第4講二次函數(shù)目錄第一部分：知識點精準(zhǔn)記憶第二部分：課前自我評估測試第三部分：典型例題剖析題型一：二次函數(shù)的定義題型二：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)題型三：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)題型四：二次函數(shù)圖象與系數(shù)關(guān)系題型五：一次函數(shù)與二次函數(shù)圖象綜合判斷題型六：反比例函數(shù)與二次函數(shù)圖象綜合判斷題型七：兩個二次函數(shù)圖象綜合判斷題型八：二次函數(shù)的對稱性問題題型九：求二次函數(shù)解析式題型十：二次函數(shù)平移問題題型十一：二次函數(shù)最值問題題型十二：二次函數(shù)與一元二次方程題型十三：二次函數(shù)與不等式題型十四：實際問題與二次函數(shù)題型十五：二次函數(shù)綜合第四部分：中考真題感悟第一部分：知識點精準(zhǔn)記憶知識點一：二次函數(shù)的定義一般地，形如（、、是常數(shù)，）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．知識點二：二次函數(shù)解析式二次函數(shù)的解析式有三種常見形式：①一般式：（、、是常數(shù)，）；②頂點式：（，，是常數(shù)，），其中為頂點坐標(biāo)；③交點式：（），該拋物線與軸的兩個交點坐標(biāo)，．知識點三：二次函數(shù)（）的圖象與性質(zhì)函數(shù)二次函數(shù)（、、是常數(shù)，）圖象開口方向向上向下對稱軸直線直線頂點坐標(biāo)增減性在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng)時，隨的增大而減?。辉趯ΨQ軸的右側(cè)，即當(dāng)時，隨的增大而增大．簡記：左減右增在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng)時，隨的增大而增大；在對稱軸的右側(cè)，即當(dāng)時，隨的增大而減小．簡記：左增右減最大(小)值拋物線有最低點，當(dāng)時，有最小值，拋物線有最高點，當(dāng)時，有最大值，知識點四：二次函數(shù)（）圖象與系數(shù)的關(guān)系字母的符號圖象的特征開口向上開口向下（，同號）對稱軸在軸左側(cè)（，異號）對稱軸在軸右側(cè)圖象過原點與軸正半軸相交與軸負(fù)半軸相交知識點五：二次函數(shù)圖象變換（左加，右減，上加，下減）平移方式（）一般式頂點式向左平移個單位向右平移個單位向上平移個單位向下平移個單位知識點六：二次函數(shù)與方程的關(guān)系與軸交點個數(shù)2個1個0個圖象交點坐標(biāo)無交點對稱軸韋達(dá)定理；知識點七：二次函數(shù)與不等式的關(guān)系圖象與軸交點2個1個無的解集情況或取任意實數(shù)的解集情況無解無解第二部分：課前自我評估測試1．（2023·浙江·九年級專題練習(xí)）將拋物線向上平移3個單位，所得拋物線的解析式是（）A． B． C． D．2．（2023春·浙江杭州·九年級翠苑中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）下列各式中，y是x的二次函數(shù)的是（

）A．y=3x B．y=x2+（3-x）xC．y=（x-1）2 D．y=ax2+bx+c3．（2023春·廣東揭陽·九年級?？茧A段練習(xí)）根據(jù)下表：x－3－2－1…456x2－bx－5135－1…－1513確定方程x2－bx－5＝0的解的取值范圍是（

）A．－2＜x＜－1或4＜x＜5 B．－2＜x＜－1或5＜x＜6C．－3＜x＜－2或5＜x＜6 D．－3＜x＜－2或4＜x＜54．（2023春·云南昆明·九年級昆明市第一中學(xué)西山學(xué)校?？计谥校佄锞€的頂點坐標(biāo)是___________．5．（2023春·浙江杭州·九年級翠苑中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知是關(guān)于x的二次函數(shù)，那么m的值為______6．（2023春·天津和平·九年級天津一中?？茧A段練習(xí)）將二次函數(shù)化為的形式，則____________．第三部分：典型例題剖析題型一：二次函數(shù)的定義典型例題例題1．（2023春·湖北恩施·九年級校考階段練習(xí)）下列函數(shù)中是二次函數(shù)的是A． B． C． D．例題2．（2023春·山東臨沂·九年級臨沂沂州實驗學(xué)校?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)是關(guān)于的二次函數(shù)，則的值為______．例題3．（2022秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）有下列函數(shù)：①；②；③；④．其中是的二次函數(shù)有_____．（填序號）例題4．（2022秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)為何值時，此函數(shù)是二次函數(shù)；(2)當(dāng)為何值時，此函數(shù)是正比例函數(shù)．同類題型歸類練1．（2022春·廣東江門·九年級?？计谥校┫铝懈魇街?，是關(guān)于的二次函數(shù)的是（

）A． B． C． D．2．（2022秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）二次函數(shù)中，a的取值范圍是_____．3．（2022春·北京西城·九年級?？计谥校┮阎顷P(guān)于的二次函數(shù)，那么的值為______．4．（2022春·廣東江門·九年級校考期中）已知函數(shù)為二次函數(shù)，則的值為______．題型二：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)典型例題例題1．（2022春·山東煙臺·九年級期末）將拋物線先向右平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度，得到的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為（）A． B．C． D．例題2．（2022春·天津河北·九年級天津二中期末）已知拋物線（，，為常數(shù)），，，是拋物線上三點，則，，由小到大依序排列為（

）A． B． C． D．例題3．（2022秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）當(dāng)時，直線與拋物線在自變量取值范圍內(nèi)的圖象有兩個交點，則的取值范圍是__．例題4．（2022春·江蘇揚(yáng)州·九年級階段練習(xí)）已知二次函數(shù)．(1)該二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)為______；(2)該函數(shù)的圖象與軸的交點坐標(biāo)為______；(3)用五點法畫函數(shù)圖象：…………(4)將該拋物線繞其頂點旋轉(zhuǎn)180°后所得拋物線的表達(dá)式為______．同類題型歸類練1．（2022春·山東濟(jì)寧·九年級期中）已知二次函數(shù)，當(dāng)時，隨的增大而減小，則函數(shù)中的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2022春·廣東東莞·九年級期中）關(guān)于拋物線的圖象，下列結(jié)論正確的是（）A．對稱軸是直線 B．當(dāng)時，隨的增大而增大C．與y軸的交點坐標(biāo)是 D．頂點坐標(biāo)是3．（2022春·江蘇南京·九年級階段練習(xí)）已知點，，在函數(shù)的圖像上，試確定，，的大小關(guān)系是______．4．（2022春·江蘇鎮(zhèn)江·九年級階段練習(xí)）當(dāng)時，二次函數(shù)有最大值4，則實數(shù)m的值為_________．題型三：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)典型例題例題1．（2022春·遼寧沈陽·九年級期末）已知二次函數(shù)的圖像如圖所示，則下列選項中正確的是（

）A． B． C． D．例題2．（2022春·湖北武漢·九年級階段練習(xí)）已知二次函數(shù)圖象上三點、、，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．例題3．（2022春·湖北武漢·九年級?？茧A段練習(xí)）二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，，與軸正半軸相交．下列結(jié)論：①；②；③若點，，都在二次函數(shù)的圖象上，則；④關(guān)于的一元二次方程一定有兩個不相等的實數(shù)根．其中正確的結(jié)論是_____（填寫序號）．例題4．（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）二次函數(shù)的圖象如圖所示，根據(jù)圖象解答下列問題：(1)寫出方程的兩個根；(2)寫出方程時的取值范圍；(3)寫出隨的增大而減小的自變量的取值范圍；(4)若方程有兩個不相等的實數(shù)根，求的取值范圍．同類題型歸類練1．（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，已知二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線，下列結(jié)論：①；②；③若為任意實數(shù)，則有；④若圖象經(jīng)過點，方程的兩根為，，則．其中正確的結(jié)論的個數(shù)是（

）A．個 B．個 C．個 D．個2．（2022春·江蘇連云港·九年級階段練習(xí)）拋物線上部分點的橫坐標(biāo)x和縱坐標(biāo)y的對應(yīng)值如下表，則下列說法中正確的有（）個①當(dāng)時，y隨x的增大而減?。趻佄锞€的對稱軸為直線．③當(dāng)時，．④方程一個正數(shù)解滿足．A．1 B．2 C．3 D．43．（2022春·安徽淮北·九年級?？茧A段練習(xí)）二次函數(shù)的圖象如圖所示，其對稱軸為，下列結(jié)論中：①；②；③；④．正確的是（）A．①② B．②③ C．②③④ D．①②③④4．（2022春·江蘇南京·九年級南京市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）二次函數(shù)的圖像如圖所示，其對稱軸為直線，下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤．其中，正確的是___________．題型四：二次函數(shù)圖象與系數(shù)關(guān)系典型例題例題1．（2022春·北京海淀·九年級?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，其中，此函數(shù)的圖象可以是（

