第1頁(yè)/共1頁(yè)2023北京初三一模數(shù)學(xué)匯編旋轉(zhuǎn)變換一、解答題1．（2023·北京房山·統(tǒng)考一模）如圖，正方形中，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，連接，將射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，取中點(diǎn)，連接．(1)依題意補(bǔ)全圖形；用等式表示與的數(shù)量關(guān)系，并證明；(2)若，用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明．2．（2023·北京延慶·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，，是邊上的高，點(diǎn)E是邊上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），連接交于點(diǎn)F，將線段繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．(1)如圖1，當(dāng)是的角平分線時(shí)，①求證：；②直接寫出_______°．(2)依題意補(bǔ)全圖2，用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．3．（2023·北京門頭溝·統(tǒng)考一模）已知正方形和一動(dòng)點(diǎn)E，連接，將線段繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在正方形內(nèi)部時(shí)，①依題意補(bǔ)全圖1；②求證：；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在正方形外部時(shí)，連接，取中點(diǎn)M，連接，，用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明．4．（2023·北京朝陽(yáng)·統(tǒng)考一模）如圖，，點(diǎn)A在上，過點(diǎn)A作的平行線，與的平分線交于點(diǎn)B，點(diǎn)C在上（不與點(diǎn)O，B重合），連接，將線段繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接．(1)直接寫出線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；(2)連接并延長(zhǎng)，分別交，于點(diǎn)E，F(xiàn)．若，用等式表示線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

參考答案1．(1)補(bǔ)全圖形見解析，，理由見解析(2)，理由見解析【分析】（1）補(bǔ)全圖形如圖所示，連，利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，即可得證；（2）作結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)和判定與已知可得出，然后用等角的三角函數(shù)相等可得出與的關(guān)系，從而可得出答案．【詳解】（1）補(bǔ)全圖形如下：，理由如下：連，∵四邊形為正方形∴∵將射線繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F∴在和中，在和中∴≌∴（2），理由如下：過G作于點(diǎn)N，設(shè)與交于M由（1）知∴∴∴∴∵∴由（1）知：∴∴∵∴∴四邊形為平行四邊形∴∵為的中點(diǎn)∴∵∴即∴∵∴【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，，直角三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，熟練掌握其性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．2．(1)①見解析；②45；(2)圖見解析，，證明見解析．【分析】（1）①利用等腰直角三我，再由角平分線的定義得．然后由三角形外角性質(zhì)得，，從而得，即可由等角對(duì)等邊得出結(jié)論；②過點(diǎn)C作于點(diǎn)C，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M．則，即可得，再證明．即可得．（2）過點(diǎn)C作于點(diǎn)C，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M．由可證得．則．再證明，得，即可由．得出結(jié)論．【詳解】（1）①證明：∵在中，，，∴，∵是邊上的高，∴．∵是的角平分線，∴．∵，．∴．∴．②過點(diǎn)C作于點(diǎn)C，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M．∵∴．∴．∴．∵，∴．∵，∴．∴．∵，∴．∴．（2）解：依題意補(bǔ)全圖形．?dāng)?shù)量關(guān)系：．證明：過點(diǎn)C作于點(diǎn)C，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M．∵∴．∴．∴．∵，∴．∵，∴．∴．∵，∴．∴．∴．∴．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，三角形外角的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，三角形外角的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．3．(1)①見解析；②見解析(2)；理由見解析【分析】（1）①根據(jù)題意補(bǔ)全圖形即可；②證明，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得出結(jié)果即可；（2）連接、，延長(zhǎng)，使，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，證明，得出，，證明，得出，，證明，得出，即可證明結(jié)論．【詳解】（1）解：①依題意補(bǔ)全圖1，如圖所示：②∵四邊形為正方形，∴，，根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知，，，∴，∴，∴，∴；（2）解：；理由如下：連接、，延長(zhǎng)，使，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，如圖所示：∵四邊形為正方形，∴，，根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知，，，∴，∴，∴，∴，，∵，，∴，∵點(diǎn)M為的中點(diǎn)，∴，∵，，∴，∴，，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∵，

∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造全等三角形，熟練掌握三角形全等的判定方法．4．(1)，證明見解析(2)，證明見解析【分析】（1）由平分，可得，由，可得，則，進(jìn)而可得；由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，由，可得，則，，證明，則，進(jìn)而結(jié)論得證；（2）如圖，在上截取使，連接，由，可得，證明，則，，由，可得，則，即，，，由，可得，如圖，作于點(diǎn)K，由，可得，，則即，．【詳解】（1）解：線段與的數(shù)量關(guān)系為，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，∵，∴，∴，即，∴，在和中，∵，∴，∴，∵，∴；（2）解：，證明如下：如圖，在上截取使，連接，∵，∴，在和中，∵，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，