解：以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，因?yàn)槠矫妫允瞧矫娴囊粋€(gè)法向量.設(shè)平面的法向量為，由，，可得令，則，即.，又二面角的平面角為銳角，所以二面角的余弦值為.20．已知橢圓的焦距為2c，左?右焦點(diǎn)分別是，，其離心率為，圓與圓相交，兩圓的交點(diǎn)在橢圓E上.(1)求橢圓E的方程.(2)已知A，B，C為橢圓E上三個(gè)不同的點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且O為△ABC的重心.證明：△ABC的面積為定值.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由題意得到，再由圓與圓相交，結(jié)合橢圓的定義得到，進(jìn)而求得的值，即可求得橢圓方程；（2）當(dāng)AB垂直于x軸時(shí)，得到，，求得；當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的直線方程為，聯(lián)立方程組得到，結(jié)合弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線的距離公式，求得，即可求解.【詳解】(1)解：由橢圓得的離心率為，即，又由圓與圓，可得圓心分別為，半徑分別為，因?yàn)閳A與圓相交，兩圓的交點(diǎn)在橢圓E上，可得，解得，則，可得，所以橢圓E的方程為.(2)證明：設(shè)，，當(dāng)AB垂直于x軸時(shí)，，因?yàn)镺為△ABC的重心，所以或.根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，不妨令，此時(shí)，，可得.當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的直線方程為，聯(lián)立方程組，整理得，則，，設(shè)，則，.代入，得，又由，原點(diǎn)到的距離，所以，所以，即的面積為定值.21．已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）求導(dǎo)，討論導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)變化進(jìn)行求解；（2）分三種情況進(jìn)行討論：當(dāng)時(shí)，適當(dāng)放縮進(jìn)行證明；當(dāng)時(shí)，證明恒成立；當(dāng)時(shí)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性確定最小值，再討論、進(jìn)行求解.【詳解】(1)解：，，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.(2)解：若，因?yàn)?，取，則，，，此時(shí)，故此時(shí)不可能恒成立.若，此時(shí)恒成立.若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故的最小值在處取到，即，而.顯然當(dāng)時(shí)，，，此時(shí).當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，故.綜上所述.22．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)）．(1)求C的直角坐標(biāo)方程；(2)點(diǎn)是曲線C上在第一象限內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）平方相加進(jìn)行消參即可；（2）由在圓上，設(shè)，，表示出后借助三角恒等變換化簡(jiǎn)得，再結(jié)合單調(diào)性求出最小值.【詳解】(1)由題可知，，所以．因?yàn)?，所以C的直角坐標(biāo)方程