）A．．B．．C．．D．例題2．（2022春·山東德州·九年級?？茧A段練習(xí)）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，給出以下結(jié)論：①；②；③；④．其中所有正確結(jié)論的序號是()A．③④ B．②③ C．①④ D．①②③例題3．（2022春·黑龍江齊齊哈爾·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖所示是二次函數(shù)圖像的一部分，圖像過點，二次函數(shù)圖像對稱軸為直線，給出五個結(jié)論：①；②；③；④方程的根為，；⑤當(dāng)時，隨著的增大而增大．其中正確結(jié)論有________________同類題型歸類練1．（2022春·安徽滁州·九年級?？茧A段練習(xí)）已知拋物線如圖所示，則下列判斷正確的是（

）A． B．C． D．2．（2022春·北京·九年級?？计谥校┤鐖D所示，是二次函數(shù)圖象的一部分，其對稱軸為，且過點，下列說法：①；②；③；④若是拋物線上兩點，則．其中說法正確的是（

）A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④3．（2022春·山東臨沂·九年級統(tǒng)考期中）如圖，二次函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，與軸交于，兩點．若，則下列四個結(jié)論：①；②；③；④，正確結(jié)論的個數(shù)為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個題型五：一次函數(shù)與二次函數(shù)圖象綜合判斷典型例題例題1．（2022春·河南南陽·九年級南陽市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）二次函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)的圖象經(jīng)過（

）A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限例題2．（2022秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）函數(shù)數(shù)與二次函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（）A． B．C． D．例題3．（2022春·河南濮陽·九年級校考階段練習(xí)）已知二次函數(shù)的部分函數(shù)圖象如圖所示，則一次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象大致是（）A． B． C．D．例題4．（2022·山東泰安·?？级＃┤鐖D所示，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點，與軸交于點，對稱軸為直線．直線與拋物線交于，兩點，點在軸下方且橫坐標(biāo)等于3，則下列結(jié)論：①；②；③；④的解集為中正確的結(jié)論是______（只填寫序號）．同類題型歸類練1．（2022春·湖南長沙·九年級?？茧A段練習(xí)）在同一坐標(biāo)系內(nèi)，函數(shù)和的圖象大致為（）A． B． C． D．2．（2022春·廣西欽州·九年級?？计谥校┖瘮?shù)與(是常數(shù)，且)在同一坐標(biāo)系中的圖像可能是(

)A．B．C．D．3．（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)的圖象和反比例函數(shù)的圖象在同一坐標(biāo)系中大致是（）A．B．C．D．4．（2022春·湖南永州·九年級?？茧A段練習(xí)）當(dāng)時，拋物線與直線在同一直角坐標(biāo)系中的圖象大致是（）A． B．C． D．題型六：反比例函數(shù)與二次函數(shù)圖象綜合判斷典型例題例題1．（2022春·安徽安慶·九年級統(tǒng)考期中）已知點，是反比例函數(shù)的圖象上的兩點，且當(dāng)時，，則函數(shù)與在同一直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（）A． B． C． D．例題2．（2022秋·廣東湛江·九年級?？茧A段練習(xí)）已知二次函數(shù)的圖像如圖所示，則一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖像為（

）A． B． C．D．例題3．（2022春·安徽合肥·九年級統(tǒng)考期中）在同一平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)與二次函數(shù)的大致圖象可能是（

）A． B．C． D．例題4．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）已知反比例函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)和二次函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（

）B．C．D．同類題型歸類練1．（2022春·浙江舟山·九年級校考階段練習(xí)）反比例函數(shù)與二次函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的大致圖像是（

）A． B．C．D．2．（2022秋·全國·九年級專題練習(xí)）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)的圖象和反比例函數(shù)的圖象在同一坐標(biāo)系中大致是（）A． B．C． D．3．（2022秋·九年級課時練習(xí)）二次函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一坐標(biāo)系內(nèi)的大致圖象是（

）B．C．D．4．（2022秋·九年級單元測試）根據(jù)如圖所示的二次函數(shù)的圖象，判斷反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象大致是（

）B．C．D．題型七：兩個二次函數(shù)圖象綜合判斷典型例題例題1．（2022春·九年級課時練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，垂直于軸的直線分別交拋物線（）和拋物線（）于點和點，過點作軸交拋物線于點，過點作軸交拋物線于點，則的值為（）A． B． C． D．例題2．（2022春·九年級課時練習(xí)）已知拋物線與軸交于點，其關(guān)于軸對稱的拋物線為：，且經(jīng)過點和點．（1）求拋物線的解析式；（2）將拋物線沿軸向右平移得到拋物線，拋物線與軸的交點記為點和點（在的右側(cè)），與軸交于點，如果滿足與相似，請求出平移后拋物線的表達(dá)式．同類題型歸類練1．（2022秋·四川成都·九年級專題練習(xí)）拋物線y1＝（x-h）2＋k與交于點A，分別交y軸于點P，Q，過點A作x軸的平行線，分別交兩條拋物線于點B，C．已知B（3，3），BC=10，其中正確結(jié)論是：①；②點（，m）、（，n）及（，p）都在y1上，則p＜n＜m；③y1≥y2，則x≤1；④PQ＝．A．②④ B．①③ C．②③ D．②③④2．（2022春·江蘇蘇州·九年級星海實驗中學(xué)?？计谥校┰谕黄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，函數(shù)y＝ax2＋b與y＝bx2＋ax的圖象可能是()A． B． C．D．題型八：二次函數(shù)的對稱性問題典型例題例題1．（2022春·江蘇無錫·九年級江蘇省天一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）點和在二次函數(shù)圖象上，則拋物線的對稱軸是直線（

）A． B． C． D．例題2．（2022春·遼寧沈陽·九年級沈陽市雨田實驗中學(xué)期末）已知二次函數(shù)的部分對應(yīng)值如下表．同學(xué)們討論得出了下列結(jié)論：①拋物線的開口向上；②拋物線的對稱軸為直線；③當(dāng)時，；④是方程的一個根．其中正確的結(jié)論有（

）…0135……70…A．1個 B．2個 C．3個 D．4個例題3．（2022春·江蘇宿遷·九年級沭陽縣懷文中學(xué)校考期中）如圖，函數(shù)（，，為常數(shù)，且）經(jīng)過點、，且，下列結(jié)論：①；②﹔③若點，在拋物線上，則；④，必有兩個不相等的實數(shù)根．其中結(jié)論正確的有___________．（填序號）例題4．（2022春·北京海淀·九年級北京市十一學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，點，，在二次函數(shù)圖象上．(1)寫出此二次函數(shù)的對稱軸______，并求這個二次函數(shù)的解析式；(2)關(guān)于的一元二次方程的根為_____；(3)當(dāng)時，的取值范圍是_____．同類題型歸類練1．（2022秋·河北承德·九年級承德市第四中學(xué)?？茧A段練習(xí)）二次函數(shù)的圖象如圖，點在軸的正半軸上，且，則下列結(jié)論：①；②拋物線的對稱軸是直線；③，；④與兩點間的距離為．其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（2022春·北京西城·九年級北京十四中?？计谥校佄锞€，對稱軸為直線，且經(jīng)過點，則的值為___________．3．（2022春·山東煙臺·九年級統(tǒng)考期中）已知，，，，是拋物線上的點，則，，的大小關(guān)系是______（用“”連接）．4．（2022春·山東煙臺·九年級統(tǒng)考期中）若，為拋物線上兩點，則h的值為___________．題型九：求二次函數(shù)解析式典型例題例題1．（2022春·吉林長春·九年級期末）已知，二次函數(shù)的圖象如圖所示，二次函數(shù)與軸交于，，(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)當(dāng)時，的取值范圍是．例題2．（2022春·江蘇鹽城·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知拋物線的頂點為，拋物線與軸交于點，與軸交于、兩點．求此拋物線的解析式例題3．（2022春·江蘇鹽城·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點，．(1)求這個二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)求這個圖像的頂點坐標(biāo)．（配方法）同類題型歸類練1．（2022春·遼寧大連·九年級期末）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過，，，(1)此二次函數(shù)的解析式；(2)它的頂點坐標(biāo)．2．（2022春·陜西渭南·九年級期末）已知二次函數(shù)（其中為常數(shù)）．(1)該函數(shù)的圖像與軸的公共點有_________個；(2)若該函數(shù)的圖像的對稱軸是，頂點為點A，求此時函數(shù)的解析式及點A的坐標(biāo)．3．（2022秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，已知拋物線y＝ax2＋c過點（﹣2，2），（4，5），過定點F（0，2）的直線l；y＝kx＋2與拋物線交于A，B兩點，點B在點A的右側(cè)，過點B作x軸的垂線，垂足為點C．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)當(dāng)點B在拋物線上運(yùn)動時，判斷線段BF與BC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的判斷．題型十：二次函數(shù)平移問題典型例題例題1．（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）將拋物線先向右平移1個單位長度，再向上平移2個單位長度，得到的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為（）A． B．C． D．例題2．（2022春·北京·九年級北京市陳經(jīng)綸中學(xué)分校期末）將拋物線先向右平移3個單位長度，再向上平移5個單位長度，所得拋物線的解析式為（

）A． B． C． D．例題3．（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）在同一平面直角坐標(biāo)系中，將函數(shù)的圖像向左平移3個單位長度，再向下平移2單位，得到的圖像的頂點坐標(biāo)是_______________．例題4．（2022·北京西城·九年級北師大實驗中學(xué)?？计谀佄锞€經(jīng)過點，且對稱軸是直線，該拋物線的解析式是__________．該拋物線經(jīng)過平移得到拋物線，請描述平移過程_________．同類題型歸類練1．（2022春·陜西渭南·九年級期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象與軸相交于點C，將該二次函數(shù)圖象向右平移m個單位長度后，也經(jīng)過點C，則m的值為（

）A．2 B．4 C．6 D．82．（2022春·湖北武漢·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）將拋物線經(jīng)過怎樣平移變換得到（

）A．向右平移2個單位，再向上平移3個單位 B．向右平移2個單位，再向下平移3個單位C．向左平移2個單位，再向上平移3個單位 D．向左平移2個單位，再向下平移3個單位3．（2022春·遼寧葫蘆島·九年級期中）拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，若將x軸向上平移2個單位長度，將y軸向左平移3個單位長度，則該拋物線在新的平面直角坐標(biāo)系中的函數(shù)表達(dá)式為______．4．（2022春·江蘇南京·九年級南京市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知二次函數(shù)（是常數(shù)）．(1)求證：不論為何值，該函數(shù)圖像與軸沒有公共點；(2)把該函數(shù)的圖像沿軸向下平移___________個單位長度后，得到的函數(shù)的圖像與軸只有一個公共點？題型十一：二次函數(shù)最值問題典型例題例題1．（2022春·北京西城·九年級北師大實驗中學(xué)?？计谀┒魏瘮?shù)的最小值為（）A．2 B．0 C． D．例題2．（2022春·山西忻州·九年級期末）已知二次函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)的最小值為，則的值為______．例題3．（2022春·吉林長春·九年級吉林省實驗期末）已知二次函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)值的最大值為1，則的值為______．例題4．（2022春·山東青島·九年級青島三十九中期末）“互聯(lián)網(wǎng)＋”時代，網(wǎng)上購物備受消費(fèi)者青睞．某網(wǎng)店專售一款休閑褲，其成本為每條40元，當(dāng)售價為每條90元時，每月可銷售50條．為了吸引更多顧客，該網(wǎng)店采取降價措施．據(jù)市場調(diào)查反映：銷售單價每降1元，則每月可多銷售5條．設(shè)每條褲子的售價為元（售價不低于40元），每月的銷售量為條．(1)直接寫出與的函數(shù)關(guān)系式；(2)該網(wǎng)店每月獲得的利潤為元，當(dāng)銷售單價多少元時，每月獲得的利潤最大，最大利潤是多少？(3)該網(wǎng)店店主為了保證捐款后每月利潤4420元，且讓消費(fèi)者得到最大的實惠，該如何確定休閑褲的銷售單價？同類題型歸類練1．（2022春·河北滄州·九年級?？茧A段練習(xí)）已知二次函數(shù)，當(dāng)時，該函數(shù)（

）A．有最大值、最小值，分別是3，0B．最大值是4，無最小值C．最小值是，最大值是3D．最小值是，最大值是42．（2022春·江蘇南通·九年級統(tǒng)考期中）已知二次函數(shù)，當(dāng)時，其最小值為，最大值為3，則的最大值是___________．3．（2022秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）已知二次函數(shù)，當(dāng)，且，時，y的最小值為，最大值為，則的值為．4．（2022春·遼寧大連·九年級大連市第79中學(xué)階段練習(xí)）如圖，已知二次函數(shù)的圖象頂點A在x軸上，且，與一次函數(shù)的圖象交于y軸上一點B和另一交點C.(1)求拋物線的解析式；(2)點D為線段上一點，過點D作軸，垂足為E，交F拋物線于點F，請求出線段的最大值.題型十二：二次函數(shù)與一元二次方程典型例題例題1．（2022春·新疆昌吉·九年級新疆昌吉回族自治州第二中學(xué)期末）拋物線與軸交點的個數(shù)為（

）A．3 B．2 C．1 D．0例題2．（2022春·北京房山·九年級校考階段練習(xí)）關(guān)于的函數(shù)的圖像與軸有兩個交點，則的取值范圍是（

）A．且 B． C． D．例題3．（2022春·安徽合肥·九年級校考期中）已知拋物線與軸只有一個公共點，______．例題4．（2022春·遼寧大連·九年級期末）拋物線的頂點坐標(biāo)為，且經(jīng)過點(1)求拋物線的解析式；(2)拋物線交軸、兩點，求的長同類題型歸類練1．（2022春·福建福州·九年級閩清天儒中學(xué)階段練習(xí)）二次函數(shù)的圖像與x軸的兩個交點間的距離是（

）A．3 B．4 C．5 D．62．（2022春·廣東東莞·九年級期中）如圖，一元二次方程的解為_____________3．（2022春·遼寧大連·九年級期末）如圖是二次函數(shù)的部分圖象，由圖象可知方程的解是________．4．（2022秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）拋物線經(jīng)過點，兩點，則關(guān)于x的一元二次方程的解是__．題型十三：二次函數(shù)與不等式典型例題例題1．（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）已知關(guān)于的一元二次方程為的根為則關(guān)于的一元二次不等式的解集為（）A．或 B． C． D．例題2．（2022春·北京·八年級人大附中校考期中）拋物線與直線交于兩點，關(guān)于的不等式的解集是（）A．或 B．或 C． D．例題3．如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點,，．現(xiàn)有四個推斷：①拋物線開口向下；②當(dāng)時，取最大值；③當(dāng)時．關(guān)于的一元二次方程必有兩個不相等的實數(shù)根；④直線經(jīng)過點,，當(dāng)時，的取值范圍是；其中推斷正確的是（

）A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④例題4．（2022春·山西大同·九年級大同一中階段練習(xí)）閱讀理解：我們學(xué)習(xí)過二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系，可以借助二次函數(shù)的圖象，研究一元二次方程的根．那么我們能否借助二次函數(shù)的圖象研究一元二次不等式的解集？例如，圖1：與軸的兩個交點分別是，．此時有兩個不相等的實數(shù)根，；觀察圖象可以知道：在軸上方的圖象所有點的縱坐標(biāo)大于0，此時對應(yīng)的的取值范圍是或；所以不等式的解集為：或；類比上述所了解的內(nèi)容，相信你一定能夠解決如下的問題：(1)的解集是：________________________．(2)圖2是把的圖象沿軸翻折而形成的圖象，求此二次函數(shù)的解析式，頂點坐標(biāo)，對稱軸，并根據(jù)圖象求出的解集．同類題型歸類練1．（2022春·江蘇鹽城·九年級階段練習(xí)）如圖，已知拋物線與直線交于，兩點，則關(guān)于的不等式的解集是（）A．或 B．或 C． D．2．（2022春·四川自貢·九年級四川省榮縣中學(xué)校校考階段練習(xí)）二次函數(shù)中的x與y的部分對應(yīng)值如下表：x013y353下列結(jié)論：①，②當(dāng)時，y的值隨x的增大而減?。虎凼欠匠痰囊粋€根；④當(dāng)時，，其中正確的個數(shù)為（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個3．（2022春·湖北黃岡·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，拋物線分別交坐標(biāo)軸于，，，則的解是________．4．（2022春·新疆烏魯木齊·九年級階段練習(xí)）如圖，拋物線交軸于、兩點，交軸于點．(1)求點、、坐標(biāo)；(2)若直線經(jīng)過、兩點，直接寫出不等式的解集．題型十四：實際問題與二次函數(shù)典型例題例題1．（2022秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）趙州橋的橋拱是近似的拋物線形，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，其函數(shù)的關(guān)系式為，當(dāng)水面離橋拱頂?shù)母叨仁?m時，這時水面寬度為（）A．﹣10m B．m C．m D．m例題2．（2022春·浙江·九年級專題練習(xí)）東海體育用品商場為了推銷某一運(yùn)動服，先做了市場調(diào)查，得到數(shù)據(jù)如下表：賣出價格（元/件）50515253…銷售量（件）500490480470…(1)以作為點的橫坐標(biāo)，作為縱坐標(biāo)，把表中的數(shù)據(jù)，在圖中的直角坐標(biāo)系中描出相應(yīng)的點，觀察連接各點所得的圖形，判斷與的函數(shù)關(guān)系式；(2)如果這種運(yùn)動服的買入價為每件40元，試求銷售利潤（元）與賣出價格（元/件）的函數(shù)關(guān)系式（銷售利潤銷售收入買入支出）；(3)在（2）的條件下，當(dāng)賣出價為多少時，能獲得最大利潤？例題3．（2022春·山東青島·九年級期末）某著名索拉橋，在橋頭立柱兩側(cè)拉著鋼索，以其中一根立柱為軸，以橋面為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如下圖所示，左側(cè)鋼索近似于直線，底端在遠(yuǎn)離立柱200米的橋面上的處固定，處離橋面100米．右側(cè)鋼索近似于拋物線，該拋物線最低處離立柱300米，離橋面10米．(1)求出拋物線和直線的函數(shù)關(guān)系式；（不要求寫自變量的取值范圍）(2)現(xiàn)要在左右兩條鋼索上各加一條豎直鋼索和進(jìn)行加固，要求它們的水平距離相距200米，請問這兩條豎直鋼索和加在何處，使得它們的高度之和最??？高度之和最小是多少？例題4．（2022春·北京東城·九年級北京二中期末）第二十四屆冬季奧林匹克運(yùn)動會已于2022年在北京成功舉辦，跳臺滑雪是北京冬奧會的比賽項目之一，近些年來冰雪運(yùn)動也得到了蓬勃發(fā)展．如圖是某跳臺滑雪場地的截面示意圖．平臺長1米（即），平臺距地面18米．以地面所在直線為軸，過點垂直于地面的直線為軸，取1米為單位長度，建立平面直角坐標(biāo)系，已知滑道對應(yīng)的函數(shù)為．運(yùn)動員（看成點）在方向獲得速度米/秒后，從處向右下飛向滑道，點是下落過程中的某位置（忽略空氣阻力）．設(shè)運(yùn)動員飛出時間為秒，運(yùn)動員與點的豎直距離為米，運(yùn)動員與點的水平距離為米，經(jīng)實驗表明：，．(1)求滑道對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(2)當(dāng)，時，通過計算判斷運(yùn)動員此時是否已落在滑道上；(3)在試跳中，運(yùn)動員從處飛出，運(yùn)動員甲飛出的路徑近似看做函數(shù)圖像的一部分，著陸時水平距離為，運(yùn)動員乙飛出的路徑近似看做函數(shù)圖像的一部分，著陸時水平距離為，則______（填“＞”“＝”或“＜”）．同類題型歸類練1．（2022春·天津·九年級天津市第五十五中學(xué)期末）進(jìn)入夏季后，某電器商場為減少庫存，對電熱取暖器連續(xù)進(jìn)行兩次降價．若設(shè)平均每次降價的百分率是，降價后的價格為元，原價為元，則y與之間的函數(shù)關(guān)系式為（

）A． B．C． D．2．（2022春·山東煙臺·九年級期末）飛機(jī)著陸后滑行的距離（單位：m）關(guān)于滑行時間（單位：s）的函數(shù)解析式是，在飛機(jī)著陸滑行中，最后10s滑行的距離是___________m．3．（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）近年來，電動車駕駛安全越來越被重視．某商店銷售頭盔，每個進(jìn)價50元．經(jīng)市場調(diào)研，當(dāng)售價為60元時，每月可銷售300個；售價每增加1元，銷售量將減少10個．為了提高銷售量，當(dāng)售價為80元時，啟用網(wǎng)絡(luò)主播直播帶貨，此時售價每增加1元，需支付給主播300元．物價局對此頭盔規(guī)定：售價最高不超過110元．如圖中的折線表示該品牌頭盔的銷售量y（單位：個）與售價x（單位：元）之間的函數(shù)關(guān)系．(1)直接寫出點B的坐標(biāo)，并求線段BC對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(2)啟用網(wǎng)絡(luò)主播直播帶貨后，當(dāng)售價為多少元時，該商家獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？4．（2022秋·河北石家莊·九年級校考期末）如圖是進(jìn)行小球平拋實驗的截面示意圖，平臺距軸（水平）分米，與軸交于點，且分米．小球（看成點）在方向獲得速度分米/秒后，從處向右下飛向x軸，點是下落路線的某位置，忽略空氣阻力，實驗表明：的豎直距離（分米）與飛出時間（秒）的平方成正比，且時，，的水平距離是分米，在x軸上垂直豎立一根高桿，且分米．(1)用含的代數(shù)式表示______；(2)設(shè)，點的坐標(biāo)為，則①用含的代數(shù)式表示的橫坐標(biāo)______，縱坐標(biāo)_____；并求與的關(guān)系式（不寫的取值范圍）；②當(dāng)時，求小球與點的水平距離．(3)要保證小球飛到高桿上方時，小球與高桿頂部的距離恰為分米，已知分米/秒，直接寫出高桿與y軸的距離的取值范圍．題型十五：二次函數(shù)綜合典型例題例題1．（2022春·湖北武漢·九年級?？茧A段練習(xí)）下列關(guān)于二次函數(shù)（其中是自變量）的結(jié)論：①該拋物線的對稱軸為；②若時，隨的增大而減小，則；③若，則的解集為或；④該拋物線經(jīng)過不同兩點，，那么該拋物線的頂點一定不可能在函數(shù)的圖像上．其中結(jié)論正確的有____________（填序號）．例題2．（2022春·江蘇蘇州·九年級統(tǒng)考期中）已知拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)連接，，拋物線上是否存在一點，使得？若存在，請求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．例題3．（2022春·山東日照·九年級日照市新營中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知拋物線經(jīng)過，兩點．(1)求此拋物線的解析式和直線的解析式；(2)如圖①，動點從點出發(fā)，沿著方向以個單位/秒的速度向終點勻速運(yùn)動，同時，動點從點出發(fā)，沿著方向以個單位/秒的速度向終點勻速運(yùn)動，當(dāng)，中任意一點到達(dá)終點時另一點也隨之停止運(yùn)動，連接，設(shè)運(yùn)動時間為秒，當(dāng)為何值時，與相似．(3)如圖②，動點在直線上方，且在拋物線上，求出的最大面積，并指出此時點的坐標(biāo)．例題4．（2022·重慶合川·九年級重慶市合川中學(xué)期末）已知拋物線的圖象與軸相交于點和點，與軸交于點，連接，有一動點在線段上運(yùn)動，過點作軸的垂線，交拋物線于點，交軸于點，，設(shè)點的橫坐標(biāo)為．(1)連接，則的最大面積為______；(2)當(dāng)時，在平面內(nèi)存在點，使以，，，為頂點的四邊形為平行四邊形，請寫出點的坐標(biāo)______．同類題型歸類練1．（2022春·山東煙臺·九年級統(tǒng)考期中）已知拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)）．(1)求點A，點B的坐標(biāo)；(2)如圖，過點A的直線l：與拋物線的另一個交點為C，點P為拋物線對稱軸上的一點，連接，，設(shè)點P的縱坐標(biāo)為m，當(dāng)時，求m的值．2．（2022春·廣東東莞·九年級?？茧A段練習(xí)）二次函數(shù)圖象的頂點在原點O，經(jīng)過點A；點F在y軸上，直線與y軸交于點H．(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)點P是拋物線上的點，過點P作x軸的垂線與直線交于點M，求證：；(3)當(dāng)是等邊三角形時，求P點的坐標(biāo)．3．（2022春·陜西渭南·九年級期末）如圖，直線交x軸于點A，交y軸于點C，拋物線經(jīng)過點A，C，與x軸交于另一點B．(1)求拋物線的解析式；(2)若D是拋物線上一點（不與點C重合），且，請求出點D的坐標(biāo)．4．（2022春·新疆昌吉·九年級新疆昌吉回族自治州第二中學(xué)期末）已知直線經(jīng)過點，且與拋物線相交于B，C兩點，點C的坐標(biāo)為．(1)求直線和拋物線的函數(shù)解析式；(2)在y軸上有一點P，若，求點P坐標(biāo)；第四部分：中考真題感悟1．（2022·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，對稱軸為直線，有以下結(jié)論：①；②若t為任意實數(shù)，則有；③當(dāng)圖象經(jīng)過點時，方程的兩根為，（），則，其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．32．（2022·山東日照·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖所示，對稱軸為，且經(jīng)過點（-1，0）．下列結(jié)論：①3a+b=0；②若點，（3，y2）是拋物線上的兩點，則y1<y2；③10b-3c=0；④若y≤c，則0≤x≤3．其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．（2022·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)，當(dāng)函數(shù)值y隨x值的增大而增大時，x的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（2022·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)的圖象向左平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度，所得函數(shù)的解析式為（

）A． B．C． D．5．（2022·湖北襄陽·統(tǒng)考中考真題）在北京冬奧會自由式滑雪大跳臺比賽中，我國選手谷愛凌的精彩表現(xiàn)讓人嘆為觀止，已知谷愛凌從2m高的跳臺滑出后的運(yùn)動路線是一條拋物線，設(shè)她與跳臺邊緣的水平距離為xm，與跳臺底部所在水平面的豎直高度為ym，y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝x2+x+2（0≤x≤20.5），當(dāng)她與跳臺邊緣的水平距離為_____m時，豎直高度達(dá)到最大值．6．（2022·貴州六盤水·統(tǒng)考中考真題）如圖是二次函數(shù)的圖像，該函數(shù)的最小值是__________．7．（2022·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與x軸交于點和點，以下結(jié)論：①；②；③；④當(dāng)時，y隨x的增大而減?。渲姓_的結(jié)論有___________．（填寫代表正確結(jié)論的序號）8．（2022·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線與x軸交于，兩點，與y軸交于點C，頂點為D．(1)求該拋物線的解析式；(2)連接BC，CD，BD，P為BD的中點，連接CP，則線段CP的長是______．注：拋物線的對稱軸是直線，頂點坐標(biāo)是．9．（2022·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于O（O為坐標(biāo)原點），A兩點，且二次函數(shù)的最小值為，點是其對稱軸上一點，y軸上一點．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)二次函數(shù)在第四象限的圖象上有一點P，連結(jié)，，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為t，的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；(3)在二次函數(shù)圖象上是否存在點N，使得以A、B、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出所有符合條件的點N的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．第4講二次函數(shù)目錄第一部分：知識點精準(zhǔn)記憶第二部分：課前自我評估測試第三部分：典型例題剖析題型一：二次函數(shù)的定義題型二：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)題型三：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)題型四：二次函數(shù)圖象與系數(shù)關(guān)系題型五：一次函數(shù)與二次函數(shù)圖象綜合判斷題型六：反比例函數(shù)與二次函數(shù)圖象綜合判斷題型七：兩個二次函數(shù)圖象綜合判斷題型八：二次函數(shù)的對稱性問題題型九：求二次函數(shù)解析式題型十：二次函數(shù)平移問題題型十一：二次函數(shù)最值問題題型十二：二次函數(shù)與一元二次方程題型十三：二次函數(shù)與不等式題型十四：實際問題與二次函數(shù)題型十五：二次函數(shù)綜合第四部分：中考真題感悟第一部分：知識點精準(zhǔn)記憶知識點一：二次函數(shù)的定義一般地，形如（、、是常數(shù)，）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．知識點二：二次函數(shù)解析式二次函數(shù)的解析式有三種常見形式：①一般式：（、、是常數(shù)，）；②頂點式：（，，是常數(shù)，），其中為頂點坐標(biāo)；③交點式：（），該拋物線與軸的兩個交點坐標(biāo)，．知識點三：二次函數(shù)（）的圖象與性質(zhì)函數(shù)二次函數(shù)（、、是常數(shù)，）圖象開口方向向上向下對稱軸直線直線頂點坐標(biāo)增減性在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng)時，隨的增大而減??；在對稱軸的右側(cè)，即當(dāng)時，隨的增大而增大．簡記：左減右增在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng)時，隨的增大而增大；在對稱軸的右側(cè)，即當(dāng)時，隨的增大而減?。営洠鹤笤鲇覝p最大(小)值拋物線有最低點，當(dāng)時，有最小值，拋物線有最高點，當(dāng)時，有最大值，知識點四：二次函數(shù)（）圖象與系數(shù)的關(guān)系字母的符號圖象的特征開口向上開口向下（，同號）對稱軸在軸左側(cè)（，異號）對稱軸在軸右側(cè)圖象過原點與軸正半軸相交與軸負(fù)半軸相交知識點五：二次函數(shù)圖象變換（左加，右減，上加，下減）平移方式（）一般式頂點式向左平移個單位向右平移個單位向上平移個單位向下平移個單位知識點六：二次函數(shù)與方程的關(guān)系與軸交點個數(shù)2個1個0個圖象交點坐標(biāo)無交點對稱軸韋達(dá)定理；知識點七：二次函數(shù)與不等式的關(guān)系圖象與軸交點2個1個無的解集情況或取任意實數(shù)的解集情況無解無解第二部分：課前自我評估測試1．（2023·浙江·九年級專題練習(xí)）將拋物線向上平移3個單位，所得拋物線的解析式是（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：∵拋物線向上平移3個單位，∴平移后的解析式為：．故選：A．2．（2023春·浙江杭州·九年級翠苑中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）下列各式中，y是x的二次函數(shù)的是（

）A．y=3x B．y=x2+（3-x）xC．y=（x-1）2 D．y=ax2+bx+c【答案】C【詳解】A．，是一次函數(shù)，故該選項不正確，不符合題意；B．，是一次函數(shù)，故該選項不正確，不符合題意；C．，是二次函數(shù)，故該選項正確，符合題意；D．，當(dāng)時，是一次函數(shù)，故該選項不正確，不符合題意．故選：C．3．（2023春·廣東揭陽·九年級?？茧A段練習(xí)）根據(jù)下表：x－3－2－1…456x2－bx－5135－1…－1513確定方程x2－bx－5＝0的解的取值范圍是（

）A．－2＜x＜－1或4＜x＜5 B．－2＜x＜－1或5＜x＜6C．－3＜x＜－2或5＜x＜6 D．－3＜x＜－2或4＜x＜5【答案】A【詳解】解：由表格可知：當(dāng)x＝－2時，x2－bx－5＝5，當(dāng)x＝－1時，x2－bx－5＝－1，∴關(guān)于x的一元二次方程x2－bx－5=0的一個解x的范圍是－2＜x＜－1，同理，另一個解的范圍是：4＜x＜5綜上，方程x2－bx－5＝0的解的取值范圍是：－2＜x＜－1或4＜x＜5故選A．4．（2023春·云南昆明·九年級昆明市第一中學(xué)西山學(xué)校?？计谥校佄锞€的頂點坐標(biāo)是___________．【答案】【詳解】拋物線的頂點坐標(biāo)是．故答案為：．5．（2023春·浙江杭州·九年級翠苑中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知是關(guān)于x的二次函數(shù)，那么m的值為______【答案】2【詳解】解：是y關(guān)于x的二次函數(shù)，且，解得，故答案為：．6．（2023春·天津和平·九年級天津一中?？茧A段練習(xí)）將二次函數(shù)化為的形式，則____________．【答案】【詳解】解：===故答案為：．第三部分：典型例題剖析題型一：二次函數(shù)的定義典型例題例題1．（2023春·湖北恩施·九年級?？茧A段練習(xí)）下列函數(shù)中是二次函數(shù)的是A． B． C． D．【答案】D【詳解】A.是一次函數(shù)；

B.，是三次函數(shù)；

C.=2x+1，是一次函數(shù)；

D.，是二次函數(shù).故選D例題2．（2023春·山東臨沂·九年級臨沂沂州實驗學(xué)校?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)是關(guān)于的二次函數(shù)，則的值為______．【答案】1【詳解】解：函數(shù)是關(guān)于的二次函數(shù)，且，解得，故答案為：1．例題3．（2022秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）有下列函數(shù)：①；②；③；④．其中是的二次函數(shù)有_____．（填序號）【答案】②③④【詳解】解：y是x的二次函數(shù)的是②；③；④．故答案為：②③④．例題4．（2022秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)為何值時，此函數(shù)是二次函數(shù)；(2)當(dāng)為何值時，此函數(shù)是正比例函數(shù)．【答案】(1)時，此函數(shù)是二次函數(shù)；(2)或或2，此函數(shù)是正比例函數(shù)．【詳解】（1）解：由題意得：且，解得：，∴當(dāng)時，此函數(shù)是二次函數(shù)；（2）解：由題意得：且，或，且，解得：或或2，當(dāng)時或或2，此函數(shù)是正比例函數(shù)．同類題型歸類練1．（2022春·廣東江門·九年級?？计谥校┫铝懈魇街?，是關(guān)于的二次函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：A、，是一次函數(shù)，故A不符合題意；B、，是二次函數(shù)，故B符合題意；C、，不是二次函數(shù)，故C不符合題意；D、，欠缺這個條件，所以不是二次函數(shù)，故D不符合題意；故選：B．2．（2022秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）二次函數(shù)中，a的取值范圍是_____．【答案】【詳解】解：∵函數(shù)是二次函數(shù)，，解得：．故答案為：．3．（2022春·北京西城·九年級校考期中）已知是關(guān)于的二次函數(shù)，那么的值為______．【答案】【詳解】解：∵為二次函數(shù)，∴，∴，故．故答案為：．4．（2022春·廣東江門·九年級校考期中）已知函數(shù)為二次函數(shù)，則的值為______．【答案】【詳解】解：依題意，得解得故答案為題型二：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)典型例題例題1．（2022春·山東煙臺·九年級期末）將拋物線先向右平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度，得到的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】解：∵拋物線的頂點坐標(biāo)為，把點向右平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度，得到點的坐標(biāo)為，∴平移后得到的拋物線解析式為．故選：B．例題2．（2022春·天津河北·九年級天津二中期末）已知拋物線（，，為常數(shù)），，，是拋物線上三點，則，，由小到大依序排列為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：∵，，∴拋物線的開口向下，對稱軸為直線，∴當(dāng)，隨的增大而增大，∵關(guān)于直線的對稱點是，且，∴．故選：A．例題3．（2022秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）當(dāng)時，直線與拋物線在自變量取值范圍內(nèi)的圖象有兩個交點，則的取值范圍是__．【答案】##【詳解】解：∵拋物線，∴拋物線開口向上，對稱軸是直線，頂點坐標(biāo)為，令，則，令，則，解得：，，∴拋物線與軸的交點為和，與軸交點為，∵當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴拋物線的圖象如圖所示：由圖象知：當(dāng)時，直線與拋物線在內(nèi)圖象有兩個交點．故答案為：．例題4．（2022春·江蘇揚(yáng)州·九年級階段練習(xí)）已知二次函數(shù)．(1)該二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)為______；(2)該函數(shù)的圖象與軸的交點坐標(biāo)為______；(3)用五點法畫函數(shù)圖象：…………(4)將該拋物線繞其頂點旋轉(zhuǎn)180°后所得拋物線的表達(dá)式為______．【答案】(1)(2)、(3)見解析(4)【詳解】（1）∵，∴頂點坐標(biāo)為；故答案為；（2）令，即，解得或1，故答案為、；（3）令，則，故拋物線和y軸的交點為，當(dāng)時，，x…01…y…00…將表格數(shù)據(jù)描點連線畫出如下函數(shù)圖象：（4）旋轉(zhuǎn)后只是拋物線開口向下了，即，故拋物線的表達(dá)式為，故答案為；同類題型歸類練1．（2022春·山東濟(jì)寧·九年級期中）已知二次函數(shù)，當(dāng)時，隨的增大而減小，則函數(shù)中的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：拋物線的對稱軸為直線，因為，所以拋物線開口向下，所以當(dāng)時，y的值隨x值的增大而減小，而時，y的值隨x值的增大而減小，所以．故選：B．2．（2022春·廣東東莞·九年級期中）關(guān)于拋物線的圖象，下列結(jié)論正確的是（）A．對稱軸是直線 B．當(dāng)時，隨的增大而增大C．與y軸的交點坐標(biāo)是 D．頂點坐標(biāo)是【答案】B【詳解】解：∵二次函數(shù)中，，∴拋物線開口向下，對稱軸為：，頂點坐標(biāo)為，當(dāng)時，隨的增大而增大，故A，D選項不正確，B選項正確；令，，即拋物線與軸交于點，故C選項不正確．故選：B．3．（2022春·江蘇南京·九年級階段練習(xí)）已知點，，在函數(shù)的圖像上，試確定，，的大小關(guān)系是______．【答案】##【詳解】解：∵∴對稱軸為直線，開口方向向上∴A點到對稱軸的距離為1，B點到對稱軸的距離為2，點到對稱軸的距離為3∵，∴，故答案為．4．（2022春·江蘇鎮(zhèn)江·九年級階段練習(xí)）當(dāng)時，二次函數(shù)有最大值4，則實數(shù)m的值為_________．【答案】2或【詳解】解：二次函數(shù)的對稱軸為直線，且開口向下，①時，取得最大值，∴，解得，∵，∴；②時，取得最大值，，解得，綜上所述，或時，二次函數(shù)有最大值．故答案為：2或．題型三：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)典型例題例題1．（2022春·遼寧沈陽·九年級期末）已知二次函數(shù)的圖像如圖所示，則下列選項中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】根據(jù)拋物線與y軸的交點，判定，故A錯誤，不符合題意；拋物線與x軸有兩個不同的交點，則，故B錯誤，不符合題意；設(shè)拋物線與x軸正半軸交點橫坐標(biāo)為，則，所以即；故C錯誤，不符合題意；當(dāng)時，，當(dāng)時，，且，因為拋物線開口向下，對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大，所以．故D正確，符合題意；故選D．例題2．（2022春·湖北武漢·九年級階段練習(xí)）已知二次函數(shù)圖象上三點、、，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：∵，∴二次函數(shù)的開口向下，對稱軸是直線，即在對稱軸的左側(cè)y隨x的增大而增大，∵三點、、在二次函數(shù)圖象上，∴C點關(guān)于直線的對稱點也在二次函數(shù)圖象上，∵，∴，故選：D．例題3．（2022春·湖北武漢·九年級?？茧A段練習(xí)）二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，，與軸正半軸相交．下列結(jié)論：①；②；③若點，，都在二次函數(shù)的圖象上，則；④關(guān)于的一元二次方程一定有兩個不相等的實數(shù)根．其中正確的結(jié)論是_____（填寫序號）．【答案】①③④【詳解】∵拋物線與y軸正半軸相交，與x軸交點在y軸兩側(cè)，∴拋物線開口向下，∴當(dāng)時，，所以①正確．∵拋物線經(jīng)過，，，∴拋物線對稱軸在與之間，∴.∵，∴，即，②錯誤．∵，，，∴點距離對稱軸最遠(yuǎn)，點距離對稱軸最近，∴，③正確．由圖象可得拋物線與直線有兩個交點，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，即有兩個不相等的實數(shù)根，④正確．故答案為：①③④．例題4．（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）二次函數(shù)的圖象如圖所示，根據(jù)圖象解答下列問題：(1)寫出方程的兩個根；(2)寫出方程時的取值范圍；(3)寫出隨的增大而減小的自變量的取值范圍；(4)若方程有兩個不相等的實數(shù)根，求的取值范圍．【答案】(1)1和3(2)或(3)當(dāng)時，y隨x的增大而減小(4)【詳解】（1）解：由圖象可知，圖象與x軸交于和點，則方程的兩個根為1和3；（2）解：由圖象可知當(dāng)或時，不等式；（3）解：由圖象可知，的圖象的對稱軸為，開口向下，即當(dāng)時，y隨x的增大而減??；（4）解：由圖象可知，二次函數(shù)的最大值為2，若方程有兩個不相等的實數(shù)根，則k必須小于的最大值，則．同類題型歸類練1．（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，已知二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線，下列結(jié)論：①；②；③若為任意實數(shù)，則有；④若圖象經(jīng)過點，方程的兩根為，，則．其中正確的結(jié)論的個數(shù)是（

）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】C【詳解】解：由圖象可知：，，，∴，∴，故①錯誤；當(dāng)時，，∵，∴，∴，故②正確；∵時，有最大值，∴（m為任意實數(shù)），∴，∴，故③錯誤；∵二次函數(shù)圖象經(jīng)過點，方程的兩根為：，，∴二次函數(shù)與直線的一個交點為，∵拋物線的對稱軸為直線，∴二次函數(shù)與直線的一個交點為，即，，∴，故④正確．∴正確的是②④；故選：C．2．（2022春·江蘇連云港·九年級階段練習(xí)）拋物線上部分點的橫坐標(biāo)x和縱坐標(biāo)y的對應(yīng)值如下表，則下列說法中正確的有（）個①當(dāng)時，y隨x的增大而減?。趻佄锞€的對稱軸為直線．③當(dāng)時，．④方程一個正數(shù)解滿足．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】解：①由表格看出，當(dāng)時，y隨x的增大而減小，故①的說法正確；②由表格看出，這個拋物線的對稱軸為直線，故②的說法錯誤；③當(dāng)時的函數(shù)值與時的函數(shù)值相同，即，故③的說法錯誤；④方程的解異號，其中正數(shù)解滿足，負(fù)數(shù)解滿足，故④的說法正確．故選：B．3．（2022春·安徽淮北·九年級校考階段練習(xí)）二次函數(shù)的圖象如圖所示，其對稱軸為，下列結(jié)論中：①；②；③；④．正確的是（）A．①② B．②③ C．②③④ D．①②③④【答案】C【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖象如圖所示，其對稱軸為，∴，則；故①錯誤；，故②正確；∵圖象與x軸兩個交點，∴，故③正確；∵當(dāng)時，二次函數(shù)取到最大值，∴，故④正確；故選：C．4．（2022春·江蘇南京·九年級南京市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）二次函數(shù)的圖像如圖所示，其對稱軸為直線，下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤．其中，正確的是___________．【答案】②③④⑤【詳解】解：由圖像可知，當(dāng)時，，，，則①不正確；當(dāng)時，與軸有兩個交點，則；②正確；時，，即；③正確；對稱軸，∴，④正確；時，．故⑤正確；故答案為：②③④⑤．題型四：二次函數(shù)圖象與系數(shù)關(guān)系典型例題例題1．（2022春·北京海淀·九年級?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，其中，此函數(shù)的圖象可以是（

）A．．B．．C．．D．【答案】D【詳解】解：由得，∴圖象開口向下，故A選項錯誤；∵，∴拋物線的對稱軸在y軸右側(cè)，且圖象與y軸交于負(fù)半軸，故B、C選項錯誤，D選項正確；故選：D．例題2．（2022春·山東德州·九年級?？茧A段練習(xí)）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，給出以下結(jié)論：①；②；③；④．其中所有正確結(jié)論的序號是()A．③④ B．②③ C．①④ D．①②③【答案】B【詳解】解：由圖象可知，當(dāng)時，，∴，故選項①錯誤；當(dāng)時，，∴，故選項②正確；∵拋物線有兩個交點，∴，故選項③正確；∵拋物線開口向下，∴，∵對稱軸為，∴異號，即，∵圖象與坐標(biāo)相交于軸正半軸，∴，∴，故選項④錯誤；∴正確結(jié)論的序號為②③．故選：B．例題3．（2022春·黑龍江齊齊哈爾·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖所示是二次函數(shù)圖像的一部分，圖像過點，二次函數(shù)圖像對稱軸為直線，給出五個結(jié)論：①；②；③；④方程的根為，；⑤當(dāng)時，隨著的增大而增大．其中正確結(jié)論有________________【答案】①④⑤【詳解】∵拋物線的開口向下，∴，∵對稱軸在y軸右側(cè)，∴，∵拋物線與y軸的正半軸相交，∴，∴，故①正確；當(dāng)時，，故②錯誤；當(dāng)時，，故③錯誤；∵對稱軸為，與x軸交于點，∴與x軸的另一個交點，故④正確；由圖像得時，y隨著x的增大而增大，故⑤正確；故答案為：①④⑤．同類題型歸類練1．（2022春·安徽滁州·九年級?？茧A段練習(xí)）已知拋物線如圖所示，則下列判斷正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】解：∵拋物線的開口方向向下，∴，∵拋物線與y軸的交點在y軸的正半軸，∴，∵拋物線的對稱軸在y軸的右側(cè)，∴，∴，∵，∴．綜上，．故選：B．2．（2022春·北京·九年級?？计谥校┤鐖D所示，是二次函數(shù)圖象的一部分，其對稱軸為，且過點，下列說法：①；②；③；④若是拋物線上兩點，則．其中說法正確的是（

）A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④【答案】C【詳解】解：∵拋物線開口向上，∴，∵拋物線對稱軸為直線，∴，∴，②正確．∵拋物線與y軸交點在x軸下方，∴，∴，①正確．∵拋物線經(jīng)過，對稱軸為直線，∴拋物線經(jīng)過，∴時，，③錯誤．∵拋物線對稱軸為直線，拋物線開口向上，∴時，y隨x增大而減小，∵，∴，④正確．故選：C．3．（2022春·山東臨沂·九年級統(tǒng)考期中）如圖，二次函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，與軸交于，兩點．若，則下列四個結(jié)論：①；②；③；④，正確結(jié)論的個數(shù)為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【詳解】解：根據(jù)拋物線的圖像性質(zhì)，結(jié)論①：∵對稱軸，，∴，故結(jié)論①錯誤；結(jié)論②：當(dāng)時，即，且函數(shù)有最小值，∴，∵結(jié)論②的左邊，，∴，∴結(jié)論②錯誤；結(jié)論③：當(dāng)時，函數(shù)的值為，∵，，，則，∴，故結(jié)論③正確；結(jié)論④：∵圖像與軸有兩個交點，∴，即，故結(jié)論④錯誤．綜上所述，正確的有③，故選：．題型五：一次函數(shù)與二次函數(shù)圖象綜合判斷典型例題例題1．（2022春·河南南陽·九年級南陽市第三中學(xué)校考階段練習(xí)）二次函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)的圖象經(jīng)過（

）A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限【答案】D【詳解】解：根據(jù)二次函數(shù)關(guān)系式可知該二次函數(shù)頂點為，由圖像可知該二次函數(shù)頂點在第四象限一次函數(shù)圖像經(jīng)過二、三、四象限故答案為：D例題2．（2022秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）函數(shù)數(shù)與二次函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】解：∵一次函數(shù)和二次函數(shù)都經(jīng)過y軸上的，∴兩個函數(shù)圖象交于y軸上的同一點，排除A；當(dāng)時，二次函數(shù)開口向上，一次函數(shù)經(jīng)過一、三象限，排除B；當(dāng)時，二次函數(shù)開口向下，一次函數(shù)經(jīng)過二、四象限，排除C；故選：D．例題3．（2022春·河南濮陽·九年級?？茧A段練習(xí)）已知二次函數(shù)的部分函數(shù)圖象如圖所示，則一次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象大致是（）A． B． C．D．【答案】B【詳解】解：∵二次函數(shù)的部分函數(shù)圖象開口向上，∴，∵二次函數(shù)的部分函數(shù)圖象頂點在x軸下方，開口向上，∴二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點，，∴一次函數(shù)的圖象位于第一，二，三象限，由二次函數(shù)的部分函數(shù)圖象可知，點在x軸上方，∴，∴的圖象位于第一，三象限，據(jù)此可知，符合題意的是B，故選：B．例題4．（2022·山東泰安·?？级＃┤鐖D所示，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點，與軸交于點，對稱軸為直線．直線與拋物線交于，兩點，點在軸下方且橫坐標(biāo)等于3，則下列結(jié)論：①；②；③；④的解集為中正確的結(jié)論是______（只填寫序號）．【答案】①②③④【詳解】解：∵拋物線與x軸的一個交點在點左側(cè)，而拋物線的對稱軸為直線，∴拋物線與x軸的另一個交點在點右側(cè)，∴當(dāng)時，函數(shù)值小于0，即，所以①正確；∵對稱軸為，∴，∴，又，∴，即，所以②正確；∵時，二次函數(shù)有最大值，∴，∴，所以③正確；∵直線與拋物線交于C、D兩點，D點在x軸下方且橫坐標(biāo)等于3，由圖象可知，在C、D之間，即時，，∴的解集為，即的解集為，所以④正確．故答案為：①②③④．同類題型歸類練1．（2022春·湖南長沙·九年級?？茧A段練習(xí)）在同一坐標(biāo)系內(nèi)，函數(shù)和的圖象大致為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：由一次函數(shù)解析式可知一次函數(shù)與y軸交于正半軸，四個選項中只有D選項符合題意，故選D．2．（2022春·廣西欽州·九年級?？计谥校┖瘮?shù)與(是常數(shù)，且)在同一坐標(biāo)系中的圖像可能是(

)A．B．C．D．【答案】C【詳解】解：A．由一次函數(shù)的圖像可知，由拋物線圖像可知，開口向下，，但是一次函數(shù)與軸的交點和二次函數(shù)與軸的交點，不是同一點，故A選項錯誤；B．由一次函數(shù)的圖像可知，由拋物線圖像可知，開口向下，，兩者相矛盾，故B選項不正確，不符合題意；C．由一次函數(shù)的圖像可知，由拋物線圖像可知，開口向上，，且兩函數(shù)相交軸于同一點，故C選項正確，符合題意；D．由一次函數(shù)的圖像可知，由拋物線圖像可知，開口向上，兩者相矛盾，故D選項不正確，不符合題意．故選：C．3．（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)的圖象和反比例函數(shù)的圖象在同一坐標(biāo)系中大致是（）A．B．C．D．【答案】C【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖像開口向下，∴，∵，∴，∵拋物線與y軸相交于正半軸，∴，∴直線經(jīng)過一、二、四象限，由圖像可知，當(dāng)x=1時，，∴，∴反比例函數(shù)的圖像必在二、四象限，故A、B、D錯誤，C正確；故選：C．4．（2022春·湖南永州·九年級校考階段練習(xí)）當(dāng)時，拋物線與直線在同一直角坐標(biāo)系中的圖象大致是（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】解：∵，∴，或，，當(dāng)，時，拋物線的圖象開口向上，頂點為原點，直線的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，故選項A、B不符合題意；當(dāng)，時，拋物線的圖象開口向下，頂點為原點，直線的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，故選項C不符合題意、選項D符合題意；故選：D．題型六：反比例函數(shù)與二次函數(shù)圖象綜合判斷典型例題例題1．（2022春·安徽安慶·九年級統(tǒng)考期中）已知點，是反比例函數(shù)的圖象上的兩點，且當(dāng)時，，則函數(shù)與在同一直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：分兩種情況討論：當(dāng)時，反比例函數(shù)，在一、三象限，而二次函數(shù)開口向上，與軸交點在原點下方，都不符；當(dāng)時，反比例函數(shù)，在二、四象限，而二次函數(shù)開口向下，與軸交點在原點上方，A符合．由已知，k＞0：它們在同一直角坐標(biāo)系中的圖象大致是A．故選A．例題2．（2022秋·廣東湛江·九年級?？茧A段練習(xí)）已知二次函數(shù)的圖像如圖所示，則一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖像為（

）A． B． C．D．【答案】C【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖像開口向下，對稱軸在y軸右邊，與y軸的交點在y軸負(fù)半軸，∴a<0，，c<0，∴b＞0，∴一次函數(shù)的圖像經(jīng)過第一、二、四象限，反比例函數(shù)的圖像在第二、四象限，選項C符合題意．故選：C例題3．（2022春·安徽合肥·九年級統(tǒng)考期中）在同一平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)與二次函數(shù)的大致圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】解：當(dāng)k>0時，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三象限，二次函數(shù)圖象的對稱軸在y軸右側(cè)，并且二次函數(shù)的圖象與y軸交于負(fù)半軸，則A選項不符合題意，C選項符合題意；當(dāng)k<0時，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過第二、四象限，二次函數(shù)圖象的對稱軸在y軸左側(cè)，并且二次函數(shù)的圖象與y軸交于正半軸，則B、D選項均不符合題意．故選：C．例題4．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）已知反比例函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)和二次函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（

）B．C．D．【答案】D【詳解】解：∵反比例函數(shù)的圖象在第一和第三象限內(nèi)，∴b>0，若a<0，則->0，所以二次函數(shù)開口向下，對稱軸在y軸右側(cè)，故A、B、C、D選項全不符合；當(dāng)a>0，則-<0時，所以二次函數(shù)開口向上，對稱軸在y軸左側(cè)，故只有C、D兩選項可能符合題意，由C、D兩選圖象知，c<0，又∵a>0，則-a<0，當(dāng)c<0,a>0時，一次函數(shù)y=cx-a圖象經(jīng)過第二、第三、第四象限，故只有D選項符合題意．故選：D．同類題型歸類練1．（2022春·浙江舟山·九年級?？茧A段練習(xí)）反比例函數(shù)與二次函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的大致圖像是（

）A． B．C．D．【答案】D【詳解】解：當(dāng)k＞0時，二次函數(shù)的圖像開口向下，頂點在y軸的正半軸；反比例函數(shù)圖像在第一、三象限；當(dāng)k＜0時，二次函數(shù)的圖像開口向上，頂點在y軸的負(fù)半軸；反比例函數(shù)圖像在第二、四象限，故選項D正確；故選：D．2．（2022秋·全國·九年級專題練習(xí)）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)的圖象和反比例函數(shù)的圖象在同一坐標(biāo)系中大致是（）A． B．C． D．【答案】C【詳解】由圖象可知：圖象開口向下，對稱軸位于y軸左側(cè)，與y軸正半軸交于一點，∴∴一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限；又∵當(dāng)時，二次函數(shù)所對應(yīng)的點在x軸下方，即此時，∴∴反比例函數(shù)的圖象位于二、四象限．故只有C選項符合題意．故選C．3．（2022秋·九年級課時練習(xí)）二次函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一坐標(biāo)系內(nèi)的大致圖象是（

）B．C．D．【答案】A【詳解】解：∵二次函數(shù)圖象開口方向向上，∴a＞0，即－a＜0，又∵對稱軸為直線x＝－＜0，∴b＞0，∵與y軸的負(fù)半軸相交，∴c＜0，∴y＝－ax+b的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，反比例函數(shù)圖象在第二、四象限，只有A選項圖象符合．故選：A．4．（2022秋·九年級單元測試）根據(jù)如圖所示的二次函數(shù)的圖象，判斷反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象大致是（

）B．C．D．【答案】A【詳解】解：由二次函數(shù)圖象可知a＞0，c＜0，由對稱軸x0，可知b＜0，所以反比例函數(shù)y的圖象在一、三象限，一次函數(shù)y＝bx+c經(jīng)過二、三、四象限．故選：A．題型七：兩個二次函數(shù)圖象綜合判斷典型例題例題1．（2022春·九年級課時練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，垂直于軸的直線分別交拋物線（）和拋物線（）于點和點，過點作軸交拋物線于點，過點作軸交拋物線于點，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)A（m，m2），則B（m，m2），∵AC∥x軸交拋物線y＝x2于點C，BD∥x軸交拋物線y＝x2于點D，∴C（2m，m2），D（m，m2），∴BD＝m﹣m＝m，AC＝2m﹣m＝m，.故選C．例題2．（2022春·九年級課時練習(xí)）已知拋物線與軸交于點，其關(guān)于軸對稱的拋物線為：，且經(jīng)過點和點．（1）求拋物線的解析式；（2）將拋物線沿軸向右平移得到拋物線，拋物線與軸的交點記為點和點（在的右側(cè)），與軸交于點，如果滿足與相似，請求出平移后拋物線的表達(dá)式．【答案】（1）的解析式為；（2）平移后拋物線的表達(dá)式為或.【詳解】解：（1）拋物線和拋物線關(guān)于軸對稱，且：，：，經(jīng)過點和點，經(jīng)過點和點，把點和點代入：可得：，解得：，：；（2）設(shè)拋物線沿軸向右平移個單位得到拋物線，：，的解析式可以表示為：，拋物線與軸的交點為點和點，且在的右側(cè)，，拋物線與軸交于點，，∵A（-3，0），C（0，3），∴△AOC為等腰直角三角形，∴當(dāng)△AOC和△DOQ相似時，△DOQ為等腰直角三角形，∴OQ=OD，當(dāng)點Q在y軸正半軸上時，OQ=OD=OA=OC，∴，解得：a=0（舍）或2，此時：；當(dāng)點Q在y軸負(fù)半軸時，OD=OQ，則，解得：a=-1（舍）或4，此時：；綜上：平移后拋物線W3的表達(dá)式為：或.同類題型歸類練1．（2022秋·四川成都·九年級專題練習(xí)）拋物線y1＝（x-h）2＋k與交于點A，分別交y軸于點P，Q，過點A作x軸的平行線，分別交兩條拋物線于點B，C．已知B（3，3），BC=10，其中正確結(jié)論是：①；②點（，m）、（，n）及（，p）都在y1上，則p＜n＜m；③y1≥y2，則x≤1；④PQ＝．A．②④ B．①③ C．②③ D．②③④【答案】A【詳解】解∶根據(jù)題意得：拋物線y1＝（x-h）2＋k與的對稱軸分別為直線和，如圖，設(shè)直線和分別交BC于點M、N，則MN=h+3，∴AM=BM，AN=CN，∴，∵BC=10，∴MN=5，∴h+3=5，∴h=2，∵點B（3，3），∴3＝（3-2）2＋k，解得：，∴，∵BC∥x軸，∴點A、C的縱坐標(biāo)為3，令，則，解得：，∴點A（1，3），把點A（1，3）代入，得：，解得：，故①錯誤；∵，且對稱軸為直線x=2，∴當(dāng)x＞2時，y1隨x的增大而增大；當(dāng)x＜2時，y1隨x的增大而減小，∵，∴，∵點（，p）關(guān)于對稱軸x=2的對稱點為，∴p＜n＜m，故②正確；∵，∴，∵y1≥y2，∴，整理得：，解得：或，故③錯誤；∵，，當(dāng)x=0時，，，∴點，∴，故④正確；∴正確的有②④．故選：A2．（2022春·江蘇蘇州·九年級星海實驗中學(xué)?？计谥校┰谕黄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，函數(shù)y＝ax2＋b與y＝bx2＋ax的圖象可能是()A． B． C．D．【答案】D【詳解】解：A、兩個函數(shù)的開口方向都向上，那么a＞0，b＞0，可得第一個函數(shù)的對稱軸是y軸，與y軸交于正半軸，第二個函數(shù)的對稱軸在y軸的左側(cè)，故本選項錯誤；B、兩個函數(shù)的開口方向都向下，那么a＜0，b＜0，可得第一個函數(shù)的對稱軸是y軸，與y軸交于負(fù)半軸，第二個函數(shù)的對稱軸在y軸的左側(cè)，故本選項錯誤；C、D、兩個函數(shù)一個開口向上，一個開口向下，那么a，b異號，可得第二個函數(shù)的對稱軸在y軸的右側(cè)，故C錯誤，D正確．故選D．題型八：二次函數(shù)的對稱性問題典型例題例題1．（2022春·江蘇無錫·九年級江蘇省天一中學(xué)校考階段練習(xí)）點和在二次函數(shù)圖象上，則拋物線的對稱軸是直線（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：∵點和在二次函數(shù)圖象上，∴拋物線對稱軸為直線，故選D．例題2．（2022春·遼寧沈陽·九年級沈陽市雨田實驗中學(xué)期末）已知二次函數(shù)的部分對應(yīng)值如下表．同學(xué)們討論得出了下列結(jié)論：①拋物線的開口向上；②拋物線的對稱軸為直線；③當(dāng)時，；④是方程的一個根．其中正確的結(jié)論有（

）…0135……70…A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【詳解】解：∵時，，時，，∴函數(shù)的對稱軸為直線，在對稱軸的右側(cè)，隨的增大而增大，故拋物線的開口向上，故①正確，符合題意；②錯誤，不合題意；∵當(dāng)時，，根據(jù)函數(shù)的對稱性，則時，，故當(dāng)時，，故③正確，符合題意；∵由表格知，當(dāng)時，，即，則是方程的一個根，故④正確，符合題意．故選：C．例題3．（2022春·江蘇宿遷·九年級沭陽縣懷文中學(xué)?？计谥校┤鐖D，函數(shù)（，，為常數(shù)，且）經(jīng)過點、，且，下列結(jié)論：①；②﹔③若點，在拋物線上，則；④，必有兩個不相等的實數(shù)根．其中結(jié)論正確的有___________．（填序號）【答案】②④##④②【詳解】解：解：拋物線開口向上，，拋物線的對稱軸在y軸的右側(cè)，，拋物線與y軸的交點在x軸下方，，，①錯誤；函數(shù)圖像經(jīng)過點、，對稱軸，，，，②正確；點，到對稱軸的距離比點到對稱軸的距離遠(yuǎn)，，③錯誤由圖像可得：函數(shù)與x軸有兩個交點，，有兩個不相等的實數(shù)根，④正確，故答案為：②④．例題4．（2022春·北京海淀·九年級北京市十一學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，點，，在二次函數(shù)圖象上．(1)寫出此二次函數(shù)的對稱軸______，并求這個二次函數(shù)的解析式；(2)關(guān)于的一元二次方程的根為_____；(3)當(dāng)時，的取值范圍是_____．【答案】(1)直線，(2)(3)【詳解】（1）解：由題意得二次函數(shù)對稱軸為直線，代入A、B、C坐標(biāo)得，∴，∴二次函數(shù)解析式為；（2）解：∵二次函數(shù)與x軸的一個交點為，對稱軸為直線，∴二次函數(shù)與x軸的另一個交點坐標(biāo)為，∴關(guān)于x的一元二次方程即的根為；（3）解：當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴當(dāng)時，y的取值范圍是，故答案為：．同類題型歸類練1．（2022秋·河北承德·九年級承德市第四中學(xué)校考階段練習(xí)）二次函數(shù)的圖象如圖，點在軸的正半軸上，且，則下列結(jié)論：①；②拋物線的對稱軸是直線；③，；④與兩點間的距離為．其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【詳解】解：∵，，∴，，∴，∴，，∴對稱軸為直線，故結(jié)論正確；把代入，可得：，∴，故結(jié)論正確；，解得：，故結(jié)論錯誤；∵，故結(jié)論正確，綜上所述，正確的結(jié)論為：，共有個．故選：C2．（2022春·北京西城·九年級北京十四中?？计谥校佄锞€，對稱軸為直線，且經(jīng)過點，則的值為___________．【答案】【詳解】∵對稱軸為直線，∴和的函數(shù)值相同，即，故答案為：．3．（2022春·山東煙臺·九年級統(tǒng)考期中）已知，，，，是拋物線上的點，則，，的大小關(guān)系是______（用“”連接）．【答案】【詳解】解∶∵，是拋物線上的點，∴拋物線的對稱軸為直線，∵，∴拋物線上的